马克思剥削理论的数理经济学分析

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马克思剥削理论的数理经济学分析（1）

摘要：马克思剥削理论的数理分析首先给出剥削范畴体系的定义域，其次描述了不可选择集、资本雇佣劳动集和剥削集以及三者之间的逻辑条件和核的存在，证明马克思定理（FMT）为存在性定理。剥削率与增长之间存在同一性定理。最后分析了现实资本剥削集的存在性和与实际工资相关的其他剥削方式。

关键词：不可选择集
核
资本雇佣劳动集
生产集
剥削集
FMT
现实资本剥削集

马克思剥削理论是其劳动价值理论和剩余价值理论的进一步延伸和应用，也就是剥削于生产方式之中的发生学。与罗默新古典马克思主义经济理论，特别是与其有关剥削理论系列论著的不同之处在于，本文的马克思剥削理论的数理分析完全是立在马克思经济学的四个基本内核之上。厄谢尔认为，除去熊彼特之外，马克思文献中时常可见到这种有成就的综合运用的分析工具（厄谢尔，1951年）。与罗默的一个明显区分是，本文抛弃了其惯用的一般均衡框架。虽然罗默承认马克思价值论和剥削理论同等重要，但是，却将前者视作一个错误的理论并沉醉于建立一般的剥削理论（罗默，1982年）。熊彼特便提出，马克思剥削理论优越于所有其他力图合理说明这一毫无疑义名词的尝试，……在马克思理论中却不包含任何欺骗或掠夺。在马克思理论中，剥削是从资本主义价值规律的逻辑本身中产生的，与任何无端行为无关，因此它根植于这种制度之中，是无法根除的，这是任何其他剥削理论望尘莫及的（熊彼特，1954年）。尽管如此，不少数理分析仍既受惠于罗默的数理分析，又同时受惠于现代高级微观经济的数理分析。

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关键词：经济学分析 数理经济学 数理经济 经济学 马克思 马克思 经济学 关键词 定义域 同一性

一、剥削范畴体系的定义域

其定义域是，f：E\ B
，其中E被称为是f 的定义域。马克思主张容易引起歧义的定义域应该采用数学形式（马克思，1867年）。剥削（Exploit）在现代私有产权和经济强制之下，对他人劳动成果的占有或者对他人无酬劳动的占有再或者是他人的剩余劳动大于必要劳动；商品束B的劳动价值为1.v.(B)，定义为
：minα0.
其中，φ(B) ={α
∈ P
∣α∧ B}（罗默，1981年）。直接剥削(Direct exploitation is exploited indirectly)是指产业资本家对工人的剥削；间接剥削（is over exploited )是指有闲资本家通过代理人来进行的剥削（马克思，1870-1874年）。过度剥削(is exploited in average)是指剥削率远远大于利润率的剥削；平均剥削（exploitation is led）是指在与平均利润偏离的有利条件下对工人的剥。剥削率（Exploitation is led），即S，也就是剩余价值率（surplus value rate），其数理基础是马克思的剩余劳动为必要劳动函数说（马克思，1867年）。在α
∈ P点处的剥削率为e(α)=—1（罗默，1981年）。剩余价值率（Surplus value is led）即是指剥削率。利润(profit),也即相当于剩余价值。利润率(profit margin), 即。马克思三大剥削率分别是表示剩余劳动与必要劳动之比的公式eL=
(1)、用来表示有酬劳动与无酬劳动之比的公式ep=
(2)和用来表示剩余价值与可变资本之比的公式es=(3)；在特殊条件下公式（1）=公式（2）=公式（3），在一般条件下（1）=公式（2）

   

≥公式（3）。生产集（production fair,缩写为PF），是指以自由竞争加**干预为基础的资本主义资本雇佣劳动的,包括生产力和生产关系在内的生产组织生产方法生产方式,有生产力和生产关系双重再生产的性质一种特殊财富生产的集合。P一={α∈P∣j∈J，αj=0（罗默，19801年）。其中私有制为生产关系的核,私人利益动机,资本积累,劳动力商品或者雇用劳动,存在不完全竞争劳动市场,规模收益,生产周期性波动,最后是以占有剩余价值为目的的对劳动力的剥削。剥削集（exploitation fair，缩写为EF）,是指以马克思给定的剩余劳动是必要劳动的函数为数理基础，以特定的生产方式为物质基础，采用绝对和相对剩余价值生产相结合为方法，并同时采用其他剥削手段对劳动力进行剥削的集合。

二、不可选择集和“核”

资本主义生产关系（Capitalist production relation）是在历史上经济多次重大经济变革所形成，且生产方式的技术基础是革命性的，是以雇佣劳动制为基础的经济制度雇佣劳动。可设资本主义生产关系为生产关系为完备性、可传递性、连续性和严格递增。完备性是指其依赖于一些列上层建筑和司法体系，可传递性是指其对前发展国家的全球扩张，连续性是指其在扩大再生产的过程中复制，严格递增既是指其刚性的一方面，同时也是指其高度弹性的一方面。该生产关系为不可选择集（Cannot select fair）含义是每个社会个体的对于特定生产关系的历史继承性和不可选择性而言的，即，﹛货币转化为资本, 劳动力商品。该集是指该CPR领域组成的集合，不可选择集是指集合PO的边界点组成的集合。马克思认为相对于不可选择集而言，消费者的选择集介于可选择集和完全不可选择集之间。在资本主义生产关系这个不可选择集的“核”我们是指现代私有产权，对他人劳动的支配权，即把活劳动当作保存并增加自身条件（工具、材料和生活资料）的权力（马克思，1868-1870年）抑或表现为占有别人无酬劳动或产品的权利（马克思，1867年）。马克思现代私有产权第一定理是，劳动=创造他人的所有权，换而言之，雇佣劳动=私有产权，这就是雇佣劳动私有产权的同一性定理（马克思，1860-1864年）；马克思现代私有产权的第二定理是，劳动表现为被否定的所有权，即所有权表现为对他人劳动的异己性的否定（马克思，1860-1864年）。资本主义生产关系必然有现代私有制“核”（Core）的存在。不可选择集是在其历史给定意义上而言的，所以它又是一个给定非空集。和罗默当时的分析路径不同（罗默，1981、1982和988年），本文直接从这个“核”导出了两个对应原理。第一对应原理是阶级一财富对应原理（Class wealth corresponding principle）和阶级一剥削对应原理（Class a exploitation corresponding principle），可用f(C，W)和f（C，E）
来表示 。罗默认为，在一个不均衡的解中，社会分成两类人,即劳动时间比社会必要劳动时间长的被剥削者和劳动时间比社会必要劳动时间短的剥削者（罗默，1882年）。

三、资本雇佣劳动集

资本雇佣劳动集（Capital wage labor gathers，缩写为CWLG）是，{商品价值，劳动力商品，生产资料成为资本的必要条件和充分条件，劳动能力以外一无所有的阶级的存在是资本的必要前提，雇佣工人与资本家利益的不一致性，产业资本的强势场无产阶级的弱势场。商品价值是由生产它所耗费的劳动时间决定的，这一过程是通过市场竞争、价格波动来实现的。在资本主义制度下，劳动力（马克思当时用的是“劳动”这一概念）也是商品，其价值是由它的生产费用决定的。工资是劳动力的价格（马克思当时用的是“劳动的价格”）它的高低直接受“劳动商品”的供求关系的影响。该集合为主子式。与货币资本家相比，产业资本家作为剥削他人劳动的劳动者而存在。与此同时，马克思还认定只有在不断出售自己的商品，即劳动力的意义上而言，工人才是“资本家”。不可选择集，即给定集与资本雇佣劳动集关系。前者可以完全涵盖后者，而后者则不能完全涵盖前者，仅仅构成了前者的一个主轴关系。

四、生产集与剥削集的对偶性（连续对应性Continuous corresponding）

生产集为，﹛对生产资料和生活资料的垄断权；资本对剩余劳动或者无酬劳动的支配权（马克思，1867年）；资本生产和动机以及决定目的；雇佣生产；价值总额=剩余价值X资本生产过程在T时间内重复次数；令有酬劳动＜无酬劳动；剩余价值生产；剩余价值生产=无酬劳动（恩格斯，1894年）；实际小时工资与劳动生产率；资本家的有势场和工人的无势场。其一个特征是生产的独立性，可假设为凸集和闭集。剥削集为，﹛利用占有去奴役他人劳动的权力；令生产资料等与劳动的剥削手段，那末，剥削条件的相对贵贱与工人无关论（恩格斯，1894年）；劳动力商品；极其不合理的劳动价格形式；工人对其劳动力的“预付”；令工资＜劳动力价值；资本对劳动力剥削的外延量的改变；劳动强度与阶级冲突；被剥削者无法完全占有全部产品。剥削集的性质，我们可设该集合为完备性、可传递性、连续性和严格递增性质。

五、不可选择集、资本雇佣劳动集和剥削集之间的逻辑条件和分析符号

CSF
→CWL
→EG
→GL（资本积累的一般规律，The general law that capital accumulates，缩写为GL）一致收敛于或者根据魏尔施特拉斯逼近定理→PM（贫困化，Poor melt，缩写为PM）。剩余价值生产（Surplus value production，缩写为SVP）和劳动价值生产（labour value are produced，缩写为LVP）逻辑条件是，LVP⇒SVP⇔LVP。

下面假定：

A1.( ) (0
P)

A2.( ) ( P是凸集)

A3() (P是闭集)

A4(α
P)(α0≥0) 其中, α=（—α0，＞0且α一0

(α--≥0α0＞0) 其中, α=(-α0,-α一α一,)

MFT的证明：

（1）方法：（ⅱ） （ⅰ）(ⅲ) （ⅱ），（ⅳ）（ⅰ），(ⅲ) （ⅳ）。

（2）引理：如果再生产解（P*,α*）处的e(α*)=0,那末，存在P*α*一α*0=0。

                                             六、马克思基本定理（FMT）为存在性定理

马克思基本定理：在下面涉及到的A1至A7的条件均成立下，以下说法等价：

（ⅰ）存在点α P，使得e(α)＞0;

(ⅱ)存在一个可以生产总利润为正的再生产家；

(ⅲ)所有的再生产解都产生正的总利润；

（ⅳ）所有的再生产解都产生正的剥削率。


（ⅳ）所有的再生产解都产生正的剥削率。

模型：生产，设资本家 面临一个生产集P。生产中存在n种被生产的商品和劳动。向量α
P,且α可以改写为（2n+1）维向量，α=（—α0，—α，α—）
其中，α0是直接的劳动投入，α—为非负的n维商品产出向量，将α标记为n维的商品净产出向量。

为什么不放在一个贴子里?

七、剥削与增长的同一性定理（Homogeneity theorem）

马克思的再生产理论蕴含的生产关系再生产思想实际上与罗默阶级剥削一致性原理有部分可通约性。其将阶级划分为他们的财富或者财产所有权、他们的阶级身份和它们作为剥削者或者被剥削者的地位（罗默，1079和1980年）。马克思的逻辑推理在于充分论证剥削者或者被剥削者的总的阶级总产品收益就完全体现在剥削率与增长之间的统一性定理上。（1）利润增加=资本增长；（2）利润≈剩余价值；（3）利润率下降≠利润和总利润以及剥削率降低。（4）剩余价值率=剥削率；当剥削率一定时，剩余价值受约束于人口限制，当人口一定是，剩余价值受约束于剥削率；（5）劳动资料和生活资料作为按一定利润率起作用的约束条件是商品生产过剩≈真实性的波动周期≈对抗性的财富形成；（恩格斯，1894年）；（6）利润率=资本相对增长（同上）；（7）生产力乘数＞剩余价值量；（8）相对剩余价值的发展=劳动生产力的发展；（7）提高社会劳动生产力的方法=提高剩余价值生产的方法；（9）资本生产力的提高= 一方面对活劳动剥削的加剧=另一方面提高的剥削率所使用的活劳动数量的相对减少；（10）资本的增加对提高生产力的影响＞生产力的提高对资本增长的影响；（11）新资本=原有资本减去游离出来的那部分劳动基金；但是这个游离出来的部分=表示必要劳动的资本部分处以生产力提高的乘数（其实质是资本家，包括产业资本家和货币资本家和商业资本家可控收入的提高）（劳动的社会生产力的发展和这个发展的条件就表现为资本的行为）；（12）资本家阶层可控收入或者现实财富的提高=劳动阶层可支配性收入的减少；（13）国民财富的增加=大多数国民的贫困。

这13个最基本的逻辑推理我们定义为剥削率与增长的同一性定理。分别用工资率（ω）、增长率（g）、统一平均利润率（π）、价格向量（p）和生产方法向量（x），我们建立8个联立不等式来表示：

（1+g）(A+ωCL)X≦BX

(1+π)p(A+ωCL)
≧pB

（1+g）p(A+ωCL)X=pBx

(1+π)p(A+ωCL)x= pBX

pBX
＞0

pCLX＞0

x≧0，≠0

p≧0，≠0

八、现实资本剥削集（实数集）的存在性

现实资本剥削集（Realistic capital exploitation gathers，缩写为RCEG），即是指资本的趋势是把绝对剩余价值和相对剩余价值结合起来的现实表现集合。假设现实资本关系是同他们的概念相符合的，或者说，所描述的各种现实关系只是表现他们自身的一般类型（恩格斯，1894年）。被剥削者创造全部剩余价值说（恩格斯，1894年）；绝对和相对剩余价值生产并存；我们这里提出对不变资本的支出的减少，包括取消一起保障工人安全、方便和健康的预防措施（马克思，1870-1874年）；在现实资本剥削集中一个历史现实是直接和间接剥削并存，过度剥削远远大于平均剥削；5S说（即清理，整理，清洁，维持，素养等；6S、7S和8S管理，也即在5S后面分别加上安全、节约和服务等管理制度。内容马克思当年使用的是的工人对机器擦洗时间，恩格斯，1885年）此外还存在落后的工业部门或者在现代生产方式中面临挣扎的部门中最令人厌恶的剥削（同上267P）。出货旺季周期性的过度加班（过劳死意义上的）（马克思，1867年）；既当工厂主又当房东（恩格斯，1885年）；实际支付的正常工资的变相的拿回（恩格斯，1885年）；童工制、血汗工厂和黑狱式地下工厂的存在绝非是零星的和个别的，它应该说普遍存在于法治之外的空白点处。与实际工资相关的其他剥削方式。和生存工资一样，实际工资它也是非生产性，绝非是财富的一般形式，其被剥削者实际工资用于消费行为只能使其回到最初的原点（马克思1860-1864年）。从三家外包工厂的劳工状况及某知名世界品牌的生产链的管理方式，我们可以看到跨国企业的外包制度，如何将成本压力转嫁到代工厂，最后落在工人的肩上。虽然电子业已经制定了行业性的生产行为守则EICC，然而， EICC只要求品牌商将生产行为守则控制到第一层供应商的做法是不切实际的，因为只会做成如业内人士所讲的将压力再往下一层推的情况与实际工资下降相联系的最新资本积累机制是国际资本的在欠发达国家的外包网络。在外包网中，代工厂分为多层结构，在上层者，多数是一些负责零件或组件合成的工厂，在下层还有大量生产零件或低回报组件的代工厂。上层的部份，因为涉及电子安全，而且产品价格比较高，品牌公司一般都会直接采购该部份产品；上层代工厂的资金多是来自南韩、台湾、日本等地的，其生产线则大多数都会设在工资成本较低的中国大陆（香港学生组织和大学师生监察无良企业行动（SACOM），2007年）。

之所以将马克思剥削理论进行数理化分析，首先原因在于矫正以往对马克思经济学的简单化的漫画式的以及陈旧的过时的陈述；其次，仅仅是出于使用数理工具来充分验证其理论的内在一致性考虑，与此同时还采用传统的定性方法来使映射马克思剥削理论的基本所有内涵；最后，这将极大地提高马克思剥削理论的适用性。

参考文献

[1]马克思恩格斯《马恩全集》[M]，北京：人民出版社。

[2]熊彼特《经济分析史》[M]北京，商务印书馆：1992年。

[3]森岛通夫《马克思的经济学》[M]，剑桥：英国剑桥大学出版社，1973年。

[4]森岛通夫
凯特福特《价值剥削和增长》[M]，伦敦：英国麦格劳—希尔书社，1978年。

[5]罗默《马克思主义经济理论的分析基础》[M]，上海：世纪和上海人民出版社，2007年。

[6]朱钟棣《西方学者对马克思主义经济理论的研究》[M]，上海：沪人民出版社，1991年。

[7]朱钟棣《当代国外马克思主义经济理论研究》[M]，北京：人民出版社，2004年。

[8]张光照张力上《西方马克思主义经济学》[M]，北京：经济科学出版社，2001年。

[9]洪银兴《资本论的现代解析》[M]，北京：经济科学出版社，2005年。

[10]裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》[M]，北京：高等教育出版社，1993年。