半满的篮子：稀疏的投资组合

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摘要翻译：
现有的稀疏财富分配方法（1）局限于资产数量小于样本容量时的低维设置；（2）缺乏对稀疏财富配置及其对投资组合风险影响的理论分析；（3）由于$\\ell_1$-惩罚引起的偏差而次优。我们解决了这些缺点，并发展了一种在高维上构造稀疏投资组合的方法。我们的贡献是双重的：从理论的角度，我们建立了稀疏权重估计量的oracle界，并提供了关于它们的分布的指导。从实证的角度，我们检验了稀疏投资组合在不同市场情景下的优点。我们发现，与非稀疏策略相比，我们的策略对衰退具有稳健性，可以在这种情况下用作对冲工具。
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英文标题：
《A Basket Half Full: Sparse Portfolios》
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作者：
Ekaterina Seregina
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最新提交年份：
2021
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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英文摘要：
  The existing approaches to sparse wealth allocations (1) are limited to low-dimensional setup when the number of assets is less than the sample size; (2) lack theoretical analysis of sparse wealth allocations and their impact on portfolio exposure; (3) are suboptimal due to the bias induced by an $\\ell_1$-penalty. We address these shortcomings and develop an approach to construct sparse portfolios in high dimensions. Our contribution is twofold: from the theoretical perspective, we establish the oracle bounds of sparse weight estimators and provide guidance regarding their distribution. From the empirical perspective, we examine the merit of sparse portfolios during different market scenarios. We find that in contrast to non-sparse counterparts, our strategy is robust to recessions and can be used as a hedging vehicle during such times.
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关键词：投资组合 econometrics Quantitative Optimization distribution

半满的篮子：稀疏的投资组合Sekaterina Seregina*2021年4月18日摘要现有的稀疏财富分配方法（1）仅限于资产数量小于样本量时的低维设置；（2）缺乏对稀疏财富配置及其对投资组合风险影响的理论分析；（3）是次优的，这是由于`惩罚引起的偏差。我们解决了这些缺点，并发展了一种在高维上构造稀疏投资组合的方法。我们的贡献有两个方面：从理论角度出发，我们建立了oracle稀疏权重估计器的boundsof，并提供了关于它们分布的指导。本文从实证的角度，考察了稀疏投资组合在非市场情形下的价值。我们发现，与非稀疏的同行相比，我们的策略对衰退具有稳健性，并可在此期间用作对冲工具。关键词：高维度、投资组合优化、因子投资、去偏置、套索后、近似因子模型Jel类别:C13、C55、C58、G11、G17*信件：美国加州大学河滨分校经济系。电子邮件:ekaterina.seregina@email.ucr.edu。这项研究没有从公共、商业或非专业领域的资助机构获得任何特殊资助。利益声明：NONE.1引言对最优投资组合权重的搜索简化为以下问题：（一）购买哪些股票；（二）在这些股票上投资多少。根据用于解决这个问题的策略，现有的分配方法可以进一步分解为投资于所有可用股票的方法和选择股票领域中的子集的方法。后者被称为稀疏投资组合，因为一些资产将被排除在外，获得零权重，导致财富分配稀疏。任何投资组合优化问题都需要excessstock收益的逆协方差矩阵或精度矩阵作为输入。在大数据时代，寻找最优投资组合成为一个高维问题：资产的数量p与足够的规模T相当或更大。在高维度上构造非稀疏投资组合一直是现有资产管理研究的主要内容。特别是，manypapers专注于开发一种改进的协方差或精度估计器，以实现投资组合权重的理想统计特性。相比之下，关于构造稀疏投资组合的文献很少：它局限于一个低维的框架，缺乏对由此产生的稀疏配置的理论分析。在本文中，我们将这个缺口和proposea新的方法构造高维稀疏投资组合。我们得到了稀疏权重估计量的界，并对它们的分布提供了指导。从经验的角度，我们检验了经济增长时期稀疏投资组合的优点

弗里德曼等人。（2008）开发了一种迭代算法，使用惩罚高斯对数似然（图形套索）逐列估计精度矩阵的条目；Meinshausen和Béuhlmann(2006)利用回归与精度矩阵条目之间的关系逐列估计后者的元素（nodewise regression）。蔡等人。（2011）将约束最小化用于逆矩阵估计(CLIME)。卡洛特等人。（2019）研究了使用协方差和精度估计器构建的高维投资组合的表现，发现在样本外夏普比率和投资组合回报方面，基于精度的模型优于基于协方差的模型。从实际角度来看，除了享有良好的统计特性之外，成功的财富分配策略应该易于维护和监控，并且应对经济衰退具有稳健性，以便投资者可以将其用作对冲工具。出于这一动机，我们选择了几个流行的协方差和精度基函数来构建非稀疏投资组合，并探索它们在最近新冠肺炎疫情期间的表现。使用从2018年5月25日至2020年9月24日（588个OBS）的495个标准普尔500成份股的每日回报，表1报告了所选策略的表现：我们包括等权(EW)和指数投资组合，以及Meinshausen和Béuhlmann(2006)基于precisionbased nodewise回归估计器（这是由Callot et al.(2019)研究的这种统计技术最近在投资组合中的应用引起的），Ledoit和Wolf(2004)和CLIME by Cai et al.的研究结果。（2011年）。我们使用2018年5月25日-2018年10月23日（105 OBS）作为培训期，2018年10月24日至2020年9月24日（483 OBS）作为样本外测试周期。我们在测试样本上滚动估计窗口，以每月重新平衡投资组合。表1的左面板显示了回报，培训期间投资组合的风险和夏普比率，右侧小组报告了两个感兴趣的子期间的累计超额收益(CER)和风险：在疫情爆发之前（2019年1月2日-2019年12月31日）和美国新冠肺炎疫情爆发期间（2020年1月2日-2020年6月30日）。如表1所示，没有一个投资组合对带来的BYBANDEMIC和CER为负的低迷表现强劲。我们注意到，类似的模式也出现在其他几次温和和严重的经济衰退中，例如2007-09年的全球金融危机。研究投资组合表现与数字之间的关系的研究请参阅实证应用一节以了解更多细节。蒂德莫尔等。（2019）使用晨星公司（Morningstar,Inc.）2000年1月至2017年12月的活跃美国股票基金四分之一数据，研究集中度（以持有数量衡量）对基金超额收益的影响：他们认为，随着时间的推移，集中度是有意义的，并取得了相当大的成果。值得注意的是，在GFC之前及包括GFC期间，该关系变得负面。这一迹象表明，持有稀少的投资组合可能是在低迷时期对冲的关键。为了支持这一假设，我们进一步比较了稀疏策略和非稀疏策略在投资者效用收益方面的表现。假设我们观察i=1，...,p超额收益公开=1,。..,T时间段:rt=(r1t,...,rpt)→D(m,∑)。考虑下面的均值方差效用问题:minw-uγw∑w-wm,s.t。在正态分布假设下，w为证券组合权重的p×1向量，supp(w)={i:wi>0}为控制稀疏性的基数约束，γ决定投资者的风险。当(p=p)portfolio是非稀疏的，且该profective实用工具表示为UNon-Sparse，而当(p<p)此类sparseportfolio的实用工具表示为usparse。

图1报告了使用2003：04至2009：12的月度数据的实用工具比率，这些数据与S&P100的组成有关，函数为p:we setγ=3 and various p={5,10,15,20,30,...,90}。我们的测试样本包括两个特殊的时期：在GFC之前(2004:01-2006:12)和在GFC期间(2007:01-2009:12)，如图1所示：（1）在这两个时期都存在一个较低维的股票子集，与非稀疏投资组合相比，它带来了更大的效用；（2）在GFC期间，将公用事业比率最小化的存货数目较前一期间为少。这两个结论都与Tidmore et al.(2019)的实证结果一致，即包括更多股票并不能保证更好的表现，并建议即使在不稳定的市场场景下，持有“半满篮子”也有助于实现更好的表现。为了创建一个稀疏投资组合，即一个在权重向量中有许多零条目的投资组合，我们可以在投资组合权重上使用`-惩罚(Lasso)，将其中一些权重缩小为零（参见Fan et al.(2019)、Ao et al.(2019)、Li(2015)、Brodie et al.(2009)等）。卡乔利等人。（2016）证明了在很短的时间内增加一个`-惩罚和控制与单笔和连续交易的买卖价差影响相关的交易成本的数学等价性。这又表明了带基数约束的优化问题不是凸的，我们利用Shaw等人的拉格朗日松弛过程得到了一个解。（2008）总OOS表现10/24/19-09/24/20疫情前01/02/19-12/31/19疫情期间01/02/20-06/30/20回归(×100)风险(×100)夏普比率CER(×100)风险(×100)CER(×100)风险(×100)EW 0.0108 1.8781 0.0058 28.5420 0.8010-19.7207 3.3169指数0.0351 1.7064 0.0206 27.8629 0.7868-9.0802 2.9272节点Regr\'n 0.0322 1.6384 0.0196 29.6292 0.6856-11.7431 2.8939气候0.0793 3.1279 0.0373 31.5294 1.0215-25.3004 3.8972 LW 0.0317 1.7190 0.0184 29.5513 0.7924-14.9328 3.0115我们的后套索0.1247 1.7254 0.0723 45.2686 1.0386 12.4196 2.8554我们的去偏估计值0.0275 0.5231 0.0526 23.7629 0.4972 6.5813 0.5572表1：非稀疏投资组合和稀疏投资组合的表现：训练期间的收益(×100)、风险(×100)和夏普比（左），两个子期间的CER(×100)和风险(×100)（右）。权重使用标准的全局最小方差公式估计。样本内：2018年5月25日-2018年10月23日（105 OBS.），样本外(OOS):2018年10月24日-2020年9月24日（483 OBS.）图1：测试窗口内非稀疏和稀疏投资组合公用事业的平均比率。稀疏投资组合的tage：在经济衰退期间，市场流动性枯竭，而买卖价差增加，这是流动性成本的衡量标准。从今以后，正规化的投资组合定位说明了与获取和清算头寸相关的流动性风险的增加。现有的关于稀疏财富分配的文献很少，并且存在以下缺陷：（1）稀疏性仅限于p<T时的低维情形，而在高维情形下稀疏性变得尤为重要；（2）缺乏对稀疏财富配置及其对投资组合风险影响的理论分析；（3）使用惩罚会产生有偏差的估计（见Belloni et al.（2015）；Javanmard and Montanari(2014a，b)；Javanmard et al.（2018）；van de Geer et al.（2014）；Zhang and Zhang（2014）等），然而，在投资组合分配的背景下，这个问题被忽视了。本文针对上述缺点，提出了一种构造高维稀疏投资组合的方法。我们的贡献是双重的：从理论的角度，我们建立了稀疏权重估计量的oracle界，并提供了关于它们分布的指导。本文从实证的角度出发，考察了稀疏投资组合在有限市场情景下的优点。

我们发现，与非稀疏策略相比，我们的策略对衰退具有稳健性，可以在这种情况下用作对冲工具。为了说明，表1的最后两行展示了本文提出的两种稀疏策略的性能：两种方法在总OOS夏普比方面都优于非稀疏策略，它们在疫情期间以及疫情之前的时期产生了正的CER。图2显示了2019年8月和2020年5月后套索选择的股票：颜色作为识别密切相关股票组的间接指南（相同颜色的股票不一定对应于相同的行业）。我们的框架利用了网络理论中称为nodewise回归的工具，它不仅提供了理想的统计特性，而且使我们能够研究某些行业在衰退期间是否可以作为安全避难所。我们发现，在GFC和新冠肺炎疫情期间，消费品、医疗保健、零售和食品等非周期性行业推动了稀疏投资组合的收益，而保险行业在这两个时期都是最不具吸引力的投资。本文的组织如下：第二节介绍了稀疏去偏投资组合和后套索稀疏投资组合。第三节提出了一种新的高维精度估计器，称为因子节点回归。第4节提出了一个因子投资的框架。第5节包含理论结果，第6节通过仿真验证了这些结果。第7节提供实证应用。第8节结束语。为了方便读者，我们总结了全文所要使用的记号法。设Spc表示所有p×p对称矩阵的集合。对于任何矩阵C，其第（i,j）个元素表示为Cij。给定一个向量u∈RD，参数a∈[1,∞)，设kukadenote`a-范数。给定一个矩阵U∈Sp，设λmax(U)λ(U)≥λ(U)≥.λmin(U)p(U)是U的特征值，而eigK(U)∈Rk×p，是λ(U)对应的K≤p归一化特征向量。λk(U)。给定参数a,b∈[1,∞)，设Ua,b=maxkyka=1kuykb，表示导出的矩阵算子范数。对于`/`-算子范数，其特例为:umax1≤j≤pppi=1ui，j；算子范数(`矩阵范数)uλmax(UU)等于u的最大奇异值；对于`∞/`∞-算子范数，u∞max1≤j≤pppi=1uj,i。最后，kukmax=maxi,jui,j表示元素最大值，uf=pi,jui,j表示Frobenius矩阵范数。对于一个事件，当A的概率随着T的增加而接近1时，我们说A wp→1。2稀疏投资组合根据投资者所解决的优化问题的类型，存在几种广泛使用的投资组合权重公式。假设我们观察p资产（指数化byi）在T段时间内（以T为指数）。设rt=(r1t,r2t,...,rpt)'AD(m,∑)是从分布D中得到的超额收益的p×1向量，其中m和∑是超额收益的无条件均值和协方差，D属于亚高斯族或椭圆族。当D=N时，精度矩阵∑-1∑θ包含变量之间的条件依赖信息。例如，如果θij是精度矩阵的第ij个元素，为零，那么变量i和j在给定其他变量的情况下是条件独立的。马科维茨理论的目标是在投资组合中最优地选择资产权重。我们将研究两个最优性准则：第一个是众所周知的Markowitz权重约束优化问题，第二个公式放松了对投资组合权重的约束，即Markowitz权重约束问题(MWC)搜索资产权重，以使投资组合在所有权重总和为一的约束下以最小的风险获得期望的期望收益率，第二个公式放松了对投资组合权重的约束，该问题被称为Markowitz权重约束问题（Markowitz weight-constrainedproblem，简称Markowitz weight-constrainedproblem，简称Markowitz weight-constrainedproblem，简称MWC）。

上述目标可表述为以下二次优化问题:minww∑w，s.t。wl=1且mw≥μ，(2.1)其中w是投资组合中资产权重的p×1向量，lo是1的p×1向量，μ是期望的投资组合收益率。（2.1）中的约束要求投资组合权重加起来为1--这个假设很容易放松，我们将取消这个约束对投资组合权重的影响。如果mw>μ，则（2.1）的解得到全局最小方差(GMV)投资组合权重WGMV:WGMV=(lθl)-1θl.（2.2）如果mw=μ，则（2.1）的解是wMW c=(1-a)wGMV+awM,(2.3)wm=(lθm)-1θm,(2.4)a=μ(mθl)(lθl)(mθl)(mθl)(lθl)(mθl)(mθl),(2.5)其中wMW c=(1-a)wGMV+awM,wMW c=(1-a)wGMV+awM,wMW c=(1-a)wGMV+awM,wMW c=(1-a)wGMV+awM,wMW c=(1-a)wGMV+awM,wMW c=(1-a)wGMV+awM,mw≥μ.（2.6）可以很容易地说明（2.6）的解是:W*=μθmmθm。（2.7）或者，不是寻找一个具有特定期望的期望收益率和最小风险的投资组合，而是在给定最大风险容忍水平的情况下，使期望投资组合收益最大化：MaxWWM S.T。W∑W≤σ。（2.8）在这种情况下，对（2.8）的解产生:W*=σWmθm=σμθm。（2.9）为了得到（2.9）中的第二个等式，我们使用了从（2.1）和（2.6）中提取的μ。因此，如果μ=σ=θ，其中θmθm是夏普比的平方，那么对（2.6）和（2.8）的解决方案允许以下表达式:WMRC=σ=mθmθm=σ=θα，(2.10)其中αnθm。等式（2.10）告诉我们，一旦投资者指定了期望的回报，和最大风险容忍度，σ，这降低了投资组合的夏普比率，使得（2.6）和（2.8）中的投资组合风险最小化和期望最大化的优化问题相同。这就给我们带来了现有文献中常用的三种替代投资组合分配：全球最小方差组合(2.2)、权重约束MarkowitzMean-Variance（2.3）和最大风险约束Markowitz Mean-Variance（2.10）。下面我们总结了前面提到的投资组合权重表达式:GMV:WGMV=(θl)-1θl，(2.11)MWC wMW C=(1-a)WGMV+awM，(2.12)其中WM=(θm)-1θm，A=μ(mθl)(θl)-(mθl)(Mθl))(Mθl)，MrC:WMRC=σ√θα，(2.13)其中α=θm，θ=mθm，到目前为止，我们已经考虑了将非权重的配置策略。所有资产的权重为零。作为一个暗示，投资者需要购买一定数量的ofeach证券，即使有很多小权重。然而，投资者通常对管理一些资产感兴趣，这些资产显著降低了监控和交易成本，并在夏普比率和累积回报方面表现优于等权重和指数组合（见Fan et al.(2019)、Ao et al.(2019)、Li(2015)、Brodie et al.(2009)等）。该策略基于持有一个稀疏投资组合，即一个权重向量中有许多零项的投资组合。2.1稀疏去偏投资组合引入了一些符号。样本均值和样本协方差矩阵有标准公式:BM=TPTT=1RTANDB∑=TPTT=1(RT-BM)(RT-BM)。我们的实证应用表明，(2.13)中的风险约束Markowitz配置优于(2.11)-(2.12)中的GMV、MWC投资组合。因此，我们将研究稀疏MRC投资组合。我们的目标是构造一个由（2.13）给出的投资组合权重的稀疏向量。为了达到这一目的，我们使用了（2.6）和（2.8）中主题方差优化的以下等价和无约束回归表示:WMRC=argminwE[Y-WRT],其中y1+θθσ1+θθ。（2.14）（2.14）的示例对应体写为:WMRC=ArgminWTTXT=1(Y-WRT)。(2.15)Ao等人。（2019）证明来自（2.14）的权重分配等效于（2.13）。

通过Lasso引入解析性，得到以下约束优化问题:WMRC，sparse=ArgminWTTXT=1(Y-WRT)+2λKWK。（2.16）现在我们对设置（2.16）提出了两个扩展。首先，估计量wMRC，SPARSEis是不可行的，因为用于构造y的θ是未知的。奥等人。（2019）在正态分布超额收益下构造θ的估计量，假设p/T→ρ∈(0,1）且样本容量T大于资产数量p。他们的论文使用了Kan and Zhou（2007）提出的无偏估计:θ=((t-p-2)Bmb∑-1Bm-p)/T，其中Bm和B∑-1分别是样本协方差矩阵的均值和逆。Ao等人研究的模型的局限性之一。（2019）是它不能处理高维度。在模拟和实证应用中，作者所使用的股票的最大数量限制在100只。Ao et al.(2019)方法的另一个局限性是，他们没有纠正通过强加`-constraintin(2.16)引入的偏见。然而，众所周知，(2.16)中的估计量是有偏的，现有文献提出了几种去偏技术（参见Belloni et al.(2015)；Javanmard andMontanari(2014a，b)；Javanmard et al.(2018)；van de Geer et al.(2014)；Zhang and Zhang(2014)等）。为了解决上述局限性，我们建议使用一种高维精度矩阵的估计量，将在下一节讨论。所提出的估计量适用于高维环境，可以处理样本小于资产数的情况，且结构上总是非负的。因此，y的估计量为:1+θθσ1+θpθ。（2.17）接近第二个限制，由van de Geer等人提出。(2014)，我们提出了使用精度矩阵的节点回归估计量的去偏技术。首先，设R是超额收益随时间叠加的T×p矩阵，并且BY是一个T×1常数向量。考虑一个高维线性模型=Rw+e，其中e'AD(0,σEI)。（2.18）我们研究了高维框架p≥T，在渐近结果中我们要求p/T=o(1)。让我们重写(2.16):WMRC，sparse=arg minw∈rptkby-rwk+2λkwk。(2.19)(2.16)中的估计满足以下KKT条件:-R(by-rbw)/t+λbg=0,(2.20)kbgk∞≤1,如果wi6=0,则gi=sign(wi)。（2.21）其中BG是由KWK的次梯度引起的p×1向量。LetB∑=RR/T，然后重写KKT条件:B∑(BW-W)+λBG=RE/T。（2.22）我们的实证结果表明，即使使用Kan and Zhou(2007)(p.2906)中的调整估计量，无偏估计量θ=((t-p-2)bmb∑-1bm-p)/T也经常是负的。将（2.22）的两边乘以算法3得到的bθ,加减(bw-w),并重新排列项:bw-w+bθλbg=bθre/TρT(bθb∑-Ip)(bw-w){z}/τT。（2.23）在与理论结果相结合的章节中，我们证明了在一定的稀疏性假设条件下，μ是渐近可忽略的。组合（2.20）和（2.23）使我们得到了投资组合权重的去偏解：BWMRC,去偏解=BW+BθλBG=BW+Bθr(by-RBW)/T。（2.24）在第5.2.2节中使用后拉索检验了所建议的去偏估计器的性质。（2.24）中的去偏组合权重的缺点是，权重公式是针对一个特定的组合选择而定制的，该选择最大化了无约束的夏利（即（2.13）中的MRC）。然而，需要适应不同类型投资者的偏好，他们可能对与GMV(2.11)或MWC(2.12)组合相对应的权重分配感兴趣。同时，我们愿意在稀少拨款的框架内。其中一个阻碍我们追求类似于（2.16）中的技术的缺陷是，一旦增加了权重约束，(2.16)中的优化问题就有两个解，这取决于θm是正的还是负的。

如Maller和Turkington(2003)所示，当lθm<0时，对于满足完全投资约束的特定投资组合分配，不能精确地达到最小值。因此，我们可以设计一个近似的解来尽可能接近这一结果。为了克服这一困难，我们建议使用（2.19）中的拉索回归来选择一个股票子集，然后使用（2.11）-（2.13）中的任何权重公式来构造一个投资组合。算法1描述了用后套索估计稀疏投资组合的过程。注意，我们不能直接应用van de Geer等人的定理2.2。（2014）由于需要估计RC，并且我们需要显示各自估计的一致性。算法1使用LASSO1后的稀疏投资组合：使用（2.19）中的Lasso回归来选择模型b://support(bw)o应用额外的阈值来去除估计权重较小的股票:bw(t)=(bwj1[bwj>t]，j=1,..,p)，其中t≥0为阈值水平。o相应选择的模型表示为asb(t)support(bw(t))。Whent=0,bü(t)=bü.2:在(2.11)-(2.13)中选择一个所需的投资组合公式，并将其应用于stocksbü(t)的选定子集。o当card(bü(t))<et时，使用样本协方差矩阵的逆作为θ的估计量。否则，应用第3.3节中所述的精度矩阵估计。在这一节中，我们将回顾一种Nodewise回归（Meinshausen and Buhlmann(2006))，这是一种估计精度矩阵的流行方法。在高维情况下，需要对精度矩阵进行正则化，这意味着某些项θij将为零。换言之，为了实现对逆协方差的一致估计，估计的精度矩阵应该是稀疏的。3.1逐步回归在精度矩阵估计中引起稀疏性的方法之一是通过线性回归一次一列地求解bθ,用样本矩代替总体矩。当我们对每个变量j=1重复这个过程时，。.我们将用{rt}tt=1通过p线性回归逐列估计bθ的元素。Meinshausen和Béuhlmann(2006)使用这种方法将稀疏性引入到精度矩阵的估计中。它们利用eachvariable（node）作为响应，其他变量作为预测器来估计Bθ。这种方法被称为“nodewise”回归，下面根据van de Geeret al.（2014年）和卡洛特等人（2019）。设RJB为第j个回归子的T×1观测值向量，其余协变量收集在T×(p-1)矩阵R-J中。对于每个j=1，。.我们运行以下Lassorgression:Bγj=arg minγ∈rp-1krj-r-jγk/t+2λjkγk，(3.1)其中Bγj={Bγj,k；j=1,...,p,k6=j}是估计回归函数的(p-1)×1向量，该向量将用于构造精度矩阵Bθ的估计。bc=1-Bγ1,2···-Bγ1,p-Bγ2,11···-Bγ2,P.........-Bγp,1-Bγp,2···1。（3.2）对于j=1，。..,p,definneτj=krj-r-jbγjk/t+λjkbγjk(3.3)和writeBt=diag(τ,...,τp)。（3.4）近似的逆求取为ASBθ=Bt-2bc。（3.5）在算法2中总结了用nodewise回归估计精度矩阵的步骤。算法2 Meinshausen和Béuhlmann(2006)(MB)1:j=1重复。..,p:oEstimateBγjusing(3.1)对于给定的λj.o使用合适的信息标准选择λj.2:CalculatebC and Bt.3:ReturnBθ=Bt-2Bc.使用nodewise回归方法时要记住的一个警告是（3.5）中的估计量不是自伴随的。卡洛特等人。（2019）显示（见他们的Lemma.1)在(3.5)中的Bθ是阳性的可能性很大，然而，仍然可能在鱼类样本中Bθ不是阳性的。

为了解决这个问题，我们使用矩阵对称化过程，就像Fan等人一样。（2018）然后像inCallot等人那样使用特征值清洗。（2017）和Hautsch等人（2012年）。首先，构造对称矩阵bθsij=bθijh bθij≤bθji i+bθjih bθij>bθji,(3.6)，其中bθiji是估计精度矩阵（3.5）的第（i,j）个元素。其次，用特征值清洗使Bθ正定：写出谱分解Bθs=BVBλBV,其中BV是一个特征向量矩阵，Bλ是一个对角矩阵，其对角上有p个特征值。设λmmin{bλibλi>0}。我们用λma代替Allbλi<λm，并用清洁的特征值aseλ来定义对角矩阵。3.2因子逐步回归Ross(1976)提出的套利定价理论(APT)假定证券的预期收益只与它们与共同成分或因子的协方差有关。APT的目标是通过因子分解对资产收益的趋势进行建模。假定收益率生成过程(rt)遵循一个k因子模型:rt{z}p×1=B ft{z}k×1+εt,t=1,。.T(3.7)其中，ft=(f1t,...,fKt)是因子，B是因子负荷的p×k矩阵，ε是不能用公因子解释的特殊成分。（3.7）中的因子可以是可观察的，如Fama和French(1993，2015)中的因子，也可以使用统计因子模型进行估计。在本小节中，我们将研究如何使用收益中的因子结构来处理（2.11）-（2.13）中的投资组合分配问题。我们的方法称为因子节点化，利用估计的公因子来获得特征成分的稀疏精度矩阵。所得到的估计量被用来获得资产收益的精确度，以形成投资组合的权重。（2013）,我们考虑了一个尖峰协方差模型，当∑-K个主特征值随p增长，而其余的p-k个特征值有界且增长慢于p时，将方程（3.7）改写为矩阵形式：r{z}p×t=B{z}p×kf+e(3.8)设∑=t-1 rr,∑ε=t-1 ee和∑f=t-1 ffbe协方差矩阵，设θ=∑-1，θε=∑-1ε和θf=∑-1fbe它们的逆。（3.8）中的因子和负荷是通过解（bB,bF)=Argminb,fkr-bfkfs.t.tff=IK,bB是对角线来估计的。需要这些约束来确定这些因素（Fan et al.(2018))。结果表明（Stock and Watson(2002))BF=√t eigK(RR)和BB=t-1 RBF。由于我们的兴趣在于构造投资组合的权重，我们的目标是估计超额收益的精确矩阵。然而，正如Koike(2020)所指出的，当公共因子存在于超额收益中时，精度矩阵不可能是稀疏的，因为所有的收益对都是部分相关的，给定其他超额收益通过公共因子存在。因此，我们将稀疏性假设强加于特质误差的精度矩阵θε上，该矩阵是使用去除因素引起的共动后的估计残差得到的（参见Barigozzi et al.(2018)；Brownlees et al.(2018)；Koike(2020))，我们使用节点回归作为收缩技术来估计残差的精度矩阵。一旦精度θfof也得到了低秩分量，类似于Fan等人。（2011）我们使用Sherman-Morrison-Woodbury公式估计超额收益的精度:θ=θε-θεb[θf+bθεb]-1bθε。（3.9）为了得到bθf=b∑-1f，我们使用估计因子sb∑f=t-1bfbf的样本协方差的逆。为了求出bθε，我们将算法2应用于估计的特性误差bεT。一旦我们估计了bθfandbθε，我们就可以用（3.9）的样本类似物来求出bθ。

算法3.Meinshausen和Béuhlmann(2006)(FMB)1:使用PCA估计因子bF和因子负荷bB。得到b∑f=t-1bfbf,bθf=b∑-1fandbεt=rt-bbbft.2：用nodewise回归估计稀疏θε：对bεtbγj=arg minγ∈rp-1bεj-be-jγ/t+2λjkγk,（3.10）中的Lasso回归进行（3.1）得到bθε.3：使用bθffrom步骤1和步骤2中的bθε，用Sherman-Morrison-Woodbury公式的样本对应物估计θ(3.9):bθ=bθε-bθεbb[bθf+bbbθεbb]-1bbbθε。（3.11）算法3包含一个调整参数λjin(3.10):我们通过最小化广义信息准则(GIC)来选择收缩强度。设bsj(λj)表示向量bγj:gic(λj)=log bεj-be-jbγj/T+bsj(λj)log(p)Tlog(log(T))中非零参数的估计数，我们可以用（3.11）中得到的bθ来估计方程（2.17）中的y，并在（2.24）中得到稀疏的投资组合权重，算法1.4因子投资在本节中允许投资者持有一个资产和因子的投资组合，换句话说，假设因子是可交易的。注意，与Ao等人相比。(2019)，可交易因素与不可交易因素之间的区别并不在于超额收益是由共同因素驱动的。即，允许收益的要素结构与要素是否可交易无关。我们假设只有可观察的因素可以交易。将可观测因子的K×1向量aseft和不可观测因子的K×1向量表示为fP CAt,其中K1+K2=K。因子投资的目标是决定因子和股票的权重。设rt，Allbe投资组合在时间t时的收益:rt，All=wall，t{z}1×(p+k)xt。（4.1）其中xt=(eft，rt)是可观察因子与股票和沃尔的超额收益的(p+K)×1向量，而t=(wft，wt)是wftinvested Inft和wtinvestedin股票的权重向量。我们将EFTA视为额外的Kinvestments工具，这些工具将对整个投资组合做出贡献。现在考虑关于xt:xt=B fP CAt{z}k×1+et,t=1,的k-因子模型。..,T(4.2)将方程（4.2）改写为矩阵形式：x{z}(P+k)×T=B FP CA{z}k×T+E,（4.3）可以使用标准的PCA技术如（3.8）所示：bfp CA=√T eigK(XX)和bb=t-1xbfp CA。与算法3类似，我们用（3.9）估计增广的excessreturns,θX的精度。为了得到bθfp CA=b∑-1fp CA，我们使用估计因子sb∑fp CA=t-1bfp CAbFP CA的样本协方差的逆。为了得到bθe，我们将算法2应用于估计的特性误差，betin(4.2)。一旦我们估计了bθfp ca和bθe，我们就用一个（3.9）的样本类似物来计算bθx。算法4总结了这一过程。算法4因子投资使用FMB1:估计公式(4.2):bet=xt-bbbfp CAtusing pca的残差。2：使用nodewise回归估计稀疏θe:将算法2应用于bet.3:使用（3.9）中的Sherman-Morrison-Woodbury公式估计θx。我们可以使用算法4中得到的bθx来估计投资组合权重，使用2.1节中的去偏技术((2.24))或后拉索（算法1）。当得到wall，t=(bwft，bwt)时，我们可以通过检验wft=0.5的渐近性质来检验因子投资是否对投资组合收益有显著贡献。在这一部分中，我们研究了稀疏投资组合权重的去偏估计和算法1的后拉索估计的渐近性质。将s{j；wj6=0}表示为有效变量集，其中w是方程（2.18）中真实投资组合权重的向量。另外，设SS。进一步，设Sj{k；γj,k6=0}是（3.1）中节点回归的γj行的活动集，且设SjSj。definne=smax1≤j≤psj。考虑公式（3.7）中的一个因子模型:rt{z}p×1=B ft{z}k×1+εt,t=1,。...