经济违约时间建模：一种简化模型方法

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摘要翻译：
在全球金融危机之后，研究当前银行、金融和保险行业违约风险建模的适用性成为人们关注的焦点。Guo et al.(2008)最近的一项实证研究表明，经济违约日期和记录违约日期之间的时间差对回收率估计有显著影响。Guo et al.（2011）为一个企业违约过程建立了一个理论上的结构性企业资产价值模型，该模型嵌入了这两个违约时间的区别。为了更符合实际情况，本文在假设市场参与者不能直接观察企业资产价值的前提下，建立了一个简化模型来描述经济违约时间和记录违约时间。我们导出了这两个缺省时间的概率分布。通过对这两个模型差异的数值研究表明，我们提出的模型既能捕捉特征，又能拟合经验数据。
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英文标题：
《On Modeling Economic Default Time: A Reduced-Form Model Approach》
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作者：
Jia-Wen Gu, Bo Jiang, Wai-Ki Ching and Harry Zheng
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最新提交年份：
2013
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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英文摘要：
  In the aftermath of the global financial crisis, much attention has been paid to investigating the appropriateness of the current practice of default risk modeling in banking, finance and insurance industries. A recent empirical study by Guo et al.(2008) shows that the time difference between the economic and recorded default dates has a significant impact on recovery rate estimates. Guo et al.(2011) develop a theoretical structural firm asset value model for a firm default process that embeds the distinction of these two default times. To be more consistent with the practice, in this paper, we assume the market participants cannot observe the firm asset value directly and developed a reduced-form model to characterize the economic and recorded default times. We derive the probability distribution of these two default times. The numerical study on the difference between these two shows that our proposed model can both capture the features and fit the empirical data.
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关键词：模型方法 Quantitative Applications distribution Participants

经济违约时间模型的建立--形式模型方法顾家文→江波→程惠琪→郑海瑞§201年9月15日摘要在全球金融危机的影响下，研究当前银行、金融、保险等行业违约风险模型的适用性已成为人们关注的焦点。郭等最近的一项实证研究。(2008)[5]表明，经济日期和记录默认日期之间的时间间隔对回收率估计有重要影响。郭等人。(2011)[6]为违约过程建立一个理论上的结构性资产价值模型，该模型嵌入了这两个违约时间的区别。为了与实践更加一致，在本文中，我们假设m arket参与者不能直接观察资产价值，并开发了一个简化的模型来表征经济和记录的违约时间。我们给出了这些概率分布*香港薄扶林道香港大学数学系高级建模及应用计算实验室。Ema IL:jwgu.hku@gmail.com.香港薄扶林道香港大学数学系高级建模及应用计算实验室。Ema IL:sheilajiangbo@gmail.com。香港薄扶林道香港大学数学系高级建模及应用计算实验室。电邮:wching@hku.hk。研究获英国皇家大学GRF资助、洪兴英物理研究资助及香港大学CRCG资助。§Imperial Colle ge,London,SW7 2AZ,UK。电子邮件:h.zheng@imperial.ac.uk.2个默认时间。对这两个模型之间关系的数值研究表明，我们提出的模型既能捕捉到模型的特征，又能对经验数据进行修正。关键字：经济违约时间简化模型、跳跃模型、违约风险建模一直是银行理论和实践中的一个重要问题，也是银行和金融实践中的一个重要问题。目前常用的信用风险模型有两大类。这一类模型是由Black和Scholes(1973)[2]和Merton(1974)[12]开创的，被称为结构价值模型。该模型的b asic思想是显式地描述资产价值和a的缺省值之间的关系。更详细地说，当基金的资产价值低于与基金负债相关的某个阈值水平时，基金的违约将被触发。结构价值模型为商业KMV模型提供了理论基础，该模型已被广泛应用于金融行业的风险模型中。第二类模型是由J arrow and Turnbull(1995)[10]和Madan andUnal(1998)[11]提出的，被称为简化形式信用风险模型。该模型的基本思想是将违约视为外生事件，并利用泊松过程及其变量对其发生进行建模。Guo,Jarrow和Lin（2008）[5]最近关于记录的违约日前后市场债务价格的时间序列行为的经验研究揭示了这样一个事实，即市场在记录违约之前就对违约事件进行了预测。统计分析表明，经济违约日和记录违约日之间的时间跨度对回收率估计有显著影响，并对获得可违约债券价格的无偏估计具有重要意义。郭等人。(2011)[6]建立了一个嵌入经济违约时间和记录违约时间区别的理论结构性资产价值模型，并研究了经济违约时间和记录违约时间的概率分布。在本文中，为了更符合市场实践，我们假设市场参与者不能直接观察资产价值，而是知道资产的运行状态。

该模型的状态过程是由具有随机转移速率的连续时间马尔可夫链描述的。通过这一假设，我们提出的模型与郭等人提出的模型相比，具有一定的互补性。(2011)[6]，是一个“简化形式”模型。在这个框架下，经济和记录的违约时间以类似于郭等人的方式进行了修改。（2011）[6]。推导了经济违约时间和记录违约时间的概率规律。数值研究表明，我们提出的模型能够更好地捕捉经验研究给出的特征。(2008)[5].论文其余部分组织如下。第2节回顾了Guo等人的结构性资产价值模型[6]。第3节给出了我们提出的简化形式模型的构造。第四节介绍了本文关于经济违约时间和记录违约时间分布的主要结果。第5节给出了计算经济时间分布和记录默认时间分布的数值说明。第6节对全文进行了总结。2文献综述。(2008)[5]表明识别与记录的违约日期不同的“经济”违约日期对于获得无偏见的复苏估计至关重要。对于大多数deb t问题，经济违约日期发生在报告的违约日期之前。一个暗示是，标准的行业惯例使用30天后违约p RIs来计算恢复率产生了偏差的估计。这一结果表明，实证研究行业复苏率的经济特征是使用有偏差的数据。因此，对经济违约日期的研究是必要和重要的。(2008)[5]提出了一个回收率模型，该模型以低于一个基点的平均定价ERROR很好地反映了受压力影响的债券价格。在他们的模型中，“修正的r生态利率”过程被定义为：RS=δSE-RSτerudu,s>τe，其中δst表示回收率p rocess，τet是经济违约时间。在Guo等人的模型[6]中，对于一个给定的给定概率空间(Ω，F，F，P)，给定的概率空间(Ω，F，F，P)，给定的概率空间(Ω，F，F，F，P)的值S=(St)t≥0的值与其自然的Ft一起遵循一个几何过程。figurrm需要在一组预定的（确定的）离散时间进行债务偿还，表示为byN,N,N,。.....为了简单起见，设Nk=kN，对于N>0，在时间Nk，foundrm中的债务金额为dk。为了简单起见，我们假定dk=D是constantover时间。与s模型一致，记录的违约时间τ是在记录的违约发生之前，当该公司能够偿还债务时，该公司无法偿还债务的最后一次时间，即τr=inf{nk:sk≤d}，而经济违约时间是最后一次，即τe=sup{t∈[τr-n,τr]:st≥d}。(2011)[6]，刻画了重要量(τr-τe)的分布，记录的违约时间与经济违约时间之间的时间圈。命题1（郭，Jarrow和Larrard(2011)[6])假设S=(St，t≥0)是一个几何谱正的L′evy过程，thenPx(τr-τe∈ds)=z∞d∞xn=1ψ（u,s)un(x)Px(s(n-1)n∈duτr=nN)其中un(x)=Px(τr=nN)和s)=Znp(u,D)(τr-τe∈dsτr=N)Px(HD∈du),其中HD=inf{t:St≤D},P(u,D）表示s从时间t=u开始的分布。假设(St,t≥0)是一个零漂移的几何Br运动，即在风险中性测度下，St=expμwt-μt，wt=N)=dsπps(n-u-s)φμτn-u-s，φ(a)=z∞dte-tcosh(a√2t),则有P(u,D)(τr-τe∈dsτr=N)=dsπps(n-u-s)φ∑n-u-s)的分布。(τr-τe)是反正弦律的混合物。

根据Guo,Jarrow和Lin(2008)[5]的实证研究，在[0,N]的时间区间内，经济与违约之间的时间密度呈“U”形，而这一特征可以用反正弦律很好地捕捉到。3约简模型在本节中我们提出了我们所提出的约简模型。经济违约时间和记录违约时间的区别也被挪用。我们从一个完整的概率空间(Ω，F，F，P)开始。在此概率空间下，我们是givena随机过程(Xt)t≥0，右连续左极限，表示宏观经济环境公因式。我们考虑了K个状态，即1,2,。.，K，其中状态K表示默认状态。设随机过程(St)t≥0表示给定的状态过程，我们假定(St)t≥0是具有随机转移速率的连续时间马尔可夫链，即λi,j(Xs)，其中每个λi,j都是一个定义在R上的有界连续函数。利用这些符号，在描述公因子的随机过程(Xs)S≥0上，转换率是ds的。设λi(Xs)=xk6=iλi,k(Xs),i=1,2,。.这里λi(Xs)t是处于状态i的a在（小）时间间隔内跳到状态d i的概率。这里我们重新定义了给定框架下的经济默认时间和恢复默认时间。首先，我们向我保证，我们必须在某个特定的时间支付一定的费用，即，0=N，N，....,Ni,....对于simp licity，我们假定ni=in。如果在付款日期处于“违约”状态，则其付款将被错过。记录的违约时间τris被定义为τr=inf{ni:sni=K}，而经济违约时间被定义为τe=sup{t≤τr:st6=K}。然后，市场参与者在时间t之前可获得的信息由ft=σ(Xs,Ss,0≤s≤t)提供。为了便于理解，我们还定义了neget=σ(Xs:0≤s≤t)。4经济违约时间τee的分布在本节中，我们重点讨论τrandτe的分布。讨论了两种情况：常数转变速率和随机转变速率。我们从下面的命题开始，它给出了两个随机变量的概率律。命题2对于一个非负整数i,我们有P(τe∈(Ni，Ni+t]g∞)=i-1yj=0put±x(Nj,Nj+1)·put±x(Ni,Ni+t)s,Kexpn-rNi+1Ni+tλK(Xu)duo(1)和p(τr=Ni+1g∞)=i-1yj=0put±x(Nj,Nj+1)·put±x(Ni+1)s，K(2)andP(τr=Ni+1g∞)=i-1yj=0put±x(Nj,）（3）其中对底层进程(Xt)t≥0的条件，PX(s，t)表示状态进程(St)t≥0的转移概率矩阵，即PX(s，t)的(i，j)项表示给定在时间s处于状态i的情况下，在时间t处于状态j的概率。Putx(s，t)是删除PX(s，t)第K行而得到的(k-1)×K矩阵，Putx(s，t)是删除PX(s，t)第K列和第K行而得到的(k-1)×(k-1)矩阵。证明：见附录A。从命题1可以看出τrandτ的概率定律依赖于转移矩阵PX(s，t)。4.1常数转移率在本小节中，我们假定潜在的随机过程是退化的，即对于某个常数c,xu=c,u≥0。设λi,j(c)=λi,jandλi(c)=λi，对于所有i,j和PX(s,t)=P(s,t）。LetA=-λλ1,2λ1,3。.....λ1,kλ2,1-λλ2,3。.....λ2,kλ3,1λ3,2-λ。.........-λk-1λk-1，kλk，1λk，2。...0..λk,k-1-λk然后通过Kolmogorov倒向方程，可以得到p(s，t)s=-ap(s，t)。

（4）求解这些方程，我们得到，t)=exp(A(t-s))。在下面，我们举了一个两种状态的例子。例子1在这个例子中，我们假定系统的状态过程服从正常状态“1”和缺省状态“2”的两态连续时间马尔可夫链，跃迁速率由λ和λ给出，henceA=-λλλ-λ和λ+λiλλ+λλ-λλ+λλ+λe-(λ+λ)te-λ(n-t)。（5）和p(τr=Ni+1)=λλ+λe-(λ+λ)n+λλ+λi-λ+λe-(λ+λ)n+λλ+λ(6)和p(τr-τe>t)=e-λt-e-(λ+λ)nλt1-e-(λ+λ)n。(7)4.2随机转移率我们得到f lowlowing矩阵xax(s)=-λ(Xs)λ1,2(Xs)λ1,3(Xs)。....λ1,K(Xs)λ2,1(Xs)-λ(Xs)λ2,3(Xs)。.....λ2,K(Xs)λ3,1(Xs)λ3,2(Xs)-λ(Xs)。....λ3,K....-λk-1(Xs)λk-1，K(Xs)λK，1(Xs)λK，2(Xs)。...λk,k-1(Xs)-λk(Xs),得到PX(s，t)s=-ax(s)PX(s，t)。（8）与Lando(1998)[9]中的s hown一样，PX(s，t)6=exp ztsax(u)du。因此，我们采用Lando(1998)[9]中AX(s)的特殊结构，假定AX(s)=Bμ(Xs)b-1,其中μ(Xs)表示th e K×K对角矩阵diag(μ(Xs),...,μk-1(Xs),μK(Xs)=0,B表示其列由AX(s)的Keigenvectors组成的K×K矩阵。LetEX(s，t)=diag exp ztsμ(Xu)du，.则在e上可以得到以下引理。引理1我们有Epx(s，t)=BEX(s，t)b-1满足EQ。（8）是期望的转移概率矩阵。证明：利用Lan do(1988)[9]中的类似结论。4.2.1本节中(Xs)s≥0的a-ne跳变模型，我们采用a-ne跳变过程来刻画(Xs)s≥0的动力学性质。正如我们所知，基本的a-ne过程因其可处理性而在信用风险建模方面具有吸引力，例如见du-e和Kan(1996)[4]an d du-e和g arleanu(2001)[3]。假定th atdxt=κ(θ-Xt)dt+σpxtdbt+dJt(9)，其中Btis为标准布朗运动，jt=N(t)xi=1Zi，N(t)为Poisson跳数，强度λ，i.i.d序列{Zi}∞i=1a。均值为γ的指数。其中，R,w是常数，α,β是满足下列条件的函数:Dα(s；R,w）DS=κθβ(s；R,w)+λγβ(s；R,w)1-γβ(s；R,w)Dβ(s；R,w)DS=-κβ(s；R,w)+σβ(s；R,w)(s)+R，α(0；R,w)=0和β(0；R,w)=w。Alleanu(2001)[3]给出了α(S；R,w）和β(S；R,w）的显式f orm。β(s；R,w）的解由β(s；R,w)=1+aebsc+debs给出，其中COE依赖于R和w,a=(d+c)w-1b=d(-κ+2rc)+a(-κc+σ)ac-dc=κ+τ-2Rσ2rd=(1-cw)-κ+σw+p(-κ+σw)-σ-2κw+σw+2R，α(s；R,w）通过替换β(s；R,w）从解的ODE中得到s。s≥0与EQ相同。（9）。我们将e设为μi(Xs)=μIxs，其中μi是i=1,2,的常数。.、K-1和μK=0。尽管computationalmethod在多状态情况下工作，但为了讨论的简单性，我们将e定义为k=2，即a的操作状态为“正常”或“默认”。在我们陈述这一小节的主要结果之前，我们有以下观察:P**x(s，t)=b*ex(s，t)b-1*和P*x(s，t)=b*ex(s，t)b-1其中b*表示删除b的第K行所产生的th e(k-1)×K矩阵，b-1*表示删除b的第K列所产生的K×(k-1)矩阵。当K=2时，p**x(s,t)=mexp ztsμ(Xu)du+mexp ztsμ(Xu)du，其中m=bb(-1)和m=bb(-1)带有bi，j=bi，j，b(-1)ij=b-1i,j。我们有P*X(s,t)=MEXP[RTSμ(Xu)du]+MEXP[RTSμ(Xu)du]，NEXP[RTSμ(Xu)du]+NEXP[RTSμ(Xu)du]其中n=bb(-1)和n=bb(-1)。dλ(Xs)=-Pμ(Xu)-Pμ(Xu)，其中P=bb(-1)和P=bb(-1)。设EI:={e=(e,e,...）。

对于每一个e∈ei,设m(e)=nei-1yj=0mej，且μ(e，s)=1{s∈[Ni+t,Ni+1)}[pμ(Xs)+pμ(Xs)]+1{s∈[Ni,Ni+t)}μei(Xs)+i-1xj=0{s∈[Nj,Nj+1)}μej(Xs)。命题3如果K=2,μi(Xs)=μixs，且μ=0为常数，μ=0,则τee的分布为p(τe∈(Ni,Ni+t])=xe∈ei m(e)i+1yj=0v.J(e)exp[β(N；R(e)，w(e))X](11)，其中Rj、wj、VJA在附录B.1中被修改。τr的分布和τr-τee由P(τr=Ni+1)=P(τe∈(Ni,Ni+1])给出。（12）和p(τr-τe>t)=∞xi=0p(τe∈(Ni,Ni+1-t))。（13）证明：见附录B.1。我们注意到，在进行数值实验时，我们应用了EQ。（13）近似P(τr-τe>t)，其中误差为P(τr-τe>t)-kxi=0P(τe∈(Ni,Ni+1-t])<P(τr>nk+1)→0as k→∞。命题4：若K=2,μi(Xs)=μixs，μ=0,则τe=1ai,jexp（bi,jX）,(14),其中ai+1,j=mai,jexp(α(N,μ,bi,j)),j=1,2。.,2i+1mai,j-2i+1exp(α(N,μ,bi,j-2i+1)),j=2i+1+1,2i+1+2,。.,2i+2bi+1,j=β(N,μ,bi,j),j=1,2,..,2i+1β(N,μ,bi,j-2i+1),j=2i+1+1,2i+1+2,。..,2i+2和A 0,1=nexp[α(n-t,pμ+pμ，0)α(t,μ,β(n-t,pμ+pμ，0))]a0,2=nexp[α(n-t,pμ+pμ，0)α(t,μ,β(n-t,pμ+pμ，0))]b0,1=β(t,μ,β(n-t,pμ+pμ，0))b0,2=β(t,μ，β(n-t,pμ+pμ，0)).证明：见附录B.2.5数值实验和讨论在本节中，我们将发现讨论恒定强度率模型。模型参数可采用极大似然法求解。我们给出了密度函数具有“U形”的条件。最后给出了数值结果，对模型进行了验证。然而，constant intensitymodel虽然具有“U形”属性，但并不能很好地处理实际数据。给出了随机强度模型的数值结果。通过改变参数κ、γ和σ，可以得到“U”形密度泛函扫描。在随机强度率模型中，我们注意到，当平均恢复率K变大时，随机部分的恢复率e变小，从而使随机部分的恢复率e变小，使随机部分的恢复率e变小，从而使随机部分的恢复率e变小，从而使随机部分的恢复率e变小，从而使随机部分的恢复率e变小，从而使随机部分的恢复率e变小，从而使随机部分的恢复率e变小，从而使随机部分的恢复率e变小，从而使随机部分的恢复率e变小。最终，该过程将由确定性部分dxt=κ(θ-xt)dt主导。参数κA表示默认进程的内部因素。当κ1增加时，分布似乎收敛到一定的U形函数，这与图2的结果是一致的。参数γ，即跳跃过程JT，是一个正平衡的平均跳跃大小，可以看作是引起应力的外部事件的严重程度。Weremark在跳跃的符号上总是正的。值越大，经济违约时间和记录时间之间的时间间隔越短。因此，当γ增大时，分布将出现一个激波尾和激波尾，这与图3中的结果一致。最后，非负参数σ控制布朗运动σdw的随机部分，它可以是正的，也可以是负的，它表示外部市场风险。我们认为，当σ增加时，资本结构较好的公司在经济与经济违约之间的时间差距较大，而资本结构较好的公司在经济与经济违约之间的时间差距较短。in cr放松σ对两类公司的影响表现在两个违约时间的时间间隔上，如图4所示。在更经济的意义上，参数σ可以解释为宏观经济或市场状况程度的度量。σ越大，则根据它们的原始状态，它们将默认。

正如Jacobson et al(2011)[8]所表明的那样，在大型银行危机中发现了累积性债务和企业违约的实质性和稳定性影响的stron g证据。此外，当经济增长更快时，违约频率往往会显著增加。直观地说，当市场状况或宏观经济变得更加不确定时，银行或其他贷款人往往不那么谨慎，并收回对投资者的eir贷款，使投资者更容易违约。关于我们的模型的另一个有趣的事实是，在firegrms的“缺省间隙类”的分布中有一个“移动”。比较图4中的firegrst和第三个图，不难看出firegrms的缺省间隙的分布倾向于沿着抛物线向右移动，向上抬起右尾巴，向下压左尾巴。此外，违约缺口较大的类的变化明显大于违约缺口较小的类的变化。这个有趣的现象可以用非常合理的方式来解释。众所周知，企业的资本结构、治理结构等是衡量企业实力的重要指标。特别是，这些属性在启动期或未成熟期往往更易变或变化更大。贝克等人。Ivashina和Scharfstein(2004)[1]以及Ivashina和Scharfstein(2008)[7]认为，在危机期间，拥有更好的治理结构和资本结构的公司更有可能从违约中幸存下来。初创企业或开发较少的企业（低级别企业）系统上比那些较大和成熟的企业（高级别企业）有更大的违约缺口。较低阶层的优秀候选人，即那些没有成熟，但治理方式相对较好或资本结构合理的候选人，将比同阶层的同行更容易获得资金或在危机中贷款。我们期待每个班都有好的候选人。由于资本结构和治理方式的方差在下层中较大，因此下层的变动幅度较大。5.1恒定强度在这一部分，我们给出了一些模型参数的估计方法。然后，我们将Our提出的模型与从Guo，Jarrow和Lin(2008)[5]中提取的实际数据进行了比较。对于实际数据，表1报告了经济日期和记录默认日期之间的时间间隔，N=180天，摘自Guo，Jarrow和Lin(2008)[5]。从表中可以看出，经济时间与记录的缺省时间之间的时间密度函数是一个“U”形。对于我们的模型，我们假设状态过程遵循如例1所示的两状态连续时间马尔可夫链。的确，来自情商。（7）我们观察到经济时间与记录的缺省时间之间的时间间隔的密度函数总是凸的。事实上，只要满足以下条件，就可以很容易地表明引理2密度函数具有“U形”行为:(i)e-(λ+λ)N/2λ-λ≤0(i)0≤λ-λ。我们指出，如果N很大，为了估计模型参数，我们采用最大对数似然法估计了所需参数λ和λ（见附录C)，由此得到了两个参数的估计:λ=0.3631和λ=0.0238。我们还给出了经济与违约时间之间的时间密度函数，并与所提出的模型（例1）和实际数据进行了比较。我们注意到，两状态常数速率m odel不能很好地反映realdata，尽管它可以捕捉到分布的重要“U形属性”。5.2随机强度在这个例子中，我们假设firemrm(St)t≥0的状态过程遵循一个两状态连续时间马尔可夫链，其随机转移速率取决于底层过程(Xt)t≥0，如第3.2.1节所述。

通过设置μ=-0.52，μ=0，θ=1，λ=0.2,x=1，N=180，表1：经济数据和记录的违约数据之间的时间18](18，36](36，54]（54,72](72,90]公司数目24 13 6 5 3天（90,108]（108,126]（126,144](144,162]（162,18 0]公司数量1 4 4 2 110 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200000050.10.150.20.250.30.35天概率（建议的模型）频率（实际数据）图1：两种状态常数利率模型与实际数据的比较0 50 100 150 200000050.10.150.20.250.30.35时间概率κ=1κ=5κ.图2：经济违约与记录违约之间的时间间隔n与σ=5,γ=0.1和di-erentκ.和b=-0.9992-0.70710.0400-0.7071和改变参数κ、γ和σ的值，我们计算记录违约与经济违约之间时间间隔的密度函数，如图2、3和4所示。通过设置上述参数，在itial状态为轴给定byAX(0)=-0.5000 0.50000.0200-0.0200。图3表明，随着跳变大小的增加，w hich意味着公共因子从更大的跳变开始，两个违约时间的间隔趋于减少。我们在图4中证明，随着公共因子波动率的减少，违约时间的间隔增加。对于两种状态的随机转移率模型，我们在图5中再次给出了经济违约和记录违约之间的时间间隔的分布。We0 50 100 150 20000.10.20.30.40.50.60.7time概率γ=0.1γ=1γ=10图3:κ=1,σ=5和di erentγ之间的时间间隔n。假设参数由μ=-0.5120,μ=0,θ=1,λ=0.2,κ=1,σ=9,γ=3.6,x=1,n=180和b=-0.9997-0.70710.0246-0.7071给出，其中给定的轴的初始状态为byAX(0)=-0.5000 0.50000.0120-0.0120。通过对κ、σ和γ进行网格搜索获得上述参数集目标是使误差的均方最小化。0 50 100 150 200 000050.10 150.20 250.30.35时间概率σ=1σ=5σ=10图4：经济违约和记录违约之间的时间间隔关系式n,κ=1,γ=0.1和记录违约之间的时间间隔关系式σ.6结论：本文提出了一个简化模型来表征经济违约和记录违约时间。我们假设状态过程遵循连续的TimeMarkov链，具有取决于宏观经济公因式的随机转移速率。导出了τe、τr依赖于随机转移矩阵PX(s，t)的概率规律。我们也给出了PX(s，t)在某些情况下的评价。本文研究了在转换率不变的情况下，经济违约时间和有记录违约时间的概率分布，以及潜在公因子f在基本情况下的概率分布。数值实验表明，本文提出的模型能够捕捉到经验数据的特征，两态常率模型能够捕捉到“U”形的p波，但数据不能反映模型的特征。对于我们以后的研究，我们将考虑一个多态常速率模型。我们期望额外状态的引入可以帮助改进模型，从而更好地筛选真实数据。对于两态随机0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 000050.10.150.20 250.30.35天概率（提出的模型）频率（真实数据）图5：经济违约与记录违约之间的时间关系具有随机强度。我们将在今后的研究中发展模型参数的估计方法。7附录7.1附录A（命题2的证明）我们注意到EQ。（2）源于情商。（1）通过使用P(τr=Ni+1G∞)=P(τe∈(Ni,Ni+1]G∞)，公式（3）由公式（1）通过使用P(τr-τe>tG∞)=∞xi=0P(τe∈(Ni,Ni+1t]G∞)，公式（1）由byP(τe∈(Ni,Ni+t]G∞)=k-1xni=1P(Sn6=K,...）。

,SnI-16=K,SnI=ni G∞）P(τe∈(ni,ni+t]SnI=ni,G∞）=K-1xNi=1K-1xNi-1=1。..K-1xn=1p(Sn=n,..,Sni-1=Ni-1,Sni=ni G∞)×Px(ni,ni+t)ni,Kexpn-RNi+1ni+tλK(Xu)duo=K-1xNi=1K-1xNi-1=1。..k-1xn=1px(N，N)S,N。...PX(Ni-1,Ni)Ni-1,niPX(Ni,Ni+t)Ni,k×expn-rNi+1Ni+tλk(Xu)duo=i-1yj=0p**x(Nj,Nj+1)·p*x(Ni,Ni+t)s,kexpn-rNi+1Ni+tλk(Xu)duo.7.2附录B.1（命题3的证明）证明:eq.s(12)和（13）是明显的，可以显示eq。（11）。现在wehaveP(τe∈(Ni,Ni+t]g∞)=I-1YJ=0mexp“ZnJ+1 njμ(Xu)du#+mexp”ZnJ+1 njμ(Xu)du#！×nexp Zni+TniTM(Xu)du+nexp Zni+TniTM(Xu)du×exp Zni+1Ni+Tpμ(Xu)+Pμ(Xu)du=xe∈Ei M(e)exp Zni+1 nμ(e，u)du。henceP(τe∈(Ni,Ni+t])=xe∈Ei M(e)exp Zni+1 nμ(e，u)du）杜。（15）对于给定的e∈Ei,letri+1(e)=Pμ+PμRJ(e)=μEJ,j=0,1,。.，Iwi+1(e)=0wi(e)=β(n-t；Ri+1(e)，wi+1(e))wi-1(e)=β(t；Ri(e)，wi(e))wj(e)=β(N；rj+1(e)，wj+1(e))，j=0，1，..，i-2vi+1(e)=exp[α(n-t；Ri+1(e)，wi+1(e))]vi(e)=exp[α(t；Ri(e)，wi(e))]vj(e)=exp[α(N；Rj(e)，wj(e))]，j=0，1，。然后我们可以将μ(e，s)=1{s∈[Ni+t,Ni+1)}(Ri+1(e)Xs)+1{s∈[Ni,Ni+t)}(Ri(e)Xs)+I-1xj=0{s∈[Nj,Nj+1)}(Rj(e)Xs)改写为μ(e，s)=1{s∈[Nj,Nj+1)}。（10）我们Obtaine exp[rni+1 nμ(e,u)du]=e exp[rni+tnμ(e,u)du]e(exp[rni+1ni+tri+1e)Xudu]GNi+t)=vi+1e)e exp[rni+tnμ(e,u)du]e(exp[rni+tnμ(e,u)du]e(exp[rni+tnμ(e,u)du]e(exp[rni+tnμ(e,u)du]GNi)=vi+1e)vi(e)e exp[rni+xni+t]）du]exp[wi-1(e)xNi]=vi+1(e)vi(e)e exp[rni-1nμ(e,u)du]e(exp[rnini-1ri-1e)Xudu+wi-1e)xni]gni-1)=vi+1e)vi-1e)e exp[rni-1e)xni-1]=(qi+1j=0vj(e))exp[β(n；R(e)，w(e))x]（通过迭代）因此eq。（11）以下7.3附录B.2（命题4的证明）证明：我们用命题3的证明，对于i≥1,P(τe∈(Ni,Ni+t)FN)=mexprnμ(Xu)dui+mexprnμ(Xu)dui-1(XN,t)Hi(X，t)=eh mexprnμ(Xu)dui+mexprnμ(Xu)dui-1(XN,t)i(16),我们得到(X，t)=a0,1exp(b0,1X)+a0,2exp(X)b0,2X)组合方程。（16）和（10）,命题4如下。7.4附录CLetδ=18天，Ti=δi,i=0,1,。...,10。设经济数据和记录的缺省数据在区间(Ti-1,ti]内的次数为niden，则给出对数似然函数byL(λ,λ)=xi=1ni lnh(e-λti-1-e-λti)-e-(λ+λ)N(eλti-1-eλti)i-lnh1-e-(λ+λ)ni。设l(λ,λ)λ=0l(λ,λ)λ=0,得到λ和λ的两个非线性方程。数值求解这些方程得到λ=0.3631和λ=0.0238。确认：部分由GRF赠款支持的研究，香港大学物理研究基金及香港大学洪兴英物理研究基金。参考文献[1]J.Baeka,J.Kang和K.Park，公司g.政府和财务v.alue：来自韩国的证据，金融经济学杂志71（2004）265v31。[2]F.Black和M.Scholes,期权和公司负债的定价，政治E.conomy,81（3）,637-654,1973。[3]D.DuèE和N.Garleanu,抵押债务的风险和估值，金融分析师杂志，57(1)，41-59,2001。[4]D.DuèE和R.Kan,利率的收益率因子模型，数学金融，6(4),379-406,l996。[5]X.Guo,R.Jarrow和H.Lin,不良债务价格和回收率估计，衍生品研究综述。11（3）,171-204,2008。[6]X.Guo,R.Jarrow,A.de Larrard,Economic default time and the Arcsinelaw,工作文件，2011年，可查阅：http://arxiv.org/abs/1012.0843。[7]V.Ivashina和D.Scharfstein,Bank Lending in the Financial Crisis of 2008,Journal of Financial Economics,97,319-338,2010。[8]T.Jacobson,J.Linde和K.Roszbach,Federal Reserve Genergest of Federal Reserve,I-120,1998.[10]R.

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