资产支持贷款违约概率的含义

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摘要翻译：
作者检验了资产支持贷款违约概率的概念。与无担保贷款相反，违约概率可以定义为借款人未能支付所需款项的可能性，或丧失抵押品赎回权时抵押品价值不足的可能性。假设预期损失在两个定义下都是相同的，这意味着对应的违约损失率定义对。行业对资产支持贷款违约概率的处理似乎不一致地混合了这两种定义。作者提出了一种资产支持贷款的数学处理方法，它在一个框架中一致地应用每一种定义，以产生相同的预期损失，并允许在两个框架之间进行转换。
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英文标题：
《The Meaning of Probability of Default for Asset-backed Loans》
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作者：
David Chisholm, Graham Andersen
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最新提交年份：
2013
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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英文摘要：
  The authors examine the concept of probability of default for asset-backed loans. In contrast to unsecured loans it is shown that probability of default can be defined as either a measure of the likelihood of the borrower failing to make required payments, or as the likelihood of an insufficiency of collateral value on foreclosure. Assuming expected loss is identical under either definition, this implies a corresponding pair of definitions for loss given default. Industry treatment of probability of default for asset-backed loans appears to inconsistently blend the two types of definition.   The authors develop a mathematical treatment of asset-backed loans which consistently applies each type of definition in a framework to produce the same expected loss and allows translation between the two frameworks.
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关键词：违约概率 资产支持 Mathematical Applications Quantitative

资产违约概率的含义--BakedLoansGraham Andersen*,David Chisholm 2013年6月28日+61 438 696 600；graham.andersen@morgij.com.au！+61 438 562 359；Aumorgij Pty LtdL3,10 Bond StSydney Australia 2000摘要作者研究了资产担保贷款违约概率的概念。与无担保贷款相反，违约概率可以通过借款人未能支付所需款项的可能性或丧失抵押品赎回权的抵押品价值的可能性来确定。假设预期损失在任何一种情况下都是相同的，这意味着对违约损失率有一对对应的要求。行业对资产支持贷款违约概率的处理似乎不一致地混合了两种类型的确认。作者开发了一种资产支持贷款的数学处理方法，该方法在一个框架中一致地应用每种类型的确认，以产生相同的预期损失，并允许在两个框架之间进行转换。1导言信用风险模型通常根据违约概率(PD)和给定违约率(LGD)来分析风险。这两个数量（在这种情况下）都是预测性的（作为对描述性的）统计数量，代表对违约和损失的未来不确定预期。具体来说，PD是给定贷款发生违约的概率，LGD是贷款人在贷款发生违约时可能发生的损失（或损失的期望值）。然后，PD和LGD的乘积被定义为预期损失(EL)，它代表贷款人损失的期望值，同时考虑了贷款发生违约的可能性和发生违约时可能发生的损失。PD、LGD和EL都可以在单个贷款级别或一组贷款级别上进行定义。可以汇总单个贷款数量以得出池结果。根据PD和LGD的定义和量化方式，由此产生的EL可用于多种目的，包括以下目的。oEL可作为最低资本或信贷支持要求，例如在信用评级或监管应用中。oEL可作为实际预测损失输入现金流模型和价格模型。oEL可作为绩效监控目的的风险客观度量。例如，记录在案的EL阈值可能被Alender用作契约。在无担保贷款中，PD和LGD的含义往往是显而易见的，没有争议的。PD是指借款人不时无法偿还贷款的可能性（最重要的是支付任何所需的本金和利息），而LGD是指如果发生这种情况，未偿还贷款平衡与收回之间的差额。通常，预期的恢复是有限的或甚至为零。这种简单性反映了这样一个事实，即只有一个主要的还款来源，即借款人的现金短缺。虽然在实践中，贷款人可能拥有担保，比如说通常对借款人的资产，但对无担保信贷来说，公理化的是，这些资产的主要感知价值是它们向借款人提供可用于偿还债务的现金的能力，而这些资产的清算价值很少或没有前瞻性的信任。然而，在资产支持或担保贷款中，这变得更加复杂，因为现在有两个主要的还款来源，借款人的现金和担保资产的价值。一般来说，贷款人依赖于借款人的toPD是通过确定一个概率来实现的。LGD（以及EL）可以表示为美元价值，也可以表示为贷款余额的百分比。这种区别并不总是重要的，我们将在必要时在下面澄清。详细说明定期本金和利息支付。

如果借款人未能及时付款，那么贷款人可以要求出售担保资产，并将所得款项用于未偿贷款余额（包括回收费用）。与无担保贷款相比，有担保贷款通常公理的是，资产抵押贷款具有某种意义的清算价值，独立于借款人定期偿还的能力。在本文中，我们提出了一个分析有担保贷款风险的数学框架。1.1论文结构在第二节中，我们考察了资产抵押贷款违约概率的含义，重点讨论了违约和回收过程的实用性。我们证明了Default和PD可以有两种非常直接的含义，一种是基于借款人对付款义务的了解，另一种是基于回收时securityasset价值的了解。在第二节中，我们指出了现有的信用风险模型对资产担保贷款的处理似乎没有一致地处理PD、LGD和EL,而是混合了第二节中所讨论的两种情况；在第三节中，我们建立了一个一致的数学框架来分析资产担保贷款的PD、LGD和EL。该框架允许选择PD（和相应的LGD）作为EL的量化基础，并进一步允许在两个量化之间进行转换，作为相同的量化OFEL的基础。该框架的基础不是将LGD视为一个单一的、完整的数量（在现有模型中是典型的），而是基于证券资产价值不确定性的分布。在这个框架中，EL被定义为贷款价值比(LVR)的函数。在第四节中，我们发展了反过程，将EL作为FLVR的函数，然后使用我们的数学框架来推导安全资产价值的隐含分布。在第4节，我们举了一些数字例子来说明已开发框架的应用。LVR通常被定义为贷款余额除以证券资产价值的评估值。应用时评估的LVR是资产支持贷款的基本风险指标。1.2为了清楚起见，为了本文的目的，我们对无担保贷款和资产支持贷款进行了分类。无担保贷款是指贷款人除了借款人的现金以外没有任何有意义的追索权的贷款。资产支持贷款是指贷款人对借款人的现金拥有主要追索权，但对贷款人评估为具有特定价值的特定资产拥有额外追索权的贷款。如果借款人未能履行贷款规定的还款义务，贷款人可能会要求清算资产，并将所得款项用于偿还贷款。可以说，资产抵押贷款最明显和最常见的例子是以住宅物业抵押担保的贷款，并有定期本金和利息偿还要求。因此，在本文中，我们将使用这样的贷款作为一般例子。2资产担保贷款的“违约”是什么2.1无担保贷款的PD和LGD在无担保贷款中，借款人通常有义务在特定时间支付一定的本金和利息。如果未采取补救措施，则被视为违约事件，并触发贷款人采取恢复行动的权利。因此，评估无担保贷款是否违约相对简单。一个简单的问题是确定借款人是否没有支付所需的款项，以及任何一段时间已经过了，而没有适当的补救措施。此外，对给定贷款样本的历史PD进行筛选相对简单。一个简单的确定是否每笔贷款都像上面那样违约，并得出违约贷款的比例。

然后，这个历史PD可以用作确定前瞻性PD的客观性定位点。同样，为同一样本导出历史LGD也很简单。一个Simplyteans接受每一笔已经违约的贷款（如上文所述），并汇总每笔贷款的ultimatelyunrecovered余额。对于PD而言，这个历史的LGD可以作为决定前瞻性LGD的客观起点。显然，中间情况在实践中是可能的，但这种复杂性对本文来说并不重要。2.2资产支持贷款的违约由于其双重追索权结构，资产支持贷款的违约概念更加复杂。违约贷款的典型事件顺序如下：1.在发起后的某个时候，借款人停止按时足额支付他们所需的款项。我们将此定义为“初始欠款”；2.在随后的某个时刻，借款人超过了某些规定的欠款阈值，并成为贷款人有权强制执行他们的担保并通过清算担保资产开始追偿行动的最大欠款。我们认为这超过了“拖欠阈值”；3。在随后的某一点上，证券财产被出售，并将程序应用于未偿余额。如果所得款项是用来弥补这一余额的，贷款人不会有任何损失。如果收益不兑现，贷款人就会遭受损失。我们将出售担保财产以偿还贷款余额的过程定义为“清算”，无论贷款是否拖欠。请注意，清算可以由贷款人或借款人进行，尽管在后一种情况下，如果贷款到期，贷款人通常会密切监控这一过程。我们现在可以问这些事件中的哪一个代表违约。很少有贷款人会认为最初的欠款是贷款违约的点，因为借款人通常保留偿还欠款的明确权利，最初欠款的显著比例确实可以偿还。贷款人通常将超过拖欠阈值（通常为90天）称为违约，因为达到这一拖欠水平的贷款中有很大一部分将进行清算。清算带来了复杂性，这是资产支持贷款的特定事件。如果清算导致损失，那么贷款人肯定会同意违约发生。然而，如果没有发生损失，贷款人是否会看到发生了adefault就不太清楚了。特别是，如果在贷款人的认可和容忍下，借款人成功地进行了清算，贷款人可以在事后将其简单地视为正常的出售、偿还和清偿。与此相关的是，当借款人迁居时，许多抵押贷款都是通过出售房产来提前偿还的，而没有不良信贷行为。最后，我们举了一些不寻常但可能的情况，这些情况使违约进一步复杂化：如果损失已经得到补偿，贷款人随后可能会要求借款人进一步赔偿。通常，这种进一步赔偿是最低的或零的，并且不包括任何损失。在我们的分析中，我们将不考虑这种可能性。o借款人不进入初始欠款，而是自愿以低于未偿贷款余额的价格出售担保财产（我们认为这是一种清算形式）。他们偿还部分贷款余额，并宣布破产，使贷款人蒙受损失；o借款人获得一笔允许利息资本化的贷款，并不要求其付款，但须充分履行其他约定。

这一契约被违反，担保财产以允许偿还贷款余额的价格出售。根据作者的经验，从信用分析的角度来看，典型的（尽管不是普遍的）实际处理方法如下:o贷款人的贷款服务区域通过参考拖欠天数来描述初始拖欠和超过拖欠阈值的贷款；o贷款人的资本管理区域将初始拖欠的贷款描述为“拖欠”，将超过拖欠阈值的贷款描述为“违约”；o当贷款人向外部当事人提供关于历史违约的信息时，他们提供了清算时发生损失的所有贷款的记录，但不适用超过欠款门槛但清算后未发生损失的贷款；贷款人将提供关于欠款水平的历史定期数据，包括对应于拖欠阈值的水平，而不区分哪一个最终导致了实际损失。因此，概括地说，很明显有两种潜在的违约情况：o“拖欠违约”是指借款人无法从自己的现金中支付定期还款义务，并超过了拖欠阈值；o“清算违约”是指清算证券财产的收益用于支付未偿贷款余额。在所有其他条件相同的情况下，显然PD通常应根据违约确认的选择而定量。特别是，清盘违约的概率很大程度上取决于LVR，这似乎是显而易见的。LVR越高，贷款人对损失的防范能力就越低，因此发生损失的概率就越高。另一方面，似乎没有明显的理由为什么拖欠的概率应该通常取决于LVR作为一个主要变量，sinceLVR似乎与借款人的现金流状况没有根本联系。关于LVR作为一个主要变量的定性是至关重要的。作者认为欠费缺省可能作为一个次要变量与LVR相关。例如，可用度（以借款人的支付能力除以其债务来衡量）显然与贷款规模相关，而贷款规模显然与LVR相关。问题是，风险模型应该通过服务能力来捕捉这一点。鉴于在两种情况下EL在数量上应该是相同的（因为我们假设的是相同的事件序列），每个版本的PD都将有一个对应版本的LGD。3现有的PD、LGD和ELD的处理方法主要公开披露的用于分析基于PD、LGD和DEL的资产支持贷款的风险的详细模型是主要信用评级机构（“CRA”）在其各种评级标准中披露的:o标准普尔[1]；o穆迪[2]；根据作者的经验，投资者等市场参与者使用的资产支持贷款的大多数信用风险模型与CRA模型遵循相同的基本结构，并且在数量上类似，因此CRA模型可以被视为整体市场方法的广泛代表。因此，我们在下面研究ECRA模型如何分析资产支持贷款，基于他们目前公布的住房抵押贷款支持证券的评级标准。为了本文的目的，我们将只考察CRA方法在发展它们作为LVR函数的基本EL,PD和LGD方面。

特别是，我们将不考虑它们对以下方面的处理：o调整借款人、贷款或担保财产的特定特征；o调整取消抵押品赎回权的费用；o对贷款集中程度或贷款人身份等事项的集合级调整；o调整贷款执行情况；或者o调整现金流量分析。作者承认，上述指标通常是信用分析的重要因素，尤其是信用评级的重要因素，然而，它们与本文的目的无关，本文侧重于“基础”处理的发展。作为一个自变量，因此对LVR的依赖将构成风险的“双重计算”。正如本文末尾所指出的，我们也接受可能有特定的情况可以引入对LVR的依赖。3.1 PDStandard&Poor\'s和Fitch将“止赎频率”作为违约率的衡量标准，而穆迪则将“违约频率”作为违约率的衡量标准。在每种情况下，从用法来看，度量值都对应于违约概率，为了简单起见，我们将每种情况称为PD。图1显示了AAA（标准普尔）、AAA（穆迪）和AAA（惠誉）评级级别的基本PD（基于每个CRA当前发布的标准）。o在标准普尔的情况下，基本PD表示10%的基准PD乘以调整LVR基准PD的修正指数函数。我们将LVR范围终止在110%，其中基本PD接近100%；o在穆迪的情况下，基本PD表示各种LVR的列表PD，并为中间LVR插值。穆迪没有明确指出PD应该被插值，但他们标准中的图表表明情况是这样的。我们只显示了Moodys公布其基本PD的LVR范围；o在惠誉的情况下，基本PD表示各种LVR的列表PD。FITCHSPECI在LVR频段中不插值PD。我们将LVRR范围终止在95%，惠誉指出PD是根据具体情况确定的。图1两种不同的PD制度看起来大致一致。在每种情况下，PDI都强烈依赖于LVR，这显然意味着使用PD的清算违约。特别是，我们注意到每条曲线不仅有正斜率，而且通常有正曲率，因此PD的增加随着LVR的增加而增加。3.2 CRAs的LGDEach指的是“损失严重程度”，作为违约情况下可能损失的度量。在每种情况下，从用法可以清楚地看出，“损失严重性”对应于损失给定的违约，为了简单起见，我们将其称为LGD.每个CRA都指定基准市场价值下降（“MVD”）作为证券财产价值从其评估价值到清算时实际出售收益的预期下降百分比。LGD然后计算为未偿还贷款馀额与清盘所得销售收益之间的差额（如有的话）。在此基础上，我们有:LGD(L，M)=最大ldgmin,(l-m-1)L(1)LVRM为MVD,根据负M表示属性值的减少的符号约定，gdmini是一个定义的最小值LGDLGD(L，M）是LGD作为LVR和MVD的函数图2显示了基于每个CRA当前公布的标准的基本LGD,以及上面规定的samerating水平和LVR范围。o以标准普尔为例，基本LGD是基于45%的MVD和0%的最小LGD；o在穆迪的案例中，基本LGD是基于44.5%的MVD和0%的最小LGD；o在惠誉的案例中，基本LGD是基于47%的MVD和25%的最小LGD。至于PD，评级机构似乎大致一致，主要是惠誉采用非零的最小LGD。评级机构增加了由此产生的LGD并分配了止赎成本，但为了我们的分析，我们忽略了这一复杂性。

虽然这些成本在数字上是有意义的，但它们可以作为对“基础”LGD的简单调整应用到任何框架中。我们注意到LVR必须是非零的。在实践中，这简单地等同于假设贷款有正余额，而证券财产的价值是非负值。图23.3 EL计算CRAs将PD和LGD的乘积称为“信用增强”、“估计损失”和“估计总损失”。为了简单起见，我们将其称为EL。图3显示了CRAs的EL。至于PD和LGD,Di-erent体系似乎彼此大致一致。特别是，EL保留了上面提到的PD的正曲率。3.4如上所述，在标准普尔和穆迪的情况下，总是有一个LGD为零的LVRbower。这意味着存在PD不为零，但LGD和EL为零的情况。这显然意味着使用PD的拖欠违约确认，因为该模型考虑的是可能违约但在清算时不会产生任何损失的贷款。在惠誉的案例中，这一点不太清楚（由于最小LGD不为零），然而，他们的模型的结构相似性表明了类似的结论。总之，现有的方法似乎在结构上不一致，因为它们似乎采用了与清算违约确认一致的基本PD值，但以与拖欠违约确认一致的方式应用这些评估来生成EL。作者承认，这种明显的结构不一致并不一定意味着各种CRA标准产生的实际结果不适用于它们的目的。特别是:o上述基本PD、LGD和EL方法只是总体评级过程的一个有限组成部分；o每一项CRA都纳入了一定程度的人力监督，以确保适当的实际结果；而且o市场参与者广泛和长期使用信用评级，强烈表明市场参与者认为评级机构对EL的做法事实上至少是合理的。其他非公共信贷模型的相似性进一步支持了这一点。然而，我们建议，一个以结构一致的方式处理资产证券化贷款违约的信用风险模型将是一种改进，并可能对信用风险有更大的洞察力。我们再次重申作者的个人经验，其他市场参与者使用的其他非公开方法也遵循同样的方法，并注意上述部分不应被解释为单独挑出CRAs处理方法是不常用的。4资产支持贷款的一致数学风险框架我们现在提出一个资产支持贷款的数学风险框架，其前提是该框架应基于违约确认的选择，并与选定的确认保持一致。我们进一步证明了Etherious Default或清算Default可以用来创建这样一个框架，每个框架中的elde都是相同的。4.1拖欠Default框架我们从拖欠Default框架开始。我们假设PD独立于LVR，因此对于任何特定的贷款，除了LVR，PD是一个常数，PA。对于LGD，我们采用表示MVD的LGD interms的一般方法。LGD(L，M)=max ldgmin,(l-m-1)L(2)，但是，LGD的这种确认必然意味着在一定的LVR下LGD为零，因此必然意味着欠费默认确认。虽然这在拖欠债务框架下没有明显的问题，但它将阻止相应的清算违约框架的发展。因此，我们在引入amore现实模型的同时，对LGD的表达式进行了修改，将MVD视为一个单值变量。

贷款人只需为MVD选择SEA值，这与他们希望免受的经济压力水平相对应。相反，我们可以考虑现实中的楼价是波动的，可以不时上升或下降。根据这种观点，MVD不是单值的，而是服从一个分布，给出了房地产价格在感兴趣的范围内迁移到任何给定值的概率。基于这种动机，我们将MVD定义为一个概率分布，而不是单个参数，其中P(M)是MVD的概率密度函数。也就是，MVD在M和M+δM之间的概率由p(M，M+δM)=zm+δmmp(M)dM(3)具体来说，P(M)表示贷款是否拖欠或违约，在贷款的默认范围内MVD的分布。现在我们可以将LGD表示为:LGDA(L)=zl-1-1l-m-1 L P(M)dM)(4)这里，我们将单参数LGD，乘以响应MVD的概率，并从-1（安全属性失去所有价值）积分到L-1是单参数LGD达到零的点。很明显，这一确认与拖欠默认确认是一致的，因为它只取决于LVR和我们假设的MVD分布。具体来说，这个LGD是当前贷款余额和证券财产价值之间缺口的预期值，无论贷款是否拖欠或违约。现在我们可以简单地将EL定义为这个LGD乘以PA:EL(L)=Pazl-1-1L-M-1 L P(M)dM(5)4.2清算违约框架。我们现在可以开发一个清算违约框架。为此，我们像上面那样定义EL，然后询问损失发生的概率，即基于清算违约的PD。在此框架中，将发生损失（如L>1-M（即证券财产价值小于贷款余额），并且存在欠费（即借款人无法履行偿还义务）。我们计算如下:Pl(L)=Pazl-1-1P(M)dM(6)这只是欠款违约PD，乘以M<L-1的总概率。现在我们可以简单地得出我们的清算违约LGD，作为EL除以该PD。LGDL(L)=RL-1-1L-M-1 L P(M)DMRL-1-1P(M)dM(7)我们注意到，其中Pl(L)为零，所以LGDL，因为它的分母为零。这不仅仅是一个数学上的人工制品，而是代表了这样一个事实，即在发生损失的情况下，LGDLS被定义为类似的损失，因此在没有发生损失的情况下，它的价值是没有意义的。在这些情况下，我们将采用将LGDLS显示为零的惯例。在这里和其他地方，人们可以争辩说，积分的下界和P(M)的定义域可以延伸到-1以上，对应于负的e-属性价值，意味着交易成本大于销售收入。这个问题对方法没有任何根本性的影响。4.3FrameworksIn摘要，我们给出了我们的EL方程，它对两个框架是相同的，然后在每个框架中有PD和LGD。EL(L)=Pazl-1-1L-M-1 L P(M)dM(8)Pa=常数(9)LGDa(L)=Zl-1-1L-M-1 L P(M)dM)(10)Pl(L)=Pazl-1-1P(M)dM(11)LGDl(L)=Rl-1-1L-M-1 L P(M)DMRL-1-1P(M)dM(12)5从P(M)导出的EL的数值例子我们在下面给出一些关于P(M)的简单情况的EL,PD和LGD的数值例子。在所有示例中，我们假定拖欠违约概率为7.5%。5.1单值MVD示例集是基于ASINGLE值MVD的100%可能性的“平凡”假设。p(M)=δ(m-m)(13)，其中M是单值MVD，δ是Dirac delta函数。请注意，这是在现有CRA方法下显式做出的相同假设，然而，我们正在将该假设应用到我们的新方法中。因此，结果将说明这一方法，但不应期望产生有用或现实的结果。

图4显示了单值MVD为25%、35%和45%时的EL。这也给出了LGDa的形状，因为这与EL成比例，Paas是比例的保证。很明显，这些曲线与相应的CRA曲线不相容，因为它们具有强烈的负曲率，而不是CRA曲线的正曲率。如上所述，事实上对CRA曲线合理性的认识强烈表明，这些单值MVD曲线并不是风险的现实表示。正如上面提到的，这是不足为奇的，给出了所使用的假设。图5和6显示了相同情况下的P Dland lgdl，由于P dli只是一个阶跃函数，lgdl复制了EL曲线的形状。图4图5图65.2正态分布MVD考虑了单值MVD并发现结果不现实，我们现在希望考虑使用一个更现实的分布。作为一个例子，我们将把P(M)看作一个正态分布。作者并不以任何潜在的财产价值变化理论或模型为基础，并承认这样的模型或理论可能产生非常直接的分配。我们进一步强调，我们的方法可以实现任何合理的分布。然而，我们选择的例子是基于以下因素:o正态分布是一个广为人知的分布，具有广泛的适用性；o假定中心分布在直觉上似乎是合理的；认为房价受到大量独立的中心因素的影响似乎直觉上是合理的，提出了中心极限定理的应用。具体地，我们假设M在零附近正态分布，有一个特定的标准偏差，SM.P(M)=N orm(M,M,SM)SM√2πe-m2sm(14)图7显示了标准偏差为10%、20%和30%时的P(M)。图7图8、9和10显示了上述每个标准偏差的EL,P Dland LGDL曲线。图8中的EL曲线虽然与CRA曲线不同，但更一致，特别是它们显示了主LVR区Cracures的显著正曲率特性。然而，在很高的LVR（大约120%）时，曲率变为负值。这是有直观意义的，因为在这个区域，我们在清算时肯定这部分风险不再增加。其他一些重要的特征是:oEL对于所有正LVR都是非零的，尽管在低LVR时非常小，这表明正态分布的MVD有一些小的概率甚至100%下降；oMVD标准差越低，EL曲线的曲率越高；oEL在非常高和非常低的LVR时收敛。图9中的P DL曲线只是累加正态分布乘以旁路（在我们的例子中是7.50%）。根据直觉，清算违约PD依赖于LVR，然而，与CRA方法相反，它的上限是康斯坦帕。我们还观察到所有的曲线在LVR为100%时交叉，正如图8图9假设MVD为0%所期望的那样。我们澄清这不应该意味着我们的方法有一个固有的PDCAP。Pais只是LVR和MVD的常量，但可以根据其他特征如文件类型、借款人收入或欠款状况自由变化。例如，每一组特征都将产生上述PDl曲线的直接族（无论是显式还是隐式）。图10中的LDGlcurves不太直观，尤其是因为它们与LVR不是单调的。在较高的LVR下，PLAttays为常量Pa，LGD只是随LVR增加，接近EL曲线的形状。这是直观的。在较低的LVR下，EL和Pl都接近零，但它们的比率（LGDl）增加。这是说，在非常低的LVR下，损失的可能性变得非常小，但在损失的情况下发生的损失变得更加重要。

事实上，当LVR接近零时，LGDL接近50%。在很低的LVR下，正态分布的斜率接近于零。这意味着单值LGD(=(l-m-1)/L)和P(M)的乘积与单值LGD成正比。这个函数是三角形，从zeroLVR的100%到我们计算LGD的LVR的0%，所以它的面积与（proat）P(M)的面积之比接近50%。我们对LGDLI不是特别直观的事实并不感到惊讶，因为它让我们觉得是一种奇怪的风险度量，只在发生非零损失（无论多么小）的情况下看LGD，而忽略了没有发生损失的情况。这使得零损失和任意小的非零损失之间有了一个有问题的区别。6从ELREPOVE导出P(M)，我们考虑了指定P(M)（和Pa）和导出ELand其他风险度量的过程。相反的过程显然是有趣的，考虑特定的EL并推导出一个隐含的P(M)假设给定的pa。给定我们的P(M)公式的形式，通常没有办法解析地处理这个问题。在实际情况中，求取P(M)的连续离散值来得到目标E(L)函数是一件简单的事情。附录详细列出了用于以下示例的方法。6.1从P(M)导出的EL示例在我们的示例中，我们考虑一个简单的E(L)函数，该函数旨在捕获上述标准方法的本质。具体而言，我们将E(L)定义为：EL(L)=最小100%,0.015×L×最大0,L+0.4-1 L(15)这表示:oPD强烈依赖于LVR，表示为LVR的幂函数，上限为100%；和o基于假设MVD为40%的单值LGD，如上文所述。图11显示了假设的EL曲线。在140%LVR的突破是PDREAHS100%和上限。在我们的分析中，我们假设LVR和MVD的增量为1%，图12显示了数值推导的隐含MVD曲线P(M)，对应于上面的EL曲线。我们假设PAOF10%，MVD曲线有不同的部分:o低于-40%的MVD，P(M)为零，正如所期望的那样，假设EL曲线是基于-40%的MVD假设；o在-40%的MVD时，P(M)有一个“尖峰”。这代表了这样一个事实，即我们在EL中有一个从零到非零值的“突然”增量。而对于较高的MVD，图11图12 P(M)的增量包含了来自MVD值范围的概率，在这个初始点，所有的概率都来自于MVD未考虑的单一值，因此“尖峰”；o从MVD-40%到+40%，P(M)平稳地上升，具有正曲率。这与PD潜在的指数行为是一致的，也似乎在直觉上是合理的；o在MVD+40%时，有另一个“尖峰”，与PD的假设上限相对应，但这个尖峰是负的。这对应于假设PD达到上限时的LVR为140%；o高于MVD+40%，P(M)为零。这对应于我们假设的PD被填入和封顶为100%。MVD曲线最有趣的方面是当假设的PD达到其封顶时，负概率的“尖峰”。显然，负概率并没有严格意义，但它是由假定的ELCurve斜率中的不连续性产生的数学人工制品。同样，在MVD-40%时的正峰值显然是ADISContinution产生的人工制品。根据上面对现有实践的评论，这并不一定意味着假定的EL曲线在实践中有问题:o尖峰仅限于曲线上的单点，而不是一个连续的区域；o人们可以争辩说，P(M)不是直接可观察的，甚至作为一个真实量是有意义的。相反，无论是通过对损失的经验观察，还是通过对实际信贷支持需求的观察，E(L)都是可观察的有意义的曲线。