信贷冻结、均衡多样性和欧洲的最优救助

在任何弱平衡的网络中，以下持有：（i）对于任何确保系统偿付能力的bai l out政策，存在一组担保付款，也确保系统偿付能力，并导致相同的总成本。（ii）对于确保系统偿付能力的任何一组担保付款，都有一项救助政策，该政策也确保系统偿付能力，并导致相同的总成本。（iii）如果网络是完全平衡的，那么为了找到最便宜的保险单来保证完全的偿付能力，只考虑支付的全部担保（即αij）是不失普遍性的∈ {0，1}代表所有ij）。我们分析了最有效的方法是什么。考虑到偿付能力独立于支付顺序，我们没有明确模拟救助的时间安排。有效地说，救助政策必须使一些银行具备偿付能力，然后它们才能偿还所有债务。与其他救助支付一起，其他银行变得有偿付能力，并进行支付，等等。为了说明引理1，考虑图3.1 20.50.50.5所示的网络图3：左边的网络有两个周期：{1,2,3,1}和{2,3,4,2}。右边的网络有三个循环：c={1,2,1}，c={3,1,3}，和c={3,2,1,3}。箭头指向债务的方向。首先，假设网络完全平衡，每个银行的pi=0。根据推论1，在监管机构没有任何干预的情况下，所有银行都会在失衡中违约，因为没有一家银行是单方面有偿付能力的。左边的网络有两个简单循环。付款{D，D}确保所有银行都有偿付能力，并达到最低可能的2美元成本。另一种以最低成本确保完全偿付能力的方法是监管机构支付{D}。请注意，第一次干预相当于向银行4、然后向银行2提供援助。

第二次干预相当于救助第三银行。例如，该网络中的其他最低救助只有银行2，或银行1和银行4，它们分别对应于担保付款{D，D}和{D，D}。右边的网络有三个简单的循环。确保系统偿付能力的最低成本有三种：{D，D，D}，{D，D}和{D，D}。它们都会导致总注资额达到1.5美元。它们分别相当于：救助银行2，然后救助银行1；救助银行3，然后救助银行2；救助银行1。注意，在这里，我们只需要考虑支付的完全保证，因为网络是精确平衡的（Lemma1（iii））。接下来，假设每个银行都有pi=0.5。在这两个网络中，如果监管机构或不干预，所有银行仍处于最糟糕的平衡状态。在左边的网络中，一些在pis为0时是最低成本的救助政策不再适用。例如，救助第二银行或第三银行仍能确保系统性偿付能力，但成本为1.5%。相比之下，拯救Bank 1和Bank 4总共需要花费1美元。这可以通过支付债务来实现，但最低成本只能通过支付这些债务的一小部分α=α=1/2来实现。偿还全部债务将使成本加倍。因此，由于银行现在有了一些资本缓冲，仅仅考虑债务支付的全额担保也不再是没有损失的。在右边的网络中，现在有两个最低成本救助序列，而不是三个，分别是救助银行2或银行3。要求总注射量为0.5。

它们分别相当于保证支付{D}infull和保证支付{D}，权重α=0.5。尽管救助和担保付款之间存在这种等价性，但监管机构可能更愿意支付银行的部分款项，而不是拖欠款项，仍然有一些重要原因。一是银行可以将注入的资本用于偿还债务以外的目的。对于Instance，在2008年金融危机中，救助资金被用来支付交易员和银行家的奖金（Story and Dash（2009））。鉴于这些问题超出了本文的范围，而且在我们的模型中，救助和担保债务支付可以相互转化，我们在这两种形式的政策之间来回移动，这取决于对于给定的问题，哪种政策在概念上更容易处理。4.2第一个特征现在让我们检查确保偿付能力所需的最低总资本注入。Westart指出，命题2直接给出了最佳和最差均衡的此类最小失效的第一个特征。最佳平衡相对容易理解。如果网络不平衡，那么一些银行肯定会违约，而每个不平衡的银行都需要恢复偿付能力。因此，每个ito接收ti=[DLi]都是必要且有效的- 戴- pi]+（通过命题2）；因此，需要注入系统以确保其偿付能力的最低资本额为xi[DLi]- 戴- pi]+。最糟糕的平衡要复杂得多，因为弱平衡不再足以解决问题。除了上述最低支付额之外，还需要向一些银行注入足够的资本金，以确保存在一个迭代的强偿付能力集合，该集合与每个有向循环相交。

这一点总结在下面的推论中，以支持立场2。推论3。（i） 确保系统偿付能力处于最佳均衡状态的最廉价救助政策是注入ti=[DLi]- 戴- pi]+进入每个银行i，经济中净投资的总成本为：pi[DLi- 戴- pi]+（如果网络弱平衡，则为0）。（ii）在最差的均衡状态下，确保系统性解决方案的最便宜的保释政策是注入ti=[DLi]- 戴- pi]+注入每个银行i，再加上最小的资本注入，生成一个迭代强溶剂集，与网络中的每个周期相交。（iii）如果网络被完全压缩（因此网络中的所有债务周期都被压缩），那么最佳和最差的均衡以及最佳救助政策只需要注入经济中的净不平衡。因此，为了确保整个网络的偿付能力，监管机构首先必须确保所有银行的弱平衡。这足以让所有银行在最佳平衡状态下都有偿付能力。

为了确保在其他均衡中的偿付能力，所需的额外资本是生成一个迭代强偿付集合的最小值，该集合与银行破产的任何定向周期相交；我们将在下面进一步探讨。4.2.1资本注入的回收为实现弱平衡而支付的款项，Pi[DLi]- 戴- pi]+，ZF或其他参与救助的实体将不会收回。因此，与平衡的金融网络相比，确保一个不平衡的金融网络的偿付能力可能要付出更大的代价，因为监管机构必须注入所有净借款人的净不平衡。事实上，这种不平衡可能很大，因为许多银行与不参与该网络的合作伙伴有债务契约：例如，他们的存款可以被视为债务，用于我们的目的（例如活期存款、存款证明、隔夜贷款、货币市场账户等）。相反，为确保在任何其他均衡中的偿付能力而支付的任何额外款项都可以收回。事实上，一旦支付了必要的款项以恢复疲软的余额，每家银行的资产负债表都满足pi+DAi≥ DLi。因此，额外的资不抵债是由于自我填补违约的循环。这些额外的付款最终可以收回，因为最终这些银行将获得债务偿付≥ DLi-完整的。因此，一旦调节器在整个网络中循环，它就可以恢复为生成迭代强溶解集而必须注入的额外资本l。例如，这些贷款可以作为短期贷款提供。尽管这些额外的救助在理论上是可以收回的，但出于各种原因，这样做在实践中可能是不可行的。此外，即使监管机构确实设法从救助资金中收回了一大笔资金，注入资金也需要大量的事前资本，这本身可能代价高昂。

因此，找到能确保系统在最差均衡状态下解决问题的最低限度救助是与政策相关的，尽管救助中使用的一些资金最终可以收回。4.3确保在除最佳均衡之外的任何均衡中的偿付能力，因为确保在最佳均衡中的偿付能力的最低资本注入量由推论3充分描述，并且易于计算，因此本文的其余部分将重点放在确保在其他均衡中的偿付能力所需的额外资本上。这是在我们的静态环境中。这可能是因为，一旦重新转向偿付能力，银行的未来盈利将使它们能够偿还当前的短缺，但这超出了我们的分析范围，我们的分析区分了短期内可以收回和无法收回的付款。请参阅Lucas（2019），详细了解2008年危机中注入的救助资金总额以及未收回的金额。为了确保系统性偿付能力处于任何均衡状态，包括最佳状态，ZF必须注入Ti=[DLi]- 戴- pi]+进入每家银行i。由于这样做可能会触发一些还款级联，因此通过提供这些付款开始还款是弱最优的。如果经济最终达到最佳平衡，那么就有充分的偿付能力。如果出现一些冻结，经济最终达到任何其他平衡，那么还有一些剩余的周期，在这些周期中没有支付，所有的银行都资不抵债。

为了分析任何此类均衡的最低救助，在不损失一般性的情况下，一旦出现上述情况，就必须限制对处于该均衡状态的破产银行的关注，重新定义其投资组合价值，以考虑这些转移以及它们从有偿付能力的银行收到的任何债务。考虑除最佳外的任何均衡，让我们表示在该均衡中有偿付能力的银行集合，给定这些初始转移（tis）。对于Worstequirium的情况，当银行的投资组合被重新定义为pi+ti时，S是迭代最有力的偿债能力集，但对于其他均衡，一些额外的周期可能会消失，因此S可能会更大。由于S中的所有银行在利率均衡时都有偿付能力，它们全额偿还债务，因此新的有效投资组合价值为：epi≡ pi+[DLi- 戴- pi]++Xj∈SDij，由于资不抵债而未清偿的新未偿债务由Edij={j给出∈ N\\S}Dij。在计算总救助成本时，应记住向已经有偿付能力的银行进行的所有转账，现在是par tof node 0，因此我们只需检查清除剩余网络所需的额外成本。为了说明这第一步，考虑图4所示的网络。最初，只有银行1不是弱平衡的，因此ZF开始注入t=DL- p=1，确保银行1在任何均衡状态下的偿付能力。考虑到这种转移，有三种可能的平衡：最好的一种是所有银行都有偿付能力，最坏的一种是所有银行都有债务，中间的一种是只有银行4和5违约。

如果利益均衡是后者，那么已经有偿付能力的银行的集合是S={1,2,3}，在不失去一般性的情况下，我们关注图4右边显示的剩余网络。银行支付的款项需要考虑在内，因此ep=p+D=1.75，ep=0。相反，如果利率均衡是最差的，那么唯一通过这一初始注资得到解决的银行就是银行1:S={1}。然后监管者可以把注意力集中在银行的一些债务上，这些债务是在S中的，所以我们将这些债务视为对外部人的债务，以便节点0。节点0不涉及任何剩余的破产周期，因为这些都包含在剩余网络中。4 51 321初始网络重新定义网络0 4 5图4：设p=p=p=0和p=p=1。其他银行，同时调整银行2的投资组合价值，以考虑其从1收到的付款：ep=1。请注意，通过构建，重新定义的网络中的所有银行都会在没有额外注资的情况下，在利益均衡中违约。因此，在不损失任何通用性的情况下，我们将在下面的分析中集中讨论剩余的网络（N\\S，eD，ep）。为了保持符号的整洁，我们使用符号（N，D，p）来表示剩余的网络。4.3.1最低救助问题为了描述在这个破产银行的剩余网络中确保充分偿付能力所需的最低救助，我们需要跟踪为银行纾困的流动性释放到网络中的数量。特别地，让我们（X） N\\X是当X中的所有银行进行支付时，有偿付能力的银行的集合：S（X）={i | pi+Xj∈XDij≥ DLi}。迭代构造Sl（X）作为溶剂，只要X中的所有ba NK都是溶剂∪ S（X）∪. . . Sl-1（X）付款。

设S（X）=X∪∪lSl（X）是银行在X的直接和间接付款所产生的全部偿付能力。鉴于X地区的银行已经恢复偿付能力，救助银行的成本为Ci | X=DLi- 圆周率-Pj∈S（X）Dij+. 请注意，对银行进行部分纾困永远不会是最优的，因为这不会防止它招致破产成本，因此也不允许它偿还债务。类似地，向银行注入比确保其偿付能力的最低金额更多的资本也不具有成本效益。因此出现了一种不理想的救助政策（（i）l, Tl))l我一定没有l= 词l|{我，我l-1} 总之l, 我们可以通过（i）来描述一项政策l)l. 救助政策的总成本（i，…，iL）为：救助成本（i，…，iL）=Ci|+九、l=我，我，我l-1}.最优救助政策解{（i，…，iL）}Ci|+九、l=2Cil|{我，我l-1} （OPT）s.t.s（{i，…，iL}）=N.4.4最优救助问题的计算复杂性在任何超过最优的均衡中，找到确保完全解决所需的最低资本注入的问题（OPT）可能是复杂的。我们证明了它实际上是NP难的。这种复杂性源于这样一个事实，即一家银行需要具备偿付能力的部分资本可能来自其他人支付的债务，因此，它可以是银行债务人的第一次纾困，而不是直接纾困。我们通过一系列例子说明了这种复杂性的影响，然后给出了一个更积极的结果，给出了确定最佳救助政策所需的计算数量上限。

最后，我们考虑了网络结构，在这种结构下，最优策略可以被充分刻画。我们从一些标准定义开始，这里为可能不太熟悉它们的读者提供了一些标准定义。如果存在一种算法（确定性图灵机），可以验证任何给定策略是否是多项式时间内决策问题的解决方案，也就是说，存在一个正常数，使得验证算法在O（nr）时间内运行，则将具有n个银行的网络作为输入的问题属于NP复杂性类别。如果一个问题至少和NP中的任何问题一样难，那么它就是NP难问题。如果一个问题是NP难的，那么就没有已知的多项式时间算法来解决它。许多人认为不存在这样的算法。从我们的角度来看，重要的是，每一个NP难问题都有这样的例子：已知的唯一解决方法就是对问题的规模进行不切实际的多次（多于多项式多次）计算，这里是网络中银行的数量。提议3。确定是否存在确保系统性偿付且成本不超过某个预算金额的基础支出政策是NP困难的。因此，制定最低成本救助政策（OPT）也是NP难的。检查是否存在确保系统偿付能力和成本不超过某个预算金额的救助政策比确定最低成本“更容易”的问题为了使事情保持合理的长度，我们不包括如何定义算法、如何计算其步骤等的所有背景定义。，但这种背景在任何关于计算复杂性的文本中都很容易找到（例如Arora和Barak（2009）；帕帕迪米特里欧（1994年）。一个问题至少和另一个问题一样难，如果第二个问题的任何一个实例可以在最多多项式的多个步骤中转化为第一个问题的实例。