信贷冻结、均衡多样性和欧洲的最优救助

或者，如果一个甲骨文可以一步解决第一个问题的任何实例，那么就有一个算法可以在多项式时间内解决拉特问题。在知道最低成本问题的解决方案的意义上，政策使人能够回答这样一个问题：对于任何预算，它是否可以在某个预算内完成。因此，这个命题清楚地表明（OPT）也是NP难的。此外，从Lemma1可以看出，找到确保系统解决方案的最低成本担保付款集也是NP-hard。最佳救助政策不仅考虑了一些银行的解决方案所导致的直接付款，还考虑了随后产生的间接级联的价值。我们通过证明，对于某些网络结构，确定一个人能否以不超过一定成本救助所有银行，可以解决众所周知的“分割问题”，这是一个NP难问题（因此，有效地说，每个分割问题都对应于某个救助问题），从而证明了假设3。尽管我们使用划分问题来提供最直接的证明，但通过与著名的“背包问题”的比较，直觉可以最容易理解，背包问题也是NP难问题。背包问题由n个物品组成，每个物品都有一个重量和价值，以及一个背包，它能承受的总重量有一定的限制。这样做的目的是选择要包装的物品，以便在不超过重量限制的情况下最大限度地提高总价值。我们的问题与此类似，从直觉上看，每家银行都有一个价值——由其偿付能力引起的流动性流量，以及一个成本（比如权重）——监管机构需要注入多少资本才能使其具有偿付能力。这样一来，我们的目标就是将破产银行的总成本降至最低，同时引入充足的流动性流，以确保系统性偿付能力。

对于一些网络来说，根据它们的重量和价值，选择要救助的银行就相当于选择要装在背包里的物品。更具体地说，考虑一个（弱平衡的）“星型网络”，其中存在一个中心银行，比如银行1，它欠所有其他银行的债务，所有其他银行只欠银行1的债务。救助第一银行将确保整个系统的偿付能力，因为这将确保所有外围银行获得其所有债务资产。然而，只要中央银行需要向其支付的债务超过一家外围银行的债务，才能具有偿付能力，那么最佳救助政策就包括救助一些外围银行的子集，正如我们在第4节中所证明的那样。6.2. 每个外围银行都以其救助成本为特征- DLi，其通过剩余偿付能力向中央银行提供的流动性金额为DLi，因此监管机构只需支付pi就可以向中央银行注入DLi- DLi。因此（OPT）归根结底就是要最大限度地降低被救助外围银行的总成本，前提是至少要将总流动性流入1号银行- DL。这正是一个标准背包问题的对偶问题，其目标是在总成本不超过一定金额的情况下，使物品的总价值最大化。因此，在星型网络上，任何背包问题都可以转化为救援问题，因此救援问题至少与背包问题一样困难。问题的第一个版本被称为“决策问题”，因为它有一个是/否的答案，而最佳问题需要更详细的解决方案。这两类问题，但主要是决策问题，都是在复杂性理论中研究的。一个复杂的情况是，在某些情况下，人们会救助一系列外围银行，然后向中央银行注入少量剩余资本。

然而，我们强调，在Star networks之外的网络中，找到最佳救助政策比标准背包问题更加复杂，因为银行被救助的顺序很重要。被救助的每家银行都会支付一些款项，这会改变救助其他银行的成本。这就像一个背包问题，给定物品的重量取决于哪个物品已经添加到背包中。这又增加了一层复杂性。为了说明这一点，请考虑图5中所示的网络，从左侧的网络开始。由于第二银行处于所有周期，对其进行纾困可确保系统偿付能力和成本-p=5。然而，这并不是最佳政策，因为如果监管机构首先救助银行3，它可以显著降低救助银行2的成本。事实上，拯救第三银行需要付出代价- p=3，并允许偿还其对银行2的债务。救助后者只需花费1美元。这个例子说明了救助问题（OPT）的两个重要方面。首先，如上所述，救助的顺序不同，因为剩余银行的救助成本取决于哪些银行已经被救助。救助3人和2人的成本比救助3人和2人的成本低，而且两者都能带来系统性偿付能力。第二，尽管它本身不会引发任何额外的偿付能力，但它可能是退出银行的最佳选择。这表明，救助那些首先触发更大规模还款级联的银行可能会导致比预期更大的总救助成本。同样，救助那些成本更低的银行并非最佳救助，因为这会导致监管机构救助银行1.1 2 32图5：（左）设p=0、p=5和p=1。（右）设p=0，p=p=5- ε、 p=6。接下来，考虑图5右侧的网络。

救助银行4确保了系统解决方案，但代价是DL- p=4。然而，这里最理想的是救助银行2和3，总成本为2ε。请注意，这两家银行本身都不能引发系统解决方案，但它们的组合可以。更一般地说，银行作为有偿付能力的机构在网络中产生的流动性流量取决于谁已经被保释。让我们在证明中显示分配问题的减少。这使得救助问题成为一类有趣的复杂问题，可供进一步研究：很容易检查任何给定的救助政策是否有效且只涉及一定的成本，而且这个问题是NP-完全问题，但在成本相互作用的划分和背包问题上提供了一个有趣的转折点。这表明，银行之间存在两种干扰，使得破产顺序至关重要：一种是成本干扰，即如果另一家银行在ehand之前得到了救助，那么救助一家银行的成本就会大大降低；另一种是流动干扰，即一家银行引起的流动性流动会因另一家银行的偿付能力而增加或减少。由于这些相互作用，（OPT）不像线性规划那么容易表达，而且已经证明对背包问题有效的标准动态规划算法不会直接扩展。此外，大多数简单的算法都可以执行与opt imal相关的任意错误。例如，按照银行的总流动性的降序或成本的升序对银行进行救助，可能会导致总救助成本任意大于最优成本。图6中的网络说明了基于最小化成本的贪婪算法的性能有多差。该示例由长度为n的循环链组成。

请注意，banksi≥ 2.有足够的资本缓冲来吸收最小债务人的违约，即i+1。因此，如果一家银行i有偿付能力，那么这就足以使它的跟随者i+1也有偿付能力，这就足以使i+2有偿付能力，直到银行n为止。然而，情况并非如此：银行i偿还债务不足以使它的前任i有偿付能力-1.溶剂。考虑到这一对称性，最优政策是救助银行1：这保证了所有银行的偿付能力，总成本为？D。现在假设监管机构使用一个简单的贪婪算法，该算法考虑按银行救助成本的递增顺序救助银行。该算法首先拯救Bankn，因为这只需要注入DLn- pn=D<`D=DLi- pifor all i 6=n。该算法然后将银行n救出- 1以DLn为代价-1.- pn-1.- Dn-1n=\'D- D、 然后银行- 2等。这会导致调节器注入全部D+（n- 1） （\'D- D） 。因此，贪心算法相对于opt ima l策略的性能可以任意延长足够长的链。1 2 3nn- 1“DD”DD。图6：假设p=pn=0，pi=D，所有i 6=1，n。假设¨D>D。注意，在这个例子中，一个贪婪算法以银行产生的流动性流量的降序来帮助银行找到最佳策略。事实上，由于1号银行的纾困清理了整个系统，1号银行产生了最大的流动性流量，并将首先被这种贪婪的算法选中。然而，在其他例子中，基于流的贪婪算法可能会表现糟糕。例如，回想一下图5右边的网络。救助4号银行可以使问题扩大到每个订单都有不同的值，但线性问题有许多输入，作为整个网络的函数，而救助2号银行或3号银行只会导致5的流动性流。

因此，当最优的保释政策只需要注入2ε时，这种替代性的g r eedy算法将导致监管机构救助银行4，从而注入总额等于4的资本。我们注意到，按照银行流动性流量与救助成本之比的降序对银行进行救助也可能表现不佳，如第4节所示。下文6.2。一种方法是考虑这些干扰是有限的网络，因为简单的贪婪算法可能会表现良好。一个薄弱的要求是，银行之间不得干涉最佳救助政策（i*l)l; i、 e.任何i.的流动性和救助成本*l独立于（i）中其他银行的偿付能力状态*l)l.这意味着银行在（i）中的顺序*l)l保释是无关紧要的。例如，考虑由不相交的循环组成的网络。在这个例子中，一个最优的救助政策必须是每个周期只救助一家银行，以便以最低的成本确保系统的偿付能力。由于周期是不相交的，因此清除它们的顺序无关紧要。贪婪算法按照银行救助成本的递增顺序（每次救助后重新计算这些成本，以考虑资产负债表和偿付能力的变化）对银行进行救助，从而产生了最优救助政策。然而，一旦这些周期相交，就会出现各种各样的干扰。事实上，即使在（i）中没有任何干扰*l)l, 在其他非最优银行中，总会有干扰，导致贪婪算法表现不佳。4.4.1计算时间命题的上界3表明，随着网络规模n的增长，找到最优救援策略变得复杂。直觉是，拥有更多银行的网络可能会有更多的重叠周期，而这些周期会在救助之间产生干扰。

因此，决定最优救助政策复杂性的不是银行数量n本身，而是相关的可能周期数K。我们在命题4中对此进行了形式化。提议4。找到最佳纾困政策所需的计算数量不超过K！nK+1，其中n是网络中的ban ks数，K是密集循环数。命题4建立在以下观察的基础上：每个周期拯救一家以上的银行绝对不可能比每个周期只拯救一家银行便宜，而且两者都能确保系统的偿付能力。因此，监管者可以将注意力限制在莫斯通银行每个周期的纾困政策上。考虑到循环中的潜在重叠和由此产生的级联，我们需要选择每个循环中最便宜的银行。找到最佳救助政策的蛮力算法是计算所有此类政策的成本，并选择最便宜的一种。如果中央银行的债务负债/成本比率最高，最大化流动成本可能会导致监管机构对其进行纾困，而对一些外围银行进行纾困可能会（任意）降低总体纾困成本。有K！可以清除周期的不同顺序，每个周期最多n个不同的银行，最多产生K！NK保单（每个周期的一家银行及其保单的顺序）。每个策略的成本计算最多需要n个步骤，因此这种蛮力算法最多需要这么多步骤（参见附录中的正式程序）。在具有大周期的网络中，穷举搜索接近这个数量的步骤。命题4意味着，当循环数很小时，即使银行的数目很大，问题也不可分解。

例如，如果存在一些有界的循环数，使得K很小且固定，那么上述蛮力算法在n变大时在O（nK+1）时间内运行。相比之下，当存在许多重叠的周期时，如在派系中，找到最佳救助政策最为复杂，我们将在第4节中讨论这些周期。6.3. 在有派系的情况下，K在派系的大小上呈指数变化，因此在n.4.5有效条件和救助成本的界限下，K可以呈指数变化。尽管找到最佳救助政策通常比较复杂，但在某些情况下，更精确的描述是可能的。我们将分两个阶段进行探索。首先，我们没有对网络结构施加任何限制，但考虑银行拥有小额资本支持的网络，或者没有。这使得系统性偿付能力要求很高，但当银行确实有资本缓冲时，也提供了大量最低限度的救助。其次，我们研究了一些特定的网络结构。确保每个循环存在迭代强可解集交集的一个有效条件是每个循环出一个组。在某些情况下，这也是必要的。考虑任何临界平衡的网络。让c，c。cKbe是网络中的简单循环列表。为了便于解释，我们偏离了之前的符号和定义周期，不是作为一系列银行，每个银行欠下下一个银行一笔债务，而是作为相应的有向边的列表。当然，这两种方法是等价的。提议5。假设网络处于临界平衡状态，监管机构只能全额偿还债务：αij∈ {0，1}对于所有i，j.为确保完全偿付能力，在担保付款中所需的最小注资是最小的一组付款，每个简单周期包括一个：我的N×NXji∈埃迪斯。T

E∩ ck6= k、 如果网络完全平衡，这也是部分支付αij时的最优策略∈ [0，1]是允许的。回想一下，在极度平衡的网络中，一次债务偿付不足就足以让任何一家银行破产，因为银行的资本负担低于其任何债务资产。因为所有的还款都是至关重要的，所以还款流不能从一个周期扩散到另一个周期，监管机构必须向所有周期注入一些资金。在完全平衡的网络中，她必须确保每个简单周期都有一次全额支付。在极度平衡的网络中，由于一些银行可能有一点资本缓冲，她可能只需要支付部分款项。一旦一些银行拥有非平凡的资本缓冲，这样它们就可以吸收与某些交易对手违约相关的损失，监管者或监管者可能不必将资本注入所有周期。无论如何，提案5给出了最低救助成本的下限，额外的资本缓冲只能帮助监管机构。推论4。在任何网络中，确保完全偿付能力所需的最低总资本注入量都在最低限度N×NXji∈埃迪斯。t、 E∩ ck6= kIf如果一些银行没有达到临界平衡，一个周期内的一系列还款可能会扩散到另一个周期，在一个周期内建立一家银行也可能导致其他周期的清算。

图7提供了一个例子。1 2 3DDD1 2 3D/2D/22D精确平衡的网络不平衡的网络图7：（p，p，p）=（0，0，0）在左边的网络中，这是完全平衡的。（p，p，p）=（0，0，D）在右边的网络中，这是不完全平衡的，甚至不是临界平衡的：银行2可以通过只收到银行3的付款而变得有偿付能力。在左边的完全平衡的网络中，确保整个网络的偿付能力要求每个周期至少救助一家银行，这可以通过救助银行1和3，或者仅仅救助银行2来实现。这两项政策的成本都是2D。或者，监管机构可以救助第一银行，然后在第二银行收到第一银行的债务后救助第二银行，这将是lso合作。在任何情况下，监管机构都必须向每个周期注入一些资本，以确保完全偿付能力，如提案5所述。在右边的网络中，救助3号银行就足以确保其完全偿付能力，因为3号银行偿还债务就足以使2号银行有偿付能力，然后使1号银行有偿付能力。因此，监管机构不需要向每个简单的周期注入资本：{2,3}周期中的还款级联扩散到{1,2}周期，而不额外支付D/2至1，将不足以让2成为有偿付能力的，因为它仍然没有从3获得任何付款。其中一家需要支付3/2至2美元，以确保其偿付能力。所以，3是最便宜的选择。干涉重要的是，这取决于银行2是一个资本缓冲区：p+DA=2.5D>1.5D=DL。4.5.1资本注入的上限上一节强调，为了提高每个系统的偿付能力，确保每个周期一次支付始终是有效的，并且在网络达到临界平衡时也是必要的。寻找与所有周期相交的最小付款集合仍然很复杂。