信贷冻结、均衡多样性和欧洲的最优救助

（2019）：“衡量救助成本”，《金融经济学年鉴》，第11、85–108页。帕帕迪米特里欧，C.H.（1994）：计算复杂性，雷丁，马萨诸塞州：艾迪森·韦尔西。Rogers，L.C.和L.A.Veraart（2013）：“银行间网络中的故障和救援”，《管理科学》，59882-898。Roukny，T.，S.Battiston和J.E.Stiglitz（2018）：“互联性是系统性风险中不确定性的来源”，《金融稳定杂志》，35，93–106。Schuldenzucker，S.和S.Seuken（2019）：“金融网络中的资本压缩：激励和系统性风险”，可在SSRN获得。故事，L.和E.Dash（2009年2月）：《纽约时报》，2009年7月30日，“银行家在救助期间获得了丰厚的奖金”。附录A证明在开始证明之前，我们注意到使用（4）我们可以在一个等式中重写debt值（1）的表达式：dij（Vj）=DijDLjmin戴尔杰，麦克斯Vj+DLj，0, （6） 这说明了两种可能的制度：要么j有偿付能力，债权人分享承诺付款DLj，要么不是，他们分享j资产扣除破产成本后的账面价值SVJ+DLj，如果为正。（6） 更透明的是，我的债务资产只能写为V的函数-i、 这样我们就可以写dAi（V-i） 然后重写（4）asVi=pi+dAi（V-（一）- DLi- bi（V，p）。（7） 命题1的证明：（i）设V和V分别为银行的最佳和最差平衡值。由于不存在依赖循环，所以必须是银行的子集（表示为X）仅从其外部投资中获得价值：对于所有i，DAi=0∈ 因此，根据破产成本的假设，βi（Vi，p）仅取决于vii∈ X.因此，这些银行的价值完全由其投资决定，可以写成：Vi=pi- DLi- βi（Vi，p）{pi<DLi}我∈ 由于βi（·，p）是一个收缩，因此通过收缩映射定理，该方程存在唯一解。

因此，Vi=vii∈ X.接下来，让Xbe表示一组银行，它们的债务资产只涉及X中的银行。因此，它们的价值独立于X之外的银行的价值，因此通过（6）和（7）我们可以写出vi=pi+Xj∈Xdij（Vj）- DLi- βi（Vj）j∈十、∪{i} ，p{pi+Pj∈Xdij（Vj）<DLi}我∈ X.SinceVi=Vifor all i∈ x和βi（·，p）是作为Vi函数的收缩，因此，x中银行的最佳和最差平衡值也是相同的：对于所有i∈ X.反复定义XKT，使其成为一组对银行拥有债权的银行∪同样的论点也适用于归纳法。对于一些整数K≤ N∪Kk=0Xk=N，对于所有银行，thusit遵循thatVi=Vi。（ii）接下来，我们证明，如果网络中存在依赖循环，那么存在和破产成本，使得v6=V。特别是，我们首先表明，在（3）的破产成本和全部破产成本（即，当一家银行因违约损失其所有资产时，a=1，b=0）下，存在回报p，因此这是真的。然后，我们证明了这也适用于低于1（以及高于某个阈值）的情况。设c是属于依赖循环的所有银行的集合。所有其他银行要么（i）所欠债务的价值（直接或间接）流入依赖循环；（ii）从依赖周期产生的债务中获取价值；或（iii）上述任何一项。c类银行的均衡价值独立于（ii）和（iii）类银行的均衡价值，因为c类银行的债务最终没有直接的路径。

（i）中银行的价值可以影响c中银行的价值，但我们将它们的投资组合价值（pis）设置为零，因此c中的银行没有价值。因此，c中银行的均衡价值仅取决于c中银行的资产组合和价值，其中每一家银行都至少对另一家银行负有债务，并至少对另一家银行拥有债务资产。因此，我们重新定义了DAi≡Pj∈尽管如此∈ c、 我们设定投资组合价值（pi）i∈cto尽可能低，同时确保c区的所有银行在最佳平衡状态下保持偿付能力。特别是，当c中的所有银行都有偿付能力时，它们的平衡值为vi=pi+DAi- DLi，因此最小的（pi）i∈C确保它们在PI=[DLi]给出的最佳平衡中保持溶剂状态- 戴]+。因此，通过使用这些投资组合价值，c中的所有银行都在最佳均衡状态下具有偿付能力：Vi≥ 尽管我∈ c、 接下来，考虑在这些投资组合价值的最差均衡情况下会发生什么，未全额破产成本——即a=1，b=0时低于（3）。回想一下，c中的所有银行都必须有一些债务责任和一些债务主张，即DAi>0，而DLi>0代表所有i∈ c、 让我们注意到，这些银行都不是周期的一部分，因此，通过上述价值观的论证，它们被唯一地捆绑起来，并且它们没有来自（ii）或（iii）中任何银行的债务，这是直接的，它们没有用来支付任何债务的资产。假设它们都默认，因此dAi（V-i） 对于所有i=0，那么给定pi=DLi-DAi]+Vi=pi- DLi=[DLi]- [戴]+- DLi=- min{DAi，DLi}<0我∈ c、 假设所有c级违约的银行都在自我填补。考虑到这些破产成本，sbi（V，p）=pi，因此dAi（V-i） =0是自我填充，是最佳和最差的平衡值。为了完成证明，我们注意到，对于一些a<1且有效环为1的情况，也是如此。

假设所有银行都违约：Vi=（pi+dAi）-i） ）（1- （a）- 戴女士（V-i） V中的连续-i、 因为只有在出现新的违约时，才会出现任何不连续性。当a=1/Vi=-DLi，并且假设上面的右手边在V中是连续的-然后固定点收敛到极限固定点a→ 1.因此，在假设所有银行违约的情况下，有一个非常接近1且所有Vi<0的解决方案，证明所有银行都在最差均衡中违约，且其值低于0，与最佳均衡不同。命题2的证明：首先，请注意，弱平衡是银行在任何平衡中都具有偿付能力的必要条件。也就是说，pi+DAi<D对于某些i，它必须在非常均衡的情况下违约，因为即使它偿还了所有的新增债务，它也会违约，因此不考虑其他银行的偿付能力。接下来，请注意如果pi+DAi- DLi≥ 0表示所有i–即网络是弱平衡的–那么所有银行都是有偿付能力的均衡，因此最佳均衡是所有银行都有偿付能力。因此，对于处于最佳平衡状态的所有银行来说，弱平衡是必要的，也是足够的。在最差均衡中描述偿付能力需要更多的工作。首先，正如上文所述，网络的弱平衡也是在最差平衡下充分偿付能力的必要条件。然而，弱平衡已经不再有效。因此，对于下面的例子，我们假设网络是弱平衡的，并证明所有银行在最坏平衡下都是有偿付能力的当且仅当存在一个迭代强偿付能力集与每个定向循环相交时。我们首先表明，如果有一个迭代强偿付能力集与每个定向循环相交（除了弱均衡），则意味着所有银行都有偿付能力。假设有一个迭代强溶剂集与每个有向循环相交，称之为B。

通过定义一个迭代强溶剂集，B中的所有银行都必须在最差平衡中有溶剂，这意味着每个周期至少有一个溶剂银行。我们证明，这意味着网络中的所有银行都是有偿付能力的，通过归纳网络K中的循环数。如果没有循环，那么最好和最坏的平衡点是一致的（见Proposition 1的证明），然后通过弱平衡以上的论证，保证所有银行的偿付能力（事实上，在上面讨论的迭代过程中，很容易检查B=N）。如果只有一个周期，那么考虑B中某个周期上的i组。这个i组在最坏的情况下是有偿付能力的，因此在有史以来的y平衡中，假设B都是有偿付能力的。因此，请考虑以下修改后的网络。对于每个j重置PJT到bepj+Dji，因此假设i的所有债务都已偿还。然后将Djito重置为0。注意，我们并没有改变任何平衡的结构，因为在任何平衡中，我都是溶剂，而且弱平衡仍然成立。新的网络没有周期，因此所有银行在所有均衡中都有偿付能力。更一般地，考虑一个具有n个循环和一些bank i的网络∈ B这取决于某个周期。通过同样的论证，我们最终得到了一个具有相同平衡和更少循环的改进网络，因此通过归纳，所有银行在所有平衡中都是有溶剂的。最后，我们认为，如果不存在一个与每个周期相交的迭代强解集，那么一些银行就会在最差均衡中违约。首先要注意的是，it时代强可解集的并集也是一个迭代强可解集：因此存在一个最大值，根据假设，它不会与每个循环相交，因此不包括所有银行。

然后，我们可以检查最大迭代强溶剂集实际上是处于最差平衡的有溶剂银行的集合：假设这些银行都是有溶剂的，而其他银行中没有一家是有溶剂的，这是自满的，因此N\\B不是处于最差平衡的有溶剂银行。引理1的证明：（i）采取任何救助政策，具体规定哪些银行应该得到救助，以及救助的顺序。让我成为被保释的kthbank。拯救银行icosts DLi- 圆周率。需要指出的是，i银行的投资组合是弱平衡的：DAi+pi- DLi≥ 因此存在权重αij∈ [0,1]使得pjαijDij=DLi- 圆周率。使用这些权重来保证支付（Dij）也可以确保i的偿付能力，并且成本相同。更一般地说，以k步被救助的任何银行为例，它可能已经收到了因救助银行而产生的偿付能力而欠下的部分债务-1.重要的是，如果它收到了对部分债务人的债务主张，它将全额偿付这些债务。特别是，在步骤k的开头，让我们把所有有偿付能力的银行列为一组- 派克-Pj∈斯科迪基。同样，由于ik银行的投资组合是弱平衡的，因此存在权重αikj∈ [0,1]这样的Pj/∈SkαikjDikj=DLik- 派克-Pj∈斯科迪基。担保付款（Dikj）j/∈使用这些权重还可以确保ik的偿付能力，而且成本也同样高。由于这一点适用于所有k，也适用于所有作为救助政策一部分的银行，因此我们确实可以找到一套优势和权重，从而保证这些支付也能确保系统解决，而且成本同样高。（ii）采用任何一组边E和相关权重α，这样，如果监管机构保证所有这些付款，所有银行都是有偿付能力的。必须（至少）有一家银行i，如果它以E:pi+Pj | ji的形式偿还所有债务，那么它就有偿付能力∈EαijDij≥ DLi。如果没有，那么找到最差均衡的算法就会停止，因为所有银行仍处于资不抵债状态。打电话给任何这样的银行。

请注意，确保i偿付能力的另一种方法是注入PJ | ji∈Eα直接进入，成本相同。然后我们可以迭代地识别y banks i，我会用下面的方式。考虑到我。ik-1.必须（至少）有一家银行有偿付能力，如果它得到了所有的债务，再加上它期望从i获得的任何款项。ik-1:pi+Pj | ji∈EαijDij+Pk-1l=1Dil≥ DLi。如果不是，那么保证用E支付只会让我，ik- 1.有偿付能力，但不是所有银行。给任何这样的银行打电话。没有人认为，另一种同样昂贵的方法来确保ik的溶解性，是注射一种阿莫茨基（amountPj | ji）∈EαijDijof Capital l直接进入。由于这一点适用于所有k，我们确实可以找到一个救助政策，该政策还可以确保系统的偿付能力和成本，就像用权重α保证E支付一样。（iii）这直接来自以下观察。以任何一家（资不抵债的）银行和任何一组已经有偿付能力的银行为例，救助成本为DLi- 圆周率-Pj∈斯迪吉。如果网络完全平衡，这相当于利息支付（Dij）/∈罪有应得。事实上，这也确保了我的偿付能力和成本相同。这适用于任何i和S，并且不需要部分付款。推论3的证明：命题2给出了系统解处于最佳和最差均衡的必要条件。因此，在每种情况下，确保解决方案所需的最低必要救助是这样的，由此产生的网络安全满足这些必要条件。为了达到最佳平衡，这只需要使网络弱平衡，这意味着通过注入[DLi]来重新平衡每家银行的投资组合- 戴- pi]+进入每个银行i，这意味着（i）。

对于最坏的平衡，它还需要足够的资本来生成一个与每个有向循环相交的迭代强溶剂集，这意味着（ii）。如（iii）所示，网络一旦清除了所有周期，就只由字符串组成。然后通过命题1，我们知道最佳平衡点和最差平衡点重合。确保系统性偿付能力处于最差均衡相当于确保系统性偿付能力处于最佳均衡：这足以注入经济中的总净失衡，如（i）所述。命题3的证明：我们证明，对于某些特定的网络结构，划分问题可以归结为与（OPT）相关的决策问题，这是已知的难以解决的问题。划分问题如下所述：一个给定的n个正整数{a，a，…an}的多子集能被划分成两个等和的子集S和T吗∈Sai=Pj∈泰姬陵？我们证明，如果我们能解决星型网络救助问题的决策版本，那么我们就可以解决分区问题的任何实例。考虑一个“双边星形网络”，其中，中央银行n+1银行对所有其他银行都有债务索赔和债务负债Di，n+1>0∈ {1，…，n}，以及每个外围设备库i∈ {1，…，n}是暴露的，并且只暴露于中央银行，所以DLi=Dn+1，i>0。所有银行都无力偿债，但收支平衡较弱，因此DLI>pi≥ DLi- 尽管如此∈ {1，…，n+1}。以分区问题{a，a，…an}为例。设DLi=aiand Ci=DLi-pi=i的ai/M∈ {1，…，n}。假设中央银行n+1需要Cn+1=DLn+1- pn+1=Pi≤nai/2为溶剂。我们首先表明，对于规模足够大的银行来说，最佳救助政策只会（直接）救助外围银行。请注意，通过向许多外围银行提供足够的援助（最糟糕的情况是，通过向所有外围银行提供援助），总是有可能恢复中心银行的偿付能力。

虽然我们从命题2中了解到，每个周期救助一家银行足以保证系统偿付能力，但这并不直接意味着每个周期救助一家以上的银行不具有成本效益，因为它可以降低后续救助的成本。接受任何救助政策（i）l)l这确保了系统的偿付能力，让Kl是我骑的那套自行车吗l谎言。一个救助政策可以在每个周期救助一家以上的银行，前提是假设∈耶<Pi≤nai/2≤圆周率∈所以下面的两个方面都是积极的。存在l 以至于l\\ (∪l-1j=1Kj）=. 也就是说，在某个阶段，该政策会救助一家只依赖于另一家银行已经获得救助的周期的银行。我们表明，对于任何这样的政策，都存在另一种也能确保系统偿付能力的政策，即每个周期在莫斯通银行（mostone bank）进行纾困，而且这种政策的成本很低。有两种情况：要么我l’s ba Ilut costCil|（我l-1） 要么是零，要么不是。在第一种情况下，然后是我的“救助”l考虑到之前的救助，这家银行已经有偿付能力。所以我-l) 是一种成本相当的救助政策，每个周期最多救助一家银行。更有趣的是当我l’对监管者来说，sbailout实际上代价高昂。这意味着我至少有一个l’债务人破产了。让Xbe成为我所有的l’尽管已经破产但仍在违约的债务人l-1). 必须指出的是，萨尔索的每家银行都有一名债务人正在违约。迭代地构造Xk，即Xk中欠银行的银行集合-1这是默认值，设X=∪kXk。有三件事是值得避免的：（i）根据建设，X中的所有银行都已资不抵债，（ii）子网络（X，（Dij）i，j∈十） 必须至少有一个周期，以及（iii）银行ilX中没有t。

如果我l∈ 十、 它必须属于违约银行的循环，因此必须属于尚未清除的循环，这与最初的假设相矛盾。由于救助政策确保了系统性的偿付能力，它必须在一年后救助X的一些银行l’这是救援。构建一个替代性的救助政策，在i之前将所有银行的救助都转移到Xl’这是救援。这不会增加这些投资的成本，因为银行X不希望i获得额外资本l自从我l/∈ 这让我l’美国不需要救助——即不必要的救助——因此严格降低了整体救助政策的成本。因此，只考虑在每个周期最多救助一家银行的救助政策是没有损失的。我们现在认为，计算所有这些政策的成本只需要K！nK+1步。每个周期救助一家银行的救助政策的特点是：（i）清算周期的顺序，以及（ii）每个被救助周期的银行身份。有K！可以清除周期的不同顺序。如果我。mk表示每个周期的银行数量，有K！QMK制定了需要考虑的政策。最糟糕的情况是，周期尽可能大。自mk以来≤ n代表所有的k，这意味着有最多的k！检查不同的救助政策。其中成本最低的政策必须是最优政策。由于计算每个保单的成本最多需要n个步骤，因此该蛮力算法在不超过K的时间内找到最佳救助策略！nK+1步。命题证明5：考虑任何临界平衡网络。我们证明了当且仅当监管者保证一个支付周期时，所有银行都处于最坏平衡状态。[=>] 相反，假设至少存在一个周期，监管机构不支持支付。考虑位于该循环上的任何银行i，并用pk（i）表示其在循环k上的前身。