Léevy过程的弱反射原理

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英文标题：
《Weak reflection principle for L\\\'evy processes》
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作者：
Erhan Bayraktar, Sergey Nadtochiy
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper, we develop a new mathematical technique which allows us to express the joint distribution of a Markov process and its running maximum (or minimum) through the marginal distribution of the process itself. This technique is an extension of the classical reflection principle for Brownian motion, and it is obtained by weakening the assumptions of symmetry required for the classical reflection principle to work. We call this method a weak reflection principle and show that it provides solutions to many problems for which the classical reflection principle is typically used. In addition, unlike the classical reflection principle, the new method works for a much larger class of stochastic processes which, in particular, do not possess any strong symmetries. Here, we review the existing results which establish the weak reflection principle for a large class of time-homogeneous diffusions on a real line and then proceed to extend this method to the L\\\'{e}vy processes with one-sided jumps (subject to some admissibility conditions). Finally, we demonstrate the applications of the weak reflection principle in financial mathematics, computational methods and inverse problems.
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中文摘要：
在本文中，我们发展了一种新的数学技术，它允许我们通过过程本身的边缘分布来表达马尔可夫过程及其运行最大值（或最小值）的联合分布。这项技术是布朗运动经典反射原理的扩展，它是通过削弱经典反射原理工作所需的对称性假设而获得的。我们称这种方法为弱反射原理，并表明它为许多经典反射原理通常用于的问题提供了解决方案。此外，与经典反射原理不同，新方法适用于更大类别的随机过程，尤其是不具有任何强对称性的随机过程。在这里，我们回顾了现有的结果，这些结果建立了实线上一大类时间均匀扩散的弱反射原理，然后将此方法推广到具有单侧跳跃的L \\{e}vy过程（受某些容许条件的约束）。最后，我们展示了弱反射原理在金融数学、计算方法和反问题中的应用。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：反射原理 distribution Applications Quantitative Mathematical

《应用概率年鉴2015》，第25卷，第6期，3251–3294DOI:10.1214/14-AAP1073c数学统计研究所，2015年，L’EVY过程的弱反射原理由Mic higanIn大学的Erhan Bayraktarand Sergey Nadtochi提出。在本文中，我们发展了一种新的数学技术，通过过程本身的边缘分布来表示马尔可夫过程的联合分布及其运行的最大值（或最小值）。这项技术是布朗运动经典反射原理的延伸，它是通过削弱经典反射原理工作所需的对称性假设而获得的。我们将这种方法称为弱反射原理，并表明它为许多典型使用经典反射原理的问题提供了解决方案。此外，与经典反射原理不同，新方法适用于更大类别的随机过程，尤其是不具有任何强对称性的随机过程。在这里，我们回顾了现有的结果，这些结果为实线上的一大类时间齐次微分建立了弱反射原理，并将此方法推广到具有单侧跳跃的L’evy过程（受某些容许条件的约束）。最后，我们展示了弱反射原理在金融数学、计算方法和反问题中的应用。1.导言。1.1. 经典反射原理及其应用。我们首先简要回顾布朗运动的经典反射原理。表示实线上的布朗运动，从形式x开始。

在任意水平U>0和K<U的情况下，我们可以计算Bt=Bt的联合d分布及其最大运行Mt=supu∈[0，t]bu如下：P（Bt≤K、 Mt>U）=P（Bt-屠+屠≤K、 TU<t）=P（但是-屠≤K、 2013年8月收到；2014年7月修订。由NSF拨款DMS-09-55463支持。AMS 2000学科分类。45Q05，60J75，91G20。关键词和短语。反射原理，列维过程，静态对冲，障碍期权。这是数理统计学会在《应用概率年鉴》2015年第25卷第6期3251–3294中发表的原始文章的电子版。这本重印本与原版印刷和排版细节不同。2 E.BAYRAKTAR和S.NADTOCHIY（1）=P（2U）-但是-屠≤K、 TU<t）=P（Bt≥2U-K、 Mt>U）=P（Bt≥2U-K） ，其中Tu是B对U的首次命中时间，BUs=BTU+s。上述公式首次出现在Bachelier[1]的著作中，然后是更严格的处理方法，例如，L\'evy[16]。请注意，基于上述布朗运动的布朗运动- B是标准的布朗运动（从零开始），独立于FTU（过滤由B生成）连续性：由于B的路径是连续的，BTU=U，鉴于上述情况，BTU+是一个从U开始并独立于FTU的布朗运动对称性：buti的分布相对于初始水平U是对称的，即Law（BUt）=Law（2U）-但是）。我们将在下一小节中回顾上述观察结果，但首先让我们概述经典反射原理的几个应用。一个明显的应用是联合分布的计算。

由于布朗运动的边缘分布是封闭的，所以上面的公式为我们提供了一个封闭形式的表达式，表示过程及其在任何给定时间的运行最大值的联合分布。一个更微妙的应用来自金融数学，它需要使用反射原理本身（而不是联合分布的结果公式）。也就是说，反射原理在对冲障碍期权问题上非常有用。为了简化符号，在本文的其余部分，我们考虑U=0。假设下垫面的风险中性演化是由x开始的布朗运动bx描述的≤ 0（我们假设不打折）。考虑一个写在这个基础上的向上和向外的选项，带有一个终端支付函数h，比如supp（h） (-∞, 0). 在到期日T时，该障碍期权的收益由H（BxT）1{supu给出∈[0，T]Bxu<0}。为了确定期权的价格，我们需要计算上述随机变量的期望值。这个问题可以通过应用（BT，supu）的联合分布公式来解决∈[0，T]Bu），在（1）中给出。然而，利用反射原理本身，我们可以获得比aprice更多的信息：在f act中，我们可以通过欧式期权为给定的障碍期权找到静态对冲策略。回想一下，欧式期权在到期时支付的是未贴现债券终值的某个函数。因此，我们需要找到一个函数G，这样直到达到L’EVY过程3障碍的弱反射原理，目标障碍期权的价格与欧洲类型的到期支付期权的价格一致，即G（BxT），E（h（BxT）1{supu∈[0，T]Bxu<0}|英尺∧T） =E（G（BxT）| Ft∧T） 其中，Bx由fitti生成。

事实上，由于塔的属性，这足以确保上述标识适用于t=t。为此，我们考虑两种情况：≥T<T。在第一种情况下，上述方程简化为h（BxT）1{BxT<0}=G（BxT）1{BxT<0}，这就产生了，在b载波下，支付函数G必须与h:G（z）1{z<0}=h（z）重合。因此，我们可以在G（z）=h（z）的形式中搜索G- g（z），其中supp（g） (0, ∞). 考虑到第二种情况，利用B的强马尔可夫性和连续性，我们得到（Eh（Bτ）-Eg（Bτ））τ=T-T∧T{T<T}=0，（2）其中Bs=BxT+s是一个新的布朗运动，它从零开始，与FT无关。我们强调，满足（2）的主要困难在于h和g在势垒U=0的对边上有支撑。在布朗运动的情况下，我们可以利用它的对称性，得出函数g（z）=h的结论(-z） ful fill（2）。事实上，对于所有的t>0，（3）选择g满足度（h（Bt））=E（g（Bt）），这对于（2）来说是足够的。因此G（z）=h（z）-h(-z） 是静态套期保值问题的解决方案。值得一提的是，积分方程（3）的解可以通过偏微分方程（PDE）进行解释。也就是说，满足（3）并在[0]中得到支持的功能，∞) 提供了以下反问题的解决方案：假设函数h，带有supportin(-∞, 0]，作为以下热方程式的初始条件：屠-u=0，x∈R、 t>0，u（x，0）=h（x）。（4） 费曼-卡克公式意味着u（x，t）=Eh（Bxt）。然后从（3）中得出，将h替换为g，我们得到（4）的解，对于所有t>0，它与x=0时的原始解一致。接下来，假设（4）中的初始条件在R中有任意的支持。

上述观察结果表明，我们可以（仅）在[0]中修改这个初始条件，∞),以确保在x=0、f或所有t>0时得到的解为零。我们只在4 e.BAYRAKTAR和S.Nadtochiy正半线上控制初始温度分布，并且仅在初始时间。目标是确保x=0时的温度始终保持为零。当然，在布朗运动的情况下，这个问题的解决方案是显而易见的，因为s y轴的对称性，g（x）=h(-x） 。等效地，这源自相关热方程的对称性：其一阶系数为零，二阶系数为常数，对应于实线所有点的恒定电导率。然而，对于不具有任何对称性的扩散过程，也可以提出类似的问题。在这种情况下，将（4）中的拉普拉斯算子替换为更一般的椭圆算子，其系数可能不具有所需的系统（例如，这对应于非恒定和不对称的导热系数）。虽然这种简单的方法在这种情况下不起作用，但下一节介绍的弱对称映射允许我们解决这个问题。1.2. 弱反射原理。从以上对经典反射原理的描述中，很容易看出，如果我们用以下内容替代强马尔可夫性、连续性和对称性的假设，这种方法仍然有效：对于任何t>0，给定FTU的BTU+t的条件分布相对于初始水平u是对称的。因此，关键特性是潜在随机过程的对称性。强马尔可夫性和连续性只需要从条件分布传递到无条件分布。

这一观察立即产生了经典反射原理的几个扩展。首先，众所周知，反射原理也适用于布朗运动的指数形式。事实上，对于实线上定义的任何单调连续函数F，过程F（Bx）仍然是强马尔可夫连续的。假设F的范围包含U=0，我们得出结论，随机变量Xt=F（BVt），V=F-1（0），具有与F（2V）相同的分布- F-1（Xt））=F（2V-BVt）。此外，函数x7→ F（2V-F-1（x））地图(-∞, 0]转换为[0，∞), 反之亦然。然后，对于任何函数h，在负半直线上有支撑，函数g（x）=h（F（2V- F-1（x））在正半直线上有支撑，并解出所需的积分方程Eh（Xt）=Eh（F（BVt））=Eh（F（2V-BVt））=Eg（Xt）表示所有t>0。一般来说，如果存在一个映射：R，我们说一个实值随机过程X，X=0，具有强对称性（相对于零）→ R、 su ch表示xS（x）≤ 0代表所有x∈ R、 和Law（S（Xt））=Law（Xt），对于所有t>0。然后，对于任何给定的函数h，在零的一侧有支撑，目标方程EH（Xt）=Eg（Xt）对于所有的t>0，L’EVY过程的弱反射原理5有解g（x）=h（S（x）），函数g在零的另一侧有支撑。因此，反射原理可以很容易地推广到任何具有强对称性且不跨越势垒U=0的强马氏过程。特别是，它适用于任何系数为偶数的微分，因为任何这样的过程都具有很强的对称性，S:x7→-x、 然而，存在强对称性的假设排除了许多对应用很重要的过程（其中一些例子在[8]中讨论）。

在本文中，我们发展了一个关于反射原理的弱公式，它可以应用于一大类不具有任何强对称性的随机过程。这种新配方虽然比标准配方弱，但足以解决第1.1节中概述的问题。在此，我们将我们的分析局限于强马尔科夫过程，这些过程不会从下方（上方）跳过给定的上（下方）障碍。然后，鉴于上述讨论，有必要考虑过程的无条件分布，而不是有条件分布。考虑一个随机过程X，定义在实线上，从零开始。考虑两个空间，B-和B+，由所有勒贝格可测函数h组成，使得h（Xt）对所有t都有明确的期望≥ 0，如果∈B-, 那么h在(-∞, 0]，而如果h∈ B+，那么h有s支持素[0，∞). 如果存在一个来自测试函数B空间的映射W+，我们说X具有上弱对称性（r相对于零）-B-转化为B+，使得对于所有t>0，对于任何h，eh（Xt）=E（W+h（Xt））∈B-. 类似地，我们可以定义较低的弱对称性，以及映射W-: B+→B-. 我们不坚持对测试函数B±的空间进行特殊选择，但在下文中，我们选择了包含所有光滑函数和紧凑支撑的空间。我们将把toW±称为弱对称映射，尽管人们应该记住，在目前的设置中，对称的特殊形式可能会因底层过程X而显著变化。例如，如果X的分布相对于零不对称，则分段线性函数的图像可能是在每个点处都具有非零曲率的曲线。

因此，弱反射原理由强马尔科夫性质、（半）连续性和弱对称映射W±的应用组成。值得一提的是，在现有文献中，弱对称性有一种特殊的选择，受到了很多关注。这种对称性与带漂移的几何布朗运动有关。请注意，类似地，我们可以定义关于任何级别U的弱对称性。我们感谢匿名裁判指出这一点。6.E.BAYRAKTAR和S.NADTOCHIYa布朗运动具有常数（非零）drif t不具有任何强对称性，其指数布朗运动也不具有任何强对称性，几何布朗运动是著名的Black–Scholes–Merton模型的主要组成部分。然而，Carr和Chou[6]通过aGirsanov测度变化消除了漂移，并推导出以下关系：EFSTST∧τ英尺∧τ= ESTST∧ταf装货单∧τST英尺∧τ,（5） 它适用于任何（允许的）函数f，S是几何布朗运动，τ是（严格正）势垒的第一次击中时间。α的值通过S的漂移和波动性显式给出。关系式（5）扩展到[7]中的任意停止时间τ，其中还表明，如果S由独立连续随机时钟上运行的几何布朗运动给出，则（5）仍然成立。[20]建立了（5）的等价公式，以及满足此关系的随机过程的附加性质。最后，[17]和[18]的作者进一步发展了（5）的分析，他们称之为（准）自对偶性，在这种情况下，S是一个L’evy过程，在多元情况下。重要的是要注意，事实上，（5）指定了一个与X=log（S）相关的弱对称映射。

为了了解这一点，假设X是一个强马尔可夫过程，它不会从下方（分别，上方）跳过障碍，而τ是S=exp（X）第一次触及给定的上方（分别，下方）障碍。在不丧失一般性的情况下，我们还可以假设势垒等于1，且f在（0，1）[分别，（1，∞)]. 然后，重复（2）的推导，我们得出以下结论：ef（exp（Xt））=E（EαXtf（exp(-对于所有t>0，是（5）保持的充分条件，如果τ的分布在（0，∞). 因此，在马尔可夫环境中，（5）可以被视为以下弱对称映射：W±h（x）=eαxh(-x） 。（6） [7,17,20]和[18]表明，许多流行的随机过程将（6）视为弱对称映射。然而，也很容易看出（参见[8]）有许多重要的马尔可夫过程，它们的弱对称映射不同于（6），并且d不能作为（6）的右侧与单调函数x的组合而获得；[7]研究了（6）的这种扩展。因此，在本文中，我们不关注随机过程X的性质，它允许特殊的弱对称映射（6）。相反，我们在定理1中证明，任何带单侧跳跃的L'evy过程（服从一些正则性假设）都具有Awak对称性，这是由（32）给出的，并且不必与（6）重合。L’EVY过程的弱反射原理7注1。建立了马尔科夫过程X的弱反射原理，并利用弱对称映射W±，我们可以很容易地将其推广到作为X的独立连续随机时变产生的过程，即s ame W±。