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英文标题：
《An Ordinal Pattern Approach to Detect and to Model Leverage Effects and
  Dependence Structures Between Financial Time Series》
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作者：
Alexander Schnurr
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We introduce two types of ordinal pattern dependence between time series. Positive (resp. negative) ordinal pattern dependence can be seen as a non-paramatric and in particular non-linear counterpart to positive (resp. negative) correlation. We show in an explorative study that both types of this dependence show up in real world financial data.
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中文摘要：
我们介绍了时间序列之间的两种有序模式依赖。正（或负）顺序模式依赖可被视为非准矩阵，尤其是正（或负）相关的非线性对应。我们在一项探索性研究中发现，这两种依赖都出现在现实世界的金融数据中。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> An_Ordinal_Pattern_Approach_to_Detect_and_to_Model_Leverage_Effects_and_Dependen.pdf (148.78 KB)

2022-5-7 18:26:12 上传

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关键词：杠杆效应 Applications Quantitative Multivariate Econophysics

一种顺序模式方法，用于检测和建模金融时间序列之间的杠杆效应和依赖结构Lexander Schnurr*2018年9月18日摘要我们介绍了时间序列之间的两种有序模式依赖。正（或负）顺序模式依赖可以被视为一种n-对-参数依赖，尤其是正（尤其是负）相关的非线性对应。Weshow在一项探索性研究中指出，现实世界的金融数据显示了这两种类型的依赖。MSC 201 0:62-07（初级）；91G70、91B8 4、62M10（次要）关键词：有序模式、平稳性、杠杆效应、波动率、无模型数据探索、计量经济学。1976年，布莱克分析了资产收益率和相应波动率负相关的影响。在金融文献中，这种现象被称为“平均效应”。在后来的研究中，有几位学者证实了这种影响的存在（参见例如Yu（2005）和其中给出的参考文献）。在股票市场模型中捕捉杠杆效应的经典方法是假设两个数据集之间存在时间常数的负相关性（Heston（1993）、Barndor ff-Nielsen和Shepard（2002））。然而，有强有力的证据表明，这种影响并不是恒定的，但它本身会随着时间的推移而演变。似乎在某些时期，这种影响会减弱，有时甚至会出现“逆转”，即两个数据集之间存在正相关性（Carr和Wu（2007））。考虑到这些经验发现，建议使用更复杂的模型。

关联结构由非终结函数建模，或与状态空间相关（Romano和Touzi（1997），*德国亚历山大多特蒙德D-44227多特蒙德理工大学法库特分校勒尔斯图尔四世。schnurr@math.tu-多特蒙德。de1简介和一般设置2班迪和雷诺（2009年）。在Veraart和Veraart（201 0）中，相关结构本身就是一个随机过程[-1, 1]. 在这种情况下，也可以比较Emmerich（2007）。目前的情况如下：关于杠杆效应建模的大量文献正面临数百个资产的巨大数据集，以及相应的波动性。同样的问题也出现在管理金融的各个部分：给定两个数据集x和y以及两个模型（这是R值随机过程）x和y：o模型是否满足各自的数据集？随机建模的经典问题x和y之间是否存在依赖结构？x和y的模型是否正确依赖结构的本质是什么？我们有线性依赖吗？在本文中，我们主要关注第二个问题。我们没有提出更复杂的模型，而是引入了一种更简单的方法来分析两个数据集之间是否存在依赖结构。为了捕获数据集的t-hezik-zak，我们使用了所谓的顺序模式。该方法由Bandt（2005）和Keller et a l（2007）开发，用于处理医学、气象学和金融中出现的数千个数据点的时间序列（参见Keller和Sinn（2005））。我们从这个角度比较了这两个数据集，也就是说，我们估计了一致的各自反映模式的可能性（见下文）。

在某些情况下，作为一个例子，我们将考虑标准普尔500指数和相应的波动率指数VIX，这种依赖结构似乎更可能在实际数据中找到，而不是通过相关性用经典方法建模的依赖性（参见Whaley（2008））。基本思路很简单：让我们看看第一个数据集的四个连续数据点：xn、xn+1、xn+2、xn+3。第二个点xn+1可以高于或低于xn。假设我们有xn+1>xn。那么，第三个点xn+2可以高于两个更高的值，也可以介于这两个值之间，或者低于这两个值：xxxin在这三种情况中，我们有四种可能性，其中第四个值xn+3可能被放置：它可以是四个值中的最高值，也可以是第二高值，依此类推。xxxxx我们在下面陈述如何处理cas e xn=xn+1.1介绍和一般设置3这将导致数据点的24种可能性。为了简洁地描述这些，我们把每一个都写成一个排列。这是按照以下步骤完成的：以各种形式（从上到下）写下值，比如xn+3>xn+1>xn+2>xn。指数的顺序（负n）产生排列（3，1，2，0）。这种排列被称为四个数据点的（顺序）模式。如果一个j<kwe put…的xj=xk。。。，j、 k。。。在排列中。将排列与数据点关联的映射用∏表示。xone现在不再保存数据集的完整信息，而是记录模式序列。这可以通过两种方式完成：一种是向前移动一个点，也就是说，分析（x，x，x，x），x，x。。。或者整个块（x，x，x，x），（x，x，x，x。。。

在第一种情况下，人们可能会面临高估依赖结构的问题，而在第二种情况下，一些信息可能会丢失。对第二个数据集y进行相同的分析。回到上面提到的三个问题：两个时间序列中的or dina l模式的概率应大致等于相应数据集中模式的相对频率。此外，如果两个数据集的模式之间存在依赖结构，那么模型X的顺序模式概率应该是相同的。将数据集与特定模型或模型类别进行匹配是ongoingresearch的一部分，不在本文的讨论范围内。在本文中比较Keller和Sinn（201 1）。在这里，我们只是介绍了依赖性的新概念，并表明有强有力的证据表明，现实世界的金融时间序列之间存在这种依赖结构。通过顺序模式的方法有以下优点：对于几类过程，可以计算顺序模式概率，并且有快速算法来分析给定数据集中顺序模式的相对频率。相关性分析非常简单，甚至可以通过标准电子表格应用程序进行。在单调变换下，整个分析是稳定的，数据的小扰动或测量误差不会破坏有序结构。让我们来定义一些符号：考虑的主要对象是两个离散观测的随机过程（Xn）∈南德（Yn）n∈N.就我们的目的而言，无论过程是先验离散的，还是在时间t<t<。。。。为了保持符号简单，我们将始终使用Nas索引集。增量表示为(Xn）n∈在哪里Xn:=Xn- Xn-1.

H∈ N是考虑中的连续增量数，π表示对称群ShandPn（π）：=P（π（Xn，Xn+1，…，Xn+h）=π）。对于π元素∈ Sh，m（π）是“反射排列”，即从右向左读取排列。本文组织如下：在第2节中，我们介绍了时间序列之间顺序模式依赖的概念。在第3节中，我们分析了两个真实世界的例子。在结束本文时，我们对开放性问题进行了展望，并对第4.2节顺序模式依赖42顺序模式依赖进行了进一步概括。接下来，我们通过顺序模式概率分析和建模时间序列之间的依赖结构。让我们强调，时序模式概率是时间序列增量的面积性质。在h=2的情况下，我们得到pn（（2，1，0））=P(Xn+1>0，Xn+2>0）Pn（（1,2,0））=P(Xn+1>0，Xn+2≤ 0, Xn+1+Xn+2>0）Pn（（1,0,2））=P(Xn+1>0，Xn+2≤ 0, Xn+1+Xn+2≤ 0）Pn（（0,1,2））=P(Xn+1≤ 0, Xn+2≤ 0）Pn（（0，2，1））=P(Xn+1≤ 0, Xn+2>0，Xn+1+Xn+2≤ 0）Pn（（2，0，1））=P(Xn+1≤ 0, Xn+2>0，Xn+1+Xn+2>0）。（1） 对于几类模型，这些概率是已知的，或者（至少）可以近似。因为我们想要无模型工作，所以我们使用相对频率来估计这些概率。在我们的分析中，我们将自己的大部分时间限制在sh=2和h=3的情况下，也就是说，我们分别分析了连续数据点的三个情况。h将军案∈ N可以用同样的方式处理。然而，在这样做时（h+1）！必须考虑模式。研究h的小值情况符合现有文献（参见Keller和Sinn（2011））假设：我们总是假设所考虑的时间序列是有序模式平稳的，即对于每个π∈ Sh概率Pn（π）与n无关。备注2.1。

显然，时间序列的平稳性意味着平稳增量，而反过来又意味着有序模式的平稳性。事实上，我们的假设只是一个工作假设。之后，有序模式分析可以用于实际检测结构断裂。为了描述两个时间序列之间的依赖性有多强，我们使用以下概念。定义2.2。时间序列X和Y表现出正序模式依赖（ord）⊕) h阶∈ N和水平α>0 ifPπ（Xn，Xn+1，…，Xn+h）=∏（Yn，Yn+1，…，Yn+h）> α+Xπ∈上海医药π（Xn，Xn+1，…，Xn+h）=π· Pπ（Yn，Yn+1，…，Yn+h）=π负序模式依赖（o r d) h阶∈ N和水平β>0 ifPπ（Xn，Xn+1，…，Xn+h）=mπ（Yn，Yn+1，…，Yn+h）> β+Xπ∈上海医药π（Xn，Xn+1，…，Xn+h）=π· Pm（π（Yn，Yn+1，…，Yn+h））=π.其中m（π）表示反射排列（见上文）。3两个经验示例5备注2.3。（a） 命令⊕ 这意味着对于大量指数j，等渗酮t r转化为r→ R、 将xkto映射到yk（用于k∈ {j，j+1，…，j+h}）存在，其中（xk）k∈{0，…，N}是X的一个实现。如果存在一个具有相同性质的反单体变换，则该变换对应于一个ord.xxxxxxxxx（2,1,0）（1,2,0）（1,0,2）l反映xxxxxxxxx（0,1,2）（0,2,1）（2,0,1）（b）通过这个定义，我们可以在同一时间明显地有正相关和负相关。至少如果α和β不是太大。（c） 从统计学角度来看，这意味着如果我们考虑真实数据，我们正在验证“独立性”假设，临界区域是]α，1]各自的]β，1]。在我们的分析中，我们使用给定的数据估计两个时间序列的顺序模式概率。

这让我们可以自由工作。（d） 除了负相关性的经典概念外，文献中还有其他负相关性的概念：Zarei和Jabbari（2011）[定义1.1]和Sung（2012）使用了一个不同的负相关性概念，即一个时间序列，这是莱曼（1966）首次提出的。3两个Empi实例作为第一个实际例子，我们考虑了著名的标准普尔500指数（SPX）和相应的芝加哥期权交易所演化指数（VIX）之间的依赖结构，该指数由r.E.Whaley于1993年提出，并于2003年修订。VIX在这里被用作基础指数波动性的经验度量（在本文中比较纳格尔和舍贝尔（1999），他们使用VDAX的目的相同）。这两个时间序列之间的相互作用是正在进行的研究的重要组成部分（参见Madan和Yor（2011）），从我们的角度来看，这很有趣，原因如下：在标准文献中，人们发现它们之间存在负相关。然而，该指数的发明者在其2008年的论文中指出，如果SPX增加，VIX减少，反之亦然，但“VIX和SPX的变化率之间的关系是不对称的”（第7页），特别是没有线性相关性，可以通过相关性来建模。我们分析的第二个例子涉及道琼斯指数与美元-欧元汇率之间的依赖关系。有强有力的证据表明，这两个经验时间序列之间存在“正相关性”。我们表明，在我们分析的时间段内，似乎存在正的顺序模式依赖性。3.1数据在这两个例子中，我们都使用了开源数据。

我们从Finance中提取了SPX、VIX和道琼斯指数的历史数据。雅虎。com和DollarEuro exchange ra t e的来源是www.global-view。com/forex-trading-t工具。对于三个指数，如果没有另外提及，我们使用了“收盘价”。在第二次比较中，为了使数据集具有可比性，我们必须删除美国公共假日当天的欧元兑美元汇率数据。使用引言中描述的第一种方法，也就是说，我们逐点向前移动，我们选择了503个连续的数据点。在h=2的情况下，不使用第一个。因此，我们在这两种情况下都有500种模式。使用第二种方法（分块），我们在h=2的情况下选择了1002个数据点，在h=3的情况下分别选择了1503个数据点。这将产生500个图案，便于比较结果。由于波动率指数的数据只能追溯到1990年，在分析月度数据时，我们不得不使用较少的数据点：我们将自己的数据限制在250个点。3.2分析方法我们首先使用电子表格应用程序分析了上述数据集，然后使用R编写的程序。使用电子表格应用程序，我们分别为每个模式分配了一个0到5（h=2）和0到23（h=3）的数字，这样加上反射模式的数量分别产生5到23。为了估计作战需求⊕ 分别是ord, 我们需要以下数量：定义3.1。

我们写Eqpπ（Xn，Xn+1，…，Xn+h）=∏（Yn，Yn+1，…，Yn+h）Pneq对P的估计π（Xn，Xn+1，…，Xn+h）=mπ（Yn，Yn+1，…，Yn+h）pXπP（π（Xn，Xn+1，…，Xn+h）=π）∈ Sh.通过相对频率，andeα：=peq-Xπ∈Sh（pXπ·pYπ）eβ：=pneq-Xπ∈Sh（pXπ·pYm（π）），用于ord的无模型估计⊕α级与作战需求β级。3两个实证示例73.3结果i）详细的第一个示例为了获得第一个示例，我们随机选择了时间段2010年1月27日至2012年1月24日。我们分析了每天的数据，一个接一个地向病房移动。