高阶矩变分及其应用

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英文标题：
《High moment variations and their application》
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作者：
Geon Ho Choe and Kyungsub Lee
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  We propose a new method of measuring the third and fourth moments of return distribution based on quadratic variation method when the return process is assumed to have zero drift. The realized third and fourth moments variations computed from high frequency return series are good approximations to corresponding actual moments of the return distribution. An investor holding an asset with skewed or fat-tailed distribution is able to hedge the tail risk by contracting the third or fourth moment swap under which the float leg of realized variation and the predetermined fixed leg are exchanged. Thus constructed portfolio follows more Gaussian-like distribution and hence the investor effectively hedge the tail risk.
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中文摘要：
提出了一种基于二次变分法的收益率分布三阶矩和四阶矩的测量方法。从高频回波序列计算出的实际三阶和四阶矩变化与回波分布的相应实际矩非常接近。持有具有倾斜或厚尾分布的资产的投资者能够通过签订第三或第四时刻互换来对冲尾部风险，在该互换下，已实现变动的浮动部分和预定的固定部分被交换。这样构造的投资组合遵循更高斯的分布，因此投资者有效地对冲尾部风险。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> High_moment_variations_and_their_application.pdf (645.88 KB)

2022-5-5 05:19:20 上传

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关键词：distribution Quantitative constructed Application CONTRACTING

高阶矩变分及其在Ho Choe上的应用*和Kyungsub Lee+摘要我们提出了一种新的方法，在假设返回过程存在零漂移的情况下，基于二次变分法测量返回分布的三阶和四阶矩。从高频ncyreturn序列计算的d三阶和四阶矩变化与收益分布的相应实际矩非常接近。持有具有倾斜或厚尾分布的资产的投资者能够通过签订第三或第四时刻互换来对冲尾部风险，在该互换中，已实现变动的浮动段和预定固定段被交换。这样构造的投资组合遵循更多的高斯-伊恩分布，因此投资者可以有效地对冲风险。确认本研究由教育部资助的韩国国家研究基金会（NRF）的基础科学研究项目（NRF-2011-0012073）支持。*韩国大田KAIST数学科学系305-701，choe@euclid.kaist.ac.kr+通信作者，韩国大田市KAIST数学科学系305-701，电话：+8242-350-2725，传真：+82-42-350-2710，klee@euclid.kaist.ac.kr1引言我们定义了金融资产回报过程的第三和第四时刻变化，并检查了这些变化的性质。三阶矩变化定义为平方收益和收益过程之间的二次协变量，四阶矩变化定义为平方收益过程的二次变化。

结果表明，在一定条件下，这些变化可以作为收益率分布三阶和四阶矩的近似值，通常很难测量。偏态，即第三个标准化时刻，长期以来一直是金融研究中的一个重要话题，有大量证据表明，股票收益率分布在物理概率和风险中性概率之下是偏态的。Kraus和Litzenberger（1976）扩展了capitalasset定价模型，以纳入偏斜偏好。Harvey和Siddique（1999）开发了一种估计时变条件偏度的新方法。Harvey和Siddique（2000年）表明，条件偏度解释了预期回报率的横截面变化。在Bakshi等人（2003年）中，定义了立方和q-uartic契约来衡量风险中性偏态和ku-rtosis。Christo Offersen等人（2006年）开发了一个GARCH型期权定价模型，该模型采用了反高斯创新，以纳入条件偏度。Neuberger（2012）和Kozhan等人（2012）提出了对已实现三阶矩的新定义，该定义描述了总资产，以估计长期收益的真实三阶矩。此外，峰度是第四个标准化矩，在金融研究中也起着至关重要的作用，众所周知，金融资产收益率分布的峰度比高斯分布大。Brooks等人（2005年）提出了一个新的自回归峰度模型，并展示了存在自回归条件峰度的证据。Angel Le\'on等人（2005年）也指出了条件偏度和峰度的显著存在。我们检验收益分布高阶矩的方法基于二次变异方法，其动机来源于之前对资产回报过程二次变异的研究。

资产回报（或价格）过程的二次变化，即回报平方和的极限，在衡量回报方差方面起着核心作用，因为回报二次变化的预期被视为回报分布方差的估计值。已实现（二次）变化是指根据高频回报时间序列计算的回报平方的细节，是二次变化的近似值。因此，收益的已实现变化是物理概率下收益分布方差的有效估计。我们扩展了这个想法，将新定义的高阶矩变化与收益分布的相应数量联系起来。在以往关于高频数据的理论和实证分析的研究中，Andersen et al.（2003）表明，当底层过程是s-Martin gale时，已实现方差是定量变量的一致估计。Barndor ff-Nielsen和Sh ephard（2002）推导了随机波动模型下已实现波动误差的渐近分布。Barndorff-Nielsen和Sh ephard（2004年）以及Barndorff-Nielsen和Shephard（2006年）介绍了已实现的双功率变化，它对估计综合方差和资产价格过程中的测试跳跃的罕见跳跃具有鲁棒性。Hansen和Lunde（2006）研究了在存在市场微观结构噪声的情况下实现的方差的误差。Mykland and Zhang（2009）研究了高频数据的计量经济学文献通常依赖的局部恒常性方差近似。回报率的二次变化的一个有趣性质是，q值变化的风险中性预期是由欧洲期权价格的连续体合成的。

更准确地说，期望值由一个积分公式表示，其积分由加权期权价格组成。有关此类复制技术的详细信息，请参见Carr and Madan（2001）和Britten Jones and Neuberger（2000）。因此，通过计算已实现方差和综合期权价值，可以比较物理概率和风险中性概率下的收益方差之间的差异。Carr和Wu（2009）使用这种方法表明，存在方差风险溢价，而风险中性方差通常大于已实现方差。读者可以参考Bakshi和Madan（2006），其中解释了方差风险前提与收益分布的更高阶数量之间的关系。托多罗夫（2010）研究了跳跃在解释方差风险溢价中的作用。关于已实现波动率和风险中性波动率之间的关系，见Zhang（2012）。综合期权价值通常被称为固定方差互换率。执行变动掉期利率是指投资者愿意为保护其财富免受变动风险而支付的价值。有关方差交换的更多信息，请参见Demeter Fi等人（1999年）。我们发现，第三和第四时刻变化的风险中性预期由无现金（OTM）欧洲期权的综合期权部分和跳跃修正部分组成。我们的实证研究表明，预期第三和第四时刻变化的期权部分分别与预期收益分布的第三和第四时刻很好地近似。事实上，可从高频数据计算的已实现的高阶矩变化正在模仿收益分布的矩，而收益分布的矩很难从数据中计算，这对于对冲厚尾风险非常重要。

为了规避风险，我们提出了一种新的变异互换方法。swapis与Neuberger（2012年）和Kozhan等人（2012年）引入的倾斜掉期相似，但浮动段被定义为固定时间段内资产回报的已实现第三时刻变化。三阶矩变动互换可以用来对冲具有重左尾收益分布的金融资产的短缺风险。在第三时刻变动掉期中，交易对手将实现的第三时刻变动交换为预定的罢工价格。与原始资产相比，由倾斜的基础资产和三阶矩互换组成的投资组合具有更高斯的对称收益分布，因此可以对冲极端短缺风险。四阶矩变量互换可以应用于收益率分布为轻量级的资产，从而降低厚尾风险。同样，由厚尾基础资产和四阶矩变动互换组成的投资组合具有更像高斯的细尾收益分布。我们采用模拟和实证研究来检验变异互换的性能。论文的其余部分组织如下。第二节介绍第三和第四个变奏。在第3节中，我们构建了一个数学框架，以表明三阶和四阶矩变化的风险中性预期由欧式期权价格表示。在第4节中，我们对标准普尔500指数收益率和期权数据进行了实证研究。标准普尔500指数系列的五分钟高频数据用于计算实现的二次变量和协变量。利用指数optiondata上的一些过滤方法，我们还计算了二次变化的风险中性预期。在第5节中，我们解释了处理尾部风险的变异互换，并展示了有趣的例子和实证研究。

第6节总结全文。2.高阶矩变量通过本文，我们引入了一个时间指数集为[0，T]的概率空间*] 对于一些固定的T*> 0.让我们(Ohm, F、 P）是一个过滤{Ft}t的完全概率空间∈[0，T*]whereFT*= F.测量P是物理概率测量。本文介绍的所有过程都定义在概率空间上，并且这些过程都适用于过滤。设S表示一个半鞅资产价格过程，F表示一个到期日为0<T的期货价格过程≤ T*. 假设存在一个风险中性测度Q，其中每个贴现资产价格过程都是鞅。我们还假设Ft=EQ[ST | Ft]。定义日志返回过程RT=log St- log S.我们对固定时间段[0，T]内收益率R的高阶矩特性感兴趣，例如，T=1或30天，分析基于二次变异方法。半鞅X的二次变分过程由[X]t=Xt定义- 2ZtXudXu。X和Y的二次协变量过程由[X，Y]t=XtYt定义-ZtXudYu-ZtYudXu。注意，对于[0，t]上的一个划分πn序列，我们有[X，Y]t=lim | |π||→0Xi（Xti- Xti-1） （Yti）- Yti-1） 很可能。有关详细信息，请参见Protter（2005）。已实现的收益二次方差[R]t是特定条件下对数收益R方差的无偏估计量（Ander sen et al.，2003）。因此，已实现的变化成为实际差异或回报的常规衡量标准。我们现在通过[R，R]三阶矩协变量[R]四阶矩变量来定义分析的三阶矩协变量和四阶矩变量。三阶矩协变量是回归过程和平方回归过程之间的四阶协变量。

第四矩协变量是平方收益过程的二次变量。结果表明，新定义的变化与实际力矩密切相关。在后面，我们将演示第三时刻协变量[R，R]和第四时刻变化[R]的期望值的线性变换，分别逼近[0，T]上收益分布的第三和第四时刻。特别是在不连续时间的s-T波动模型中，假设收益过程的漂移项为零，期望时刻的变化与实际时刻是精确的线性关系。这就是为什么[R，R]被称为三阶矩协变量，[R]被称为四阶矩变异的原因。考虑一个0=t<tN=t的分区。为了简单起见，让Ri=Rti。然后我们用[R]T近似下列二次变化和协变≈NXi=1（Ri- 里-1） [R，R]T≈NXi=1（Ri- 里-1） （Ri）- 里-1） [R]T≈NXi=1（Ri- 里-1).由于R和稀有半鞅，当分区的网格尺寸为零时，上述方程的右边收敛到相应的二次变化和协变。有限和被称为已实现（co）变量，已实现变量是相应四次变量的一致估计量。我们将使用已实现（co）变更作为RT物流第三和第四时刻的代理。已实现变更的最终总和中的每一项都包括合同的权力。我们可以重写-1.- Ri）（Ri）-1.- Ri）=(里-1，i）+2Ri-1(里-1，i）和（Ri）-1.- Ri）=(里-1，i）+4Ri-1(里-1，i）+4Ri-1(里-1.我）在哪里里-1，i=Ri- 里-1.三阶矩协变量中的术语通过保持一个立方对数契约和2Ri来复制-1该期间的方形日志合同[ti]-1.ti]。

类似地，通过持有一个四次对数合约4Ri，复制四阶矩变化中的项-1立方测井合同和4Ri-1该期间的方形日志合同[ti]-1.ti]。例1。假设价格过程遵循赫斯顿的托卡斯蒂克波动率模型。然后DST=uStdt+pVtStdW（t）dVt=κ（θ）- Vt）dt+σpVtdW（t）[W，W]t=ρdt。此外，dRt=u -及物动词dt+pVtdW（t），d[R]t=Vtdt。注意，通过假设r eturn p过程中的漂移为零，我们得到了[r，r]T=2ZTRtVtdt（1）和[r]T=4ZTRtVtdt。（2） 此外，E[RT]=3EZTRtdRt+3EZtRtd[R]t= 3EZRTVTDTandE[RT]=4EZTRtdRt+ 6Eztrd[R]t= 6EZRTVTDT.通过将上述方程与等式进行比较。（1） （2）我们得出结论，在回归过程中没有d裂缝的随机波动模型中，预期力矩变化与实际力矩之间的关系是线性的。更准确地说，E[RT]=E[[R，R]T]，E[RT]=E[[R]T]。为了检验漂移项引起的b ias，我们进行了一项模拟研究，参数设置为u=0.05，κ=4，θ=0.3，σ=0.4和ρ=-0.9，T=1天。在图1的左侧，我们绘制了样本三阶矩（虚线）的动力学，以及实现的三阶矩变化[R，R]t乘以1.5的样本平均值的动力学。尽管存在漂移项，但两个量的极限之间的差异相对较小。类似地，在图1的右边，样本四阶矩（点）和样本平均值1的收敛性。5[R]代表。示例三阶矩是-5.93 × 10-4样本平均值为1。5[R，R]是-6.01 × 10-4.样本偏差约为1.4%。示例四阶矩为2。76× 10-4且1.5[R]的样本平均值为2.97×10-4.

在这种情况下，样本偏差约为7。7%.0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-2.-1.5-1.-0.500.511.5x10-3样本大小1.5[R2，R]R30 100 200 300 500 600 800 900 1000012345678x 10-4样本量1.5[R2]R4图1：左侧样本三阶矩（虚线）和1.5[R，R]（虚线）的收敛性，右侧样本四阶矩（虚线）和1.5[R]（虚线）的收敛性3使用选项合成变化，以检查选项隐含的三阶矩和四阶矩变化，我们为[R，R]的风险中性预期提供积分公式，并基于欧式期权价格。利用导出的公式，我们可以研究与高阶回归矩相关的风险溢价，并比较风险中性概率下的矩变化和实际矩。为简单起见，我们假设瞬时利率r为常数。我们定义φ（x，K）=（p（x，K），0≤ K≤ erTx，c（x，K），erTx<K<∞.其中c和d p分别是当前现货价格为x和履约价格为K的欧洲看涨期权和看跌期权。让LQ，[Y]（[s，t]×Ohm) 表示适应随机过程X的空间，使得ZtsXud[Y]u财政司司长< ∞. a、 在这个条件下，我们保证X关于Q鞅Y的随机积分是Q鞅。有关详细信息，请参考Kuo（2006）。为了推导积分公式，我们需要以下技术条件：F，R+1F，R+2R+2F∈ LQ（[0，T][F]×Ohm) （3） 在下一个定理中，变化的风险中性预期由sumsof积分表示，其被积函数为加权欧式期权价格和跳跃修正部分。对于高阶矩变化的风险中性预期，我们与Carr和Wu（2009）得出了类似的结果。定理1。