营业额减少的谱模型

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英文标题：
《A Spectral Model of Turnover Reduction》
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作者：
Zura Kakushadze
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We give a simple explicit formula for turnover reduction when a large number of alphas are traded on the same execution platform and trades are crossed internally. We model turnover reduction via alpha correlations. Then, for a large number of alphas, turnover reduction is related to the largest eigenvalue and the corresponding eigenvector of the alpha correlation matrix.
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中文摘要：
当大量Alpha在同一执行平台上交易且交易在内部交叉时，我们给出了一个简单明确的营业额减少公式。我们通过阿尔法相关性对营业额减少进行建模。然后，对于大量alpha，营业额减少与alpha相关矩阵的最大特征值和相应特征向量有关。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> A_Spectral_Model_of_Turnover_Reduction.pdf (179.6 KB)

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关键词：营业额 Quantitative correlations Applications QUANTITATIV

营业额减少的光谱模型ionZura Kakushadze§+1§QuantigicResolutions LLC1127 High Ridge Road#135，斯坦福德，CT 06905+第比利斯自由大学，商学院和物理学院240，第比利斯戴维·阿格马什内贝利巷，0159，乔治亚州（2014年4月20日；修订日期：2015年7月24日）摘要当大量Alpha在同一执行平台上交易且交易在内部交叉时，我们给出了一个简单明确的营业额减少公式。我们通过阿尔法相关性对营业额减少进行建模。然后，对于大量的阿尔法，翻转减少与阿尔法相关矩阵的最大特征值和相应的特征向量有关。关键词：对冲基金、alpha stream、交叉交易、交易成本、投资组合周转、关联结构、大N limitZura Kakushadze博士是Quantigicrolutions LLC的总裁，也是第比利斯自由大学的全职教授。艾玛·伊尔：zura@quantigic.comDISCLAIMER：回复作者使用此地址的目的仅为表明其在出版物中的职业职责。特别是，本文内容并非投资、法律、税务或任何其他此类建议，且不代表QuantigicSolutions LLC网站www.q uantigic的观点。或者他们的任何一个朋友。1简介和总结随着技术的进步，对冲基金和类似的投资工具可以同时交易多个阿尔法流。出现的一个直接问题是如何为这些字母分配资本，或者从数学上讲，如何确定字母组合的权重。这是一个优化问题，其解决方案取决于精确的优化标准以及其他因素，例如交易成本是否以及如何被包括和建模。第二个问题与Alpha之间的交叉交易有关。

比如说，如果在agiven对冲基金内部，策略A想要购买100万美元的MSFT，而策略B想要出售100万美元的MSFT，那么在内部进行交易是有意义的——如果executionplatform允许的话——而不是进入市场，因为内部交易相当于大幅节省交易成本。当使用内部交叉时，投资组合周转率会降低，因此在投资组合优化中使用交易成本的最简单模型也需要考虑周转率的降低。随着越来越多的阿尔法流被合并，人们预计平均交叉应该增加，因此美元周转率占美元总投资的百分比——我们简称为“周转率”——预计将减少。年（Kakushadze and Liew，2014年），ar Guedt认为营业额确实在下降，并收敛到一个非消失极限。一般来说，准确描述内部交叉和新的减少并不是一件容易的事。在由大量基础可交易工具（如股票）组成的投资组合中，内部交叉的精确细节取决于详细的投资组合头寸和交易数据。接下来的问题是，人们是否可以用一些合理的假设来模拟预期的营业额减少——即平均值。一个观察结果是，交易的相关性越高，阿尔法越相关，交易的相关性越高，预期内部交叉越低。因此，虽然营业额减少不一定是阿尔法相关性的简单（如线性）函数，但很明显，它与阿尔法相关性有关，因此可以尝试基于阿尔法相关性对营业额减少进行建模，阿尔法相关性比头寸和交易数据更易处理。

（Kakushadze and Liew，2014）中的关键观察结果是，当阿尔法的数量N很大时，这里的“阿尔法”指的是现实生活中的阿尔法（而不是“学术上的”）阿尔法，即任何雷亚索·纳布利预期的回报，人们可能希望进行交易，即承担风险。事实上，现实生活中的Alpha（例如，动量策略）通常有相当大的风险可能性。此外，不存在“有效”风险模型w.r.t.可以假设中和投资组合的风险敞口。否则，只会出现暂时性的贸易失衡所导致的均值重估，而这在现实生活中并非如此。不同的时间范围提供了不同的阿尔法（交易）机会。关于内部交叉及其好处的插图讨论可在（Kakushadzeand Liew，2014）中找到，包括均值回归和动量阿尔法之间交叉交易的明确例子。有关对冲基金的部分名单，请参见，例如阿克曼等人（1999年）、阿加瓦尔和奈克（2000a，b）、阿明和凯特（2003年）、阿斯内斯等人（2001年）、布鲁克斯和凯特（2002年）、布朗等人（1999年）、陈等人（2006年）、爱德华兹和卡格莱安（2001年）、爱德华兹和刘（1999a，b年）、冯和谢（1999年、2000年、2001年）、高（2002年）、梁（1999年、2000年、2001年）、罗（2001年）、拉西康坦德·埃奥雷特（2013年），Schnees等人（1996年）。“Lar ge N Limit”——营业额减少确实有望简化。在（Kakushadze和Liew，2014年）中，讨论了一个简单的营业额减少模型，其中假设不同字母之间存在一致的成对相关性ρ。然后，当Alpha的数量较大时，投资组合的周转率有一个非消失极限，该极限与ρ成线性比例。在本文中，我们提出了一个通用阿尔法相关矩阵的离职率降低模型。

我们认为，在大N极限下，我们可以使用相关矩阵的谱分解，从而使用其特征值和特征向量，对tur-nover约化进行建模。在这个极限下，我们有一个非平凡的营业额减少公式，它是（Kakushadze and Liew，2014）的推广。基于互补因子模型的方法（Kakushadze，2014a）证实了我们的结果，即当N较大时，营业额会达到一个有限的极限。总之，在这篇文章中，我们给出了一个明确的光谱模型，在阿尔法数量大的极限下，一般阿尔法相关矩阵的周转率减少。在这种情况下，该模型可用于估计交易成本，以及考虑成本的投资组合优化问题。我们模型的后一个应用于（Kakushadze 2015a、2015b）。本文的其余部分组织如下。定义见第2节。第3节讨论协方差（或相关性）矩阵的正不确定性。第4节讨论了我们的营业额减少光谱模型和注意事项。我们的主要结果由等式给出。（31）、（34）、（37）和（44）。我们在第5.2节定义中得出结论，我们有N个αi，i=1，N.每个α实际上是一个时间序列αi（ts），s=0，1，M、 这是最近的一次。低于αi指αi（t）。假设Cijbe是N个时间序列αi（ts）的样本协方差矩阵。设ψij为相应的相关矩阵，即Cij=σiσjψij（1），其中ψii=1。首先，让我们考虑一下成本。Alphasαi与一些权重wi结合。投资组合损益（P&L）由P=INXi=1αiwi（2）给出，其中I是投资水平（多头加空头）。在下面的讨论中，这些权重的实际值是什么或如何计算（例如，通过优化、回归等）并不重要。

我们使它们服从于非恶意化条件pni=1 | wi |=1。权重可以为负（内部交叉）。当包含线性交易成本时，P&L由P=INXi=1αiwi给出- L D（3），其中L包括所有固定交易成本（证券交易委员会费用、交易所费用、经纪交易商费用等）和线性滑动。线性成本假设没有影响，即交易不会影响股价。此外，D=IT是交易金额，T是周转。设τi>0为对应于单个αi的周转率。如果weignore周转率减少导致α的组合，则t=NXi=1Ti≡NXi=1τi | wi |（4）然而，营业额减少可能是巨大的，需要加以考虑。要做到这一点，我们需要对N个字母组合时的营业额进行建模。在（Kakushadze和Liew，2014）中讨论了这种建模后的基本思想，包括内部交叉可以通过相关性参数化的假设（及其局限性）。在这里，在不重复（Kakushadze and L iew，2014）的论点的情况下，我们将讨论仅基于相关矩阵ψij的营业额减少模型。正如在（Kakushadze and Liew，2014）中所述，在本说明中，我们的计算是在每个阿尔法在其各自单独的聚合单元中进行交易的框架下进行的，并且匹配的交易在单独的聚合单元之间交叉。3“固定”协方差矩阵通常，协方差矩阵CIJC具有以下不良性质。首先，它可能（几乎）退化。其次，它可能不是正（半）定义（见footno t 7）。设V（a）ibe N r c的右特征向量对应于其特征值λ（a），a=1，N:cv（a）=λ（a）V（a）（5），在a上没有求和。

设U为特征向量V（a）的N×N矩阵，即U的ath列为向量V（a）：Uij≡ V（j）i（6）设∧为特征值λ（a）∧ij的对角矩阵≡ δijλ（j）（7）在j上没有求和。然后C U=U∧（8）注意，因为C是对称的，U可以选择为正交的：UTU=1。勒特≡ UTw（9）那么波动率R由R=I给出√ewT∧ew=IvuutNXi=1λ（i）ewi（10），因此，如果CIJI不是正半限定，即如果其任何特征值λ（a）为负，则波动率R不确定。此外，如果Cijis（几乎）退化，即，如果其任何特征值λ（a）为零（或小），则Nxi=1V（a）iαi（11）给出的阿尔法的相应线性组合对波动率r的贡献为零（或小），从而将不稳定性引入系统。近简并是由几乎100%相关或反相关的α引起的，可以通过简单地移除这些“冗余”α来治愈：对于每个αi，只要|ψij |>ψ，每个αj（j 6=i）都被移除*, 其中0<ψ*< 1是允许关联的模量上限（例如，ψ*= 0.9). 在接下来的章节中，我们将假设t |ψij |≤ Ψ*< 1.然而，在实践中，近简并通常是由M<< N.事实上，当M<N时，只有M个Cijare的特征值是非零的，而其余的具有“小”值，可以是正的或负的。这些小值通过计算舍入进行零校正。在这种情况下，解决方案不是移除任何字母（因为它们不一定是“多余的”），而是变形共价矩阵，使其成为正定义。3.1一种简单的方法如果一个人只想解决积极的不确定性问题，有多种方法可以做到这一点。

一种不需要去除任何α的简单方法是矩阵Cijis退化当且仅当ma trixψij退化：det（C）=det（ψ）QNi=1σi。实际上，这假设在任何α时间序列中都没有N/As。如果某些或所有阿尔法时间序列以非均匀方式包含N/A，并且通过省略此类成对N/A来计算相关矩阵，则所得的相关矩阵可能具有负特征值，这些特征值在所使用的意义上不是t“小”，即，它们不是因计算舍入而扭曲的t零。我们上面讨论的变形方法也适用于这种情况。原始（未变形）关联矩阵的非正不确定性通常不是第一个主要组成部分（见下文）和营业额减少的主要影响；然而，在实践中，一个人通常会使用正定义（变形）相关矩阵，变形可能会产生相当大的影响——参见（Kakushadze，2014a）的第7节，以获得说明性的经验示例。如下（Rebonato和J¨ackel，1999年）。假设一些特征值λ（a）为负或为零。删除∧≡ 诊断eλ（a）（12） eλ（a）≡ 最大值λ（a），λ*, a=1，N（13），其中选择λ*> 0.下一步，letZ≡ diag（zi）（14）zi≡CiiPNj=1Uijeλ（j）（15）最后，leteU≡√Z-Upe∧（16）eC≡eUeUT（17）注意到ECIJIS是正定义的，我们有ECIi=Cii（18），也就是说，通过这种方式，我们在保留Cij的对角元素的同时，获得了一个新的正定义协方差。请注意，与其将该方法应用于方差矩阵Cij，还可以选择将其直接应用于相关矩阵ψij，因为该方法适当地保留了ψij的单位对角线元素。4光谱模型第一个观察结果是→ ζTi，我们一定有T→ ζT，其中ζ>0。接下来，leteV（p）ibe是与特征值ψ（p）对应的ψij的特征向量，p=1。

N：ψeV（p）=ψ（p）eV（p）（19）在这里，我们假设，如果需要的话，第3.1小节中审查的方法已经应用，并且所有ψ（p）>0。此外，lphasαiis的基础（即选择αi的符号）使得pni，j=1ψij≡ Nρ′≡ N（1+（N- 1） ρ）最大化（ρ是平均相关性）。因此，考虑均匀相关性ψij=ρ，i6=j的情况，研究见（Kakus hadze a and L iew，2014）。在这种情况下，在大N限值下，营业额减少系数（见下文）ρ*=ρ=ρ（Kakushadze和Liew，2014）。然而，如果我们把一些字母αi的符号→ -αi（然后我们还必须计算相应权重的符号wi→ -wi），这不会改变投资组合的周转率，平均相关系数ρ将不再等于ρ，因此前面选择了αi的基础。我们将更详细地讨论这一点，并在下面给出一个精确的定义。现在我们要记住这一点。LeteUijbe特征向量Sev（p）的N×N矩阵，即，u的第pth列是向量（p）：eUij≡eV（j）i（20）eU可以选择为或t荣誉：eUTeU=1，这将确定eV（p）的标准化。注意ev（p）构成N向量的正交基：NXi=1eV（p）ieV（q）i=δpq（21）Letψ（1）>ψ（2）>。（soeV（p）是ψij的主成分）。莱特（p）≡NXi=1eV（p）iTi（22）这是ψij对角化的基础：eUTψeU=diag（ψ（p））（2 3）在这个基础上，唯一相关的构建块完全由天ψijaret（p）和ψ（p）以及ψij的标量不变量构成。

因此，我们有如下周转率的谱模型：T=κNXp=1ψ（p）eT（p）= κNXp=1ψ（p）NXi=1eV（p）iTi（24）式中，κ是常数，必须由ψij的标量不变量构成。唯一合适的标量不变量是轨迹。然后T由T=pTr（ψ）NXp=1ψ（p）给出NXi=1eV（p）iTi=√NNXp=1ψ（p）NXi=1eV（p）iTi（25）Tr（ψ）的幂和总系数固定如下。让ψij的所有有效对角线元素相同：ψij=ρ（i6=j）。另外，让所有的TIB都相同。注：t det（ψ）不合适，因为当ψij几乎失谐时，预计et不会有特殊的行为。此外，只有基于轨迹的标量不变量再现了下面讨论的特殊情况。此外，请理解（24）中的相对系数为何不会改变最终结果。然后，回想一下ψ（1）是最大的特征值，我们得到nxi=1eV（1）iTi=√xi=1tin=1，NXi=1- 1） ρ（28）ψ（p）=1- ρ、 p>1（29）T=1+（N- 1） ρNNXi=1Ti（30），重现了（Kakushadze和Liew，2014）中的等式（19）。光谱模型（25）简化了大氮极限。首先，我们确定阿尔法αias的基础如下。在αi的反射下→ ηiαi（因此，wi→ ηiwi），其中|ηi |=1，我们有ψij→ ηiηjψij，eV（p）i→ ηieV（p）i，而ψ（p）是不变的。因此，我们总是可以选择alleV（1）i≥ 0 . 我们总是在这个基础上工作。在la r ge N极限中，除非Ti具有高度偏态分布，否则（25）中的p>1贡献被抑制为O（1/N）。