带跳扩散模型的分裂和矩阵指数方法

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英文标题：
《Splitting and Matrix Exponential approach for jump-diffusion models with
  Inverse Normal Gaussian, Hyperbolic and Meixner jumps》
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作者：
Andrey Itkin
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  This paper is a further extension of the method proposed in Itkin, 2014 as applied to another set of jump-diffusion models: Inverse Normal Gaussian, Hyperbolic and Meixner. To solve the corresponding PIDEs we accomplish few steps. First, a second-order operator splitting on financial processes (diffusion and jumps) is applied to these PIDEs. To solve the diffusion equation, we use standard finite-difference methods. For the jump part, we transform the jump integral into a pseudo-differential operator and construct its second order approximation on a grid which supersets the grid that we used for the diffusion part. The proposed schemes are unconditionally stable in time and preserve positivity of the solution which is computed either via a matrix exponential, or via P\'ade approximation of the matrix exponent. Various numerical experiments are provided to justify these results.
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中文摘要：
本文是Itkin，2014提出的方法的进一步扩展，并应用于另一组跳跃扩散模型：逆正态高斯、双曲和Meixner。要解决相应的PIDE，我们只需完成几个步骤。首先，对这些PIDE应用金融过程（扩散和跳跃）的二阶算子分裂。为了求解扩散方程，我们使用标准的有限差分方法。对于跳跃部分，我们将跳跃积分转化为一个伪微分算子，并在一个网格上构造它的二阶近似，该网格超越了我们用于扩散部分的网格。所提出的格式在时间上是无条件稳定的，并保持通过矩阵指数或通过矩阵指数的P’ade近似计算的解的正性。通过各种数值实验验证了这些结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Splitting_and_Matrix_Exponential_approach_for_jump-diffusion_models_with_Inverse.pdf (338.28 KB)

2022-5-6 06:13:28 上传

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关键词：扩散模型 Quantitative Differential Applications Exponential

具有反正态Gau s i a n、双曲和Meixner跳跃的跳跃扩散模型的分裂和矩阵指数法纽约大学工程学院Sandrey Itkin，纽约布鲁克林RH 517E地铁技术中心6号，纽约州布鲁克林11201，USAaitkin@nyu.eduJune22，2021摘要本文是Itkin（2014）中提出的方法的进一步扩展，并应用于另一组跳跃扩散模型：逆正态高斯模型、双曲模型和Meixner模型。要解决相应的PIDE，我们只需完成几个步骤。首先，将金融过程（扩散和跳跃）上的二阶算子拆分应用于这些拆分。为了求解微分方程，我们使用标准有限差分方法。对于跳跃部分，我们将跳跃积分转化为一个伪微分算子，并在一个网格上构造它的二阶近似，该网格超越了我们用于微分的网格。所提出的方案在时间上是无条件稳定的，并保持通过矩阵指数或通过矩阵指数的P′ade近似计算的解的正性。提供了各种数值实验来证明这些结果。关键词：跳跃扩散、PIDE、分裂、矩阵指数、无条件稳定模式1简介本文是Itkin（2014）中提出的方法的进一步扩展，适用于另一组跳跃扩散模型：逆非高斯、双曲和Meixner。这些模型已在过去二十年的数学金融中引入，见巴恩多夫-尼尔森（1998年）、埃伯林和凯勒（1995年）、埃伯林等人（1998年）、肖滕斯（2001年）。然而，据作者所知，与Merton、Kou和CGMY/KoBoL模型相比，它们似乎没有受到实践者的关注，参见Itkin（2014）对后者模型和其中参考文献的简短调查。

乍一看，这似乎不公平，因为前一种模型产生的典型回报分布比其更普遍的Counterpart更符合观察到的市场数据（尤其是厚尾和歪斜）。其中一个可能的原因可能是，尽管这些模型的pdf和特征函数（CF）以封闭形式已知，因此，普通期权甚至美式期权的定价可以通过变换方法（FFT、余弦、傅立叶空间中的自适应积分）完成，见卡尔和马丹（1999）、方和奥斯特利（2008）、刘易斯（2001）、利普顿（2001）、洛德等（2007），pdf a ndCF的解析表达式比其对应表达式更复杂，有时需要使用特殊函数。然而，后者并不能阻止简单工具的定价和套期保值有效地进行。第二点是，所考虑的模型是纯跳跃模型，不包含扩散成分。然而，这可能很容易放松。另一方面，如今的实践者希望有一个模型能够同时提供关于普通和异国情调选项的市场数据。为了做到这一点，他们需要考虑一种随机局部波动（LSV）模型，甚至是一种带跳跃的LSV模型。

在这些情况下，pdf和CF都不能以封闭形式提供。因此，应使用有效的数值方法来求解属于偏积分微分方程（PIDE）类的定价方程。提出了许多方法来解决此类施工问题，参见Itkin（2014）和其中的参考文献，以及对其实施相关问题的讨论。在第二次迭代中，它们是精确的积分，具体来说，在第二次迭代中，无条件稳定算子分裂（ADI）方法不需要在每个时间步迭代求解代数方程（Andersen and Andreasen（2000））。为此，还使用了各种形式的操作员拆分技术（Itkin（2014）、Itkin和Carr（2012））。在本文中，我们将更详细地回顾金融过程中的操作员拆分。假设适当选择了PIDE的有效时间离散化，剩下的问题是跳跃积分的首次计算，据观察，这是一个相对昂贵的问题。Itkin（2014）对各种拟议方法进行了简短调查，包括再次回顾其优缺点。在这篇论文中，Itkin和Carr（2012）提出的原始方法进一步阐述了利用以下想法。首先，我们对金融过程使用算子分裂法，将扩散部分的计算与积分部分分开。然后，类似于Tkin和Carr（2012），我们以伪微分器的形式表示跳跃积分。

接下来，我们通过矩阵指数形式化地求解得到的演化y部分伪微分方程。在Itkin（2014）中，研究表明，对于Merton、Kou和CGMY模型，可以有效地计算矩阵指数，并且这种方法的效率并不比FFT的效率差。还提到，所提出的方法几乎是通用的，也就是说，它允许以统一的形式计算各种跳跃扩散模型的PIDE。同样重要的是，这种方法的实现相对简单。在本文中，我们将这种方法应用于逆正态高斯、双曲和梅克斯纳模型。我们构造了有限差分格式来求解相应的微分方程，并证明了所有的差分格式在空间和时间上都是二阶收敛的，并且是无条件稳定的。建议的方法是新的，并消除了现有方法的一些已知限制，见Itkin（2014）中的讨论。此外，首次将分裂和矩阵指数法应用于参考跳跃模型。这允许在更复杂的框架中高效地使用这些模型，例如带跳跃的LSV模型。此外，用新方法求解Meixner模型的纯跳跃演化方程的复杂度接近O（N），比FFT的复杂度高。最后，由于相应的列维过程的基础分布能够很好地拟合市场数据，因此使用这些跳跃模型和有效的数值方法来解决跳跃差异可能会为衍生工具提供更有效的定价和套期保值。此外，要强调的是，尽管Itkin（2014）中已经描述了该方法的总体思路，但Itkin和Carr（2012）构建jumpoperators的特殊离散化对于每种模型可能是不同的。

这需要在每种情况下证明相应的命题，以证明该方法的近似性、稳定性和复杂性。因此，这些方案、命题和建议是本文的主要贡献。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们简要地讨论了一类L’evy模型的后向PIDE的一般形式。在第3节中，我们介绍了使用分裂和矩阵指数法求解PIDE的一般方法。下一节将介绍各种一阶和二阶有限差分方案的明确构造。该部分给出的结果是新的，据我们所知，文献中没有讨论过。我们的技术利用了矩阵分析的一些结果，这些结果与M矩阵、Metzler矩阵和最终的单一非负矩阵的定义有关。我们还提供了各种数值测试的结果，以证明我们的方法的收敛性。最后一节结束。2 L’evy模型和反向Pidet为了避免不确定性，让我们考虑一下单只股票上的股票期权定价问题。正如我们将看到的，这个规范不会导致我们失去任何通用性，但它使描述更加实用。我们假设标的资产（股票）价格由一个L’evy过程的指数驱动，st=Sexp（Lt），0≤ T≤ T、 （1）式中，T为时间，T为期权到期日，S=St | T=0，LTI为L’evy过程L=（Lt）0≤T≤两个非零布朗（扩散）部分。根据定价标准，LTI由t=γt+σWt+Yt，γ，σ给出∈ R、 σ>0，（2）具有L′evy三重态（γ，σ，ν），其中WT是0上的标准d布朗运动≤ T≤ T和YIT是一个纯粹的跳跃过程。我们在定价措施下考虑这个过程，因此-（r）-q） 这是一个鞅，其中r是利率，q是连续红利。

这允许我们将γ表示为（Eberlein（2009））γ=r- Q-σ-锆前任- 1.- x1 | x |<1ν（dx），其中ν（dx）是一个满足|x |>1exν（dx）<∞.目前我们没有具体说明ν（dx），因为我们愿意考虑所有类型的跳跃，包括具有有限和有限变化的跳跃，以及有限和有限活动。为了对写在基本过程St上的期权进行定价，我们想要导出一个描述欧式期权价格C（x，t），x的时间演化的PIDE≡ 日志（St/S）。使用标准鞅方法，或通过创建自融资投资组合，可以得出相应的PID E（Cont and Tankov（2004））rC（x，t）=C（x，t）t+R-σC（x，t）x+σC（x，t）x+ZRC（x+y，t）- C（x，t）- （哎- 1)C（x，t）十、ν（dy）（3）表示所有（x，t）∈ R×（0，T），受制于终端条件c（x，T）=h（x），（4），其中h（x）是期权支付，以及一些取决于期权类型的边界条件。这种PIDE的溶液通常属于粘性溶液（Cont和Tankov（2004））。现在我们用下面的想法重写积分项。从量子力学（de Lange and Ra ab（1992））可知，Lspace中的平移（移位）运算符可以表示为asTb=expB十、, （5） 当b=const时，soTbf（x）=f（x+b）。我们记得，标准布朗运动已经有了有限变化的路径。因此，式（2）中的L’evy过程具有有限的变化，因为它包含一个连续的可变成分。

然而，这里我们指的是跳跃产生的有限变化。因此，式（3）中的积分可以正式改写为Zr[C（x+y，t）-C（x，t）- （哎- 1)C（x，t）十、ν（dy）=JC（x，t），（6）J≡锆经验Y十、- 1.- （哎- 1)十、ν（dy）。在定义算子J（实际上是跳跃过程的极小生成元）时，如果处理该项，可以在关于存在性和收敛性的一些温和假设下正式计算积分/x作为常数。因此，算子J可以看作微分算子的广义函数x、 我们也可以将j视为伪微分算子。对于未来，一个重要的观察结果是j=φ(-我x） （7）其中φ（u）是跳跃过程的特征指数。这直接源于特列夫·钦钦的理论。请注意，这样定义的特征指数是使用风险中性度量下的预期来计算的。换句话说，J定义中的最后一项是一个补偿项，该补偿项的加入使远期价格在该度量下成为真正的马丁格价格。考虑到这种表示，等式（3）中的整个PIDE可以重写为运算符形式，如下所示：τC（x，τ）=[D+J]C（x，τ），（8）式中τ=T- t和D表示微分（抛物线）运算符≡ -r+R-σx+σx、 （9）操作员D是一个小型的扩散发生器。注意，对于具有有限变化和有限活动的跳跃，等式（3）中跳跃积分J定义中的最后两项可以积分出来，并添加到D的定义中。对于具有有限变化和有限活动的跳跃，最后一项可以积分出来。

然而，这里我们将把这些项留在积分下，原因有两个：i）这种转换（将积分下的一些项移动到微分算子）不会影响我们计算积分的方法，a和ii）将这些项添加到算子D中可能会对有限差分方案的稳定性产生负面影响，该方案用于求解抛物方程DC（x，t）=0。这个方程自然会作为我们分裂方法的一部分出现，这将在下一节讨论。3.算子拟合和跳跃方程的求解为了解方程（8），我们使用分裂。这种技术也被称为分步法（见D yakonov（1964）、Samarski（1964）、Yanenko（1971）），有时在金融文献中被称为俄罗斯分裂或局部一维方案（LOD）（杜菲（2006））。下面，我们跟随Itkin（2014）对这项技术应用于线性和非线性偏微分方程进行了简短的调查。f r作用步法将原k维不稳定问题的解简化为每时间步k个一维方程组的解。例如，考虑一个二维扩散方程和一个通过使用某种有限差分方法得到的解。在每一个时间步，都会对空间变量进行标准离散化，例如，有限差分网格包含第一维的Nnodes和第二维的Nnodes。然后问题是求解一个N×N线性方程组，该方程组的矩阵是块对角的。相比之下，分裂的使用会产生非线性方程组，其中每个系统的矩阵是带状的（三对角的）。后一种方法易于实施，更重要的是，它提供了显著更好的性能。前面的步骤使用不同维度的运算符拆分。

Marchuk（1975）和Strang（1968）将这一想法扩展到复杂的物理过程（例如，化学反应气体中的扩散，或平流扩散问题）。除了（或代替）空间坐标上的分裂，他们还建议将方程分裂为性质不同的物理过程，例如对流和扩散。如果这类过程的特征演化时间（弛豫时间）显著不同，这种想法尤其有效。对于等式（3）中的PIDE，我们使用了Itkin（2014）中描述的分裂版本，该版本给出了以下数值格式：C（1）（x，τ）=eτDC（x，τ），（10）C（2）（x，τ）=eτJC（1）（x，τ），C（x，τ+τ） =eτDC（2）（x，τ）。因此，我们得到了一个无滴流和扩散的PIDE（式（10）中的第二个方程）和两个不稳定的PDE（式（10）中的第一个和第三个方程），而不是一个不稳定的PIDE。在下文中，我们考虑如何有效地求解第二个方程，同时假设第一个和第三个方程的解可以使用任何有效的有限差分方法获得。为此，在下一节给出的各种示例中，我们将明确提到为此目的使用的特定方法。为了求解第二个（纯跳跃）进化方程，我们再次遵循Itkin（2014）的方法。通过定义跳跃产生器J，在对其存在的一些温和约束下，J可以被视为算子的函数x、 因此，求解等式（10）中的积分（第二）方程需要几个步骤。首先，我们在截断（或最初在有限）空间域中构造一个适当的离散网格G（x）。这个网格可能是不均匀的。