动态风险度量与动态风险度量的时间一致性研究

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英文标题：
《A survey of time consistency of dynamic risk measures and dynamic
  performance measures in discrete time: LM-measure perspective》
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作者：
Tomasz R. Bielecki and Igor Cialenco and Marcin Pitera
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this work we give a comprehensive overview of the time consistency property of dynamic risk and performance measures, focusing on a the discrete time setup. The two key operational concepts used throughout are the notion of the LM-measure and the notion of the update rule that, we believe, are the key tools for studying time consistency in a unified framework.
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中文摘要：
在这项工作中，我们全面概述了动态风险和性能度量的时间一致性特性，重点介绍了离散时间设置。自始至终使用的两个关键操作概念是LM度量的概念和更新规则的概念，我们认为，这是在统一框架中研究时间一致性的关键工具。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> A_survey_of_time_consistency_of_dynamic_risk_measures_and_dynamic_performance_me.pdf (576.25 KB)

2022-5-11 03:41:54 上传

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关键词：风险度量 风险度 一致性 Mathematical Quantitative

《离散时间内动态风险度量和动态绩效度量的时间一致性调查：LM度量透视图》托马兹·R·比莱克基亚、伊戈尔·恰尔恩科亚和马尔金·皮塔拉即将出版的《概率、不确定性和定量风险》首次发行日期：2016年3月29日该版本：2016年12月19日，2016年摘要：在这项工作中，我们对动态风险和性能度量的时间一致性特性进行了全面概述，重点介绍了离散时间设置。通过OUT使用的两个关键操作概念是LM度量的概念和更新规则的概念，我们认为这是在统一框架中研究时间一致性的关键工具。关键词：时间一致性、更新规则、动态LM度量、动态风险度量、动态可接受性指数、性能度量。MSC2010:91B30、62P05、97M30、91B06。“事实证明，动态一致性公理是问题的核心。”A.Jobert和L.C.G.Rogers估值和动态凸风险度量，数学Fin 18（1），2008，1-22.1简介这项工作的目标是全面概述动态风险和绩效度量的时间一致性特性。我们关注离散时间设置，因为关于这个主题的大多数现有文献都致力于这个案例。本文考察的时间一致性与受各种不确定性影响的动态决策有关。通常，决策是根据决策者的偏好做出的，这些偏好可能会随着时间的推移而变化，因此需要作为决策过程的一个组成部分对其进行逐步评估。

当然，对偏好的评估应该以这样一种方式进行，即未来偏好的评估与当前偏好一致。这项调查的重点是动态决策过程的时间一致性。传统上，在金融和经济领域，偏好旨在订购现金和/或消费流。研究偏好的一种便捷方法是通过数字表示来研究它们，例如（动态）风险度量、（动态）性能度量，或者更一般地说，动态LM度量[BCP14]。因此，偏好的时间一致性研究是伊利诺伊理工学院应用数学系10 W 32街E1号楼208室，伊利诺伊州芝加哥60616，美国电子邮件：tbielecki@iit.edu（T.R.Bielecki）和cialenco@iit.edu（I.Cialenco）网址：http://math.iit.edu/~bieleckiandhttp://math.iit.edu/~i波兰克拉科夫贾吉隆大学数学研究所邮件：marcin。pitera@im.uj.edu.pl，网址：http://www2.im.uj.edu.pl/MarcinPitera/AnLM-测度是一个局部单调函数；参见定义3。2.这两个属性必须通过任何合理的动态性能度量和/或风险度量来满足，并且现有文献中的大多数成功度量都是如此。2 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M.Pitera也方便地完成了数字表示。这项工作旨在调查各种建模方法，并分析偏好数值表示的时间一致性。如上所述，我们的调查对象——动态LM度量——旨在对基础实体的集合“设定参考顺序”。

有大量关于偏好排序的文献，有各种方法来建立选择顺序，如决策理论或预期效用理论，它们可以追溯到20世纪中叶。我们的注意力主要集中在定义风险或绩效衡量的公理化方法上。衡量财务状况风险的公理化方法由Artzner等人[ADEH99]在论文中提出，并从那时起经历了巨大的发展。[ADEH99]中引入的风险度量，称为一致性风险度量，旨在通过提供金融资产组合的真实性的数字表示来确定监管资本要求。在这个框架中，从数学角度来看，财务状况被理解为投资组合的贴现终值（Payoff），用随机变量建模，或者被理解为贴现股息过程，累积或子弹，被建模为随机过程。虽然随机过程可以被视为随机变量（在适当的空间上），反之亦然——随机变量可以被视为过程的特殊情况，但在某些情况下，按照本文所走的道路分别处理这两种情况是方便的，而且在某些情况下是必要的。在论文[ADEH99]中，作者考虑了随机变量的情况，风险度量仅在时间零点进行。这相当于考虑一个单期时间模型，即今天对未来某个固定时间（明天）支付的现金流进行测量。因此，相关的风险度量被称为静态度量。从那时起，人们遵循了两条自然路径：通过放松或改变公理集来推广风险度量的概念，或/或考虑动态设置。

所谓动态设置，我们的意思是测量是在整个时间内进行的，并适应可用信息的流动。在动态系统中，以随机变量和随机过程为输入，研究了离散和连续时间演化。在目前的工作中，我们将注意力集中在离散时间设置上，尽管我们简要回顾了有关连续时间的文献。本次调查的组织方式如下。我们首先回顾了与dynamicrisk和性能度量相关的文献，重点关注离散时间设置中的时间一致性属性。在第三部分，我们设置了数学场景；特别地，我们介绍了本文中使用的主要符号以及LM度量的注意事项。第4节专门讨论时间一致性属性。在这里，我们讨论了两种时间一致性偏好评估的通用方法，并指出了几种特殊的应用程序蟑螂。我们在本节中提出了更新规则的概念，我们认为它是在统一框架中研究时间一致性的关键工具。第5节和第6节分别考察了随机变量和随机过程中有关时间一致性的一些概念和结果。我们的调查通过第7节中的许多例子进行了说明。我们以两个附录结束调查。在附录A中，我们简要阐述了本文中使用的三个基本概念：动态LM测度、条件本质上/下、d LM扩展。最后，在附录B中，我们收集了在整个调查中陈述的几个结果的证据。风险和绩效指标的时间一致性：32篇文献综述本节的目的是按时间顺序对动态风险和绩效指标理论的发展进行综述。

虽然建立精确的列表不是一项明显的任务，但我们尽最大努力根据适当的时间顺序来解释最相关的作品。我们将有关时间一致性的研究追溯到库普曼[Koopmans[Koopmans 60]，库普曼[Koopmans]提出了精确的数学基础，即效用函数，即偏好结构随时间持续的概念。随后，在这篇开创性的论文中，Kreps和Porteus[KP78]通过公理化代理人的“选择行为”来处理代理人层面的时间一致性，考虑到不同时间的选择是如何相互关联的；在同一项工作中，作者讨论了研究选择理论动态方面的动机。在我们继续回顾关于动态风险和绩效衡量的工作之前，值得一提的是，Gilboa和Schmeidler[GS89]提出的机器人预期效用理论可以被视为比[ADEH99]中讨论的更全面的理论；我们参考[RSE05]了解相关讨论。从[ADEH99]开始，被理解为将随机变量映射为实数的函数的风险度量公理理论围绕以下主要目标发展：a）确定风险度量应满足的一组属性（或公理）；b） 描述满足这些性质的所有函数；c） 请提供此类有趣行为的具体例子。每个强制公理都应该有一个有意义的财务或精算解释。

例如，在[ADEH99]中，静态一致性风险度量定义为一个函数ρ：L∞→ [-∞, ∞] 这是单调递减（较大的损失意味着更大的风险）、现金加成（风险由今天添加到投资组合中的现金量降低）、次加成（多样化的投资组合风险较小）和正同质（重新调整投资组合的风险相应地重新调整），其中∞是概率空间上（本质上）有界随机变量的空间(Ohm, F、 P）。这些函数的描述或表示，也称为稳健表示，通常是通过凸分析中的对偶理论导出的，并且是必要和有效的。传统上，在这些表示中，我们发现：以水平或接受集表示；双配对的数值表示（例如，期望值）。例如，上述相干r isk测度ρ可以用其接受集Aρ={X来描述∈ L∞| ρ（X）≤ 0}. 事实证明，接受集Aρ满足某些特征属性，任何具有这些属性的集A都会通过表示ρ（X）=inf{m生成一致的风险度量∈ R | m+X∈ A} 。或者，函数ρ是一个相干的风险度量，当且仅当存在一个非空的概率度量集Q，相对于P绝对连续，使得ρ（X）=- infQ∈QEQ[X]。（2.1）集合Q可被视为一组广义情景，一致的风险度量等于各种情景下的最坏预期损失。通过放松公理集，静态一致性风险度量被推广到静态凸风险度量和更一般的货币风险度量。例如，参见[Sze02]了解静态风险度量的调查，以及[CL09，CL08]。

另一方面，绩效衡量的公理化理论起源于[CM09]。[Dra10，DK13]研究了基于两个通用公理的风险偏好及其稳健表示的一般理论。在最初的论文[ADEH99]中，作者考虑了有限概率空间，但后来该理论被提升为一般概率空间[Del00，Del02]。4 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M.Pitera移动到动态设置中，我们引入了一个基本的过滤概率空间(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），其中σ-代数的增量集合Ft，t≥ 0，对随时间累积的信息流进行建模。Artzner等人[ADE+02b]和[ADE+02a]研究了[ADEH99]中检查的静态模型在多周期情况下的扩展，假设离散时间和离散概率空间。作者提出了一种构造动态风险测度{ρt:L的方法∞（英国《金融时报》）→\'L（英尺），t=0，1，T}，通过向后递归，从ρT（X）开始-十、 让ρt（X）=- infQ∈量化宽松[-ρt+1（X）| Ft]，0≤ t<t，（2.2），其中，与之前一样，Q是一组概率测度。此外，如果Q满足一个称为递归性或一致性（参见[Rie04]）的属性，则称为infQ∈QEQ[Z | Ft]=infQ∈QEQ[infQ∈QEQ[Z | Ft+1]| Ft]，t=0，1，T- 1，Z∈ L∞, （2.3）那么我们可以证明（2.2）等价于ρt（X）=ρt(-ρt+1（X）），0≤ t<t，X∈ L∞（英国《金融时报》）。（2.4）属性（2.4）代表了文献中已知的强时间一致性属性。例如，如果Q={P}，那么对于条件期望，强时间一致性降低为towerproperty。

从实践的角度来看，这一性质本质上意味着，风险的评估随着时间的推移以一致的方式进行：在时间t时评估未来风险，用随机变量X表示，与在时间t时评估xOne在时间t+1时的风险评估相同，并由-ρt+1（X）。此外，该性质（2.4）与贝尔曼最优性原理或动态规划原理密切相关（实例见[BD62，CCC+12]）。Delbaen[Del06]研究了m-稳定概率测度集的递归性，并在马尔廷格尔理论的背景下描述了动态一致性风险测度的时间一致性。递归性等价于多先验贝叶斯决策理论中的时间一致性和矩形性。Epstein和Schneider[ES03]在“模糊决策”的框架下研究了时间一致性和矩形性需要指出的是，几位作者参考了[Wan02]中关于动态风险度量的时间一致性的另一种公理方法。随机过程（有限概率空间和离散时间）的动态风险度量的首次研究归功于Riedel[Rie04]，作者在其中引入（强）时间一致性作为公理之一。如果ρt，t=0，T、 是一个动态一致的风险度量，作用于贴现的期末现金流集，那么ρ是强时间一致的，如果以下含义成立：ρT+1（X）=ρT+1（Y）=> ρt（X）=ρt（Y）。（2.5）这意味着，如果明天我们在同一水平上评估X和Y的风险，那么到第二天，X和Y的风险水平必须相同。

可以证明，对于动态一致风险度量，或者更一般地，对于动态货币风险度量，适当性（2.5）相当于（2.4）。受基于美国eof风险度量的不完全市场定价程序结果的激励，Roorda et al.[RSE05]研究了动态一致性风险度量（对于[Rie04]的情况，作者考虑了贴现股息过程，但为了简单起见，这里我们编写了随机变量的时间一致性。风险和性能度量的时间一致性：关于有限概率空间和离散时间的调查5随机变量），并引入了（强）时间一致性的概念；请注意，他们的工作与[Rie04]相似，并且是同一时期的。他们表明，强时间一致性要求递归计算相应的最优混合策略。此外，时间一致性还通过满足“产品属性”的概率度量集合来描述，类似于前面提到的矩形属性。类似地，在静态情况下，通过用凸性代替SUB可加性和正齐性，将动态一致风险测度扩展到动态凸风险测度。在连续时间设置中，Rosazza Gianin[RG02]将动态凸风险度量与非线性期望或g-期望以及反向随机微分方程（BSDE）联系起来。强时间一致性起着至关重要的作用，从（2.4）来看，它相当于条件g-期望的塔台性能。这些结果在论文[RG06，Pen04，FRG04]的续集以及Coquet等人[CHMP02]中得到了进一步研究。对于动态凸风险度量eρt（X）=- infQ∈M（P）等式[X | Ft]+α薄荷（Q）, t=0，1。