超越强度的动态可违约期限结构建模

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英文标题：
《Dynamic Defaultable Term Structure Modelling beyond the Intensity
  Paradigm》
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作者：
Frank Gehmlich and Thorsten Schmidt
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The two main approaches in credit risk are the structural approach pioneered in Merton (1974) and the reduced-form framework proposed in Jarrow & Turnbull (1995) and in Artzner & Delbaen (1995). The goal of this article is to provide a unified view on both approaches. This is achieved by studying reduced-form approaches under weak assumptions. In particular we do not assume the global existence of a default intensity and allow default at fixed or predictable times with positive probability, such as coupon payment dates.   In this generalized framework we study dynamic term structures prone to default risk following the forward-rate approach proposed in Heath-Jarrow-Morton (1992). It turns out, that previously considered models lead to arbitrage possibilities when default may happen at a predictable time with positive probability. A suitable generalization of the forward-rate approach contains an additional stochastic integral with atoms at predictable times and necessary and sufficient conditions for a suitable no-arbitrage condition (NAFL) are given. In the view of efficient implementations we develop a new class of affine models which do not satisfy the standard assumption of stochastic continuity.   The chosen approach is intimately related to the theory of enlargement of filtrations, to which we provide a small example by means of filtering theory where the Azema supermartingale contains upward and downward jumps, both at predictable and totally inaccessible stopping times.
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中文摘要：
信用风险的两种主要方法是默顿（1974）提出的结构性方法，以及贾罗和特恩布尔（1995）和阿特兹纳和德尔巴恩（1995）提出的简化形式框架。本文的目标是对这两种方法提供统一的看法。这是通过在弱假设下研究简化形式的方法实现的。特别是，我们不假设全球存在违约强度，并允许在固定或可预测的时间以正概率违约，例如息票支付日期。在这个广义框架中，我们研究了在希思·贾罗·莫顿（Heath Jarrow Morton，1992）提出的远期利率方法之后，容易出现违约风险的动态期限结构。事实证明，以前考虑的模型导致了套利的可能性，当违约可能发生在一个正概率的可预测时间。一个合适的远期利率方法的推广包含了一个额外的随机积分和原子在可预测的时间，并给出了一个合适的无套利条件（NAFL）的充分必要条件。从有效实现的角度出发，我们发展了一类新的仿射模型，它不满足随机连续性的标准假设。所选择的方法与过滤放大理论密切相关，我们通过过滤理论提供了一个小例子，其中Azema supermartingale包含向上和向下的跳跃，在可预测和完全无法到达的停止时间。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Dynamic_Defaultable_Term_Structure_Modelling_beyond_the_Intensity_Paradigm.pdf (466.91 KB)

2022-5-7 03:57:14 上传

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关键词：期限结构 Mathematical Quantitative mathematica Probability

动态违约期限结构模型超越强度范式弗兰克·格姆里奇和托尔斯滕·施密特摘要。信用风险的两种主要方法是默顿（1974）提出的结构性方法，以及贾罗和特恩布尔（1995）和阿尔茨纳和德尔巴恩（1995）提出的简化形式框架。本文的目标是对这两种方法提供统一的看法。这是通过研究weakasumptions下的简化形式方法实现的。特别是，我们不假设全球存在违约强度，并允许在固定或可预测的时间以正概率违约，例如couponpayment日期。在这个广义框架中，我们研究了在希思·贾罗·莫顿（Heath Jarrow Morton，1992）提出的远期利率方法之后，容易发生违约风险的动态期限结构。结果表明，以前考虑的模型导致了套利的可能性，当违约可能发生在一个正概率的可预测时间。一个合适的远期利率方法的推广包含一个额外的随机积分，原子在可预测的时间，并给出了一个合适的无套利条件（NAFL）的必要条件和充分条件。从高效实现的角度来看，我们开发了一类新的模型，这些模型不满足随机连续性的标准假设。所选择的方法与过滤放大理论密切相关，我们通过过滤理论提供了一个小例子，其中Az’emasupermaningale包含向上和向下的跳跃，在可预测和完全可访问的停止时间。关键词：信用风险、HJM、远期利率、结构方法、简化形式方法、Az’ema超级启动、有效流程、过滤。1.

简介信用风险建模最常见的两种方法是结构方法，它是默顿[49]开创性工作的先驱，以及简化形式方法，可以追溯到杰罗、兰多和特恩布尔[36,43]和[1]的早期工作。在结构化方法中，当公司无法履行其义务或某个下限受到公司资产价值的影响时，就会发生违约。在许多情况下，当无法进行预先付款时，就会发生这种情况，在[49]及其扩展[27,28]中的方法中，这会导致在预先指定的时间（如息票日期）违约。阿根廷最近的拖欠债务就是此类信贷事件以及7月1日希腊违约的一个例子。违约发生在可预测时间的可能性与大多数简化形式的方法形成强烈对比：所谓的基于强度的方法：2015年7月14日。我们感谢Monique Jeanblanc、宋世奇、Ania Aksamit、Claudio Fontana、R¨udiger Frey和两位匿名裁判进行了非常有价值的讨论。感谢Risque de Cr’edit主席的财务支持。阿根廷290亿美元债务的未付息票被国际掉期和衍生品协会（InternationalSwaps and Derivatives Association，简称InternationalSwaps and Derivative Association）评为信用事件，见[32]和[50]中的公告。关于希腊15亿欧元未能如期偿还国际货币基金组织债务的问题，参见[15]。2弗兰克·格姆里奇和托尔斯滕·施密特模型的特点是，违约时间允许强度，而亨塞特避免了可预测的、特别是确定性的时间。

有关这方面的文献综述和指南，请参考[3,44,48]。尽管结构模型在理论上很有吸引力，但在为信用衍生产品定价时却带来了许多挑战：首先，企业的潜在价值很难观察到。这一事实激发了信息不完整的方法，见[12,8,25]。第二，需要企业资本结构的完整优先级层次结构，这进一步使问题复杂化。简化形式的方法绕过了这些困难，对导致违约的精确机制没有那么雄心勃勃，例如[1,13,35]。紧随希思·贾罗·莫顿（HJM）的开创性工作[31]及其对违约风险的延伸[53,14]之后的动态期限结构方法密切相关。这种方法的另一个特点是高度易处理的有效因子和二次因子模型，见[7,10,18]。[2]的一个显著观察结果是，有可能将简化形式方法扩展到基于强度的模型之外。作者研究了一类布朗运动过滤下的首次通过时间模型，并展示了它在信用风险债券定价和建模中的应用。我们的目标是从更弱的默认时间假设开始，并在可预测的时间允许默认时间的补偿器跳跃。从这个普遍的观点来看，令人惊讶的是，以前使用的HJMAProaches会导致套利：整个期限结构是绝对连续的，无法补偿具有正违约概率的时间点。

我们提出了一个附加项的可测延拓，允许项结构在某些随机时间出现不连续性，并推导了适当的无套利条件、无渐近自由午餐（NAFL）的精确漂移条件。有一些方法可以弥合结构模型和简化模型之间的差距，例如通过考虑对固定值的不完整或嘈杂观察。该方向的第一个网络[12]研究了[4]中提出的首次通过时间的方法，并表明在不完全信息下，可以得出基于强度的模型。然而，这一特性不能扩展到结构模型中，即违约发生在固定时间且概率为正的情况，如默顿模型或其扩展。这强调了在这方面采用一般方法的重要性，我们提供了一些示例。更重要的是，这一观察结果激发了一类特殊的模型，我们称之为extendedMerton模型，其中违约可能发生在确定性时间，概率为正。在这一类中，我们可以开发高度可处理的因子模型，并提出一类新的有效模型，它不是随机连续的，符合非一般化默顿模型的这一自然属性。当然，我们的方法与过滤放大理论密切相关。我们提供了一个受过滤理论启发的简单示例，其中Az’ema supermartingale包含向上和向下的跳跃，在可预测和完全无法到达的停止时间。本文的结构如下：在第二节中，我们介绍了一个扩展的HJM框架中的一般设置和研究漂移条件，该框架保证债券市场不存在套利。

在第3节中，我们还假设违约可能仅在有限的确定时间内以正概率发生，并研究这一类中不存在任何风险，我们称之为广义默顿模型。第四节详细研究了不完全信息下的结构模型。除此之外，我们还构造了一个默认时间，其中Az’ema supermartingale通过过滤方法自然具有向上和向下的跳跃。在第5节中，我们给出了双随机环境下无套利HJM模型的精确构造，而第6节研究了一类新的随机不连续模型。第7节结束。可违约期限结构建模32。信用风险债券市场的一般说明考虑了过滤概率空间pOhm, A、 F，P q的过滤F“pFtqtě0满足通常条件，即它是正确连续的，F包含a的P-空集Nof。自始至终，概率度量P表示客观度量。当我们使用随机分析工具时，所有出现的过滤都应满足通常条件。我们遵循[34]中的符号有关随机过程的详细信息，请参阅本文。过滤F包含市场上所有可用的信息。一家公司的默认时间是公开信息，因此我们假设默认时间τ是F-停止时间。我们用“1ttěτu，tě0”来表示默认的指示剂过程H，因此，Ht“1vτ，8vptq是一个右连续的递增过程。我们还将利用生存过程1\'H“1v0，τv.到期日为T的信用风险债券是一种或有债权，承诺在T时支付一个单位的货币。我们用P pt，T q表示到期日为T的债券的价格。如果在T之前或T时未发生违约，我们将考虑零回收，即。

债券在违约时失去其总价值，因此，Tq“0关于ttěτu。对不同类型恢复的扩展可以按照[2]的思路来处理。随机过程家族tpP pt，Tq0dTdTq，Tě0u描述了术语结构TThP，Tq随时间的演变。除了键之外，还有一个数字X，这是一个严格积极的适应过程。我们在不丧失普遍性的情况下假设X“1.此外，我们假设Xis是绝对连续的。然后存在一个短期利率，这是一个渐进的可测量过程，因此Xt”exppstrsdsq。对于实际应用，可以使用隔夜指数互换（OIS）建造这样一个房间的费用。2.1. 信用风险债券市场缺乏套利。可违约债券市场包含一定数量的资产，并按照大型金融市场的精神进行处理[42]。这是首次将这一概念应用于存在信用风险的市场。因此，我们对这个话题做一个简短的介绍。确定一个有限的时间范围TTa0，并考虑对“pFtq0dTdT的过滤。我们需要对T中债券价格的正确连续性和债券价格的统一局部有界性进行以下假设。回想一下，Nwe表示a的P-空集。对于代理过程X和随机时间σ，我们用Xpσq”pXt^σqtě0表示过程在σ处停止。由a^b表示：“minpa，bq我们表示a和b的最小值。假设2.1。它认为集合dtPr0，Tsω：T~nP pt，T qpωq不是右连续的（包含在P-空集合中）。

此外，对于任何tpr0，Tq a0，停止时间σn~n8和κnP r0，8q的递增序列，使得P pt，U qpσnqdκn，对于所有U P rT，T`q和所有tdt。在经典的HJM模型中，关于成熟度的绝对连续性总是成立的。据我们所知，本文后面研究的模型是第一个动态期限结构模型，它明确地将不连续性纳入期限结构TTh~nP，T q中。在a4 FRANK GEHMLICH和THORSTEN Schmidt违约时间的一般设置中，我们将证明它们的存在对于保证没有套利也是必要的。定义2.1。在r0，Ts中确定一个序列pTiqipn。将n`1维随机过程pSnq“pS，s，…，Snq定义如下：Sit”pXtq\'1P pt^Ti，Tiq，0dTdT，（1）表示i“1，…，n和St”1。大型金融市场由经典市场的pSn、ně1qo序列组成。我们用L`表示几乎肯定是非负的可测函数的等价类的空间。Lwe表示所有可积可测函数的空间。它的对偶空间是有界可测函数的空间，用Land表示，有界的非负可测函数用L′表示。Lis拓扑σpL，Lq上的弱拓扑，由范数k X k生成：“suptErX k s:k pl，Er k sd1u。有关更多详细信息，请参见[22]中的A.7节。对于每个有限的市场Sn和适当的限制，都会考虑没有套利。假设θ是一个可预测的Sn可积过程，并用Pθ–SNQT表示θ相对于SNNTIL t的随机积分。如果θ“0有一个aa0，这样pθ¨Snqtěa p-几乎肯定适用于所有tpr0，ts。

定义以下锥体：（2）Kn“tpθ–SnqT：θ可容许U和Cn”pKn\'L`q X L。Kn包含有限市场n中的所有可复制索赔，CNN包含LW中所有可超级复制的索赔。我们定义有限市场n中的一组等效局部鞅度量，即“tQ | P | FT：Snis局部q-鞅（3）除此之外，我们假设，对于每个有限市场n，无套利持有，即（4）Mne‰H，对于所有n P n。然而，仍然有可能通过在市场模型序列上交易来近似套利收益，这激发了无渐进免费午餐的概念。定义2.2。给定的大型金融市场满足NAFL，如果“1CnX L`”tUw其中C表示关于弱拓扑的CAL的闭合。定义2.3.期限结构模型tpPpt，T qq0dTdT:0dTdTdTdu satis NAFLif存在r0，Ts中的密集序列ptiqipnp，因此2.1上的大型金融市场满足定理[42]证明了NAFL等价于一个等价的局部鞅测度（ELMM）的存在性，为了方便起见，我们在这里回忆它。定理2.1。假设假设2.1和（4）成立。术语结构族对tpP pt，T qq0dTdT:0dTdTu满足NAFL，当且仅当存在一个度量P | FT时，使得PpxTq\'1P pt，T qq0dTdtar对于所有T P r0，Ts都是局部Q鞅。（5）可违约的术语结构建模52.2。HJM方法的扩展。现在，我们能够以适当的方式扩展HJM方法，以获得弱假设下的无套利违约期限结构模型。考虑一个衡量标准QP。我们的目的是找到使Q成为等效局部鞅测度的条件。

从现在起，只会偶尔使用度量值P，这样，如果没有另外说明，所有出现的术语（如鞅、几乎确定性质等）都将被考虑与Q有关。《纽约时报》宣布。默认的指标过程H是一个有界的、c\'adl\'ag和递增的过程，因此是（D）类的子鞅。通过Doob Meyer分解，过程mt“Ht’Hpt，tě0（6）是真鞅，其中Hpt表示H的对偶F-可预测投影，也称为补偿器。As 1是吸收态Hpt“Hpt^τ。满足特定规范的随机时间的构造可以从不同的角度进行，而据我们所知，文献中还没有涵盖我们的一般设置的存在结果。然而，在第5节中，我们提供了一个在浸入状态下的存在，遵循[33]中的观点。”.有关更一般的结果和相关文献，请参见[46]和[55]。为了将出现的技术困难保持在最低限度，我们假设HPT可以分解为绝对连续的（可预测的）纯跳跃部分，这样HPT“zt^τhsds`zt^τzRxΓpds，dxq，tě0，（7）具有非负过程h，且具有满足Γpdt，dxq”s2610t的可预测整数值随机测度Hpsa0uδps，Hpsqpdt，dxq；这里δxdenotes是x点的狄拉克测度。过程h可以选择为可预测的，见[9]中的定理2.1。无论何时Hpσa0，对于可预测的时间σ，公司在时间σ违约的概率为正，且该事件的概率与Hpσ。我们称这种时间为风险时间，即在可预测的时间内，违约发生的概率为正。如果一个“TJAnK”具有一些停止时间，并且相关的随机区间JAnK”tpω，tq:tprě0，t“Anpωqu，那么一个随机集A被称为瘦集。