反映了SDE对可违约债权价格对冲的反向方法

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英文标题：
《Reflected Backward SDE approach to the price-hedge of defaultable claims
  with contingent switching CSA》
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作者：
Giovanni Mottola
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this work we study the price-hedge issue for general defaultable contracts characterized by the presence of a contingent CSA of switching type. This is a contingent risk mitigation mechanism that allow the counterparties of a defaultable contract to switch from zero to full/perfect collateralization and switch back whenever until maturity T paying some instantaneous switching costs , taking in account in the picture CVA, collateralization and the funding problem. We have been lead to the study of this theoretical pricing/hedging problem, by the economic significance of this type of mechanism which allows a greater flexibility in managing all the defaultable contract risks with respect to the \"standard\" non contingent mitigation mechanisms (as full or partial collateralization). In particular, our approach through hedging strategy decomposition of the claim (proposition 2.2.5) and its price-hedge representation through system of nonlinear reflected BSDE (theorem 3.2.4) are the main contribution of the work.
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中文摘要：
在这项工作中，我们研究了一般可违约合同的价格对冲问题，其特征是存在一个切换类型的或有CSA。这是一种或有风险缓解机制，允许可违约合同的交易对手从零转换为完全/完美抵押，并在到期前支付一些即时转换成本时，将CVA、抵押和融资问题考虑在内。通过这种机制的经济意义，我们对这种理论定价/对冲问题进行了研究，这种机制允许更灵活地管理与“标准”非或有缓解机制（作为全部或部分抵押）有关的所有违约合同风险。特别是，我们通过对冲策略分解索赔（命题2.2.5）及其通过非线性反射BSDE系统的价格对冲表示（定理3.2.4）的方法是这项工作的主要贡献。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Reflected_Backward_SDE_approach_to_the_price-hedge_of_defaultable_claims_with_co.pdf (276.57 KB)

2022-5-7 05:07:25 上传

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关键词：SDE Quantitative Mathematical significance Contribution

在这项工作中，我们研究了一般可违约合同的价格对冲问题，其特征是存在一个或有转换类型的CSA。这是一种或有风险缓解机制，允许可违约合同的交易对手从z e ro转换为完全/完美抵押，并在到期前支付一些即时转换成本时，将CVA、抵押和融资问题考虑在内。我们已经开始研究这一理论定价/套期保值问题，因为这种机制具有经济意义，允许更灵活地管理所有违约合同风险，并遵守“标准”非或有缓解机制（完全或部分违约）。特别是，我们通过对Claim的对冲策略分解（命题2.2.5）及其通过非线性反射BSDE系统的价格对冲表示（定理3.2.4）的方法是这项工作的主要贡献。1.引言1。1工作目标和贡献在本文中，我们分析了一个理论合同，在该合同中，交易对手希望设定一个连续的CSA（信贷支持附件），以增加灵活性和以最佳方式管理交易对手风险的可能性。这是通过一种或有风险缓解机制实现的，该机制允许合同的交易对手从零转换为完全/完美的抵押，并在到期前随时转换，以支付一些转换成本，同时考虑交易对手的风险对冲成本，以及另一方在进行抵押时产生的抵押和融资/流动性成本好笑。

受所研究的转换型缓解机制相对于标准（零抵押和完全抵押）的成本最小化方面的经济意义的推动，在这项工作中，我们利用转换型或有CSA方案解决了这种广义违约索赔的价格对冲问题。这是一个困难的问题，主要是从理论角度，但也从数值角度来看。使估值变得复杂的主要原因如下。a） 递归估值问题：这是为了获得合同的价格对冲而要解决的主要技术问题。合同中存在CSA，且明显存在（双边）CVAMail:g。mottola@be-谢。它的价值取决于未来的合同风险敞口，通过斯奈尔包络线等随机技术和反映后向随机微分方程的理论来解决担保问题。我们发现，后向随机微分方程之间存在着深刻的联系。特别是，或有CSA的存在使得合同的价值，尤其是ofCVA和抵押品/融资期限，取决于交易对手的最佳策略。b） 市场不完全性和定价度量选择：在具有交易对手风险的定价模型中，一个通常在鞅定价度量P下工作，但从市场不完全性（主要由于不可预见的违约风险）来看，我们知道这种概率度量不是唯一的。这显然意味着，没有完美的hedg e可以建立和改变本地方法，比如主要使用均值-方差对冲或基于效用/偏好的方法。在接下来的章节中，我们试图通过设置一个相当一般的框架（第2.1节）来解决这些问题，该框架将BCVA和抵押推广到或有情况，并包括融资，假设该计划中存在无违约（λ=0）外部出资人。

然后，我们研究（第2.2节）整个合同的套期保值策略分解，并通过在方差最小化意义上最小化套期保值分解与合同价值的相对误差来解决价格过程的递归问题。我们证明（第3.1节），这个问题通过非线性反射BSDE系统有一个一般性的表示，这是这项工作的主要贡献（如定理3.2所述）。1.2文献参考涉及主要的自然参考文献，关于我们参考的Mottola（2013）框架和其中的参考文献。特别值得一提的是，Cesari（2010年）、Gregor y（2009年）和Brigo、Capponi等人（2011年）在无套利定价背景下，就抵押（包括再抵押和净额结算）对CVA和超过范围的违约债权的影响所做的工作，以及Brigo等人（2011年）在包括融资在内的情况下概括CVA估值的工作，所谓的资金价值调整（FVA）。如前一节所述，这里的主要研究问题是推导整个合同的价格对冲，包括或有CSA。据我们所知，Crepey（2011）的工作是在CSA和融资的情况下对一般违约合同进行定价和对冲的第一个严格方法。这项重要工作的主要结果是，在简化的形式设置下，推导了马尔可夫BSDE作为合同一般CVA过程（包括CSA和融资）定价和对冲工具的随机驱动因素的违约值（F-适应或可预测）过程和马尔可夫动力学。此外，尽管由于El Karoui等人的著名结果，假设（非标准）反向SDE（BSDE）的解存在（未证明）。

（1997）在BSD演示中，作者能够推导出相应的部分积分微分方程表示——假设动态存在马尔可夫跳差——以及套期保值过程的实际形式，这在最小方差意义上是最优的，即套期保值最小化了因与CVA相关的套期保值误差/成本而产生的市场风险方差。关于与违约索赔对冲相关的问题，我们还参考了Bie lecki等人（2004年）和Mottola（2013年）关于二阶递归问题的第3.4节。根据著名的套利第二基本定理，他们实际上也推导出了整个合同价格的BSDE，但一旦一方知道CVA项，另一方知道，反之亦然。Pham（2009）和Yong and Zhu（1999）的BSDE理论。在这项工作中，我们特别关注Crepey（2011），以解决我们的广义理论合同的价格对冲问题，该问题因CSA偶然性而变得复杂，即其价格过程取决于随时间变化的最优切换策略。2 BSDE和具有或有担保的一般合同的价格/套期保值问题2。1框架和假设让我们从陈述所有框架特征和工作假设开始，给出相关过程和变量的定义。鉴于我们在无套利的情况下面临定价问题，在下文中，我们保留了我们与或有CSA的可违约合同的一个交易对手的观点。让我们构造一个由三元组描述的概率空间(Ohm, Gt，P）式中，完全过滤由Gt=σ（Ft）给出∨ 哈∨ HB）t≥0代表t∈ [0，T]和P是在这个空间上定义的真实概率测度。在它上面有两个严格正的随机时间τifor i∈ {A，B}，它代表我们模型中考虑的交易对手的违约时间。

此外，我们定义了默认过程Hit={τi≤t} 以及HITT为任何t生成的相对过滤∈ R+。我们只需提到F，它是在实测度P下由d维布朗运动向量W生成的（无风险）市场过滤。此外，我们还记得，我们所考虑的所有过程，特别是Hi，arec'adl'ag半鞅G适应和τiare G停止时间。为方便起见，让我们定义交易对手的首次违约时间a sτ=τa∧ τb表示正在生效的合同的终止/终止时间，相应的指示程序为Ht={τ≤t} 。关于基础市场模型，假设它是无套利的，即它允许一个与P等价的现货鞅测度Q（不一定唯一）。Aspot鞅测度与储蓄账户Bt的选择有关（因此B-1统计事实r）作为一个数字，通常由Ft predictable processBt=expZtrsds给出， T∈ R+（1）假设短期R遵循一个F-逐步可测随机过程（无论其本身是如何选择期限结构模型）。然后，我们用G=1和Gt>0定义Az’ema supermartingale Gt=P（τ>t | Ft） T∈ R+作为默认时间τ的生存过程，与过滤F相对应。该过程是有界G-超马氏体，它允许唯一的Doob-Meyer分解G=u- ν、 其中u是鞅部分，而ν是一个可预测的递增过程。特别地，ν被假设为相对于勒贝格测度是绝对连续的，因此对于一些F-逐步可测的非负过程ν，dνt=νtdt。

因此，我们现在可以定义默认强度λ为F-逐步可测量过程，设置为λt=G-1t~ntso thatdGt=dut- λtGtdt和累积违约强度定义如下∧t=ZtG-1udνu=Ztλudu，（2）为了方便起见，我们假设浸入性质在我们的框架中成立，因此everyc\'adl\'ag G-适应（平方可积）鞅也是F-适应的。特别是，我们使用预默认值过程，即设置J:=1- H={t≤τ}对于[0，T]上的任何G-适应的，分别是G-可预测的过程X，存在[0，T]上的一个单独的F-适应的，分别是F-可预测的过程X，称为X的预默认值过程，使得JX=JX，分别是J-X=J-~X.现在让我们来定义分析或有索赔价格对冲所涉及的主要过程和变量。特别是，我们在此回顾了双边CVA定义，该定义一般适用于或有CSA案例。从无违约和可违约的股息和价格过程开始，我们陈述以下定义。定义2.1.2（清洁部门和价格流程）。交易对手无违约（交易所交易）合同的净股息过程是最终支付额、现金流量a和τ=τi=∞ 如下所示：drft=XT+Xi∈{A，B}Z] t，t]dAiuT∈ [0，T]。（3） 清洁价格过程SRF可以简单地用相对定价度量下的分割过程随时间的积分表示，即isSrft=BtEQZ] t，t]B-1地址英尺T∈ [0，T]。（4） 定义2.1.3（双边风险股息和价格过程）。

具有双边交易对手风险（X；a；Z；τ）的可违约债权的股息过程被定义为直到到期T的债权总现金流，即正式的T=XT{T<τ}+Xi∈{A，B}Z] t，t]（1）- Hiu）dAiu+Z]t，t]ZudHiuT∈ [0，T]（5）代表i∈ {A，B}。类似地，双边交易对手风险到期的可违约债权的（除息）价格过程定义为风险中性计量Q下贴现股息流的积分，即债权的NP Vt，即形式上的YNP Vt=St=BtEQZ] t，t]B-1udDu燃气轮机T∈ [0，T]。（6） 以下是提案国。关于证据，我们参考莫托拉（2013）。提案2.1.4（双边CVA）。在T到期的双边计算方风险（X；a；Z；τ）的可违约索赔的双边CVA过程满足以下关系bcv At=CV At- DV At=BtEQ{t<τ=τB≤T}B-1τ(1 - 红细胞（Srfτ）-燃气轮机+- BtEQ{t<τ=τA≤T}B-1τ(1 - RAc）（Srfτ）+燃气轮机（7） 从B的角度来看，这个公式是对称的，只有符号符号。每一个t∈ [0，T]，Rici在哪里∈ {A，B}是交易对手回收率（过程）。现在，让我们按照以下方式定义抵押过程。定义2.1.5（抵押品账户/流程）。让我们用∧ifor i={A，B}确定acontract双侧CSA的正/负阈值，并用MT A确定正最小转移量。

附带过程Collt:[0，T]→ R是一个随机的Ft适应过程，定义如下collt={Srft>∧B+MT a}（Srft- λB）+{Srft<λA-MT}sra- 时间集{t<τ}上的∧A），（8）和collt={Srfτ->∧B+MT A}（Srfτ）-- ∧B）+{Srfτ-<ΓA-MT A}（Srfτ）-- 集{τ上的∧A），（9）≤ t<τ+t} （与t表示默认时间τ后的一小段时间）。在完美抵押的情况下，我们可以很容易地证明，CollP erft始终等于mark to market，即基础债权的（无违约）定价过程Srft，即形式上（通过定义2.1.4）CollP erft={Srft>0}（Srft- 0）+{Srft<0}（Srft- 0）=Srft T∈ [0，T]，在{T<τ}上。（10） andCollP erft=Srfτ- T∈ [0，T]，关于{τ≤ t<τ+δt}（11）现在，为了将分析推广到偶发CSA，我们需要在fra工作中引入开关控制。这些是控制措施，即合同的隐含选项，授权交易对手A通过调用抵押品来优化管理交易对手风险。根据偶发CSA的特性，他可以在[0，T]中通过一系列切换时间，比如τj，每次给系统“脉冲”∈ T，和T一起 [0，T]，其中我们表示切换设置：=τ, . . . , τM}=τjMj=1（12），最后一次切换{τM≤ T}（M<∞) 以及τjare，通过定义s打顶时间，Ft可测量的随机变量。因此，在任何一个开关时间，我们都需要定义开关/脉冲指示器的相关集合，在我们的情况下，只有两种可能的开关状态：Z：=ZzM}=zjMj=1（13），其中zj是Fτj-可测量的开关指示器，取值为zj={0，1}j=1。

，M，所以我们有zj=（1）=>′′Z-ro-col横向′（全CV A）0=>′′在文献中，根据CSA规定和模型选择，该过程也被认为是可预测的，或通常适用于Gt。所以，我们有一个问题的控制集，由所有的指示符号和切换时间序列C组成∈ R+M，这是isC=Z，T=τj，zjMj=1。我们现在可以给出或有抵押品和或有BCVA的定义（详情请参阅Mottola（2013）第二节）。定义2.1.6（或有抵押品流程）。针对任何时间定义的或有抵押品集合盗窃适应流程∈ [0，T]和每个切换时间τj∈ [0，T]和j=1，M、 切换指示器zjand默认时间τ（定义为min{τA，τB}），asfollowsCollCt=（Srft{zj=0}{τj≤t<τj+1}+0{zj=1}{τj≤关于{t<τ}Srfτ的t<τj+1}-{zj=0}{τj≤t<τj+1}+0{zj=1}{τj≤{τ上的t<τj+1}≤ t<τ+t} 在这里，我们回顾了从b）点得出的St=CollP erftf结果。定义2.1.7（BCVA和或有CSA）。与转换型或有CSA签订的合同的双边CVA，BCV激活了针对任何时间t定义的Gt适应流程∈[0，T]，对于每个切换时间τj∈ [0，T]和j=1，M、 切换指示器zjand defaulttimeτ（如上定义），如下所示{zj=1}{τj时BCV ACt=BCV≤t<τj+1}+0{zj=0}{τj≤t<τj+1}，f或t∈ [0，T∧ τ]，（14），其中BCV A的表达式已知于命题2.2.3。从或有CSA和（双边）CVA的定义来看，让我们强调一下，开关控制进入并影响这些过程的动态。特别是，切换到完全抵押意味着BCV A=0，即St=Srft=Collperft。