金融学中的霍克斯过程

2.3.7，tm是tm的祖先M步{pmm}→ （u，θ）：根据E-step中估计的概率{pmm}计算模型参数（u，θ）。当平均强度∧与Φ支撑的特征时间尺度τ的乘积很小时，即∧τ，该算法收敛速度非常快 1，意味着在大小为τ的区间内检测到少量跳跃。让我们指出，通用矩量法（GMM）也可以使用[21]，例如，基于自协方差分析公式，如（29）。高维估计。所有之前的技术都不能应用于大维度环境（例如，D≥ 100）无实质性修改。例如，即使在“简单”指数核的情况下，参数的数量也是D的数量级，因此，由于过度拟合和/或计算问题，应用于D较大的环境变得不可行。为了解决大尺度下的参数估计问题，需要使用涉及正则化的算法。在过去的一年里，霍克斯的大尺度过程已经成为许多学术论文的主题（例如参见[70]）。在大多数情况下，在具有αijβije形式的指数核的Hawkes过程框架中或多或少地采用了“经典”凸优化技术-βijt。让我们指出，在所有这些论文中，为了得到凸对数似然（70），参数βij是先验的（即，它们不是估计的），通常不依赖于i或j。因此，在这种情况下，核矩阵Φ可以写成矩阵形式Φ=αβe-βt，其中α是所谓的（加权）邻接矩阵α={αij}1≤i、 j≤D.α描述了霍克斯过程不同组成部分之间的“联系”。为了解决由此得到的对数似然凸优化问题，通常引入α上的惩罚项。

它们通常有两种：一种是确保稀疏性的Lpenalization，另一种是确保低等级的trace normal惩罚。据我们所知，这些类型的算法仅在融资环境中使用过一次（参见第7.3节[49]）。显然，人们可以很容易地预测，在不久的将来，将有大量用于大尺寸参数估计的新算法，其中一些改进了现有技术。C.2非参数估计迄今为止，学术文献中很少出现霍克斯过程核矩阵的非参数估计。我们将在下一节中回顾它们。基于EM的估计。历史上，第一个[47]对应于前一节中描述的EM估计算法的非参数版本。它基于[50]在地震学ETAS模型框架内最初引入的方法的正则化（通过Lpenalization）。它是为一维霍克斯过程开发的。最大似然估计量的计算采用与参数情况相同的两个步骤。E步对应于估计所有PMM概率，M步对应于根据这些概率估计φ（t）和u。在[47]中，即使外生强度u随时间缓慢变化，也成功地对特殊情况进行了一些数值实验：整个函数u（t）与核φ（t）以非常好的近似进行了估计。然而，如[8]所述，这种方法有两个主要缺点：o当核φ（t）的衰减速度较低时，EM算法的收敛速度急剧降低（例如，幂律衰减核），oEM方法中涉及的核值的概率解释防止核具有负值（见第2.2.4节）。基于对比函数的估计。

在最近的一系列论文[62,33]中，一些作者在严格的统计框架内提出了非参数估计的第二种方法。它依赖于所谓的Lcontrast函数的最小化。假设霍克斯过程在一个区间[0，T]上实现，并与参数（μu，μΦ（T））相关联，估计基于最小化对比函数C（μ，Φ）：（μ*, Φ*) = argmin（u，Φ）C（u，Φ），（72），其中C（u，Φ）=DXi=1ZTλit（u，Φ）dt- 2ZTλit（u，Φ）dNit！（73）和λit（u，Φ）=ui+DXj=1Zt-∞Φij（t）- s） Njs。（74）让我们指出，最小化对比度函数的预期相当于最小化强度过程的误差。事实上，如果Ftis的信息在时间t之前可用-, 自Ehd以来Fti=~λitdt，一个hasargmin（u，Φ）E[C（u，Φ）]=argmin（u，Φ）DXi=1Eλi（u，Φ）- Ehλi（u，Φ）~λii（75）=argmin（u，Φ）DXi=1Eh（λi（u，Φ）-§λi）i.（76）Φ=＠Φ和u=＠u当然是唯一达到最小值（零）。在[33]中，作者选择在有限维空间（实际上是常数分段函数的空间）上分解Φ，并直接在该空间中解决最小化问题（72）。为此，为了使解决方案正规化（他们基本上是在处理一些只有少量可用数据的应用程序，并且已知核是很好地本地化的），他们选择用套索项（众所周知，套索项会导致核的稀疏性）来惩罚极小化，即Φ的组成部分的形式。让我们指出，最小化对比函数和最小化对比函数的期望值是两个不同的故事。对比度函数是随机的，没有任何东西可以保证相关的线性方程不是病态的。

在[33]中，作者证明了在Φ的某些条件下，线性方程是可逆的，即相关的随机Gram矩阵几乎肯定是正定义的。在实践中（他们研究来自神经生物学的真实信号），他们选择Φ的分量为分段常数。维纳-霍普夫方法。让我们指出，由于λ以{φij（t）}Dij=1的μi表示线性，因此最小化Lerror（75）等价于求解一个线性方程，它只不过是Wiener-Hopf等式（38）。因此，最小化对比度函数的期望值相当于求解维纳-霍普夫方程。在[7,8]中，作者选择通过直接反转该系统来进行非参数估计。他们已经证明，只要g（t）对应于霍克斯过程的条件强度，（38）在χ（t）中有唯一解，即核矩阵Φ（t）。该算法使用求积技术对系统进行离散化。

它可以用以下方式总结：o向量∧的估计（简单地用作为∧的估计，即由整体时间实现划分的实现跳跃数）o由（36）定义的矩阵g（t）的非参数估计（使用核密度估计技术）o固定要使用的正交点的数量（例如高斯正交）以及支持所有内核函数。o在正交点上离散Wiener-Hopf系统并进行逆运算。这将导致在正交点上估计核函数。通过简化公式，可以获得更细网格和形式的估计值使用（21）估算外源强度u。我们请读者参考[8]，其中详细描述了完整的算法（包括选择密度核估计的带宽值的方法以及正交点的数量），以及与上述其他方法的比较。实际上，在[6]中，它已经得到了改进，特别是在缓慢减少果仁的情况下。与[33]中开发的方法相比，该算法更好地适应了大量数据可用的情况。与EMapproach相比，我们将主要在两种情况下（在处理财务数据时，这通常是令人满意的）提倡使用EMapproach而不是EM算法：o要么核函数没有本地化（例如幂律）。事实上，在这种情况下，EM算法的收敛速度非常慢（参见[47]和[8]），或者一些核函数具有负值（参见上文EM算法的第二点）。

我们请读者参考[33]以了解为什么维耶纳-霍普夫方法可以处理负内核。最后，让我们指出，在特定情况下，已知核矩阵是对称的（如果维数D=1，则始终为真），在[2]中开发的方法使用光谱方法进行反演（23），并从二阶统计量推导出估计。它可以被看作是求解维纳-霍普夫方程的一种特别优雅的方法。感谢J.P.Bouchaud和S.Hardiman提供了参考文献中的数据。[34, 35].这项研究得益于“转型中的椅子市场”的支持，该实验室由“路易·巴塞利尔金融与可持续增长”实验室赞助，该实验室是“理工学院、德国大学、埃弗里·瓦尔·德松和法国联邦银行”的联合实验室。参考文献[1]A.阿方西和P.布兰科。混合市场中的动态最优执行霍克斯价格模型。arXiv预印本arXiv:1404.06482014。[2] E.Bacry、K.Dayri和J.F.Muzy。对称hawkes过程的非参数核估计。高频金融数据的应用。欧元。菲斯。J.B，85:157，2012。[3] E.Bacry、S.Delattre、M.Ho Off mann和J.F.Muzy。用相互激励的点过程模拟微观结构。《定量金融》，13:65-772013。[4] E Bacry、S Delattre、M.Ho Off mann和J.F.Muzy。Hawkes过程的一些极限定理及其在金融统计中的应用。《随机过程及其应用》，123（7）：2475–24992013。[5] E.Bacry、A.Iuga、M.Lasnier和C-A.Lehalle。市场影响和投资者订单的生命周期。arXiv预印本arXiv:1412.0217v2，2014年。[6] E.Bacry、T.Jaisson和J.F.Muzy。缓慢递减霍克斯核的估计：在高频订单建模中的应用。arXiv预印本XIV:1412.70962015。[7] E.巴克里和J.F.M。

价格和交易高频动态的霍克斯模型。《定量金融》，14（7）：2014年1月至20日。[8] E.Bacry和J.F.Muzy。霍克斯过程的二阶统计特征和非参数估计。arXiv预印本arXiv:1401.09032014。[9] L.鲍文和N.豪奇。使用点过程对金融高频数据进行建模。斯普林格，2009年。[10] L.鲍文和N.豪奇。随机条件强度过程。《金融计量经济学杂志》，2009年4:450–493。[11] B.比亚斯、P.希利昂和C.斯帕特。巴黎证券交易所限价指令簿和指令流的实证分析。《金融杂志》，50（5）：1655-16891995。[12] G.博尔梅蒂、L.M.卡尔卡尼、M.特雷卡尼、F.科西、S.马米和F.利洛。用霍克斯因子模型对系统性价格波动进行建模。量化金融（出版），2015年。[13] J.P.布乔德。价格影响。R.Cont，《定量金融百科全书》编辑。约翰·威利父子有限公司，2010年。[14] J.P.Bouchaud、J.D.Farmer和F.Lillo。市场如何慢慢消化供求变化。托尔斯滕·亨斯和克劳斯·申克·霍普主编，《金融市场手册：动力学和进化》，第57-156页。爱思唯尔：学术出版社，2008年。[15] C.G.鲍舍。连续时间的证券市场事件建模：基于强度的多变量点过程模型。《计量经济学杂志》，141（2）：876-9122007。[16] P.Br\'emaud和L.Massouli\'e.非线性hawkes过程的稳定性。《概率年鉴》，1563-1588页，1996年。[17] P.Br\'emaud，L.Massouli\'e等.无祖先的霍克斯分支点过程。应用概率杂志，38（1）：122-1352001。[18] V.查韦斯·德穆林和贾·麦吉尔。使用霍克斯过程的高频金融数据建模。《银行与金融杂志》，36（12）：3415–3426，2012年。[19] R.康特、A.库卡诺夫和S.斯托伊科夫。

订单簿事件的价格影响。《金融计量经济学杂志》，12（1）：47-882013。[20] J.C.考克斯、小英格索尔和S.A.罗斯。利率期限结构理论。《计量经济学》，5:385-4071985。[21]J.Da Fonseca和R.Zaatour。霍克斯过程：快速校准、应用到贸易聚类和差异限制。期货市场杂志，34（6）：548-5792014。[22]D.J.戴利和D.维尔·琼斯。点过程理论导论，第2卷。斯普林格，1988年。[23]A.Dassios和H.Zhao。一个动态的传染过程。《应用可能性的进展》，43（3）：814–8462011。[24]A.Dassios和H.Zhao。具有指数衰减强度的霍克斯过程的精确模拟。《概率中的电子通信》，第18（62）页，2013年。[25]M.Dhamala、G.Rangarajan和M.Ding。从时间序列数据的傅里叶变换和小波变换估计格兰杰因果关系。菲斯。牧师。莱特。，100(1):18701, 2008.[26]D.杜菲、D.菲利波维奇和W.沙切迈耶。一套财务流程和应用。《应用概率年鉴》，13:984-1053，2003年。[27]P.Embrechts，T.Liniger，L.Lin等。多元霍克斯过程：对财务数据的应用。应用概率杂志，48:367-3781011。[28]R.F.恩格尔和J.R.拉塞尔。自回归条件持续时间：不规则间隔交易数据的新模型。《计量经济学》，66:1127-11621998。[29]E.Errais、K.Giesecke和L.R.Goldberg。一点流程和portfoliocredit风险。暹罗金融数学杂志，1（1）：642-6652010。[30]A.福斯和C.都铎。使用多变量标记点过程对订单的第一行进行建模。arXiv预印本arXiv:1211.4157v112012。[31]V.菲利莫诺夫和D.索内特。量化金融市场的反应：预测金融崩溃。物理回顾E，85（5）：0561082012。[32]V.菲利莫诺夫和D.索内特。

霍克斯自激点过程模型中的表观临界性和校准问题：高频金融数据的应用。arXiv预印本arXiv:1308.67562013。[33]N·R·汉森、P·雷诺·伯雷和V·里沃伊拉德。多变量点过程的Lasso和Probabilistines性质。arXiv预印本arXiv:12080570，将出现在伯努利。[34]S.J.Hardiman、N.Bercot和J.P.Bouchaud。金融市场的关键反应：霍克斯过程分析。arXiv预印本arXiv:1302.14052013。[35]S.J.Hardiman和J.P.Bouchaud。自激励霍克斯过程的分支比近似。arXiv预印本arXiv:1403.52272014。[36]J.哈斯布鲁克。衡量股票交易的信息含量。《金融杂志》，46:179-2071991。[37]A.G.霍克斯。一些相互激励的点过程的点谱。J·R·国家统计学家。Soc。B、 33:438–443，1971年。[38]A.G.霍克斯。一些自激和互激点过程的光谱。Biometrika，58（1）：83–901971年。[39]S.L.赫斯顿。具有随机波动性的期权的封闭形式解，应用于债券和货币期权。《金融研究回顾》，第385-407页，1993年。[40]P.休利特。订单到达、价格影响和贸易路径优化的集群。在关于跳跃过程的金融建模研讨会上，Ecole Polytechnique，第6-8页，2006年。[41]T.贾森。对订单流量不平衡的预期带来的市场影响。arXiv预印本arXiv:1402.12882014。[42]T.Jaisson和M.Rosenbaum。几乎不稳定Hawkes过程的极限定理。出现在《应用概率年鉴》上。，2014年[43]A.杰迪和F.阿伯格尔。基于Hawkes过程的订单模型的稳定性和价格伸缩极限。2013年[44]斯托扬·乔瓦尼维奇、约翰·赫兹和斯特凡·罗特。霍克斯点过程的累积量。arXiv预印本arXiv:1409.53532014。[45]M.Lallouache和D.Challet。

霍克斯处理财务数据的统计意义。可在2014年SSRN 2450101上获得。[46]J.大型。测量电子限额订单簿的弹性。金融市场杂志，10（1）：1-252007。[47]E.刘易斯和G.莫勒。多尺度Hawkes过程的非参数em算法。预印本，2011年。[48]P.A.刘易斯和G.S.谢德勒。通过细化模拟非齐次泊松过程。《海军研究后勤季刊》，1979年3:403–413。[49]S.L.林德曼和R.P.亚当斯。发现点过程数据中的潜在网络结构。arXiv预印本arXiv:1402.0914v12014。[50]D。。Marsan和O.Lenglin\'e.通过级联扩展地震的影响范围。《科学》，319:10762008。[51]I.Mastromateo、E.Bacry和J.F.Muzy。高维线性过程：相空间和临界性质。arXiv预印本arXiv:1412.69982014。[52]I.Mastromatteo和M.Marsili。关于推断模型的临界性。《统计力学杂志：理论与实验》，2011（10）：2011年第0012页。[53]B.Mehrdad和L.Zhu。关于霍克斯过程，具有不同的激励功能。arXiv预印本arXiv:1403.09942014。[54]J.莫勒和J.G.拉斯穆森。霍克斯过程的完美模拟。Adv.不适用。Probab。，37(3):629–646, 2005.[55]I.穆尼·托克。订单簿模型中的“做市”及其对买卖价差的影响。在订单驱动市场的经济物理学中，新的经济窗口。斯普林格，2010年。[56]I.Muni Toke和F.Pomponio。使用hawkes过程对限额订单中的交易进行建模。经济学：开放获取，开放评估杂志，6（2012-22），2012年。[57]A.G.Nedungadi、G.Rangarajan、N.Jain和M.Ding。分析具有非参数格兰杰因果关系的多重相似序列。计算神经科学杂志，27（1）：55-642009。[58]绪方贞子。关于刘易斯的点过程模拟方法。