金融学中的霍克斯过程

这一结果被用于为指数和分期付款掉期等信用衍生品的投资组合定价。然后，他们的模型根据2008年9月的指数和掉期数据进行了校准，该数据见证了几次信用违约，尤其是雷曼兄弟的违约。作者已经证明，通过捕捉违约事件的相关性，他们的模型提供了良好的市场数据，这与在此期间失败的标准方法不同。Errais等人强调，具有指数核的marked Hawkes模型属于Duffee等人提出的更一般的单点过程[26]。一个单点过程涉及一个随机强度向量，它是一个带有漂移、扩散和跳跃项的马尔科夫过程。Errais等人[29]已经表明，他们的方法在提供更丰富的跳跃交互结构的有效单点过程中仍然易于处理。让我们也引用Dassios和Zhao[23]最近的类似工作，他们在所谓的“动态传染过程”框架内解决了违约风险建模和传染传播问题，这是一个指数标记的霍克斯模型，但泊松外生事件（“移民”）被散粒噪声取代（构建为具有不同标记概率密度的同一指数霍克斯模型的第一代）。作者建立了这一新过程（即阿马尔科夫过程）的理论分布性质，并给出了其概率生成函数的解析表达式。正如Errais等人[29]所述，他们证明了他们的方法特别适合于用动态关联对到达事件的依赖结构建模，并提出了信用风险的应用，7.2会计新闻[61]，Rambaldi等人。

使用霍克斯过程建模新闻对EBS（外汇市场）报价时间序列的影响，包括报价时间戳列表。让我们注意到，由于EBS数据受到限制（聚集在0.1s的窗口下），因此使用了随机化程序进行均匀化。报价到达时间的模型是一个一维霍克斯模型，涉及双指数或幂律（表示为15个指数之和，以便有一个方便的最大似然估计程序）。新闻的影响（在引用时间序列上）可以被视为局部非平稳性的特定实例。因此，Rambaldi等人引入了一个外生核φ（news）（一个指数函数），它解释了新闻的特殊性的影响，从而产生了一个模型：λt=u+φ？dNt+φ（n）（t）- t） ，（68）其中是特定新闻的发生时间。让我们指出φ（n）（其中（n）代表新闻）允许有一个非因果成分（即φ（n）（t）对于t<0是非零的），以解释预期效果。在考虑的新闻周围的3小时内进行估计（使用常规最大似然估计程序）。虽然结果非常嘈杂，但作者表明，该模型很好地捕捉了新闻影响的幅度和时间尺度。不同新闻的形式| |φ（n）| |的分布范围很广（超过1），这清楚地反映了市场上新闻的不同影响。此外，兰巴迪等人使用一些代理来量化特定新闻的意外程度，清楚地表明，规范| |φ（n）| |不仅与新闻影响有关，还与其意外程度有关。从形式上讲，该模型可以被视为Eq的二维价格影响模型的一维版本。

（65）其中f（rt）被以时间t为中心的狄拉克分布所取代，δ（t- t） .7.3高维模型建模共跳。在[12]中，Bormetti等人对一篮子股票中极端回报的复杂动态进行了建模。他们首先阐述了从1分钟收益时间序列中识别极端收益（本文中称为“跳跃”，与异常值相对应）的详细程序。在一篮子N=20支意大利股票中，他们发现一支股票在整个周期（88天）内最多跳280次，所有股票每天最多跳505次。他们清楚地确定了一些跳跃在同一时间到达，即在同一时间窗内。这就避免了将整个过程建模为anN维Hawkes过程：在这样一个框架中，如果不在内核中引入一个脉冲组件，就无法发生协同跳跃。Bormetti等人最后提出了以下模型o使用一维霍克斯过程来模拟共跳到达时间。霍克斯过程的核心被选为指数函数之和每一次t发生一次共同跳变，每只股票i，彼此独立，都有一个概率皮托跳变。这些概率是根据实际数据进行经验估计的对于每个股票i，使用一维霍克斯过程来模拟该股票的特质跳跃，即，与o跳跃不对应的跳跃。同样，霍克斯过程的核被选为指数函数之和。在他们的论文中，Bormetti等人开发了一个精确的程序来对该模型进行估计，结果表明该模型非常稳健。此外，他们还表明，它能够同时捕获跳跃的时间聚类和跨资产跳跃的高度同步。使用图模型进行聚类。

在[49]中，林德曼和亚当斯开发了一个概率模型，将霍克斯过程与随机图模型结合起来，并应用于S&P100数据。霍克斯内核的每个组成部分都对给定资产在一周内最后交易价格的变化（超过0.1%）进行编码。由此得到一个包含182.037个事件的100维点过程。核被选择为φij（t）=AijWijhθij（t），（69），其中A是一个随机二元（0或1）值矩阵，W是一个具有正项的随机矩阵，hθ（t）是一个参数核（参数θ），使得rhθ=1（选择了具有两个参数的对数正态密度）。日内季节性使用u=m+νey（t）形式的外生强度进行建模，其中ν是恒常矩阵，y（t）是单变量高斯过程。随机图模型通过矩阵A和W的先验分布来反映不同网络结构的概率。它们基本上取决于一个潜在距离，这个潜在距离构成了一个总体稀疏度（20%）和一个特征距离标度。因此，每个股票k对应于一个潜在坐标xkin-rth，该坐标通过完全贝叶斯并行推理算法进行估计。显示一个图形，其中每个股票在潜在的二维空间中表示为一个点，颜色编码对应于其相应的扇区（在六个扇区中）。林德曼德·亚当斯（Lindermand Adams）指出，一些行业，尤其是能源和金融行业，倾向于聚集在一起，这表明同一行业的股票之间相互作用的可能性增加。其他行业，如消费品，分布广泛，这表明这些股票受该行业其他部门的影响较小。

人们可以认为，这种方法将在多元Hawkes过程的框架下，为非常有前途的应用铺平道路，在这些应用中，人们将处理与大量相互作用的组件/代理相关的大量数据，以便对金融市场的复杂性有新的认识。最后，让我们注意到，Mastromatteo和Marsili[52]试图通过将高维Hawkes过程映射到一个图形（Ising）模型来克服估计高维Hawkes过程的问题，从而在集合中描述交易时间的聚类。2003年，他们利用机器学习技术重建了纽约证券交易所D=100个交易量最大股票的互动网络，并报告了权重矩阵W的整体比例∝ D-1.他们的研究证明存在矩阵a的大型集体市场模式，将市场活动的总体水平推向临界点。8.总结Remarks Hawkes过程是一种用途极其广泛的过程，可被视为建模时间相关离散事件发生的构造块，与自回归模型在描述连续值信号时所起的作用相同。在一个相对简单的数学框架内，它们允许人们精确描述不同类别事件之间的相互作用，并解释它们的因果关系。从统计角度来看，它们可以通过相对简单的模拟算法生成，而有几种有效的估计方法可以对它们进行校准。霍克斯过程已被证明在许多领域非常有用，例如地震建模、神经元或社会网络活动。

由于它们能够描述单个事件的分辨率数据，并解释内源性触发、传染和交叉激发现象，因此它们自然在高频金融领域得到了应用。在本文中，我们对许多涉及各种问题的此类应用进行了概述。从金融市场的内生性水平问题到订单簿事件的建模，包括影响、风险传染建模、最优执行策略的设计，我们看到霍克斯模型已被用于解决大量问题。这篇综述绝非详尽无遗，而是对一个有望迅速演变和发展的主题的“快照”。我们提到的许多研究都可以被视为开创性的工作，预示着更重要的结果和对微观结构层面市场动态的深入理解。在即将进行的研究中，我们将探索出一些可行的途径，其中一些是可以轻易预见的。由于中大型市场中的几个典型事实可能源于市场微观结构，微观到宏观的转变是一个重要问题。在这方面，了解霍克斯过程的长期行为和可能出现的不稳定性非常重要。人们可能不仅希望在更大的时间内恢复已知的模型，还希望解释微观结构碰撞等真正的新现象。

除了人们在通常情况下预期的布朗极限之外，由于在临界点附近模型的丰富性，以及由于经验数据似乎表明市场在接近这一不稳定阈值的情况下运行，阐明接近不稳定极限的霍克斯过程的新兴性质似乎是一个有希望的研究领域。高维体系中霍克斯模型的研究和估计也是一个具有挑战性的前景，因为金融市场的复杂性主要是由大量组成部分（市场参与者、代理人、资产、信息流等）之间的相互作用造成的。在大数据社区和跨社交网络病毒扩散研究的推动下，这方面取得了许多进展。人们可以期待这些方法在未来的高频融资中有许多有趣的应用。附录A各讨论文件中的财务应用表下表列出了本文中讨论的涉及财务数据数值实验的学术著作。除了明确的列名外：D代表霍克斯模型的维数，T代表用于校准模型的历史数据的长度，dt代表数据的时间分辨率，Φ（T）代表霍克斯核的形状。N-Exp表示次幂和，PL表示“幂律”，NP表示“非参数”。Fitted Hawkeds NTT合同dtΦ（T）注释第2节[15]Bowsher 1-2交易股票2个月1s 2-Exp+季节性[18]查韦斯等人1极端P股票1年1ms 2-Exp标记[42]Jaisson等人8一级期货1年1us NP第3节[2]Bacry等人1交易期货3.5个月1ms NP2价格期货3.5个月1ms NP[8]Bacry等人1交易期货4.5年1ms NP[21]Da Fonseca等人。

1贸易股票未来2年1 MS Exp 2中等价格股票未来2年1 MS Exp[27]Embrechts等人2极端P指数17年1日经验标记1极端P指数14年1h Exp 3d标记[31]菲利莫诺夫等人1期中价期货13年1s Exp[32]菲利莫诺夫等人1期中价期货15年1s Exp 1期中价期货15年1s PL[34]哈迪曼等人1期中价期货14年1ms N-Exp 1期中价期货1年1ms NP[35]哈迪曼等人1期中价期货16年1s Exp 1期中价期货16年1ms NP[45]拉鲁瓦切等人1贸易外汇3个月0.1s 2-Exp第4[3]Bacry等人2个价格期货2个小时经验[30]Fauth等人4个交易汇率2个月经验标记[69]Zheng等人2个交易外汇10天0.1s经验限制第5[7]Bacry等人4个价格+交易期货3.75年NP[5]Bacry等人2个价格股1年PL[40]Hewlett 2个交易外汇2个月经验6[46]大型一级股票22天经验[56]Muni Toke等人2通过股票交易5个月1ms Exp[55]Muni Toke 2订单股票15天1ms ExpSection 7[12]Bormetti等人1×20价格股票88天1M Exp合作跳跃[29]Errais等人1违约信用21天1day Exp[49]Linderman等人100极端P股票1周1s Exp固定十年随机图[52]Mastromatteo等人100交易股票1年1s Exp[61]Rambaldi等人1报价外汇1年0.1s N-Exp新闻[63]Sahalia等人1-2价格指数[22,33]年1day Exp传染NB模拟模拟霍克斯过程有两个主要框架：基于强度的框架和基于集群的框架，取决于它是直接使用强度回归方程（2）还是霍克斯过程的聚类表示（见第2.3.7节）。

最流行的方法当然是基于强度的细化方法，最初由Lewis[48]在非齐次泊松过程的一般背景下引入，后来由Ogata[58]修改。变薄了。细化算法是一个增量过程，其中连续的跳跃时间是按顺序生成的。它可以很容易地适应多维语境，并且可以推广到有标记的情况。在其最简单的版本中（对于减少核数有效），给定一个开始时间t，它基本上包括对候选跳变时间t+进行采样t使用指数分布的随机变量参数为λ（tot）的t=PDk=1λkt。然后在区间[0，λ（tot）t]内均匀地画出一个随机变量U。如果U<λ（tot）t-λ（tot）t+t、 跳转被拒绝。如果没有被拒绝，跳转将被分配给组件i，其中i是满足U的最大索引≥ λt-圆周率-1k=1λkt+t、 让我们指出，在指数核的情况下，算法的复杂性可以大大降低。时间变化模拟非均匀泊松过程的另一种常见的基于强度的方法使用了以下众所周知的事实：如果一个定义了累积强度函数Ft=Rtλudu，那么NF-1是强度为1的均匀泊松过程。因此，为了进行模拟，我们需要知道如何模拟F-1tm+1- F-1tmwhere tm+1- TMI呈指数分布。例如，该算法已应用于[24]中的指数核。事实上，在这种更简单的情况下，可以解析地反转函数F。聚类算法聚类方法基本上包括模拟第节中描述的分支结构。2.3.7. 因此，该算法在代索引n中是顺序的，而不是在实时t中。

例如，我们可以看到[54]，它描述了如何使用分支结构模拟标记的霍克斯过程。在最近的工作[24]中可以找到一个简短的调查和一个更全面的参考列表。统计推断。1参数估计最大似然估计。霍克斯过程参数估计最常用的技术是极大似然估计（MLE），Ogata在[60]中首次引入该技术。非均匀多维泊松分布的对数似然，如式（2）所示，readslog L（u，Φ）=-DXi=1ZTdtλit+MXm=1logλkmtm，（70），其中耦合{（tm，km）}Mm分别为事件时间和分量。给定一个依赖于一组参数θ的Hawkes核θ，可以通过求解问题（u）从等式（70）估计它*, θ*) = argmax（u，θ）对数L（u，Φθ）。（71）在一般霍克斯过程的情况下，可能性（或其梯度）的计算为O（MD）级，其中M是跳跃的总数。当核函数是指数函数时，它减少到O（md）的事实是指数核（或指数核之和）仅在参数框架中使用的主要原因之一[27,55,56,12,61,69]。基于EM的估计。在[67]中，作者使用了一种基于期望最大化（EM）的技术，这是一种迭代过程，包括期望（E）和最大化（M）两个步骤的交替，以利用第节中描述的霍克斯过程的聚类表示。2.3.7. 给定Hawkes核Φθ的参数化和一组参数（u，θ），每个迭代包括：oE步（u，θ）→ {pmm}：对于所有有序跳跃对（tm，tm）（tm<tm），在以秒为单位描述的集群框架内，估计概率pmmthat。