金融学中的霍克斯过程

Eqs。（5） 上面的（51）则暗示了那颗坚果----→T→∞∧uT（52）+（λT）1/2（1）- α（s））- （α（c））1.- α（s）α（c）α（c）1- α（s）武武,根据组合N±t=2-1/2（Nt±Nt）读数SN±uT----→T→∞（1±1）1/2∧uT+（∧T）1/21- α（s） α（c）W±u.（53）图4总结了这种行为，我们在图中比较了不同时间尺度下的重新定标过程N±u。-2020年0.25 0.5 0.75 1T=1000u-202T=100-202T=10Z±u=1-α（s）α（c）（λ0T）1/2N±uT- ∧±uT图4：对于与图2相同的参数选择，该图显示了过程的形状N±uTat different timescalesT=101001000。根据公式（53）对过程进行了重新调整，以获得极限T内的标准维纳过程Wu→ ∞. 该图说明了离散跳跃的存在，在小时间内清晰可见，如何在标度极限T中变得无关紧要→ ∞.其他标度限制众所周知，价格形成过程中涉及的许多微观观察结果在大尺度上（例如，在每日，甚至每月的时间尺度上）不适用于布朗运动动力学。例如，交易活动（即市场订单流量）似乎是长期依赖的[14]，而波动性显示的集群可能持续数月。正如我们将在下一节中看到的那样，霍克斯过程倾向于很好地模拟金融时间序列的高频动力学，因此，很自然地，我们会试图理解是否可以找到比定理5所描述的更大的扩散极限。

在Jaisson和Rosenbaum[42]最近的一项研究中，一系列重新定标的单变量Hawkes过程z（T）u=1- aTTN（T）uT（54）由时间刻度参数T索引，其中∈ 当T→ +∞, 在以下主要条件下，朝向综合Cox、Ingersoll、Ross过程[20]o相应的核序列φ（T）（T）满足φ（T）（T）=aTφ（T），其中φ是可微分的，并且| |φ| |=φ（0）=1，φ（0）<+∞, ||φ||∞<+∞ 和| |φ| |<+∞,o 支柱的临界状态（H）。1是在特快专车上遇到的→+∞(1 - aT）T=k，k>0。（55）因此，即使准平稳的短程霍克斯过程总是退化的，我们也可以通过合理地选择观测时间尺度T来检测重标计数函数的非平凡行为~ (1-||Φ（T）| |）-1.让我们指出，上述条件不允许φ具有指数严格小于2的幂律衰减（在极限t内）→ +∞). 如第二节所述。3.一些研究倾向于表明，对于许多金融时间序列（例如，市场订单流量时间序列），相关的核函数具有幂律尾，指数高于1，但非常接近1。因此，严格来说，前面的框架不适合描述这种行为。使用相同的渐近性（T→ +∞), Jaisson[41]研究了具有幂律核的一维Hawkes过程的相关函数的渐近极限，幂律核随指数1+γ和γ而减小∈ ]他证明了霍克斯过程的自相关函数以指数1的幂律渐近递减- 2γ，即导致长期依赖。2.3.7聚类表示Hawkes过程的另一个有用特性是聚类特性，它是等式（2）线性化的结果。这种特性允许（i）为该过程构建高效的模拟算法（见应用。

B） ，（ii）介绍不同事件中的亲子关系概念（见下文第2.3.8节），（iii）从经验数据推断连续事件中的亲子关系（见附录C.2中有关EM方法的段落）。命题6（聚类表示）。考虑一个正整数D和一个（不一定是有限的）时间间隔[0，T]，在此时间间隔中，我们根据以下程序定义事件序列{（tm，km）}Mm=1：o对于每个1≤ 我≤ D、 考虑一组移民事件{（t（0）m，i）}m（0）im=1，在区间[0，t]内以均匀泊松速率uii提取。对于相应定理的精确表述，我们请读者参考[42]。让我们注意到[7]在二维框架中也给出了类似结果的定性论证对于类型为j的每个移民事件，用（t（0）m，j）标记，并且对于每个1≤ 我≤ N、 生成一系列第一代事件{（t（1）m，i）}m（1）im=1，用时间相关泊松速率φij（t）采样- tm）在[t（0）m，t]区间内从第n代开始迭代上述规则-1到生成n，从而获得事件序列{（t（n）m，k（n）m）}m（n）m=1，直到[0，t]中不再生成事件。然后所有事件的并{（tm，km）}Mm=1=∞[n=0{（t（n）m，k（n）m）}m（n）m=1（56）对应于在时间间隔[0，t]内由霍克斯过程（2）生成的一个。请注意，上述构造（如图5所示）可以等效地作为霍克斯过程的定义，一旦编码生成n的信息通过所有事件的并集被丢弃。事实上，这种更丰富的定义i=1i=2时间t聚类表示图5：霍克斯过程的聚类表示：虽然上面板表示二元霍克斯过程的分支结构，但下面板显示了通过忽略聚类结构获得的投影。

不同的成分∈ {1,2}以不同的颜色显示，而上面板中的连接结构表示三个不同的簇。更透明地刻画平稳性条件（H）：考虑T=∞ 在上述构造中，可以将上述Hawkesprocess的分支结构映射到具有平均o | |Φ| |的Galton Watson树上。模型的定性行为实际上由父事件生成的平均事件数决定，即toR∞φ（t）=φ（0）=Φ。霍克斯过程的三个阶段（平稳|Φ| | | | | |<1、非平稳| |Φ| |>1和准平稳| |Φ| |=1）对应于高尔顿-沃特森分支过程的三个阶段，更精确地说：1。对于| |Φ| |<1，我们有一个次临界阶段，在该阶段中，每个父事件平均生成少于一个子事件。这意味着，每个事件的总后代是a.s.物种，灭绝前的平均世代数是a.s.物种。2.对于| |Φ| |>1，我们有一个超临界阶段，在该阶段中，每个父事件生成多个子事件。在这种情况下，一次事件的总后代可能具有有限的概率。3.对于| |Φ| |=1（临界情况），子代总数为a.s.有限，但子代的总大小有很大的变化，导致灭绝前的平均世代数出现差异。2.3.8因果关系通过使用霍克斯过程的聚类表示引入的亲子关系允许我们在此背景下讨论因果关系问题。

特别是，根据上面描述的分支过程构造霍克斯过程后，可以引入计数函数SNI←0t=（外源性产生的i型事件）（57）Ni←jt=（具有j型直系祖先的i型事件）（58）Ni←J*t=（i型事件和j型最古老祖先）（59）因此←0t+PjNi←jt=Ni←0t+PjNi←J*t=Nit。因此，这些量可以用来表示给定类型j的电容器产生的i型事件的总数。特别是，很容易证明：命题7（因果关系）。对于平稳的Hawkes过程，Ni的平均增量←0吨，镍←JT和Ni←J*皮雷表示再见dNi←0t/dt=ui（60）EhdNi←jti/dt=^φij（0）∧j（61）EhdNi←J*ti/dt=^ψij（0）uj.（62）上述性质可用于估算霍克斯过程中特定成分引起的事件（直接或间接）的平均分数。还研究了点过程因果关系的其他概念。特别是，Granger因果关系的概念已扩展到[57,25]中的点过程。3单变量模型3。1市场活动和风险模型霍克斯过程在高频金融中的首次直接应用可能是为了模拟所谓的波动性聚集现象。由于波动性，交易水平可直接与给定类型事件（交易、中间价格变动等）的数量相关霍克斯过程的自激性质提供了一个非常简单的图景，可以解释波动性波动的相关性质。Bowsher[15]首先提出了这一想法，他利用纳斯达克和纽约证券交易所的日内股票数据，用混合指数核校准了一个单变量霍克斯模型。在参考文献[2]中，Bacry等人。

最近提出了一种基于希尔伯特变换对协方差矩阵进行谱分解的多元对称Hawkes过程的非参数估计方法。通过将一维霍克斯模型与2009年75个交易日内10年期欧元期货合约的交易发生率进行校准，他们发现了两个重要的事实：（i）该模型非常接近其稳定阈值| |Φ| |=1；（ii）经验核Φ（t）在广泛范围内得到了很好的描述，由幂律函数等式（9）Φ（t）=αβ（1+βt）1+γ（63）加上γ\'0。第一个观察结果直接关系到金融市场的内生性水平和稳定性，这是一个问题，如下一节所讨论的，菲利莫诺夫和索内特或哈迪曼等人后来已经解决了这个问题。[31, 32, 34, 35]. 指数为γ\'0的霍克斯内核的幂律性质已被随后的研究所证实，尤其是哈迪曼等人关于E-mini S&P500期货[34]的中间价格变化的研究，或Bacry和Muzy关于EuroStoxx指数期货交易的研究[8]。图6的曲线图是直接从这些论文中提取出来的：它们以对数刻度表示E-miniSP期货中间价变化事件和EuroStoxx市场订单事件的估计Hawkes核。我们可以看到，与不同的数据、不同的市场和不同的估计方法相对应的两个估计核非常相似。这表明γ和C=αβ具有某种普遍性-式（63）代数衰变中的γ参数。这种幂律行为的起源，尤其是α和γ值的起源，仍然是一个悬而未决的问题。之前的实证结果推动了Jaisson[41]的工作（另见参考文献[7]和等式前面的部分）。

（35）），他证明了，在一个特定的渐近线内（包括核收敛到1的形式），一个指数为1+γ的幂律衰减的一维核∈]0，0.5[）导致流量的自协方差函数，其为指数为1的幂律- 2γ，即流量的长期依赖性（另见第2.3节公式（34）中的讨论）。霍克斯核的代数衰变可以让人想到一个简单的价格模型，其中的价格被建立为独立的随机冲击的总和。在这种情况下，T标度的波动率与（NT）1/2成正比。本文给出了rf的实证结果。[68]从经验上证实了这一观察，使我们能够更准确地确定每笔交易的影响和波动性之间的关系。更准确地说，Bowsher考虑了Hawkes过程的推广，以解释在高频下观察到的特定非平稳性，如日内季节性和隔夜间隙。10-510-410-310-210-110010110210-310-210-1100101102103内核Φ[s]-1] 时间t[s]内核比较mini（1998）E-mini（2006）E-mini（2009）FXSEFigure 6：单变量霍克斯过程的推断内核Φ（t）描述了E-mini s&P500的中点变化，以及欧洲斯托克不同年份的贸易抵达，分别从参考文献中复制。[8] 和[34]。引人注目的是，考虑到这些研究中考虑的不同市场、交易合同、事件类型和时间周期，Φ（t）的形状几乎是相同的。与波动性聚类特性相关。请注意，在交易时间模型[14]中，价格和需求的长期性质主要是通过订单分割动力学来解释的，并得到了[66]等实证结果的支持，其中分析了经纪人解析的数据，以区分订单流的羊群效应和分割成分。

因此，观察到的内核缓慢增长的本质很可能是元序分裂的直接结果。然而，这一假设仍有待于定量论证和实证观察的证实。除了这些基本问题之外，霍克斯核的幂律性质仍然是一个坚实的经验事实，这至少让人们质疑所有基于指数霍克斯模型的方法。在之前引用的研究中，Da Fonseca和Zaatour[21]对具有αβexp形式指数核的一维Hawkes过程进行了参数估计（使用GMM方法，见第C.1节）(-βt）在（未签署的）市场订单流量数据上。正如预期的那样，市场秩序聚类的β值相当低∈ [0.02,0.1]（取决于财务时间序列），发现内核的形式非常接近临界状态，即α≥ 0.9（而且经常≥ 0.95). 我们还可以引用Lallouache和Challet[45]的工作，他们使用两个指数函数之和作为Hawkes核，对市场订单进行了最大似然估计。他们研究外汇EBS数据，这些数据被限制（在0.1秒内收集市场订单），这需要进行其他复杂的去噪预处理。利用拟合优度检验，他们得出结论，尽管该模型在适用于1小时特定的日间（3个月内平均每天）时表现良好，但（主要）异源强度u的日间季节性不允许一整天都表现良好。霍克斯过程也被用来模拟极低频率的极端价格波动。在参考文献[27]中，Embrechts等人在每小时（14年）的时间框架内研究了3个指数（道琼斯指数、纳斯达克指数和标普指数）的等权投资组合。

只保留收益的最大分位数（最小和最大的1%分位数），导致一维点过程，其跳跃对应于三个指数中任何一个的极值。然后使用三维标记标记跳跃，对每个索引相对于相应的1%分位数的多余部分进行编码。利用三维Hawkes过程（具有指数核）对所获得的点过程进行建模，该过程由三维伽马分布i.i.d.随机变量标记。进行了极大似然估计，测试结果表明，该模型非常适合建模极端价格变动。让我们指出，在同一项工作中，对一个（自制的）股票指数的每日对数收益率进行了一个非常类似的实验，这次使用了一个带有一维标记的二维Hawkesprocess（用于编码正极端跳变或负极端跳变）。本着同样的精神，在参考文献[18]中，查韦斯·德穆林和麦克·吉尔为超过给定阈值的资产价格的过度行为建立了一个模型。该模型将霍克斯过程与帕累托分布标记相结合，以确定超额发生率。在这种方法中，作者的目标是通过霍克斯过程的自激动力学来描述大规模下降事件的聚集。通过对股票日内数据进行回溯测试，他们表明，与基于极值理论的标准非参数方法相比，该模型能够很好地捕捉极端日内事件。3.2测量股票市场的内生性在最近的一系列论文[31,32,34,35]中，一些作者在霍克斯模型的框架内讨论了所谓“波动性模糊”的重要问题，即观察到的市场波动无法用经典经济理论解释的事实。

事实上，众所周知，与可能影响市场的相关信息流动相比，价格波动过大。这一观察结果自然导致了价格动态是高度内生的，即主要由一些内部反馈机制驱动。菲利莫诺夫和索内特[31]是第一位提出“市场反应”水平的定量测量方法的人。为此，他们将某些股票指数（即E-mini S&P500）的高频中间价格变化建模为一维霍克斯过程。正如第二节所解释的。2.3.8.| |Φ| |可解释为分支比率，即任何父事件生成的事件数。每一个以uthusg的速率发生的外生事件产生| |Φ| | |/（1- ||Φ| |）事件，因此，根据式（21），一维内生事件率与总事件率之比∧||Φ||1 - ||Φ||= ||Φ|| .这意味着| |Φ| |提供了一个直接衡量中价变动在整个人群中所占的内生事件比例的指标，从而衡量了市场的灵活性。菲利莫诺夫和索内特通过分析1998-2010年期间的E-mini标准普尔500期货合约发现，在过去十年中，市场的波动程度显著增加。他们认为，这种影响可能是由高频和算法交易量的增加直接造成的，这引发了高频交易对市场稳定性的影响问题。Hardiman、Bercot和Bouchaud[34]对该分析进行了重新审视，他们注意到基于指数参数化的Filimonov和Sornette估计存在偏差，因为如前所述，经验证据表明Hawkes核具有缓慢（幂律）衰减。Hardiman等人在对| |Φ| |的估计中考虑了这一特征。