金融学中的霍克斯过程

发现E-mini S&P未来的灵活性在过去十年中没有增加，但保持不变的ata值非常接近临界值| |Φ| |=1。值得注意的是，Hardimanet al.在他们的研究中还提供了霍克斯核存在高频截止效应（即参数β）的经验证据-1在等式（63）中，时间以指数形式快速减少，这可能与交易频率的增加有关。在最近的一篇论文中，Filimonov和Sornette[32]回顾了在缓慢增量核的情况下与| |Φ| |估计相关的所有缺陷。他们已经证明，异常值、边缘效应或非平稳效应的存在可能会导致显著的偏差。由于一些重要的组织也与模型参数化的方式有关（尤其是高频正则化的选择），Hardiman和Bouchaud[35]提出了一种简单的分支比| |Φ| |的非参数近似，该近似依赖于公式（23）。实际上，通过在z=0中考虑这个方程，可以将相关函数的积分^c（0）与| |Φ| |联系起来。当T足够大时，一个大小窗口中的事件数变成^c（0）\'T-1V[NT]因此得到| |Φ| |\'1-V[NT]E[NT]1/2. （64）这个公式可以非常直观地解释反应的程度：相关事件的发生意味着Nt相对于其平均值的方差增加（对于泊松过程，两个量相等，因此一个直接得到| |Φ| |=0）。Hardiman和Bouchaud[35]利用这种无模型估计器证实了他们之前的说法，即在过去十年中，标准普尔500指数的未来似乎具有稳定的波动水平，接近临界水平。

我们注意到这个公式只适用于一维Hawkes过程，在多元情况下没有简单的延拓。除了对反映参数及其真实行为的最合适估值器的争论之外，菲利莫诺夫和索内特的开创性工作提供了一个定量框架，允许研究市场波动与霍克斯过程的内生性。他们显著地表明，这种方法可用于研究特定事件，如2010年4月和5月的金融危机[31]。他们的结果可能有助于设计警告工具，以预测内源性的极端下降。沿着这条道路的前景和应用是多种多样的。一个重要的问题是，通过计算其他类型的事件，如订单簿事件（见第6节）来扩展此类研究。4价格模型描述最新时间尺度上的价格波动，尤其是改善波动性和协方差估计的目标，是金融计量经济学的核心问题。微观结构噪声的概念被许多作者认为是一种附加噪声，叠加在标准差异上，可以解释特征图的小规模行为。事实上，众所周知，signatureplotC（τ）=TT/τXi=0P（i+1）τ- πτ这对应于中等价格Ptat标度τ的二次变化，当τ→ 0（见图7）。沿着同一条线，所谓的Epps效应解释了当回报尺度τ为零时，成对资产回报之间的协变量消失。Bacry等人在[3]中提出，作为标准“潜在价格”模型的替代方案，直接解释价格变化的离散性。他们是第一个在霍克斯过程框架内描述中间价Pt逐点变化的人。

为了做到这一点，这些作者认为两个计数过程Nt和Nt分别与价格上涨和下跌的到达时间有关，并设置为：Pt=P+Nt- Nt，t>0其中，这对（Nt，Nt）是一个二维霍克斯模型。由于在第一个近似值中，向上移动和向下移动的动力学预期是相同的，因此自然可以将矩阵核Φ视为等式（5）中考虑的矩阵核Φ，其对角线项φ（s）（t）和反对角线项φ（c）（t）相等。众所周知，在微观结构层面，价格基本上是均值回复，因此在[3]中，作者考虑了“纯均值回复情景”，即φ（s）（t）=0的情况，并为φ（c）（t）选择指数形状。在这个简单的框架中，Bacry等人为签名图提供了一个封闭形式的表达式。他们利用欧洲联邦储备银行和欧洲Bobl未来数据的MLE或GMM估计对模型进行校准，结果表明，该模型能够再现特征图的标度行为（见图7）。Bacry等人还考虑将之前的模型自然扩展到四维Hawkes模型，以描述一对资产的联合中间价动态，并重现EPP效应[3]。让我们回顾一下，在参考文献[4]中，作者确定，在一般条件下，多元霍克斯过程的经验协变量收敛于其预期值，可以很容易地用公式（23）给出的霍克斯协方差矩阵c（t）表示。该结果允许在Bacry等人的Hawkes-price模型中，根据Hawkes矩阵核Φ[3,4]，为特征图、超前-滞后行为和Epps效应提供分析表达式。

我们还要提到，在[21]中，沿着前面模型的思路，考虑了对称情况，即“纯趋势跟踪场景”：φ（s）（t）=0和φ（c）（t）指数形状。作者将这一情景与“纯均值回复情景”进行了比较，并使用差异公式（53）对每日波动率进行了估算。他们表明均值回复（趋势跟踪）情景低估（或高估）了波动性，并得出结论，同时包含交叉项和自项的“完整”模型更现实，应该导致更好的波动性估计。让我们注意到，在[2,7,6]中进行的非参数估计证实了不可忽略的对角项和反对角项的存在。人们还期望所涉及的内核不是指数函数。事实上，正如许多著作所示（如参考文献[2]），以及上文第。3.1，经验自激核更接近幂律，而不是指数。It0。0250.030.0350.040 50 100 150 200C（τ）τ[秒]适合于实验图7：使用Bacry等人的二维Hawkes模型在微观结构水平上再现中等价格行为。与Bacry等人的模型相比，这些图代表了欧元的经验特征图。。鉴于Jaisson和Rosenbaum[42]开发了我们在Sec第二部分中已经描述过的独特框架，该图从参考文献[3]中复制。2.3.6. 它是同一节第一部分开发的更经典的布朗运动分歧框架的替代框架。在论文的第二部分中，Jaisson和Rosenbaum使用他们的框架构建了二维Hawkes模型的一个版本，该模型最初由[3]引入，在很大程度上收敛于赫斯顿价格模型[39]，该模型显示了波动性聚集。

这项工作可以被视为迈向“跨尺度”统一模型的第一步，该模型将同时满足宏观结构的价格标准化事实（即具有强均值回归的点过程）和“差异”的标准化事实（波动性聚类和多重分形）。从这个意义上说，这是一项非常有前途的工作。我们还可以提到Bacry等人在[3]中介绍的模型的一个非常有趣的推广。在[69]中，Zheng等人引入了一个最佳出价和要价的耦合动力学模型。它首先使用Bacry等对每个最佳价格进行编码。模型导致了一个四维价格模型。主要的困难在于，我们需要在模型中编码这样一个事实，即要价必须严格高于出价。这是通过一个传播点过程实现的，该过程的动力学与两个最优价格的动力学相结合。它用于测量卖出价和卖出价之间的距离（单位：滴答声）：卖出价（卖出价）组件向上跳（卖出价）组件或卖出价（卖出价）组件向下跳（卖出价）组件时，价差分别增加（卖出价）1。最后，在霍克斯模型中引入了一个非线性项：当价差过程等于1时，买卖价格向下（或向上）跳跃的强度被设置为0。[69]的作者为这个受约束的非线性霍克斯模型开发了一个全新的严格框架，在这个框架中，他们能够建立几个属性（包括一个不同的极限）。它们对真实数据进行最大似然估计（使用指数核），并表明它们能够很好地再现特征图。最后，让我们引用Fauth和Tudor在[30]中的工作，作者建议在标记的多元霍克斯模型框架内描述一项资产（或几项资产）的买卖价格。

受经验观察（2012年1月30日至2012年3月10日期间的高频欧元/美元和欧元/GPB汇率）的影响，随着交易量的增加，交易持续时间减少，作者建议除了考虑指数霍克斯核，一个乘法标记（第2.2.1节中的函数χ），对应于体积的幂律函数：χ（v）=Cv。因此，他们的模型将与买卖增加/减少相对应的事件描述为以交易量为标志的四维霍克斯过程。通过添加适当的约束以避免有限的利差，他们用最大似然法在外汇汇率数据上校准了模型。Fauth和Tudor通过复制考虑因素的特征图和高频对相关函数（Epps效应）的行为，表明他们的模型与经验数据一致。5影响模型5。1市场影响建模市场影响建模是市场微观结构文献中的一个长期问题，显然对理论家和从业者都很感兴趣（最近的综述见[13]）。对于前者，市场影响反映了增强市场效率的机制，允许价格反映基本信息，而对于后者，它代表了执行订单时需要小心最小化的成本。对于交易者来说，市场影响会导致每笔交易产生额外的成本，这些成本需要加到市场直接收取的费用中，迫使他拆分大订单，并以小订单的顺序递增地进行交易。

任何这样的订单序列都被称为元订单，量化它们对价格的影响是市场微观结构监管讨论的核心。由于日内数据可用性的增加，市场价格形成理论以及订单流量和价格变化之间的关系在过去十年中取得了重大进展[14]。许多实证研究表明，价格影响在许多方面具有普遍性，是价格变化的主要来源。这证实了价格波动的“内生”性质，这与经典情景形成了对比，根据经典情景，信息的“外生”流动将价格推向基础价值[14]。如果元订单在t=0时下单并一直执行到t=t时，则可以通过直接或间接导致的价格变化的代理来定义相关的市场影响曲线。人们通常区分两个阶段：在执行元顺序期间（即，在区间[0，T]）增加（凹）部分，然后是衰减（通常凸）弹性部分。永久性冲击的存在，即市场冲击曲线的非零渐近值（在很大一段时间内）是一个仍在争论的核心问题。市场影响曲线的典型形状如图8所示，由Bacry等人[5]在一个大型经纪人元订单数据库上通过平均经验影响曲线得出。让我们在这里集中讨论元订单的影响，而不是单个订单的影响，或者贸易不平衡的影响，这在文献中也引起了相当大的兴趣。美国指出，这种类型的市场影响衡量无法使用非真实的市场数据获得（即，人们无法轻易识别给定对象的元顺序）。

这一点，加上价格信号相对于其统计函数的强度极为缓慢，是这方面的实证结果仅在最近几年才获得的原因。05100 0.5 1 1.5 2E[Pt- P0]t/t实证图8：经纪人元订单的大型数据库上的平均经验市场影响曲线（时间标准化）。使用脉冲模型进行测试。该图摘自[5]。Bacry和Muzy最近提出了一个基于Hawkes过程的价格影响模型[7]。他们建议直接解释中间价和市场秩序发生的联合动态。更准确地说，他们的Hawkes模型的四个维度对应于中间价格的上涨和下跌以及买卖市场订单流量（他们没有考虑订单量和价格上涨幅度）。然后，矩阵核Φ可以分解为大小为2×2的四个子块。第一个描述了市场订单流的自我兴奋，第二个描述了价格的自我兴奋，第三个描述了交易对价格的（市场）影响，而最后一个描述了价格变动对市场订单流强度的反馈影响。通过直接从匿名高频数据校准模型（使用附录C.2中所述的Wiener-Hopf非参数估计技术，对2009年至2012年800个交易日内欧洲斯托克和欧洲联邦期货合约的最具流动性到期日进行评估），[7]的作者能够从市场订单的影响中分离出中间价变化的自激和交叉激励动态。特别是，他们已经表明，市场影响主要是对角的：买入（或卖出）订单主要是触发向上（或向下）价格波动。此外，对角函数的形状在t=0附近非常局部化。

这意味着市场订单在很短的延迟后（即小于0.1秒）不再直接影响价格。他们还表明，反馈子块主要是反对角的，带有轻微的负对角核函数（有关负核函数的简短讨论，请参见第2.2.4节）。这表明价格的上升（或下降）会增加卖出（或买入）市场订单流动的强度，并降低买入（或卖出）市场订单流动的强度。参与市场指令流自激或价格上涨的内核形状证实了在低维模型中进行的估计：交易迹象的长期相关性，主要是价格的长期均值回归。所有这些结果都在[6]的工作中得到证实（使用一个精度更高的数据库）（见第6.1节）。Bacry和Muzy确定，在他们的框架内，可以通过考虑“裸”直接局部显著影响和主要涉及交易幂律自激的“修饰”影响来确定某些元秩序的整体影响。他们为这条曲线提供了解析表达式，尤其是在冲击函数的增加和减少阶段，以及它与市场秩序事件自激核心的幂律行为之间的关系，都得到了显著的证实。使用前面描述的经验发现，他们已经表明，可以恢复图8所示的典型形状。在[5]中，一个基于二维霍克斯价格模型的影响模型，如Sec示例1所述。2.1（其中只保留了平均回归影响，即φ（s）（t）=0）已被引入。

它考虑了外生（购买）元订单策略r（t）的影响，其中r（t）对应于单位时间内（购买）策略的交易率（因此r（t）dt对应于时间t和t+dt之间的股票购买数量）。更准确地说，这样得到的霍克斯碰撞模型（HIM）写的是λt=u+φ（s）？dNt+φ（I）？f（rt）和λt=u+φ（s）？dNt+φ（x）？f（r），（65），其中dNt（分别为dNt）编码价格的向上（分别为向下）跳跃，f（r（t））dt（f（0）=0）编码批量（t）dt的采购订单的微小影响。函数f对应于瞬时冲击函数，φ（I）和φ（x）分别对应于冲击核和交叉冲击核（后者描述了购买订单对向下跳跃的影响，当然，我们预计| |φ（x）|<<| |φ（I）| |）。根据[7]的经验发现，脉冲HIM模型对应于脉冲（超定域）碰撞核φ（I）（t）=δ（t）的特定选择，即狄拉克分布。此外，对于φ（x）的选择，脉冲HIM模型认为市场对新到达的订单的反应就像它触发了一个向上的跳跃：φ（x）（t）=Cφ（s）（t）| |φ（s）| |。常数C>0是一个非常直观的参数，可以量化“反向”反应（即冲击衰减）和“羊群”反应（即冲击放大）的比率。获得了市场影响曲线的分析公式，并在[5]中区分了三种对C感兴趣的情况：C=0对应于无反转反应（强永久性影响），C=1对应于“强”（就标准而言）的反转反应，与放牧反应（无永久性影响）一样，最后是C∈]0，1[对应于一个反向反应，它不是零，但严格小于羊群反应。