金融学中的霍克斯过程

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英文标题：
《Hawkes processes in finance》
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作者：
Emmanuel Bacry, Iacopo Mastromatteo, and Jean-Fran\\c{c}ois Muzy
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper we propose an overview of the recent academic literature devoted to the applications of Hawkes processes in finance. Hawkes processes constitute a particular class of multivariate point processes that has become very popular in empirical high frequency finance this last decade. After a reminder of the main definitions and properties that characterize Hawkes processes, we review their main empirical applications to address many different problems in high frequency finance. Because of their great flexibility and versatility, we show that they have been successfully involved in issues as diverse as estimating the volatility at the level of transaction data, estimating the market stability, accounting for systemic risk contagion, devising optimal execution strategies or capturing the dynamics of the full order book.
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中文摘要：
在本文中，我们提出了一个关于霍克斯过程在金融中应用的最新学术文献综述。霍克斯过程构成了一类特殊的多元点过程，在过去十年里，它在经验高频金融中非常流行。在回顾了霍克斯过程的主要定义和性质之后，我们回顾了它们在解决高频金融中的许多不同问题方面的主要经验应用。由于它们具有极大的灵活性和多功能性，我们表明，它们成功地参与了各种各样的问题，如估计交易数据层面的波动性、估计市场稳定性、考虑系统性风险传染、设计最佳执行策略或捕捉整份订单的动态。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Hawkes_processes_in_finance.pdf (896.48 KB)

2022-5-7 15:16:05 上传

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关键词：金融学 Applications Multivariate Successfully Quantitative

霍克斯的金融流程包括Bacry、Iacopo Mastromatteo和Jean-Fran,cois Muzy1、数学中心、CNR、理工学院、UMR 7641、91128 Palaiseau、Francoire Sciences Pour l’Environment、CNR、科塞大学、UMR 6134、20250 Cort’e、，Franciabstractin在本文中，我们对最近致力于霍克斯过程在金融中的应用的学术文献进行了概述。霍克斯过程是一类特殊的多元点过程，在过去十年里，它在经验高频金融中非常流行。在提醒人们霍克斯过程的主要定义和特性后，我们回顾了它们的主要经验应用，以解决高频金融中的许多不同问题。由于它们的灵活性和多功能性，我们证明，它们成功地参与了各种各样的问题，如在交易数据层面估计波动性、估计市场稳定性、考虑系统性风险传染、设计最佳执行策略或捕捉完整订单的动态。1简介在过去几十年中，高频金融数据的可用性使经验金融能够设计和校准市场微观结构的模型，旨在最详细地说明日内市场动态。直到最近，关于高频价格变化的连续时间模型还很少。大多数方法都依赖于离散时间模型，这些模型要么在规则时间网格的间隔上聚合动态，要么考虑离散时间事件（如交易）的连续性（这些模型通常被称为“tradingtime”或“business time”模型）。

the Ineties中的Hasbrouck[36]、Engle和Russel[28]率先倡导在连续时间“点过程”框架内对交易层面的财务数据进行建模。从那时起，点过程在金融中的应用在计量经济学文献中一直是一个非常活跃的话题。我们建议读者参考鲍恩斯和豪奇[9]关于这个主题的最新评论。在市场微观结构背景下提出的第一类点过程是Engle和Russel[28]引入的ACD模型。到目前为止，该模型及其方差仍然是高频计量经济学中最常用的模型[9]。在这类模型中，过程通过其“危险函数”来定义，该函数规定了事件间（或持续时间）间隔的条件法则。然而，点过程（或计数过程）也可以用其“强度函数”来表示，该函数表示近期事件发生的条件概率密度（参见[22]了解点过程数学性质的综合教科书）。在一项开创性的工作中，Bowsher[15]认识到了使用可由传统强度向量指定的多元计数过程的灵活性和优势。更具体地说，他引入了一个双变量霍克斯过程，以模拟纽约证券交易所交易和中间价格变化的联合动态。Hawkes过程是一类多元点过程，由a.G Hawkes[37,38]在70年代引入，主要用于模拟发生的地震事件。它们涉及一个强度向量，它是过去事件的简单线性函数（参见[10,9]了解动态强度点过程的其他示例）。霍克斯模型在高频金融领域越来越流行。

正如Bowsher[15]所预期的那样，这种流行首先可以通过其巨大的简单性和灵活性来解释。这些模型可以很容易地考虑各种类型事件的相互作用、某些密集因素的影响（通过分数）或非平稳性的存在。它们易于统计推断，在某些特定情况下可以得到封闭式公式。此外，由于它们的参数有一个直接的解释（尤其是通过集群表示），它们导致对现代电子市场复杂动态的许多方面有一个非常简单的解释。在这篇论文中，我们提出了一个在金融背景下使用霍克斯过程的近期学术研究调查。正如我们已经解释过的，有很多这样的研究。为了展示它们之间的关系，我们必须按“主题”对它们进行分组。当然，这些主题的界限并不明确（例如，一些研究属于几个主题），因此我们所做的选择不可避免地是任意的。然而，我们认为，这有助于捕捉金融领域霍克斯模型的“画面”。这项调查的组织如下。秒。2致力于霍克斯过程理论。它介绍了本文将使用的主要定义和一般特性。以下各节重点介绍霍克斯流程在融资中的应用。秒。3从文献中可以找到的主要单变量模型开始。这包括市场活动或风险模型（例如，一维市场订单流量模型、极端回报模型）。价格模型（中间价或最高限价）见第。4.鉴于第。第5章专门讨论影响模型。在本节中，我们不仅讨论市场秩序波动对价格变动的影响，还讨论与最优执行相关的问题。

涉及更多订单流的模型见第。6.讨论了所谓的一级模型（即“仅”处理最佳极限的动态）以及全订单模型。最后，在前面的章节中没有明确说明的各种研究将在第二节中介绍。7（例如系统性风险模型、高维模型或新闻模型）。更多资料见附录。在附录A中，我们论文中讨论的所有学术工作，以及涉及数值实验的财务数据，都列在一个表格中。此表总结了每项工作中使用的模型和数据的一些基本特征。最后，两个附录总结了关于霍克斯过程模拟（附录B）和估计（附录C）的主要结果。2霍克斯过程正如引言中提到的，霍克斯过程是霍克斯在70年代早期[37,38]引入的一类多元点过程，其特征是随机强度向量。如果NTI是在时间t的计数过程的向量，则其强度向量λ根据启发式定义为（参见[22]中的严格定义）：λt=lim→0-1E新界+- 新界英尺（1） 如果过滤F代表时间t之前（但不包括）的可用信息，则对于Hawkes过程，λ只是此后规定的过程过去跳跃的线性函数。2.1定义我们考虑一个D变量计数过程Nt={Nit}Di=1，其相关强度向量表示为λt={λit}Di=1。定义1（霍克斯过程）。

霍克斯过程是一个计数过程，因此强度向量可以写成λit=ui+DXi=1ZdNjtφij（t- t） ，（2）其中，数量u={ui}Di=1是外生强度的向量，Φ（t）={φij（t）}Di，j=1是矩阵值核，因此：o它是分量正的，即φij（t）≥ 每个1对应0≤ i、 j≤ D、 o这是成分方面的因果关系（如果t<0，φij（t）=0表示每个1≤ i、 j≤ D） 每个分量φij（t）都属于L-可积函数站1（卷积）的空间。我们可以采用更紧凑的表示法来重写等式。（2） λt=u+Φ* dNt，（3）通过定义* 运算，对应于用卷积代替普通乘积的矩阵乘法。符号2（事件时间）。通过引入耦合{（tm，km）}Mm=1，其中tmm表示事件数m和km的时间∈ [1，…，D]表示其分量，式（2）也可以改写为λit=ui+MXm=1φi，km（t- tm），（4）图1以多变量霍克斯过程的具体实现为例。尽管等式（2）中定义的过程通过满足上述三个条件的任意核Φ（t）的选择得到了很好的定义，但以下描述的平稳情况在霍克斯过程的大多数金融应用中具有特别的相关性（一些显著的例外情况见第2.2节）。计数过程是一个随机过程{Nt}t≥0，其值为正、整数和递增。按惯例N=0。严格来说，这个定义只要求φij（t）∈ LLOCB但这篇论文对此不感兴趣。i=1i=2i=3。i=D0 5 10 15 20时间T12345NIT图1：多元霍克斯过程的实现。点代表个人事件，而不同的行代表不同的i坐标。命题1（平稳性）。

如果核满足假设，则过程n为渐近平稳增量，λ为渐近平稳，也被认为是稳定条件：（H）矩阵| |Φ| | |={| |φij | | Di，j=1的谱半径小于1。符号3（光谱半径）。在这里和接下来的讨论中，给定一个标量函数f（t），我们用符号| | f | |表示其L-范数，定义为| f（t）|。对于矩阵F={fij}，符号| | F | |将表示其谱半径。最后，对于函数矩阵F（t）={fij（t）}Di，j=1，我们将写出| | F | | |={| | fij |}Di，j=1。从现在开始，我们将始终考虑（除非特别说明）假设（H）成立，并且霍克斯过程处于渐近稳定状态。特别是，稳态下的平均值将用E[…]表示，而方差将被写为V[…]。下一小节将全面探讨平稳消费（H）的后果。在这里，我们将首先提供一个霍克斯过程的简单实现，其原型版本是核函数φij（t）是指数函数的过程。示例1（指数内核）。考虑一个二元Hawkes过程，其中核矩阵的形式为Φ（t）=φ（s）（t）φ（c）（t）φ（c）（t）φ（s）（t）（5） 其中，核分量具有指数形式φ（s/c）（t）=α（s/c）β（s/c）e-β（s/c）tt∈R+，（6）其中，如果x为真，则1xis是等于1的指示函数，否则为零。上述函数是L-可积的，因此选择α（s/c）、β（s/c）>0可确保相关的霍克斯过程得到很好的定义。为了使过程稳定，还需要另外要求光谱范数满足| |Φ| |=| |φ（s）| |+| |φ（c）|<1。由于α（s/c）=R∞φ（s/c）（t），稳定条件为α（s）+α（c）<1。

（7） α（s/c）参数可以解释为设定相互作用的整体强度的参数，而β（s/c）控制从过去到未来事件引起的扰动的弛豫时间。具有指数核的霍克斯过程有几个有利的性质，因为它允许人们计算Nt任意函数的期望值（见第2.3.4节和参考文献[29]），直接模拟（见附录B），或高效地计算其可能性（见附录C.1）。这些性质中的大多数是由阿马尔科夫性质衍生而来的，阿马尔科夫性质最简单的形式如下：命题2（指数核的马尔可夫性质）。考虑一个具有指数核φij（t）=αijβeβtt的Hawkes过程∈R+。那么这对（Nt，λt）就是阿马尔科夫过程。特别是，强度λt的公式（2）可以用马尔可夫形式asdλt=-βλtdt+αβdNt（8）该性质可以扩展到以下情况：（i）各分量的系数βijarenon常数，以及（ii）核Φ包含指数的有限和。在这个更一般的设置中要付出的代价是引入一个辅助过程{λ（A）t}Aa=1的额外集合，适当地选择，以便得到（A+1）-uple（Nt，＠λ（1）t，λ（A）t）是马尔可夫的。在非指数情况下，霍克斯过程通常不能映射到阿马尔科夫过程，这意味着有必要跟踪其过去的所有历史，以便进行精确的模拟和估计。非指数核的一个特别著名的例子是幂律核，在参考文献[59]中提出，以描述地震活动的时间集群。例2（幂律内核）。现在让我们考虑D=1的情况，并假设核由正则幂律Φ（t）=αβ（1+βt）1+γt参数化∈R+（9）大写字母（s）（resp.（c））代表单词self（resp.cross），因为它描述了self（resp.cross）。

两个组件的交叉激励。同样，在这种情况下，对于α、β>0的情况，该过程也有很好的定义。对于α<γ，（10）满足平稳性条件in，这表明幂律核的尾部指数γ对于过程的增量是平稳的应该是正的。2.2一些扩展尽管上一节中定义的模型最初是在[37,38]中介绍的，并且在文献中使用最广泛，但此后提出了一些概括。2.2.1标记的霍克斯工艺。（4） 通过赋予每个事件一个标记变量，可以丰富霍克斯过程的定义，从而获得事件时间、成分和标记序列{（tm，km，ξm）}Mm=1。可以进一步假设标记有不同标记的事件对未来强度有不同影响，导致λtof类型λit=ui+MXm=1φi，km（t- 最后，我们需要为标记引入一种生成机制，它通常被假定为与每个事件一起绘制的i.i.d.随机变量，并从公共分布p（ξ）中取样。交互核的一个典型选择是一个φij（t，ξ）=φij（t）χij（ξ），其中一个对标记的影响采用因子形式。该机制用于描述不同权重的事件，最初用于模拟不同震级地震的发生[59]。在财务方面，可以使用标记来模拟不同体积ξm（如[30,5]，见第4节和第5节）或下降强度（如[27,18]，见第3.1节）在Tm时形成的交易。在更一般的情况下，请注意，多元霍克斯过程也可以被视为具有相互作用标记的霍克斯过程的一个例子[51]。2.2.2外生非平稳性外生强度u可以推广为时间u（t）的确定函数。

这种选择允许对一个非平稳系统建模，其中interactionkernel确实独立于时间。在金融方面，当人们想对连续几天的日内季节性（见综述文章[9]）和/或溢出效应（如[15]）进行建模时，就会出现这种情况。2.2.3内生非平稳性也考虑了| |Φ| | |>1和|Φ| | |=1的情景，以便对内生相互作用引起的非平稳性进行建模。这两种情况确实存在一个重要差异：前者的平均强度随时间呈负增长，而后者的过程可能具有有限的平均事件率。第二类非平稳性，我们称之为准平稳性，由于条件| |Φ| |这一事实，引起了人们对文献的浓厚兴趣≈ 1根据实际财务数据校准霍克斯流程时，经常会遇到这种情况（见第3节的详细讨论）。Br|emaud和Massouli|e在[17]中分析了| |Φ| | |=1的霍克斯过程的极限行为，其中特别指出：命题3（临界短程霍克斯的简并性）。设Nt为等式（2）中的单变量Hawkes过程，使得| |Φ| | |=1且u=0。那么如果∞dt tΦ（t）<∞ （12） 条件强度的平均值为0或0+∞.因此，在D=1的情况下，短程内核总是导致琐碎的过程。下一个结果显示，更大范围的互动允许她的行为。定理1（临界平稳性的存在性）。现在让我们考虑一个| |Φ| |=1，u=0和SUPT的霍克斯过程≥0t1+γΦ（t）≤ R（13）极限→∞t1+γΦ（t）=r（14），其中r，r>0和γ∈ ]0, 1/2[.