金融学中的霍克斯过程

图8显示了使用该模型的经验市场影响曲线的fit，该模型具有幂律微观结构核（φ（s）（t）~ T-γ、 当t→ +∞), 在这种情况下，市场影响曲线被证明以幂律t衰减为永久市场影响值-(γ+1).让我们指出，在一个完全不同的框架中，Jaisson[41]在Jaisson和Rosenbaum[42]中定义的渐近极限（见第2.3.6节）中，联系了市场秩序波动中自激核心的幂律指数和市场影响衰减的幂律指数。他得出了（s）和（c），（I）代表冲击，（x）代表交叉冲击的结果。在市场订单流的二维霍克斯模型（只有自激核）中，来自（i）价格鞅假设和（ii）线性市场影响假设。5.2最优执行价格影响模型的自然应用是确定最优清算策略。休利特[40]是第一个使用霍克斯模型解决这个问题的人。他建议使用二元指数霍克斯过程对外汇市场上买卖市场订单的发生进行建模。他发现这些事件大多是自我激发的，买卖事件之间的交叉激发强度可以忽略不计。利用等式（47），休利特确定了预期的未来贸易不平衡，在线性价格影响模型中，可以确定预期的未来价格回报和相关风险。然后，他证明，这种方法允许oneto设计一种清算策略，使均值-方差效用函数最大化。阿方西和布兰克[1]最近也考虑了霍克斯模型在最优执行中的应用，他们利用流动性接受者的线性影响对价格过程进行建模。

更准确地说，价格分解为“基本”价格和“暂时”价格之和，基本”价格的变化与贸易不平衡的一小部分成比例，而“暂时”价格由贸易不平衡的剩余部分移动，但带有一个阻尼项，代表由做市商行为引起的市场弹性。Alfonsi和Blanc提供了最优清算策略（即预期成本最小的策略）的明确表达式，当影响价格的买入/卖出市场订单流为泊松处理器或具有对称指数核矩阵的二维Hawkes过程时。它们显著地表明，泊松模型总是存在价格操纵策略（即预期成本为负的清算策略），而霍克斯模型可以排除价格操纵策略，前提是其参数满足某些特定条件。根据这些条件，自激应精确地补偿价格弹性，从而得到一个鞅价格。另一个条件是确定霍克斯模型中内生订单的比例，以及价格行为的瞬时部分所涉及的市场订单的比例。6订单簿模型忠实地描述订单簿中各种类型订单的发生情况，以了解价格形成、波动性和流动性变化的起源机制，这可能是金融计量经济学中Hawkes过程应用所面临的主要挑战。虽然这一目标远未实现，但一些作者已经解决了这个问题，并在这些问题上取得了重大进展。6.1一级帐簿模型一级帐簿描述仅涉及在订单簿的最佳出价和最佳出价级别发生的事件。

即使这种方法丢弃了大部分账簿信息，但由于最佳出价或最佳询价值与资产ID价格直接相关，且市场订单主要影响一级账簿，因此可以预期这种级别的描述足够丰富，足以捕捉大多数市场特征。Biais等人[11]的研究确实证实，订单簿的大部分活动都发生在接近最佳报价的地方，而Cont等人[19]指出，价格动态的实质部分可以通过演化的最佳出价和最佳出价来解释。Hawkes模型在Iwas级别的订单书建模中的第一个应用是由Large[46]完成的，他正式定义了书籍弹性的概念，即订单书在被大量交易耗尽后的补充能力。慷慨被建议通过大型交易改变未来订单发生强度的方式来量化弹性。为此，他引入了响应内核Gij（t）：Gij（t）dt=EhdNitF、 dNj=1i- EdNitF. （66）Gij（t）简单地描述了在时间t=0时，j型事件的发生直接或间接导致i型事件的未来条件强度的增加。在核矩阵Φ的霍克斯过程中，大证明Gij满足等式（17）定义ψ（t）中的积分方程。换句话说，矩阵ψ（t）可以解释为在时间0发生某个事件后的滞后后预期事件数的增加。大型然后考虑来自伦敦经济学院的订单簿数据，建模为一个10维霍克斯过程，其中bookevents根据是否移动中间价进行分类：移动中间价的市场和限制订单（如果区分买卖，则为4个组件）、保持账簿不变的市场和限制订单（4个组件）和取消订单（2个组件）。

然后研究了“攻击性”指令对即将到来的事件发生率的影响。经过处理的数据包括2002年1月22个交易日内以1s分辨率标记的伦敦证券交易所股票数据（巴克莱股票）。为了估计ψ，Large在指数核类中使用了极大似然估计。他的研究结果使他能够对书中发生的主要事件提供一种“因果”解释（大的倾向于使用“降水”一词，而不是“原因”）。他主要发现，激进的限价指令主要是由激进的市场指令引起的，从而衡量市场在各个方面的弹性、规模、交易方向和特征时间。与之前的研究一致，Large估计，所研究的股票价值在不到40%的案例中具有弹性，如果是这种情况，账面补货会在20秒左右的时间范围内发生。他还表明，市场秩序动态主要是自激的，并在很长一段时间内相互关联。由于“流动性竞争”，激进的限价指令也会触发激进的市场指令。Bacryet等人最近对一级订单数据进行了类似的分析[6]。这些作者对所有图书事件（市场、限价和取消订单）进行了略微不同的分类，这些事件保持了中间价不变（6个部分考虑了买卖双方），而对中间价上升或下降的事件（2个部分）进行了区分。这些事件发生的动力学随后被建模为8维霍克斯过程。与Large不同，Bacry等人使用第节中描述的方法对核矩阵进行了非参数估计。C.2。他们认为图书数据的时间戳ata时间分辨率为10-6秒，分析的时间间隔为几分钟。

因此，人们在近80年的时间尺度上考虑了事件动力学。作者报告的主要结果是，书中的事件动力学主要是自激的，除了中间价格变化外，交叉激励效应在其中占主导地位。图9说明了这一点，其中使用颜色映射报告了估计的核范数的值：可以看到，结果矩阵主要是对角的，价格子块除外，即反对角。关于价格变化事件的观察结果主要是C（b）C（a）L（b）L（a）T（a）P（b）P（a）P（b）T（a）T（a）T（b）T（b）L（a）C（b）BUNDC（b）C（a）L（b）L（a）T（b）T（a）T（a）T（a）P（b）T（a）T（b）T（b）L（a）L（b）DAX）-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81.0图9：一级图书事件8维模型中霍克斯核心规范矩阵的经验确定。P代表中间价变动事件，T代表交易事件，L代表限价订单事件，C代表取消事件。上标（a）（b）表示活动的方向、要求或出价。该图来源于[6]。由价格变化事件触发的结果与之前报告的大量结果一致。此外，Bacry等人的观察结果证实了之前报道的经验事实，即这种触发效应主要是反对角线的，即当前价格变化影响未来价格变化的相反方向。之前使用低维模型得出的关于内核形状的发现也得到了证实：市场是高度内生的，无论人们考虑的事件类型是什么，所有主导内核（保持价格不变的订单的对角线内核和中间价格移动的反对角线内核）都在缓慢下降，如等式（63）中的幂律行为所描述。

[6]中霍克斯模型的丰富性使作者能够解释比以往工作更丰富的动力学行为，并描述和量化所有类型事件之间的高频影响。他们显著地描述了价格变化对账面事件流量的影响，而事实证明，账面事件流量对资产价格变动非常敏感（根据中间价变动的概率估计）。他们还提供了一些证据，证明一些霍克斯谷粒的负值会产生一些抑制作用。例如，有人观察到，对于一个大的tick资产（如欧元债券期货），价格上涨不仅会触发即将进行的买入交易，还会抑制卖出方的跨盘交易。Muni Toke和Pomponio[56]将之前的大型模型限制为以最佳出价和最佳出价的市场订单流，研究了通过订单进行贸易的动力学。如果部分订单在次优限额下执行，则Amarket订单是通过交易完成的。因此，为了达到这个目的，他们使用了方程式（53）中描述的二维霍克斯过程（含指数烯烃）。虽然对于某些资产（如欧元期货）来说非常罕见，但在其他合同中，通过交易可能相当频繁。例如，在BNP股票[56]上，平均每天有400笔交易。已在Euronextstocks上使用指数核上的MLE进行参数估计，将日内时间限制在上午9点30分至11点30分，以避免非常强烈的日内季节性影响。fit优度测试证实，对于完整的市场订单流，二维Hawkes核的主要组成部分是自激励核。6.2完整订单书模型在[55]中，穆尼·托克将[64]中引入的零情报模型推广到霍克斯框架。

在后一个模型中，作者为订单簿建立了一个完整的模型，其中所有涉及的流动（即任何级别的限制和市场订单）都是独立的纯泊松过程。这显然是一个非常粗略的近似值，市场订单是长期依赖的（见第3.1节），因为大型元订单的拆分。此外，由于做市商与市场接受者互动的事实，人们预计限价指令不仅与市场指令流高度相关，而且也与市场指令流高度相关。在[55]中，引入了一个双代理模型。它由以下代理组成：o流动性提供者：–通过使用纯均匀泊松过程或带有指数alkernel的一维Hawkes过程对限额订单的到达进行建模（取消被视为零智能模型，即每个订单都有一个生命周期，这是一个i.i.d.指数随机变量，其参数是预先确定的）–新限额订单的价格水平是随机选择的，首先以1/2的概率选择（买入或卖出）一方，然后从学生分布o流动性接受者中取样，使用纯齐次泊松过程或具有指数核的一维霍克斯过程建模。限价订单和市场订单的所有数量都是i.i.d.和指数分布变量。霍克斯过程使用指数核，通过最大似然估计进行参数估计。毫不奇怪，与纯齐次泊松过程（HP）相比，用一维霍克斯过程（称为MM，因为所涉及的唯一霍克斯内核是一个处理市场订单对自身影响的内核）对市场订单的交易时间进行建模要好得多。同样，用一维霍克斯过程（LL）模拟限时指令比用HP模拟限时指令要好得多。

同样的道理，图10的左面板显示，给定的市场订单和该市场订单之后的限价订单的首次到达时间之间的间隔时间，由二维Hawkes（称为MM+LL+LM）模型更好地再现，该模型具有市场订单（MM）和限价订单（LL）的自激核，以及与过去市场订单对未来的影响相对应的单个交叉激励核限价订单（LM）。图中显示为00。10.20.30.40.50.60.70 0.2 0.4 0.6 0.8概率密度p（t）时间t00。050.10.150.20.250.30.350 0.05 0.1 0.15 0.2概率密度p（s）Spread SempiricalHPMM+LLMM+LL+LMEmpiricalHPMM+LLMM+LL+LM图10：（左面板）给定市场指令和该市场指令后第一次到达的限价指令之间持续时间分布的经验密度函数。对于经验BNPP时间序列和三种不同的模型（使用最大似然法）显示了密度函数，这三种模型适用于这些数据，即：市场订单和限制订单的纯齐次泊松模型（HP）、限制订单的纯泊松过程模型和市场订单的一维霍克斯过程（MM），一个模型包含两个独立的1维霍克斯过程，用于限制和市场指令（LL+MM），最后一个模型包含一个交叉激励项，描述过去市场指令对未来限制指令（LM）的影响。（右图）买卖价差分布的经验密度函数。

密度函数显示在螺旋BNPP时间序列上，对于三种不同的模型（使用最大似然法）对这些数据进行拟合，即：市场和限制订单的纯齐次泊松模型（HP）、限制订单的纯泊松过程模型和市场订单的一维霍克斯过程模型（MM），一个模型，包含两个独立的限价和市价指令的一维霍克斯过程（LL+MM），最后一个模型包含一个交叉激励项，该项描述了过去市价指令对未来限价指令（LM）的影响。这些图摘自参考文献[55]。具有两个独立的霍克斯模型（MM+LL）且没有交叉激励核（LM）的模型性能不佳。在[55]中，Muni Toke声称另一个交叉激励内核（描述过去限价指令对未来市场指令的影响的内核）可以忽略不计。因此，订单动态似乎主要由流动性接受者代理而非流动性提供者驱动，即，在第一种近似情况下，做市商策略基本上包括对流动性接受者做出反应，而流动性接受者独立于做市商做出决策。最后，图10的右面板显示了经验数据、纯齐次泊松（HP）模型、MM+LLHawkes模型和MM+LL+LM模型的投标报价分布。同样，后一种模型是最符合经验数据的模型。让我们提到杰迪迪和阿伯格尔[43]的一项理论工作，其中研究了基于霍克斯的整个订单簿动力学的马尔可夫框架。7其他型号7。1系统性风险模型肖克斯模型也被用于资产价格主要不同的较粗时间尺度。例如，它们可以用于混合模型，以考虑扩散过程中发生的跳跃。

这就是Ait-Sahalia等人[63]开发的模型的精神，该模型提出通过将多变量自激过程叠加到标准的多变量连续扩散模型，来描述危机在全球所有市场的蔓延。根据该模型，作者称之为“相互激励跳跃扩散”，对数价格向量满足：dXt=ut+σtdWt+ZtdNt（67），其中wt是D维布朗运动，σ是一个随机波动和Ntisa D变量霍克斯过程，它解释了价格跳跃的自激性质（ZT是一个解释跳跃方向和强度的随机变量）。文献[63]提出了一种GMM估计方法，该方法基于指数Hawkes核的一元和二元情况下与收益变化相关的一些矩的闭合形式表达式。这一估计已应用于五个分别与美国、欧洲、亚洲、太平洋和拉丁美洲地区相关的国际股票指数数据。作者发现，jumpsterms具有显著的自激成分，就“传染”效应而言，美国股票似乎是对其他市场影响最大的股票。在参考文献[29]中，Errais等人提出将证券组合中的信用违约事件建模为相关点过程。更具体地说，他们认为这类事件的动力学是由指数烯烃的标记霍克斯过程描述的。由道具陈述的。在这种情况下，这对过程（λ，N）是马尔科夫过程。多亏了Dynkin公式，作者为标记和计数过程的条件分布提供了明确的表达式。