金融学中的霍克斯过程

那么，这种过程的平均强度是有限的。综上所述，对于Φ（t）尾部指数的特定值，存在| |Φ| | |=1的非平凡单变量Hawkes过程，其要求位于区间γ∈ ]0，1/2[.注意，即使在D=1中，准平稳的短程Hawkes过程总是退化的，参考文献[42]描述了Ntin的标度制度，它可能在极限| |Φ| |下获得非退化过程→ 1.通过适当选择过程的观察时间表。这种行为将在不安全的情况下进行审查。2.3.6.在多元设置中，参考文献[51]表明，即使存在满足短程条件等式（12）的核Φ，也有可能在大维极限下定义一个非平凡的准静态霍克斯过程。特别地，参考文献[51]假设核的分解形式为φij（t）=αijf（t），（15），其中| | f | |=1，并考虑D→ ∞ 过程的限制。当| |Φ| | | |=| |α|时，这种限制机制也被很好地定义----→D→∞1，前提是矩阵α在临界点| |α| |=1附近具有足够低的特征值密度。因此，作为大量成分之间相互作用的结果，也可以得到霍克斯过程的非退化准平稳极限。2.2.4非线性霍克斯过程的非线性推广已经被几位学者考虑过[16,65,62,69]。非线性情况下的强度函数写成λit=hui+DXi=1ZdNjtφij（t- t） ！，（16） 其中h（·）是一个非线性函数，在R+中有支撑。h的典型选择包括（x）=1x∈R+和h（x）=ex。注意，Br’emaud和Massouli’e在[16]中研究了各种函数sh的稳定性条件。

该扩展引入的主要优点是，可以通过负值Ernels对抑制进行建模，尽管必须付出的代价是，该过程的大多数属性失去了数学可处理性。然而，即使在这种情况下，模型的模拟和校准也是可能的[33,8]。正如我们将看到的，负值内核是在金融环境中发现的（例如，见第6.1节）。在本节结束时，我们只提到了霍克斯原始模型最常见的扩展，但提出了许多进一步的推广，如混合扩散霍克斯模型[29,18]，具有散粒噪声外生事件的霍克斯模型[23]，具有世代相关核的霍克斯过程[53]。2.3性质霍克斯过程的随机强度λtof的线性结构允许我们以完全解析的方式表征其许多性质。值得注意的是，它的一阶和二阶属性特别容易计算，而过程的聚类表示可以用于获得霍克斯过程的有用特征。下一节将对这些特性进行回顾。2.3.1一阶和二阶属性假设假设（H），则可以根据核Φ的拉普拉斯变换明确写出模型的一阶和二阶属性。为了做到这一点，有必要引入定义如下的函数ψ：定义2（核反转）。考虑一个带有平稳增量的霍克斯过程。我们将ψ（t）定义为方程Φ（t）+ψ（t）的因果解* Φ（t）=ψ（t）（17）作为（H）的结果，ψ（t）存在并可表示为有限卷积ψ（t）=Φ（t）+Φ（t）* Φ（t）+Φ（t）* Φ（t）* Φ（t）+。

（18） 矩阵函数ψ可以用核Φ的拉普拉斯变换进行分析表征，我们定义如下：符号4（拉普拉斯变换）。给定一个标量函数f（t）∈ L(-∞, +∞), wedenote的拉普拉斯变换为^f（z）=z∞-∞dt f（t）ezt（19）向量和矩阵拉普拉斯变换是通过应用上述变换分量定义的。在拉普拉斯域中，等式（18）被映射到代数关系^ψ（z）=（I-^Φ（z））-1.- I，（20）其中I表示单位矩阵，允许我们陈述与霍克斯过程的线性性质有关的主要结果：命题4（一阶和二阶统计量）。对于具有静态增量的霍克斯过程，下列命题成立：1。平均强度∧=E[dNt]/dt等于∧=（I+^ψ（0））u（21）2。线性相关矩阵xc（t）的拉普拉斯变换- t） =EdNtdNTt- E[dNt]EdNTtdtdt（22）等于^c（z）=（I+^ψ）(-z） （∑（I+^ψT（z）），（23）其中，∑是一个非零元素等于∑ii=∧I的对角矩阵。霍克斯过程的线性特性的这一有用表征，在[37,38]中进行了计算，然后在[8]中完全推广，允许（I）获得给定μ和Φ作为输入的霍克斯模型的线性预测，（ii）通过反转关系式（21）和（23）非参数地校准经验数据中的核Φ（见附录C.1）。让我们指出，在参考文献[4]中，作者已经确定，在一般条件下，多元Hawkes过程的经验协变量向其预期值收敛，可以很容易地用公式（23）给出的Hawkescovenance矩阵c（t）表示。例3（指数核）。让我们再次考虑由等式（5）描述的二元情形，在平稳情形1>α（s）+α（c）中。

在这种情况下，内核^Φ（z）的拉普拉斯变换为：^Φ（z）=1 11 -1.^φ（s）（z）+^φ（c）（z）0^φ（s）（z）-^φ（c）（z）1 11 -1.,（24）表示在对称和反对称组合N±t=2中，核矩阵是对角的-1/2（Nt±Nt）。核的各个分量的拉普拉斯变换是^Φ（z）=α（s/c）1- z/β（s/c），（25），由于等式（5）的对角线形式，逆核^ψ（z）可以直接计算。如果假设u=（u，u），则上述关系意味着∧=（λ，λ），其中∧=u1- α（s）- α（c）。（26）对称和反对称组合X±（t）的滞后互相关的拉普拉斯变换，定义为asc±（t）- t） =E（dNt±dNt）（dNt±dNt）2dtdt- Λ. （27）结果^c±（z）=∧（1）-^φ（s）(-z）^φ（c）(-z） ）（1-^φ（s）（z）^φ（c）（z））。（28）上述表达式可以显式反转，以获得实空间中的滞后互相关。在更简单的情况下，β（s）=β（c）=β，可以得到例如c±（t）=∧δ（t）+β（α（s）±α（c））（2- α（s） α（c））（1- α（s） α（c））e-(1-α（s）α（c））β| t|. （29）注意，t=0时，由于单位跳变（dN）=dN的假设，出现了一个奇异分量。上述公式还表明，通过将谱范数| |Φ| |=α（s）+α（c）移到不稳定点| |Φ| |=1附近，相关函数的对称模的衰减变得越来越慢。图2说明了模式N±t的自相关函数的结果。-0.100.1-10-5.0.5.10c±（t）紧相关11。21.40 2 4 6 8 10V[N±（t）]/t标准化变量模式+模式-模式+模式-图2：组合N±t的自相关函数（左）和标准化方差（右），使等式（5）中出现的交互核痛苦化。我们使用参数集α（s）=0，α（c）=0.1，u=β=1，以模拟长度T=10的过程的单一实现。

对于这样的T值，理论预测（虚线）几乎完全叠加到模拟结果上。为了清晰起见，交叉协方差函数中的δ（t）分量已在左面板中指定。例4（幂律内核）。现在让我们再次考虑维D=1的幂律交互内核的情况。对于由等式（9）参数化的核，空间变换读取^Φ（z）=αe-z/β(-z/β）γΓ(-γ, -z/β），（30），其中Γ（n，z）是不完全伽马函数。逆核^ψ（t）可以在拉普拉斯域中表示为^ψ（z）=αe-z/β(-z/β）γΓ(-γ, -z/β）1- αe-z/β(-z/β）γΓ(-γ, -z/β）。（31）如第。2.1，在这种情况下，光谱半径| |Φ| |等于| |Φ| |=|^Φ（0）|=α/γ，因此模型对于α<γ是稳定的。在此假设下，平均强度结果∧=uγγ - α. （32）对于外生强度u的固定值，该关系在等于外生强度的原子强度（在非相互作用的情况下，α=0）和α接近不稳定点α=γ时事件数量越来越多之间插值。滞后互相关矩阵的拉普拉斯变换结果^c（z）=∧（1-^Φ(-z） ）（1-^Φ（z））。（33）上述表达式不能从分析上颠倒。我们确实可以将相关性的尾部行为与^c（z）的小z行为联系起来，这多亏了同义词。尤其是对于βt 1有：c（t）~E-(γ-1） βt或γ>1（βt）-γ-1对于γ<1（34），这种行为如图3所示，我们比较了几个单变量霍克斯过程与幂律核和不同尾指数的自相关函数。最后，我们注意到，对于γ<1/2，并且接近不稳定点α=γ，函数c（t）服从中间渐近c（t）~ t2γ-1，与βt一样长Γ(1 - γ)γ/α - 1.1/γ.

（35）在这个特定的区域，霍克斯过程产生了一个明显的赫斯特指数H=1/2+γ。这种极限行为是准平稳性条件| |Φ| | |=1的结果，参考文献[17]对此进行了分析，第。2.2.3.2.3.2二阶统计量的表征本节解释了为什么霍克斯过程可以被认为是交互点过程的最简单示例。事实上，它完全以一阶和二阶特性为特征：均值和相关性通过维纳-霍普夫系统的解唯一地决定了阿霍克斯过程。1101000.1 110 100E[dNtdN0]/dt2- ∧2t自相关γ=2γ=1γ=0.5γ=0.25图3：一组单变量Hawkes过程的自相关函数与由等式（9）参数化的幂律核的比较。我们使用u=β=1、α=0.9γ的值，以及长度T=5·10（对于γ=0.25和0.5）、T=10（对于γ=1）和T=5·10（对于γ=2）的模拟过程，以获得曲线图中显示的曲线。该图像显示了从β>1的指数相关性到β<1的幂律行为的交叉。让我们从定义条件强度矩阵g（t）开始，我们定义fort>0 asgij（t）=EhdNitdNj=1idt- ∧i，t>0。（36）那么我们可以直接从等式（23）证明C（t）=∑gT（t），t>0（37），这与条件平均数和滞后互相关有关。因此由usingEq。（37）和（23），可以证明[8]：定理2（维纳-霍普夫方程）。考虑由满足平稳性假设（H）的等式（1）定义的霍克斯过程。

那么矩阵函数χ（t）=Φ（t）是维纳-霍普夫系统的唯一解g（t）=χ（t）+χ（t）* g（t）t>0（38），使得组成部分χij（t）是因果的，并且χij（t）∈ Li、 j.该性质意味着，当使用平均强度向量∧和传统期望g（t）时，最多存在一个与这些观测值一致的霍克斯过程。事实上，这种过程并不总是存在的，因为阿霍克斯过程不一定重现与抑制相关的系统的线性特性。这个结果与等式（23）所表示的结果相反：虽然该等式表示，通过定义内核Φ（t）和外生强度u，相关性是唯一确定的，但上述定理表明，相关性和平均强度唯一地决定了相互作用。虽然[37]首次证明了直接结果，但[8]使用维纳霍普夫分解技术证明了相反的结果。最后请注意，维纳-霍普夫系统（38）在经验数据的应用中非常有用，因为它允许我们在给定一组经验观测值的情况下，非参数地估计霍克斯过程的相互作用核（见附录C.2）。2.3.3自回归投影具有固定增量的霍克斯过程始终可以通过适当定义的自回归过程线性近似。尤其是[51]：命题5（自回归投影）。考虑满足平稳性假设（H）的等式（2）定义的霍克斯过程。然后由N（AR）t=（Iδ（t）+ψ（t））定义的卷积N（AR）t* （ut+∑1/2Wt），（39），其中ψ（t）是Hawkes核的有限卷积，由等式给出。

（18） 是标准的D维布朗运动，满足∧（AR）=∧（40）c（AR）（t）=c（t），（41），其中∧和c分别表示Nt的平均强度和滞后互相关矩阵。因此，通过使用维纳过程的卷积，始终可以将平稳Hawkes过程的一阶和二阶性质与相互作用核Φ相匹配。另一方面，高阶矩不能以同样的方式匹配。2.3.4除二阶矩外，一阶矩和二阶矩不是霍克斯过程中唯一可以通过分析计算的矩。特别是，Jovanovi\'c等人[44]最近开发了一种组合程序，允许计算霍克斯过程任意阶数的累积量（以及因此产生的矩）。更准确地说，给定一组组件∈ {1，…，D}和tS={t，…，t|S}的其中一次，可以确定霍克斯过程的累积量密度北区（S）= dt-|S | Xπ（|π|- 1!)(-1)|π|-1YB∈π*Yi∈BdNiti+，（42）其中总和在S的所有分区π上运行，|π|表示它们的块数，B分别标记π的块。上述方程概括了| S |=1时恢复的平均强度和|S |=2时获得的滞后互相关函数的定义。力矩密度可以通过写*Yi从上面的表达式中得到∈SdNiti+dt-|S |=XπYB∈πkN（B）. （43）参考文献[44]展示了如何将等式（42）表示为整数项之和，可以用u和ψ（t）明确表示。由于每一个这样的加法器都可以被解释为一个拓扑上不同的有根树，带有| S |标记的叶子，因此可以系统地对等式（42）的所有贡献进行计数。在具有指数核的Hawkes过程的特殊情况下，Errais等人得到了一个有用的结果。

[29]利用第节所述标记框架中的Dynkin夫妇公式（N，λ）。2.2.1. 特别是，它们能够用一个普通微分方程的解来表示耦合（N，λ）的母函数。虽然可能有必要对生成函数的方程进行数值求解，闭式表达式适用于Nt的特定矩（参见Dassios和Zhao[23]的工作，了解关于Hawkes过程的轻微推广的类似结果）。2.3.5鞅表示式（2）定义的过程允许一个方便的鞅表示式，只要引入适当定义的补偿器rtdsλis[22]。定理3（鞅表示）。给定一个霍克斯过程（2），D随机过程yt=Nt-ztdλs（44）是关于过程Nt的正则过滤的鞅[22]。此外，在稳定条件（H）下，随机强度λt表示λt=u+Ztψ（t- s） uds+Ztψ（t- s） 戴斯。（45）虽然上述结果即使在非平稳区域也有效，但在大t的渐近区域，等式（45）的形式特别简单，可以写成λt---→T→∞∧+Ztψ（t）- s） dYs（46）多亏了等式（21）。霍克斯过程的鞅性质在确定上节讨论的一阶和二阶性质中起着重要作用，这些性质是通过[2,8]中的等式（46）推导出来的。公式（45）的表示法对于预测霍克斯过程的强度也特别有用，因为霍克斯过程具有历史过滤性。例5（强度预测）。假设，给定一个满足平稳条件（H）的霍克斯过程，人们有兴趣计算预测器Eλt财政司司长对于t>s（参见参考文献。

[40,41]用于金融领域的直接应用）。然而，通过天真地应用霍克斯过程的定义，我们可以得到这种类型的动物性方程λt财政司司长= u+ZsΦ（t- u） dNu+ZtsduΦ（t- u） Eλu财政司司长（47）可以使用鞅表示式（45）来写出明确的表达式λt财政司司长= u+Ztψ（t- s） uds+Zsψ（t- s） 戴斯。（48）2.3.6过程的缩放极限霍克斯过程的结构自然适合于描述坐标NTI中跳跃的离散性质相关的系统，使该模型特别适用于建模高频数据。事实上，在许多应用中，还需要在相反的低频率范围内控制系统的限制行为，在低频率范围内忽略事件的粒度，并且需要知道NTS的时间尺度。偏离布朗运动。[4]中首次证明的以下结果使我们能够确定，在适当的假设下，经过适当的重新缩放后，霍克斯过程在很大程度上表现为维纳过程的线性组合。定理4（大数定律）。考虑方程（2）中满足平稳性假设（H）的霍克斯过程。Thensupu∈[0,1]| | T-1螺母- u∧| |----→T→∞0（49）几乎肯定是L-范数。上述结果为Hawkes过程建立了一个大数定律，对任何静止的核都是有效的。事实上，在其他假设下，也可以建立相应的泛函中心极限定理。定理5（中心极限定理）。假设我，j≤ D核Φ（t）满足∞dt t1/2φij（t）<∞ . （50）那么对你来说∈ [0，1]对于目的论来说，一个有以下趋同规律：T1/2T-1螺母- u∧----→T→∞（I+| |ψ| | |）∑1/2Wu，（51），其中WT表示标准的D维布朗运动。例6（指数内核）。考虑一下二元霍克斯过程。2.1.