预计短缺估计误差等值线图

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英文标题：
《Contour map of estimation error for Expected Shortfall》
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作者：
Imre Kondor, Fabio Caccioli, G\\\'abor Papp, Matteo Marsili
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The contour map of estimation error of Expected Shortfall (ES) is constructed. It allows one to quantitatively determine the sample size (the length of the time series) required by the optimization under ES of large institutional portfolios for a given size of the portfolio, at a given confidence level and a given estimation error.
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中文摘要：
构建了期望短缺估计误差等值线图。它允许人们在给定的置信水平和给定的估计误差下，定量地确定大型机构投资组合在ES下的优化所需的样本量（时间序列的长度）。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--

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PDF下载：
--> Contour_map_of_estimation_error_for_Expected_Shortfall.pdf (342.82 KB)

2022-5-7 15:57:24 上传

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关键词：等值线 Quantitative Optimization Applications QUANTITATIV

预期短路的估计误差等值线图。康多尔1,2，F.卡奇奥利，G.帕潘德M.马西里帕梅尼德斯基金会，布拉赫，德国投资和企业金融系，布达佩斯科尔维努斯大学，布达佩斯，亨加里德计算机科学系，伦敦大学学院，伦敦，联合金多姆电视台洛兰大学，布达佩斯物理研究所，特里雅斯特，亨加里亚布杜斯萨拉姆国际理论物理中心，ItalAbstract构造了预期短缺估计误差的等值线图。它允许人们在给定的置信水平和给定的估计误差下，定量地确定在给定规模的投资组合下，在大机构投资组合的ES下进行优化所需的样本量（时间序列的长度）。ES正在成为新的监管市场风险指标[1]。即使ES的主要目的是描述机构现有投资组合中的风险，银行也必须在ES的约束下优化其投资和交易活动。这类似于经典的投资组合选择问题，用ES代替方差作为成本函数。ES的一个至关重要的特征（与所有其他下行风险指标（包括VaR）相同）是，其历史估计值是根据1%（或者，在拟议的新监管中，是2.5%）的最坏结果计算的。这意味着atime系列中的大部分数据必须被丢弃，只有一小部分用于执行优化。

因此，程序将是脆弱的，获得的portfolioweights估计值将在不同样本之间剧烈波动，估计误差将很大。这是一个众所周知的问题，人们可以尝试通过借鉴高维统计[2]的正则化来解决。我们在一系列论文[3-10]中讨论了ES的不稳定性，并研究了各种正则化子的影响，人们可能希望通过这些正则化子来控制波动[7,8,10]。在上述工作中，我们主要讨论了相位边界，即N/T与α平面上的线，沿该线（未规范化）估计误差发散，超出该线，优化问题没有解决方案。（N是投资组合中不同风险资产的数量，是时间序列的长度，α是置信水平。）然而，这些文献不仅包含了相位边界的信息，还隐含了ES的完整计数图的信息，即估计误差具有给定有限值的一组曲线。本说明的目的是显示这些曲线，并通过它们的帮助表明，在法规设想的高置信水平下，对于最优投资组合风险的可接受估计误差水平，样本量T必须超过投资组合的维数N十倍，对于N和T的任何实际值，如果不是不可能的话，这一要求显然很难满足。图1显示了大量i.i.d.高斯资产组合的估计误差等值线图。（本文后面将简要讨论相关和非高斯资产分布。）我们假设投资组合中不同资产的数量N和样本大小T（这些资产可用时间序列的长度）都很大。

那么，估计误差将只取决于比值N/T和置信水平α。图1显示了N/T–α平面上的一组曲线，沿着该平面，以量Δ测量的估计误差是恒定的。图1:ES的估计误差Δ等高线图。Δ沿这些曲线是常数。相互上方的曲线对应着越来越高的Δ值，直到最上面的黑色曲线，估计误差沿着该曲线发散，超过该曲线ES无法优化。在给定的置信水平α下，可以从这些曲线中读出实现可接受估计误差所需的比率N/T。例如在α=97.5%（新法规提出的置信水平，由图中的垂直虚线所示）时，与10%量级的估计误差（下面的第二条曲线）相对应的点的垂直坐标为r=N/T=0.025，这意味着达到该误差水平所需的时间序列长度比投资组合中的资产。Δ的含义如下：由于资产的假定i.i.d.性质，“真实”最优投资组合权重均等于1/N，因此其分布集中在该单一值上。然而，我们只在T期间观察资产的波动，因此权重将偏离1/N，并遵循（高斯）分布；Δ与该分布的标准偏差成正比。因此，Δ测量给定有限样本中权重的不确定度，但它也表征了样本之间权重的波动。图1中最上面的曲线对应于Δ=∞.

在这条曲线上对应点的投资组合中，权重的分布被完全抹去，估计误差是无穷大的。这条曲线是相界：在它上面优化ES是不可行的。相位边界以下的曲线对应较小的估计误差。注意，所有有限Δ曲线在极限α内弯曲并归零→1.假设我们必须在高置信水平下工作，如新的市场风险监管建议的α=0.975。此外，假设我们希望实现10%的估计误差，即Δ=0.1。对应的曲线是下面的第二条曲线。此时，N/T比率为0.025。这意味着我们的时间序列应该是投资组合维度的40倍，以确保在α=0.975时有10%的估计误差。要想说明这一点，考虑一个规模的投资组合，比如N=100:T=40N相当于16年的每日回报。更大的投资组合和/或更严格的错误要求将需要更长的时间序列。一直以来都很清楚，依赖于一小部分数据的下行风险度量需要大量观察。图1及其背后的理论为这个概念提供了定量的意义。关于该理论的一句话：我们首先要注意的是，对统计样本进行平均的任务类似于随机系统理论中的“猝灭假设”。因此，人们可以借用这一理论的工具，尤其是复制品的方法。详细介绍了图中报告的结果背后封闭方程组的推导。

1可以在[4,5,8,10]中找到。当然，正则化会完全改变画面，在[7,8,10]中，我们还探讨了各种正则化的效果，以及它们对市场影响的解释[8,10]。然而，我们避免在本说明中包含正则化，因为我们希望展示原始的、未正则化的问题是多么不稳定，并且对于控制参数N/T和α的任何实际值，结果ES估计中的样本波动都会增大。原始问题中如此强烈的不稳定性需要天文正则化器来解决，它的强度确实如此之大，以至于一个有效的正则化器不仅能抑制极端的波动，而且基本上还能抑制来自观测的所有信息。应用这样一个强大的正则化器（可以说，是一个占主导地位的贝叶斯先验）只会掩盖而不是治愈疾病：这样获得的最佳投资组合将反映正则化器的结构，而不是数据的结构。在这种情况下，最好完全忘记观察结果，依靠专家意见——不管怎样，大多数投资决策都是这样。另一个明显的补救办法是使用参数估计，而不是历史估计。我们检查了这一点，发现在α→1限制所有ES的参数轮廓线（以及VaR的参数轮廓线）从下方趋于1。这可能会增加参数估计能够克服数据不足的问题的希望：在相同的置信水平（0.975）和相同的10%估计误差下，用于历史估计的N/T比不小，大于0.5。

这可能意味着观察的数量应该是投资组合维度的两倍。然而，这是一种幻觉，如果许多从业者都有这种幻觉，那就是一种非常危险的幻觉。在参数法中，必须能够可靠地估计损失的概率分布，尤其是在要测量ES的渐近区域。在实际市场中，这种概率分布不是高斯分布，而是厚尾分布，在罕见观测区域估计类似幂律的尾部与获得可靠的历史估计一样困难。我们想在这里再提两点。图1所示为独立、同分布正态变量的分析结果。市场波动既不独立，也不正常。在[5]中，我们展示了正态变量之间的相关性如何在图1所示结果背后的复制形式中得到调节。我们考虑了任何协方差矩阵，并发现只要协方差结构不是极端的，协方差矩阵是可逆的，故事的寓意是不变的。至于涨落的非高斯性质，我们没有关于任意分布估计误差的分析理论。然而，我们确实进行了扩展模拟，并用数值测量了估计误差。要考虑的最重要的一类是厚尾分布。直觉上，很明显，尾巴越胖，估计误差就越大。这确实是我们模拟出来的。

我们考虑了两种厚尾分布：自由度的Student t分布ν=3（渐近行为1）/x) 柯西分布（渐近1/x). （前者或多或少是资产在市场中的渐近行为，后者只是一个数学例子，没有已知的资产波动如此剧烈。）到目前为止，我们所能得到的只是三相边界：有点令人惊讶的是，对应于高斯分布的曲线。柯西分布彼此非常接近，事实上，需要斯奎特努力从数值上解决它们。对于α=0，它们都从零开始，对于α=1，它们都到 1/2 。对于介于两者之间的α，它们略有不同，高斯相位边界位于学生之上，反过来，位于柯西曲线之上。这意味着，为了能够在相同的置信水平和相同的组合N下解决优化问题，需要柯西分布波动的时间序列最长，学生变量的时间序列更短，高斯变量的时间序列更短。然而，对于实际感兴趣的α，这三条曲线基本上是一致的。我们相信，与这三种情况对应的有限Δ曲线将显示出类似的排名，但到目前为止，我们还无法收集足够的数字数据来证实这一观点。这项研究传达的信息非常简单：没有足够的数据，就无法做出明智的决定。新的是估计误差的等高线图，它允许在给定的置信度水平和纵横比N/T下，计算高斯输入变量的估计误差的期望值。

α的常数估计误差线弯曲并下降到零→  1是一个警告：在高置信限下优化大型投资组合要么需要不切实际的数据量，要么会导致巨大的估计误差。参考文献：[1]巴塞尔银行监管委员会。《交易账簿基本面回顾》（2012年）和巴塞尔银行监管委员会。《交易手册基本面回顾：修订后的市场风险框架》（2013）[2]P.Buhlmann和S.van de Geer。高维数据统计：方法、理论和应用。统计学中的斯普林格系列。施普林格，柏林，海德堡，（2011）[3]I.康多，S.帕夫卡和G.纳吉。各种风险度量下投资组合选择的噪声敏感性。《银行与金融杂志》，31（5）：1545-1573，（2007）[4]S.Ciliberti，I.Kondor，M.Mezard:关于投资组合优化低于预期缺口的可行性，定量金融，7389-396（2007）[5]I.Varga Haszonits和I.Kondor。下行风险指标的不稳定性。统计力学杂志：理论和实验，2008（12）：12007，（2008）[6]I.Kondor和I.Varga Haszonits。一致风险度量下投资组合优化的不稳定性。复杂系统的进展，13（03）：425-437，（2010）[7]S.Still和I.Kondor:正则化投资组合优化，新物理杂志，12075034（2010）[8]F.Caccioli，S.Still，M.Marsili和I。

Kondor：最优清算策略规范化投资组合选择，欧洲金融杂志，1,1-18（2011）[9]Kondor，I.：预期短缺的估计误差，提交巴塞尔委员会，以响应巴塞尔银行监管委员会的咨询文件：交易账簿的基本审查：经修订的市场风险框架，http://www.bis.org/publ/bcbs265/imrekondor.pdf（2014）[10]F.Caccioli，I.Kondor，M.Marsili和S.Still:LPRegulational portfolio optimization，working paper，arXiv:1404.4040[q-fin.PM]，http://ssrn.com/abstract=2425326 (2014)