期权定价的适定性与比较原理

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英文标题：
《Well-Posedness and Comparison Principle for Option Pricing with
  Switching Liquidity》
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作者：
Tihomir Gyulov, Lyuben Valkov
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider an integro-differential equation derived from a system of coupled parabolic PDE and an ODE which describes an European option pricing with liquidity shocks. We study the well-posedness and prove comparison principle for the corresponding initial value problem.
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中文摘要：
我们考虑一个由耦合抛物型偏微分方程和描述流动性冲击下的欧式期权定价的常微分方程组导出的积分微分方程。研究了相应初值问题的适定性，并证明了比较原理。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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PDF下载：
--> Well-Posedness_and_Comparison_Principle_for_Option_Pricing_with_Switching_Liquidity.pdf (205.4 KB)

2022-5-7 18:38:40 上传

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关键词：期权定价 Mathematical Differential Quantitative Conservation

事实上，p=R+γ-1ln F（t）和q=R+γ-1ln F（t），其中F（t）=ceλt+ceλtF（t）=νc（d+ν）- λ） eλt+c（d+ν）- λ） eλtλ1,2=d+ν+ν±q（d+ν+ν）- 4dν，c=λ- dλ- λe-λT，c=λ- dλ- λe-λT.差异定价首次用于霍奇斯和纽伯格的开创性论文[3]。我们还参考[2]了解更多应用（参见[4]和[8]）。当Payoff函数H（S）有界时，经典解的存在性在[6]中得到了证明。这种情况是有争议的，因为它不包括诸如看涨期权h=max{s这样的典型例子- K、 我们研究了问题m的可解性，并证明了在合适的Sobolev加权s空间中弱解的存在唯一性，该空间允许无界终端支付函数。积分微分方程（1）由（2）导出，如下所示。表示：=γR，R=γR。rand rhas的微分方程组如下：rτ-σSrSS=-νe-（r）-r） +d+νrτ=-νe-（r）-r） +ν（3），其中τ=T- t、 （3）中的常微分方程可以用respec t tor显式求解。然后我们得到了替换u:=r下的初值问题（1）- ντ和κ：=d+ν- ν.论文的结构如下。在第二节中，我们证明了经典解与问题（1）的比较原理（定理2.1）。然后，在第3节中，我们证明了弱子/上解的一个比较原理（定理3.4）。此外，我们还研究了在适当的加权Sobolev空间中弱解的存在唯一性（见定理3.7）。2经典解的比较原理在这一部分中，我们考虑了（1）满足| u |，| h |的解≤ 经验αlnS= 作为αlns，（4）对于一些正常数A和α。注意，条件（4）包括线性增长、多项式和具有任意指数的S的幂。我们证明了以下比较原理：定理2.1。

然后（）τ-σS（）SS=-ννZτ（~u（τ）- ~u（s））dsZeuξ（τ）-uξ（s）dξ- ν~u（τ）-~hZeuξ（τ）-γhξdξ（11）≥ -νν（~u（τ）- h） ZτdsZeuξ（τ）-uξ（s）dξ（12）- ννZτ（~u（τ）- ~u（s））dsZeuξ（τ）-uξ（s）dξ- ν~u（τ）-~hZeuξ（τ）-γhξdξ我们将证明≥ 对于任意τ∈ [τ，T）。事实上，通过矛盾假设inf<h。请注意，|τ=τ>手存在‘’S和‘’S，使得>hif或‘≤ S还是S≥事实上→ +∞ 当| ln S |→ +∞或τ→ T.最后的观测结果表明，在内部点达到最小值*, τ*) ∈ （S，\'S）×（τ，T）和（S）*, τ*) < h、 然后，（）τ（S）*, τ*) = 0，（）SS（S）*, τ*) ≥ 0和u（S）*, τ*) -~h≤ 美国*, τ*) - h=（S）*, τ*) - H-ω（S）*, τ*) < 0（13）~u（S）*, τ*) - 美国*, s） =（s）*, τ*) -（S）*, （s）- （ω（S）*, τ*) - ω（S）*, s） ）<0，s∈ [τ, τ*], （14） 因为ω在τ中增加。因此，（12）的右边是正面的，是矛盾的。因此=u+ω≥ 对于任意τ∈ [τ，T）。让我们→ 0.然后u=u- U≥ 任意τ的h∈ 【τ，T。】定理2.1的证明。比较原理遵循归纳法和辅助定理2.2：我们首先取τ=0，在区间[0，1/2′τ]中证明它，然后让τ=1/2′τ，并将区间[1/2′τ，’τ等与之比较。现在，作为一个推论，我们为满足终值问题的买方无差异p（s，T），q（s，T）制定了比较原理pt+σSpSS-马弗-γ（q）-p） +d+vγ-γF′F=0qt-马弗-γ（p-q） +νγ-γF′F=0p（S，T）=q（S，T）=h（S）。（15） 对于（15）的经典解，我们指的是这样的函数：∈ C（（0+∞) ×（0，T]）∩C2,1（（0+∞)×（0，T）），q∈ C（（0+∞)×（0，T]），qt∈ C（（0+∞)×（0，T））。注意，γp=ν（T- t） +lnf（t）+u（S，t）- t） ，（16）γq=ν（t）- t） +ln F（t）- lnνZT-te-u（S，S）ds+e-γh（S）！，（17） 因为p（t）=γ-1.r+lnf（t）q（t）=γ-1.r+lnf（t）.

然后，（p，q）解中的比较原理将等价于（r，r）变量的比较原理。我们认为生长条件类似于（4）|p |，|h |≤ 经验αlnS= 对于某些正常数A和α。推论2.3。设（p，q）和（p，q）是系统（15）的两个经典解，对应于终端数据h≡ h（S）和h≡ 分别为h（S）。如果存在一些正常数A和α，使得pi（S，t）和hi（S），i=0，1满足条件（18），那么inf（h- h）≤ p（S，t）- p（S，t）≤ 高级（h）- h） ，（19）inf（h）- h）≤ q（S，t）- q（S，t）≤ 高级（h）- h） 。（20） 特别地，设h（S）由一个常数从下（或从上）限定，即h（S）≥ H*（分别为h（S）≤ H*) p（S，t），q（S，t），是满足（18）的终值问题（15）的经典解。然后（S，t）≥ H*和q（S，t）≥ H*（分别为p（S，t）≤ H*和q（S，t）≤ H*),对于任何人来说∈ (0, +∞) 还有什么t∈ 不等式（19）紧随定理2.1和表示（16）之后。为了证明（20），我们将使用（17），即qi（·t）=γ-1英寸ν（T）- t） +ln F（t）- lnνZT-te-用户界面（·，s）ds+e-γhi（·）！#，对于i=0，1。类似于引理2.2的证明，我们导出了q（·t）- q（·，t）=-γ-1Zddξ“lnνZT-te-uξ（·，s）ds+e-γhξ（·）#dξ=γ-1ZνRT-te-uξ（·s）（u（·s）- u（·s））dsνRT-te-uξ（·，s）ds+e-γhξ（·）dξ+（h（·）- h（·））Ze-γhξ（·）νRT-te-uξ（·，s）ds+e-γhξ（·）dξ现在，（5）意味着估计值（20）。第二部分紧随其后，因为p*（S，t）≡ H*q*（S，t）≡ H*问题（15）的解是否具有恒定的终端条件h≡ H*.

事实上，如果我们正式替换p*（S，t）≡ H*q*（S，t）≡H*在（15）中，我们得出结论，检查以下身份是有效的-νγFF+d+νγ-γF′F=0，（21）-νγFF+νγ-γF′F=0，（22）或e等价于yf′=-νF+（d+ν）F，（23）F′=-νF+νF，（24）直接源自Fand F的定义。3弱解的存在性在本节中，我们研究适当函数空间中弱解的存在性和唯一性。首先，我们引入加权LspaceLw：=u:kuk:=Z+∞u（S）w（S）dS<∞,给定权重函数w>0。然后我们将加权Sobo-lev空间定义为：=u:u∈ Lws。t、 苏‘（S）∈ Lw,在没有rm k·ksuch的情况下，ku k=kuk+kSu′k+∞) → [0,1]是不断增加的，完全连续的可微分函数，并且使得ξ≡ [0,1/2]上的0和ξ≡ 1月[1日+∞). 我们将使用ξ构造一个紧支撑函数序列{u}，该序列在hw中收敛到给定的元素u∈ 嗯。更准确地说，以下辅助结果成立。引理3.1。设ξ（x）：=ξ（x/）[1- ξ（x/2）]，0<<1和u：=ξu.然后u→ u在Hw，as→ 0.证明。注意（u）- u）′=（1- ξ）u′- ξ′u，Sξ′（S）=（S/）ξ′（S/）[1- ξ（S/2）]- （S/2）ξ′（S/2）ξ（S/）关于和1是一致有界的- ξ→ 0以及Sξ′（S）→ 0as→ 0.那么Lebesgue的支配收敛定理暗示了tku- 尤克→ 0 as→ 0.接下来，让u（S）在（0+∞) 并表示运算符Lu:=-σSu′。然后通过par ts积分后，我们正式得到：（Lu，v）Lw=-σZ+∞wSu′vdS=σZ+∞wSu′v′+Sw′w+2wSu′vdS，如果上面的积分定义得很好，w是连续可微的，wSu′v→ 作为S→ 0和S→ ∞. 例如，当v是连续可区分的，并且具有紧凑的支撑时，上述情况保持不变。根据上述观察，我们引入双线性形式：a（u，v）：=σZ+∞wSu′Sv′型+Sw′w+2五、dS。

（25）如果权重函数w是两次连续可微的，且存在常数C>0，则西南（S）西（S）,西南′（S）西南（S）≤ Cs∈ (0, +∞). （26）那么双线性形式a（u，v）在Hw上是连续的和半强制性的，即|a（u，v）|≤ 库克夫，u、 五∈ Hw（27）a（u，u）≥ 阿古克- 谷先生，U∈ Hw（28）对于一些合适的常数c>0，α>0和β>0，它们与uand v无关。我们可以选择这样的权重函数，即看涨期权支付函数h=max{S- K、 0}属于空间Hw，例如，以w:=（1+S）γ为例，其中γ<-3.此外，我们假设θ：=Z+∞w（S）dS<+∞. （29）这个假设保证了一个有界且可测的函数属于Lw。引理3.2。存在一个常数c>0，使得| u（S）|≤ ckukSexp（C | ln S |），U∈ Hw，（30），其中C代表（26）。证据注意，存在一个常数csuch，即| u（1）|≤ ckuk，U∈ Hw，（31）由于Sobolev embbeding定理。让我们固定并表示v（ζ）：=u（ζS）。我们有kvk=Z+∞w（ζ）ζS（u′（ζS））+u（ζS）dζ（32）=Z+∞w（ζ）Sw（ζS）w（ζS）ζS（u′（ζS））+u（ζS）d（Sζ）（33）≤Sexp（C | lns |）kuk，（34）sincew（ζ）Sw（ζS）=SexpZζζSw′（ξ）w（ξ）dξ！≤Sexp（C | ln S |）。然后（30）从（31）开始，因为v（1）=u（S）。空间HW在Lw中密集且持续地被强化。我们考虑过Gelfand triplesHw Lw H*w、 andL（0，T；Hw） L（0，T；Lw） L（0，T；H）*w） ，其中H*这是硬件的双重功能。接下来，我们定义了setW（0，T）：=U∈ L（0，T；Hw），˙u∈ L（0，T；H）*w）, （35）其中˙u是u的分布导数。众所周知（se e Lion s and Magenes[5]）w（0，T） C（[0，T]，Lw）。对于s的隐含性，我们将进一步写出u（τ），而不是u（s，τ），前提是这不会导致误解。回想一下f[τ；u，γh]：-νeu（τ）νZτe-美国ds+e-γh+ κ.定义3.3。一个有趣的故事∈ 当u（0）时，W（0，T）称为初值问题（1）的弱上解（下解）≥ γh（分别为u（0）≤ γh）和论坛。A.

τ ∈ （0，T）不等式h˙u，vi+a（u，v）≥ (≤)Z+∞wF[τ；u，γh]vdS，（36）适用于任何非负v∈ 嗯。分别地，函数u∈ 如果u（0）=γh，对于a.a.τ，W（0，T）被称为初值问题（1）的弱解∈ （0，T）等式h˙u，vi+a（u，v）=Z+∞wF[τ；u，γh]vdS，五、∈ Hw，（37）持有。接下来，我们证明了满足（4）型增长条件的弱上/下解的以下比较原理。定理3.4。Letu是初始数据为h（S）的初值问题（1）的弱上解≡ h和u是对应于初始数据h（S）的弱子解≡ 这里给出了h和h，并且≤ h、 此外，假设存在正常数sa和α，使得| h |，H, |u |，|u |≤ 经验αlnS= ASαlns，（38）表示a.a.（S，t）∈ (0, +∞) ×[0，T]。然后你≤ 美国农业大学（S，t）∈ (0, +∞) ×[0，T]。表示u:=u- u、 我们将证明-:= 麦克斯{-u、 0}=0几乎在任何地方。与（9）类似，我们得出以下不等式成立。a、 τ∈ （0，T）和对于任何非重力v∈ 在（0+∞):h˙u，vi+a（u，v）≥ -ννZ∞Zτδ（τ，s）（u（s，τ）- 美国v（S）wdS（39）- νZ∞u（S，τ）-~h（S）v（S）δ（τ）wdS，其中δ（τ，S）：=Zeuξ（τ）-uξ（s）dξ，δ（τ）：=Zeuξ（τ）-γhξdξ，uξ：=ξu+（1）- ξ） u，u（·，0）≥~h:=γH- H≥ 0和hξ：=ξh+（1）- ξ） h.充分证明以下辅助结果：引理3.5。假设τ≥ 0对于任何t都是如此∈ [0，τ]不等式u（t）- u（t）≥ 0在（0+∞). 那么，同样的不等式适用于anyt∈ [0，τ+τ]，其中τ>0是一个仅依赖于α和σ的常数。证据设ω由（10）和u：=u+ω定义，其中u=u- u、 然后，假设在引理2.2的证明中选择了τ。我们会证明你-:= 麦克斯{-u，0}≡ 0代表a.a.（S，t）∈ (0, +∞) ×[τ, τ+ τ ].

注意，存在一个闭合区间I (0, +∞) 以至于你-= 集合中的0（（0+∞) \\ I）×[τ，τ+？-τ]由于条件（38）。现在，假设φ（S）是一个光滑函数，在（0+∞) 使得间隔I上的（S）=1。Thenu~n∈ L（τ，τ+τ；Hw）和（u~n）-= u-. 接下来，对于任何非负v∈ HW带紧凑型支架支持 Iv=v，a（u，v）=a（u，v），然后ddτ（u~n），v+ a（uИ，v）=h˙u，Дvi+hИω，vi+a（u，v）+a（ωД，v）（40）=h˙u，vi+a（u，v）-σ（2ω′~n′+ω~n′，v）Lw{z}=0≥ -ννZ∞Zτδ（τ，s）（u（s，τ）- 美国v（S）wdS（41）- νZ∞u（S，τ）-~h（S）v（S）δ（τ）wdS≥ -ννZ∞Zτδ（τ，s）dsu（S，τ）v（S）wdS（42）- ννZ∞Zτδ（τ，s）（u（s，τ）- 美国v（S）wdS- νZ∞u（S，τ）v（S）δ（τ）wdS，即。，ddτ（u~n），v+ a（u~n，v）≥ -ννZ∞Zτδ（τ，s）dsu（S，τ）v（S）wdS（43）- ννZ∞Zτδ（τ，s）（u（s，τ）- u（S，S））dsv（S）wdS- νZ∞u（S，τ）v（S）δ（τ）wdS，其中我们使用了u>u和u（S，τ）- u（S，S）>u（S，τ）-u（S，S）表示任何S∈ [τ，τ]因为ω（S，·）在这个区间上递增。现在，takev=u-注意，u=u+- u-, a（u，u）-) = -a（u-, u-) 安杜（S，S）u-（S，τ）≥ -u-（S，S）u-（S，τ）≥ -u-（S，S）+u-（S，τ）.在与respe c t toτ积分后，形成τto t∈ 【τ，τ+’τ】不等式（43）意味着ku-（t） k+a（u-, u-) ≤ -ZtτZ∞∑（S，τ）u-（S，τ）wdSdτ，（44），其中∑（S，τ）：=νZτδ（τ，s）ds+Zτδ（τ，s）ds-Ztτδ（s，τ）ds+ νδ(τ).|∑（S，τ）|由一个常数从上方限定，例如，当S∈ I由于双线性形式a（·，·）（见（28））的半矫顽力，我们得到：ku-（t） k≤ （C+β）Ztτku-（τ） kdτ。（45）因此Gronwall不等式意味着ku-（t） 对于任何t，k=0∈ [τ，τ+？]-（τ） k=0。然后u+ω≥ 0 a.e.因此u≥ 因为>0是一个错误。我们进一步证明了另一个有用的估计。引理3.6。

存在一个常数C>0，使得∈[0，T]ku（T）k+kukL（0，T，Hw）≤ Cku（0）k+k^ukW（0，T）+γkhk+1（46）对于任何弱子解u和任何函数^u∈ W（0，T）满足u≥ ^u.证明。让v∈ 这是一个非负函数。我们有h˙u，vi+a（u，v）≤Z+∞wF[τ；u，γh]vdS，≤ -ννZτ[u（τ）- u（s）]ds，vLw（47）- ν（u（τ）- γh，v）Lw+（κ- νντ - ν） （1，v）Lw。以v=u为例- ^u和积分（47）关于τ从0到t.ku（t）k+a（u，u）≤ku（0）k+（u，^u）Lwt+a（u，^u）-ZtD˙^u，uEdτ（48）- νZt（ντ+1）ku（τ）kdτ+νZtu（τ）dτ+ Ck^ukL（0，t，Lw）+γkhk+1kukL（0，t，Lw）+C（γkhk+1）k^ukL（0，t，Lw）。然后，一个标准参数意味着估计（46）。现在，我们证明了弱解的存在性，前提是h∈ 嗯。该方法基于上下解方法（参见[7]）。然而，（1）中的指数非线性导致了一些必须克服的技术难题。定理3.7。假设h∈ 嗯。然后，初始值问题（1）有一个弱解。此外，存在一个与u无关的常数C>0，使得k˙ukL（0，T，Lw）+kukL∞（0，T，Hw）≤ C（ku（0）k+1）（49）证明。我们将分几个步骤给出证明。第一步。让h∈ 我会被束缚住。然后，初值问题（1）存在弱解。另外，如果u（0）=γh∈ 那么不等式（49）成立，常数C独立于u（0）。注意，我们可以计算一对上解u和一对上解u。实际上，让常数cbe |γh |≤ 坎德·塔库：-C- 对于某个正常数M。如果M足够大，那么u就是一个解。类似地，u:=c+mt是一个上解，前提是M≥ κ.接下来，根据（8）我们可以选择一个常数N>0，使得nu（τ）+F[τ；u，γh]=nu（τ）- νeu（τ）νZτe-美国ds+e-γh+ κ在u中增加，即Nu（τ）+F[τ；u，γh]≥ N u（τ）+F[τ；u，γh]，对于所有u≤ U≤ U≤ U

现在，我们可以构造上解的递减序列u:=u，u，u。。。这样un+1就是初值问题的解决方案˙联合国+1-σSu′\'n+1，SS+nun+1=nun+F[τ；un，γh]，un+1（S，0）=γh（S）和u≤ 联合国≤ u、 一个标准的论点意味着这个问题的解决方案（1）是软弱的。我们省略了细节。接下来，假设h∈ 嗯。然后˙u∈ L（0，T；Lw）和u∈L∞（0，T；Hw）（例如，见Bonnans[1]），以下抛物线估计成立：k˙ukL（0，T，Lw）+kukL∞（0，T，Hw）≤ Cku（0）k+kF[·；u，γh]kL（0，T，Lw）我们将证明更强的估计（49）。首先，我们有-σSu′\'SS=F[τ；u，γh]- ˙u∈ L（0，T，Lw），（50）-σZtSu′SS，˙uLwdτ=σku（t）k-ku（0）k（51）+σZtsSw′w+2美国- u、 ˙u随钻测井τZt（F[τ；u，γh]，˙u）随钻测井τ=Z+∞Ztddτ（F[τ；u，γh]）dτwdS（52）+Z+∞Zt（κ˙u+νν）dτwdS≤ |κ|θ1/2Ztk˙u（τ）kdτ+ν（1+νt）θ（53）sinceddτ（F[τ；u，γh]）=ddτ-νeu（τ）νZτe-美国ds+e-γh+ κ= -νeu（τ）νZτe-美国ds+e-γh˙u- νν（54）=F[τ；u，γh]˙u- κ˙u- νν. （55）和ztddτ（F[τ；u，γh]）dτ=F[t；u，γh]- F[0；u，γh]≤ ν（56）我们将方程˙u的两边相乘-1/2σSu′SS=F[τ；u，γh]，其中˙u包含从0到T的积分。然后（51）和（53）实现tk˙ukdτ+σku（t）k≤ -σZtsSw′w+2美国- u、 ˙u随钻测井τ（57）+κ|θ1/2Ztk˙u（τ）kdτ+σku（0）k+ν（1+νt）θ≤~CZt（ku（τ）k+1）k˙u（τ）kdτ+ku（0）k+1对于某个常数，C>0。现在，一个技术性但标准的论点暗示（49）成立。第二步。让h∈ Hwbe从下方有界，即u（0）=γh≥ c、 然后，初值问题（1）存在一个弱解u。此外，它们的内在品质（49）也适用。让ξ（x）定义为引理3.1，即ξ（x）：=ξ（x/）[1- ξ（x/2）]。步骤1意味着存在与初始条件u（0）=ξ（γh）相对应的解u-c） +c=ξγh+（1）-ξ）c是有界的。此外，ξγh+（1-ξ）c≤ γh随着的增加而增加↓ 0，收敛于hw到γh。