关于一篮子期权定价的泰勒近似注记

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英文标题：
《A Note on the Pricing of Basket Options Using Taylor Approximations》
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作者：
Pablo Olivares and Alexander Alvarez
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper we propose a closed-form approximation for the price of basket options under a multivariate Black-Scholes model, based on Taylor expansions and the calculation of mixed exponential-power moments of a Gaussian distribution. Our numerical results show that a second order expansion provides accurate prices of spread options with low computational costs, even for out-of-the-money contracts.
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中文摘要：
本文基于泰勒展开和高斯分布混合指数幂矩的计算，提出了多元Black-Scholes模型下篮子期权价格的一种闭式近似。我们的数值结果表明，二阶展开式以较低的计算成本提供了价差期权的精确价格，即使是对于无价合约也是如此。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> A_Note_on_the_Pricing_of_Basket_Options_Using_Taylor_Approximations.pdf (369.79 KB)

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关键词：期权定价 Quantitative distribution Multivariate derivatives

关于使用泰勒近似法对篮子期权定价的说明Pablo OLIVARES，ALEXANDER ALVAREZAbstract。本文基于泰勒展开和高斯分布混合指数幂矩的计算，提出了多元Black-Scholes模型下篮子期权价格的一种闭式近似。我们的数值结果表明，二阶展开式以较低的计算成本提供了价差期权的精确价格，即使是现金合同。1.引言本文的目的是在具有常数协方差的多元扩散模型下，利用泰勒近似法对篮子期权进行定价。篮子期权是欧洲看涨期权或看跌期权的多元延伸。一篮子期权以一组d股的加权平均数为基础，产生的收益等于零的最大值，以及加权平均数与行使权之间的差值（或看跌期权的相反差值）。指数期权是一篮子期权的例子，其价值取决于股票或其他金融指数（如标准普尔500指数）的变动。对于差价期权的特殊情况，Kirk（1995）、Carmona和Durreman（2003）、Li、Deng和Zhou（2008、2010）、Venkataramanan和Alexander（2011）的著作中曾考虑过几种近似方法，其中研究了不同的临时方法。作为一种替代方法，快速傅里叶变换方法已成功应用于计算更一般利维过程下的价差价格，见赫德和周（2009）和凯恩和奥利瓦雷斯（2014）以及德普斯特和洪（2000）的随机波动模型。泰勒展开定价的方法可以追溯到Hulland White（1987），在那里计算一维导数的价格。

另一方面，根据Pearson（1995）的一个想法，它可以通过对剩余的条件加以限制，扩展到多维合同-1.潜在的，将问题简化为一维定价，并使用由此产生的条件分布所产生的参数。应该注意的是，这项技术已在Li、Deng和Zhou（2008）中用于价差期权的案例。此外，在Li、Deng和Zhou（2010）中，泰勒展开近似与其他定价技术、关键词和短语进行了比较。泰勒近似，篮子期权，价差期权。2 OLIVARES，Alvarez证明对参数空间中的大多数值有效且准确。尽管本着同样的精神，在我们的案例中，扩展是基于条件价格产生的功能，而不是基于条件执行价格的开发，正如上文作者所述。此外，我们的方法依赖于高斯分布的混合指数幂矩的计算，它被扩展到任意点和更高维的展开。我们的观点可能允许更好地控制近似值，尤其是对于无需支付的选项。在一篇相关的论文中，见Alvarez、Escobar和Olivares（2011），我们通过扩展相关矩阵，将类似的技术应用于相关性为随机时的差价期权价格。本文的组织结构如下，在第2节中，我们介绍了一些符号、模型，并推导了基本选项的泰勒近似。在第三节中，我们专门研究了扩散期权的公式，并计算了高斯定律的混合指数幂矩。在第4节中，我们将讨论我们的数值结果。2.篮子导数和泰勒展开我们介绍了一些符号。让(Ohm, F、 {Ft}t>0，P）是一个过滤概率空间。

我们定义了过滤FXt:=σ（Xs，0≤ s≤ t） 作为由随机变量{Xs，0≤ s≤ t} 以通常的方式完成。用Q表示等价的鞅风险中性测度和Q下的期望。用r表示（常数）利率，表示矩阵A=（aij）1的转置≤i、 j≤dwhile diag（A）是一个包含分量（aii）1的向量≤我≤d、 1的d维列向量用1d表示。对于RDF中的l次可微函数f和向量l=（l，l，…，ld）和lk∈ N使得Pnk=1lk=l，DLf表示其相对于变量yk的l阶微分Lk次的混合偏导数。现货价格的过程用St表示=S（1）t，S（2）t，S（d）t0≤T≤Tand Yt=（Y（1）t，Y（2）t，Y（d）t）0≤T≤用以下公式计算资产日志收益：（1）S（j）t=S（j）exp（Y（j）t）对于j=1，2，dWe分析欧洲篮子期权，其到期时的收益T，对于类似的价格K，由以下公式给出：（2）h（ST）=dXj=1wjS（j）T- K+其中（wj）1≤J≤挑战一些确定性权重，x+=max（x，0）。例如，我们有价差期权，定义为d=2，付息：（3）h（ST）=（S（1）T- S（2）T- K） +篮子期权3的定价同样，我们有3:2:1的裂缝扩展，d=3，支付：（4）h（ST）=S（1）T-S（2）T- S（3）T- K+其中S（1）t、S（2）和S（3）皮重分别是汽油、热油和原油的现货价格。交换期权是一种衍生品，当K=0时，其支付是（3）的特例。精确的公式可用于不同的情况，见Margrabe（1978）。我们假设风险中性概率下的多维Black-Scholes动力学如下：（5）dSt=rStdt+∑StdBtwhere（Bt）t≥0是布朗运动的d维向量，使得d<B（l）t，B（m）t>=ρlmdt，对于j，m=1，2，d和∑是一个正定对称矩阵，其分量（σij）i，j=1,2，。。。，dσii=σi。我们用Yt=（Y（2）t，Y（3）t。

，Y（d）t）日志返回向量，不包括第一个分量。期权到期时的价格为0p，而期权到期时的价格为0p-rTEQh（ST）=EQE-rTEQhh（ST）| F)YTi= 其中：C（y）：=EQhh（ST）| F | YTi | | YT=yasuming C（y）足够光滑，我们表示C在点y附近的n阶泰勒展开*∈ 研发部-1亚斯^Cn（y）。它由以下公式给出：^Cn（y）=nXl=0XRlDLC（y*)LLld-1.D-1Yk=1（yk- Y*k） lk（7）式中：L=（L，L，…，ld）-1） 和Rl={L∈ 钕-1/l+l++ld-1=l，0≤ lk≤ l} 。下一个命题提供了abasket期权价格p的泰勒近似：命题1。关于y的n阶泰勒近似*= （y）*, Y*, . . . , Y*D-1） 一篮子期权的价格p，其支付额为h（ST），定义为^pn:=e-在模型（5）下，rTEQ^Cn（~YT）由以下公式给出：（8）^pn=wnXl=0XRlDLC（y*)LLld-1.EQ“e-（r）-σY（1）T/~YT）T+uY（1）T/~YTd-1Yk=1（Y（k+1）T- Y*k） lk#4奥利瓦雷斯，阿尔瓦雷斯，y在哪里∈ 研发部-1:（9）C（y）：=CBS（K（y），σy（1）T/~YT=y，S（1））是执行价K（y），到期日T>0，波动率σy（1）T/~YT=y的看涨期权的布莱克-斯科尔斯价格*, 现货价格S（1）和履约价格：（10）K（y）=we（r）-σY（1）T/~YT=Y）T-uY（1）T/~YT=YK-dXj=2wjS（j）ey*（j）带：（11）uY（1）T/＠YT=（r-σ） T+Y∑-1~Y（~Y）- r+diag（∑Y））T（12）σY（1）T/~YT=σ- ∑Y∑-1Y∑Y∑Y=（σ，σ，…，σ1，d）-1） 和∑Yi是向量YT的协方差矩阵。证据从方程（5）中，伊藤公式的直接应用导致：（13）YT=（r1d-diag（∑）T+√T Zdin定律，其中Zdin是一个随机变量，在RDM中具有多元正态分布，均值和协方差矩阵Id为零。因此，它也是多元正态分布。也有条件地在▄YT上，随机变量Y（1）为一元正态分布。因此，我们可以写出：（14）Y（1）T=uY（1）T/~YT+σY（1）T/~YT√T Z（1）在定律中，其中Z（1）独立于YT，并且它有条件地在YT上具有标准的单变量正态分布。

此外，众所周知，例如Tong（1989），uY（1）T/~yt和σY（1）T/~yt分别由等式（11）和（12）给出。接下来，从等式（6）我们得到：p=e-rTEQ情商h（ST）| F)YT= 我们-rTEQ情商S（1）eY（1）T-千瓦-dXj=2wjwS（j）eY（j）T+|FYT= 我们-rTEQ情商S（1）eY（1）T- K（~YT）+|FYT（15） 篮子期权定价，其中K（y）=Kw-Pdj=2wjwS（j）ey（j）。此外，将等式（14）代入（15），我们得到：p=we-rTEQ“EQS（1）euY（1）T/~YT+σY（1）T/~YT√T Z（1）- K（~YT）+|FYT！#=我们-rTEQE-rT+σY（1）T/~YTT+uY（1）T/~YTEQS（1）erT-σY（1）T/~YT+σY（1）T/~YT√T Z（1）- K（~YT）+|FYT！#=wEQE-rT+σY（1）T/~YTT+uY（1）T/~YTC（~YT）式中：C（~YT）：=CBS（K（~YT），σY（1）T/~YT，S（1））=e-rTEQ“S（1）e（r）-σY（1）T/~YT）T+σY（1）T/~YT√T Z（1）- K（~YT）+|在y附近应用n阶泰勒展开*= （y）*, Y*, . . . , Y*D-1) ∈ 研发部-1toC（y）我们根据第一个基础和剩余d计算近似条件价格- 1 by:（16）^Cn（~YT）=nXl=0XRlDLC（y）*)量子点-1k=1lk！D-1Yk=1（Y（k+1）T- Y*k） LK将等式（16）替换为上述p的表达式后，我们立即得到命题1中的等式（8）。备注2。请注意，近似值^pk仅取决于函数C（y）对y的导数，而函数C（y）对y的导数又被计算为由函数K（y）和高斯多元分布的混合指数幂矩组成的Black-Scholes价格。备注3。对参数的敏感性可以通过类似的近似计算，正如众所周知的Black-Scholes期权模型。例如，关于第j项资产的增量可近似为：^（j） n=wnXl=0XRlDLC（y）*)s（j）l！Lld-1.EQ“e-（r）-σY（1）T/~YT）T+uY（1）T/~YTd-1Yk=1（Y（k+1）T- Y*k） lk#3。

为了说明上一节研究的方法，我们考虑了协方差矩阵为∑的模型（5）下的二维价差期权的情况=σ0 σ6 OLIVARES，ALVAREZWe在这种特殊情况下找到第n个泰勒近似值。用d<B（1）t，B（2）t>ρdt表示：（17）YT=（Y（1）t，Y（2）t）~ N（r1）-diag（∑）T，T∑ρ式中：（18）ρ∑=σρσσρσσσ从方程（13）中，Y（1）T的条件分布决定了Y（2）T:Y（1）T/Y（2）T~ Nr（1）-∑∑ρ）T+σ∑ρT+σ∑ρY（2）T-σT，（1）- ρ） σT因此我们可以写出：Y（1）T=u（Y（2）T）+σ√T Zin law，其中Z~ N（0，1）独立于YT，其中（19）u（Y（2）T）：=uY（1）T/~YT=r（1）-σσρ）T+σ（σρ）- σ） T+σσρY（2）和σ：=σY（1）T/~YT=p（1）- ρ） σ从命题1第n次近似简化为：（20）^pn=nXl=0DlC（y*)LEQhe-（r）-σ） T+u（Y（2）T）（Y（2）T- Y*)liMoreover:EQhe(-r+σ）T+u（Y（2）T）（Y（2）T）- Y*)li=eAEQeσσρY（2）T（Y（2）T- Y*)L其中：A=(-（r）-σ） +r（1）-σσ)ρ +σ(σρ - σ） ）T=-（ρσ+rσρ）-σσρ）T篮子选项的定价现在，从等式（17）我们得到Y（2）T~ N（（r）-σ） T，Tσ），那么指数幂矩可以如下计算：eσσρY（2）T（Y（2）T- Y*)L=lXm=0lm（r）-σ） T- Y*L-mEQeσσρY（2）T（Y（2）T- 等式（Y（2）T））m=lXm=0lm（r）-σ） T- Y*L-mTmσmeσρ（r）-σ） 特赫√TσρZZmi=eσσρ（r）-σ） TlXm=0lm√TσmB（y）*)L-梅赫√TσρZZmiwhere:B（y）*) = （r）-σ） T- Y*下一步按部分集成：EQhe√TσρZZmi=√2πZRe-（十）-2σρ√T x）xmdx=eσρT√2πZRe-（十）-σρ√T）xmdx=eσρT√2πZRe-y（y+σρ）√T）mdy=eσρTmXν=0mν(σρ√T）m-νE（Zν）=EσρT[m]Xν=0m2ν(σρ√T）m-2ν√2πZRe-yy2νdy=eσρT[m]Xν=0m2ν(σρ√T）m-2ν(2ν - 1)!!在哪里！！双阶乘定义为1和n之间所有奇数的乘积，包括两者。

当集合为空时，按照惯例，乘积等于1。对y来说也是如此*= 我们有：eσσρY（2）T（Y（2）T- Y*)L= Tlσleσρ（r）-σ） TeσρTlXν=0lν(σρ√T）l-νE（Zν）=Tlσle-A[l]Xν=0l2ν(σρ√T）l-2ν(2ν - 1)!!8奥利瓦雷斯，阿尔瓦雷斯收集所有碎片并代入方程式（20）后，我们得到以下结果：命题4。在模型（5）下，到期日为T且履约价格为K的利差合约的第n个泰勒近似值由以下公式给出：^pn=nXl=0lXm=0DlC（y*)Llm√TσmB（y）*)L-mE（m）与：E（m）=mXν=0mν(σρ√T）m-对于m=1，2。

，k和E（0）=1，式中EQZν=（ν）- 1)!! 如果ν是偶数，如果是奇数，则为零，且k（y）=e（r-σ） T-u（y）（K+S（2）ey）=e-A.柯-σσρy+S（2）e（1）-σσρ）y式（19）给出的μ（y）。接下来，我们计算函数C（y）相对于y的导数。根据Black-Scholes定价公式：C（y）：=CBS（K（y），σ，S（1））=S（1）N（d（K（y））- K（y）e-rTN（d（K（y）），其中：d（K（y））=logS（1）K（y）+ （r+σ）Tσ√Td（K（y））=d（K（y）- σ√Tand N（.）是标准正态分布的累积分布函数。前两个导数通过初等方法计算。首先注意：DK（y）=e-A.-σσρKe-σσρy+S（2）（1）-σσρ）e（1）-σσρy）DK（y）=e-A.（σσρ）Ke-σσρy+S（2）（1）-σσρ）e（1）-σσρ）y另外：DCBS（y）=S（1）fZ（d（K（y）））Dd（K（y））- E-rTDK（y）N（d（K（y）））- E-rTK（y）fZ（d（K（y）））Dd（K（y））=-DK（y）K（y）σ√其中fzi是标准正态随机变量的密度函数，andA（y）=S（1）fZ（d（K（y））+σ√T e-rTK（y）N（d（K（y）））-E-篮子期权的rTK（y）fZ（d（K（y））定价类似地，二阶导数为：DC（y）=-σ√TA（y）K（y）DK（y）- （DK（y））K（y）+DA（y）DK（y）K（y）与：DA（y）=-S（1）fZ（d（K（y）））d（K（y））Dd（K（y））+σ√T e-rTDK（y）N（d（K（y）））+σ√T e-rTK（y）fZ（d（K（y）））Dd（K（y））+e-rTfZ（d（K（y））Dd（K（y））d（K（y））K（y）=DK（y）K（y）σ√ThS（1）fZ（d（K（y）））d（K（y））+σte-rTK（y）N（d（K（y）））- 2σ√T e-rTK（y）fZ（d（K（y）））- E-rTK（y）fZ（d（K（y）））d（K（y））特别是当我们围绕ymean=EQ（y（2）T）=（r）展开时-σ） 我们的第一和第二近似值分别由以下公式给出：^p=C（ymean）+∑∑ρT DC（ymean）^p=p+Tσ（1+σρT）DC（ymean）更普遍地围绕y扩展*我们用^p（y）表示前两个近似值*) 和^p（y）*) 分别由：^p（y）给出*) = C（y）*) + DC（y）*)（B（y）*) +√TσE（1））=C（y*) + DC（y）*)（B（y）*) + Tσσρ）^p（y）*) = ^p（y）*) +DC（y）*)B（y）*) + 2TσσρB（y）*) + Tσ（1+Tσρ）4.

定价价差：数值结果我们在以下基准数值集中考虑价差期权：S（1）=100，S（2）=96，σ=0.3，σ=0.1，ρ=-0.3，r=0.03，K=1，t=1。在图1中，等式（7）给出的条件价格C（y）图显示（蓝线），以及基准参数集的平均值周围的一阶和二阶泰勒近似值。请注意，第一个近似值低估了价格。毫不奇怪，二次近似法对接近于平均值的值的估计相当准确，而对远离平均值的值的估计则不那么准确。虽然这似乎是该方法的一个缺点，但它并不构成严重问题，因为远离平均值的值并不频繁，因此通过泰勒近似计算外部期望值的误差很小。图2显示了资产1（蓝色矩形）和资产2（红色矩形）的模拟收益直方图。请注意，只有少数返回值位于间隔之外[-10奥利瓦雷斯，阿尔瓦雷斯图1。函数Cbs（y）以蓝色显示，以及围绕基准参数平均值的一阶和二阶近似值。接下来，我们将泰勒近似与蒙特卡罗模拟进行比较。表1（第2列）显示了基准参数的蒙特卡罗价格，但取ρ值的相关参数除外=-0.5, -0.3, 0.3, 0.5. 模拟次数为n=10，其中稳定性为10阶-3.达到目标。部分蒙特卡罗价格（如第3列所示）是通过直接对一维条件价格C（Y（2）T）进行采样，并取相应的支付平均值获得的。与标准蒙特卡罗方法中的两个相关布朗运动相反，它只需要模拟一个布朗运动，因此产生了更高效的模拟算法。