半鞅和随机偏微分方程的主成分分析

他的设置中的一个关键假设是二次变异矩阵的非单值性，这限制了其在具有非平凡相关性的多变量系统中的适用性，这种相关性通常存在于大型投资组合和利率模型中。值得一提的是，Ait Sahalia和Xie[5]提出了另一种可能的方法，他们通过潜在的波动过程解释了主成分分析。这种策略的主要缺点是，波动率矩阵的秩可能严格小于dim[M]T（如P建议4.1所示），从而导致对dim及其相关因素的严重低估。因此，与Pelger[42]类似，[5]引入的策略并不能完全概括地恢复最优解算中涉及的整个半鞅结构（M），因为可能存在与漂移相关的不可忽略维数（dim D）。此外，文献[5]中对简单特征值的强假设排除了应用中常见的许多有限维半鞅系统。1.2. 论文的组织。本文的其余部分结构如下。第2节给出了一些注释和初步结果。第3节说明了光谱分析是在一般的二次变异矩阵上进行的。第4节说明了投资组合管理和利率模型中有界变量的存在。第5节给出了动态空间估计的一致性结果。第6节介绍了半鞅PCA在估计随机偏微分方程的有限维不变流形问题中的应用。第7节介绍了数值结果和实际数据的应用。第8节给出了附录，其中给出了dim Q.6 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMAS2的估算值。假设和初步结果首先，让我们定义一下符号。2.1.

符号通过本文，我们将使用固定的随机基(Ohm, FT，F，P）在哪里(Ohm, FT，P）是带有样本空间的概率空间Ohm, 西格玛代数、概率测度P和执行终点时间0<T<∞. 我们为区间[0，T]配备了Borel-sigma代数Bt，并假设过滤F:={Ft；0≤ T≤ 满足通常的条件。本文中的所有代数设置将基于由所有Rd值BT×FT可测过程组成的实线性空间XD。在本文中，XD最重要的子类将是由上所有Rd值连续F-半鞅的s e t构成的子空间SDT(Ohm, 英尺，英尺，英尺）。当d=1时，我们将S:=S，X:=X。我们将L0，kT表示为k的所有Rk值和Ft可测随机变量的集合≥ 1和t∈ [0，T]。在本文中，我们采用以下约定：如果Y∈ Xd，则YIT在Rd中被解释为一列随机向量。收敛可能性将用P表示→.在本文的其余部分中，∏表示确定性分区0=t<t<…<tn=Tand k∏k:=max1≤我≤n|ti-钛-1|. 集Mp×q表示所有p×q实矩阵的空间，M+p×pi表示p×p非负对称实矩阵的子空间。希尔伯特空间之间的线性算子的范数将是标准的希尔伯特-施密特范数k·k（2）和P表示amatrix P的转置∈ Mp×q；p、 q≥ 1.如果A，B是X与A的两个线性子空间 B、 然后我们将π表示为B在当前空间B/A上的通常投影。在本文中，我们省略了变量ω∈ Ohm 当没有困惑的时候。2.2. 二次变异矩阵的分析。在这项工作中，以下括号将在我们的分析（2.1）[X，Y]t:=limk∏k中起关键作用→0Xti∈ΠXti- Xti-1.Yti- Yti-1.; 0≤ T≤ T、 有可能。定义2.1。

二次协变量{[X，Y]t；0≤ T≤ 对于给定的对（X，Y），T}存在∈ Xif极限（2.1）存在于每个分区∏的序列中，使得k∏k→ 我们说X∈ 如果[X，X]·=0A，则X具有零二次变化。当然，{[X，X]t；0≤ T≤ 对于每个（X，X），T}是一个定义良好的有界变量适应过程∈ 为了缩短符号，我们有时设置[Y]：=[Y，Y]表示Y∈ 对于给定的X=（X，…，Xd）∈ xAND（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 通过稍微滥用符号，我们写出[X]t（ω）∈ M+d×dto表示以下随机矩阵（2.2）[X]t（ω）：=[Xi，Xj]t（ω）；i、 j=1，D0≤ T≤ T、 ω∈ Ohm,只要（2.2）的右边存在。在本节剩余部分中，M=（M，…，Md）是给定的d维可测量过程。我们说∈ xD是真正的d维，如果它的分量M，在本文中，我们将假设以下假设：假设2.1。M是一个真正的d维可测量过程。假设2.2。二次变异矩阵{[M]t；0≤ T≤ T}存在，如果存在i=1，d使得P{[Mi，Mi]t>0}>0，那么我们有P{[Mi，Mi]t>0}=1。半鞅和随机偏微分方程的主成分分析2.1。显然，我们并没有因为强加假设2.1而失去普遍性。假设2.2是非常自然的，因为我们的理论依赖于对二次变异矩阵实现的研究，因此我们不需要从一个n对零的二次变异过程中得到零二次变异的实现。示例：满足假设2.2的半鞅的一个典型示例由2D Heston模型（Mi，Vi）给出；i=1，d.在[-1，1]其中，Videnotes是i=1的第i个平方根型随机波动率分量，D

然后，每个人都可以轻松地检查这一点∈ （0，T]，对于每个i=1，…，d，我们有[Mi，Mi]T=Zt | Mis | Visds>0 a.s。因此，经典Heston模型满足假设2.2。设Mt:=span{M，…，Md}是一维可测过程M，…，Mdover[0，T]为0所跨越的线性空间≤ T≤ T假设2.1每t产生dim Mt=d∈ （0，T）。现在让我们将mtt分解为两个正交子空间。首先，我们设置（2.3）Dt:={X∈ Mt；[十] t=0 a.s}。观察到DTT是MTT的一个定义良好的线性子空间∈ [0，T]。更重要的是，下面的评论是正确的。备注2.2。我们记得，任何连续的有界变差局部鞅mu st都是常数a.s。而且，对于每t∈ （0，T）{ω；[Y，Y]T（ω）=0}={ω∈ Ohm; N·（ω）=0在区间[0，t]}上，其中N是某些Y的特殊半鞅分解的局部鞅分量∈ 因此，假设2.2允许我们声明∈ SDD是一个真正的d维过程，而DTD是一个仅由[0，t]上的连续有界变差适应过程构成的子空间。定义2.2。设MTM为真正的d维可测量过程M产生的跨度∈ Xdover[0，t]。如果dim Dt>0，那么我们说mt在区间[0，t]上有一个空的二次变化分量。特别是，如果M∈ Sdand dim Dt>0，那么我们说mt在[0，t]上有一个有界变差分量。让我们举一个玩具例子，展示有界变量过程所产生的非平凡维度如何在一个非常简单的上下文中出现。例：设B为一维布朗运动，设Mt=（Bt，Bt+t）；0≤ T≤ 当然，M是一个真正的二维半鞅，其中dim Mt=2对于每个T∈ （0，T）。特别是，我们清楚地知道，每T有dim Dt=1∈ （0，T）。关于半鞅系统上有界变分的更深入讨论，请参阅第4节。

现在让我们在Mt中提供一个“二次变化维度”的自然概念。为此，让我们考虑以下商空间（2.4）fMt:=Mt/Dt；0≤ T≤ T.根据定义，FMT可由（Mt、，~) 式中，等价关系由（2.5）X给出~ Y<=> 十、-Y是区间[0，t]上的一个零二次变化过程[M]。8 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.Simash下面的简单结果将[M]的秩与Fmt的维数联系起来。引理2.1。让我∈ xD应该是一个真正的d维可测量过程，满足假设2.2。然后，秩[M]t=dimfMta。稳定部队∈ [0，T]。证据t=0的结果是显而易见的，因此我们假设0<t≤ T设pt=dimfm，设πDt:Mt→FMT是MTONTFMT的标准投影。现在，我们观察到，对于每一个P∈ Mt，πDt（P）是一组连续可测过程，每一个过程在区间[0，t]上通过连续零二次变化可测过程相互区别。然而，对于πDt（P）中的每个过程，其二次变化等于[P]t。因此，我们可以将其二次变化定义为[P]t。通过极化恒等式，我们可以定义（2.6）[πDt（P），πDt（Q）]t:=[P，Q]t对于任何P，Q∈ Mt.尤其是，这表明[N，Z]是anyN，Z的一个定义良好的随机变量∈fMt。既然span{πDt（M），…，πDt（Md）}=fMt，那么πDt（M），πDt（Md）包含向量空间fmt中的线性独立分量。因此，dimfmte等于s子集合{πDt（M），…，πDt（Md）}中线性相关的共成分的数量。现在让我们考虑k等价类的子集πDt（Mσ（1）），πDt（Mσ（k）），其中σ：{1，…，k}→ {1，…，d}是一个函数。让c，ck∈ R.在续集中，我们用-→0将null元素设置为offMt。

有了这个符号，柯西-施瓦茨不等式yieldskXi=1ciπDt（Mσ（i））=-→0<=> N∈fMt，“kXi=1ciπDt（Mσ（i）），N#t=0a.s.具体来说，kXi=1ciπDt（Mσ（i））=-→0<=> j=1，k、 “kXi=1ciπDt（Mσ（i）），πDt（Mσ（j））#t=0a.s.通过回顾{πDt（Mσ（1）），…，πDt（Mσ（k））}是线性独立的当且仅当kXi=1ciπDt（Mσ（i））=-→0=> c=···=ck=0，那么{πDt（Mσ（1）），…，πDt（Mσ（k））}是一个线性独立的集合，它等价于方程组nskXi=1cihπDt（Mσ（i）），πDt（Mσ（j）），it=0a.s，j=1，几乎可以肯定的是，只有微不足道的s解c=·K=0。换句话说，（2.7）dethπDt（Mσ（i）），πDt（Mσ（j））it；i、 j=1，K根据（2.6）、（2.7）和假设2.2，我们将得出证明。半鞅和随机PDE的主成分分析9总结本节的结果，我们得出以下直接和（2.8）Mt=Wt⊕ Dt；0≤ T≤ T、 其中{Wt；0≤ T≤ T}是唯一的（直到同构）互补线性子空间族，它实现了（2.8）。我们应该注意到，WT是由[0，t]上X中的空过程和[V，V]t>0a.s.中的元素V构成的。当然，WT对于每个t都是同构的∈ [0，T]。为了缩短符号，在本文的剩余部分中，我们编写了M:=MT，W:=WT，fM:=fmand:=DT。3.随机方向和主成分让我们从一些关于半鞅M=（M，…，Md）的高维向量降维的启发开始∈ 我们怀疑在二次变异的意义上可能有一些冗余。也许有某种方法可以结合M，在几个聚合半鞅中求二次变量。特别是，我们将看到krandom变量vt=（vt。

，vdt）∈ L0，dt使得（3.1）St:=dXj=1vjtmjtha是[0，t]上可能的最大瞬时二次变化，其中（3.1）中的vt=（vt，…，vdt）被解释为时间t的随机系数∈ [0，T]不仅仅是一个过程。换句话说，我们看到了形式（3.1）的随机线性组合，使得dxi，j=1vitvjt[Mi，Mj]几乎肯定是L0的子集上的最大可能值，对于给定对象，dT为欧几里德范数1∈ [0，T]。实际上，我们通过将vt视为[0，t]上的一个随机常数来计算线性组合S在时间t的质量变量，该常数yieldsdXi，j=1vitvjt[Mi，Mj]t=[S，S]t。随机系数vt=argmaxwt∈L0，dt，kwtkRd=1“dXi=1witMi，dXi=1witMi#10编码组合M，…，mdma的方式，以最大化时间t的瞬时二次变化∈[0，T]。新变量——领先的主成分——isPdi=1’vitMit。我们将继续这一策略，寻找一个可能的低维两两正交聚合变量序列，它可以解释每个时间t的大部分四次变量∈ [0，T]。为了说明的简单性，我们假设一个人观察到了满足假设2.1和2.2的给定真二维连续时间半鞅的所有轨迹。现在让我们以与经典PCA中协方差矩阵的解释类似的方式来解释二次变异矩阵的特征值和特征向量。在续集中，我们介绍了对随机线性组合的二次变化进行编码的括号，如本节开头10 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMAS（3.2）hX所述tY it:=dXi，j=1XitXjt[Yi，Yj]t；Xt∈ L0，dt，Y∈ SDX安装在支架hX上泰，P氚的自然定义是极化。

（3.2）中的括号表示X的二次变化在时间t∈ [0，T]其中，在（3.2）的计算中，XT被视为[0，T]上的一个随机常数。这与实践中发生的情况完全一致，因为在一段时间内∈ [0，T]，观察[0，T]上半鞅M的高频数据，必须确定是否存在MTM元素的线性组合，这总结了二次变分[M]T引理3.1。让我∈ Sdbe是一个满足假设2.2的真正d维半鞅。让我们考虑特征值λt（ω）的向量，λdt（ω）（以λt（ω）的方式排列）≥ λt（ω）≥ . . . ≥矩阵[M]t（ω）的λdt（ω））对于每个（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。然后，对于每个i，{λit；0≤ T≤ T}是一个自适应的有界变差过程。证据根据定义，任何特征值λt（ω）都是特征多项式p（λ）=det（λI）的根-[M] 随机矩阵[M]t（ω）的t（ω））。该多项式的阶数为d，其系数取决于[M]t（ω）的项，但其d阶项始终为(-1） dλd。这允许我们得出结论，有序特征值是F自适应的。特别是，通过经典的Weyl扰动定理，我们知道存在一个确定性常数C，使得maxj |λjt（ω）-λjs（ω）|≤ Ck[M]t（ω）-[M] s（ω）k∞; （ω，t）∈ Ohm ×[0，T]其中k·k∞表示入口方向∞-对称矩阵的范数。通过写k[M]t- [M] sk∞=max1≤J≤dPdi=1 |[Mi，Mj]t（ω）- [Mi，Mj]s（ω）|，我们清楚地看到t7→ λjt（ω）对几乎所有ω都有有界变化∈ Ohm. 我们现在可以用下面的结果来总结我们的讨论。提议3.1。设M是满足假设2.1和2.2的半鞅。作为赠品∈ [0，T]，设（λT，…，λdt）是[M]T的特征值列表（按降序排列），设（vt，…，vdt）是一组相关的特征向量。

然后，对于每一个t∈ [0，T]h（vt）Mit=maxXt∈L0，dt，kXtkRd=1hXtMit=λta。sh（vkt）Mit=maxXt∈Vkt，kXtkRd=1hXtMit=λkta。sk=2，dwhere Vkt:=span{vt，…，vk的正交补-1t}在RDK=2时，d、 此外，ift 7→ [M]这是一个一般光滑的cu r ve a.s，并且dimfMt=p在时间间隔（0，T）上是a.s常数，那么T在[0，T]上存在一个自适应特征向量过程（v，…，vd）的选择，例如T hatSit:=（vit）Mt；0≤ T≤ T、 是每个i的半鞅∈ {1，…，p}。对于定义在t邻域中的连续实值函数f，所有整数p的上确界决定了f（t）=（t- t） 对于连续函数g，pg（t）在Tf附近。我们说两个函数f和h满足阶数≥ p在twhen mt（f- h）≥ p、 设A（t）；0≤ T≤ 它不是一个参数化的伴随矩阵族。我们说曲线t7→ 如果连续参数化特征值中没有两个在任何t处满足有限阶，则A（t）是通用的∈ [0，T]如果它们对所有T都不相等，我们请读者参考Rutter[45]和Alekseevsky、Kriegl、Losik和Michor[6]了解更多细节。半鞅的主成分分析和随机PDE证明。修正一个实现ω∈ Ohm 和t∈ [0，T]。设A=（aij）是一个d×d矩阵，其条目由aij=[Mi，Mj]t（ω）给出；i、 j=1，d、 根据假设2.1和2.2，A是一个非负定义矩阵。现在，让我们开始吧∈ L0，dt，设z=（z，…，zd）∈ Rdbe由zi=vit（ω）给出。那么，hz，AziRd=hvtMit。现在，特征值的变分特征来自于Rn上的标准二次型参数（ω，t）∈ Ohm×[0，T]。对于第二部分，如果t7→ [M]t（ω）是C∞然后从理论7。6在Alekseevsky等人[6]中，任何人都可以为相关特征向量v（ω），有界变差路径的vd（ω）。

通过高斯消去法和引理3.1，我们可以很容易地看到，我们可以这样选择它，（v，…，vd）是一个d维适应过程。通常的随机积分的分部积分允许我们声明S=（S，…，Sp）是一个半鞅。与基于协方差矩阵的经典PCA方法类似，命题3.1基于二次变量而非协方差得出一个维度缩减，如下所示。设M是一个满足假设2.2的真维半鞅，并假设一个人对给定的（ω，t）观测[M]t（ω）∈ Ohm×（0，T）.综合上述结果，我们将降维如下（3.3）Sit=dXj=1vijtMjt；i=1，dimfMt，0<t≤ T.在这一点上，有必要对（3.3）进行一些评论。首先是命题3中的假设。1.dimfMt=p在（0，T）上是常数，在实践中发现的典型情况下成立。注3.1.为了得到半鞅主成分，假设T 7→ [M] 这是不可避免的。例如，参见Alekseevsky等人[6]中的示例7.7。然而，我们应该注意到，如果两个特征值在时间t的某个特定顺序上相遇，那么此时的所有导数都必须重合。根据定义，λt≥ λt≥ . . . ≥ λdt≥ 每t得0 a.s∈ [0，T]这意味着Sip表示{S，…，Sp}之间的第i个最大二次变化。人们应该注意到，主成分在感官上是正交的，[M]tvjtiRd=h（vit）M、 （vjt）麻省理工学院=0 a.s；0≤ T≤ T、 i 6=jsi·=（vi·）M·，Sj·=（vj·）M·对于i6=j。此外，第i个本征向量必须被解释为在时间t的Rdat中的随机方向，它最大化了Pdj=1ajMj，Pdj=1ajMjitovera∈ 维生素T；kakRd=1。备注3.2。我们强调[Si，Si]t6=h（vi）tMit=dXl,m=1viltvimt[Ml, Mm]t；0≤ T≤ T、 i=1，dwhere Sir=Pdj=1vijrMjr；0≤ R≤ t、 一,≤ 我≤ D