半鞅和随机偏微分方程的主成分分析

西。g[38]和其中的其他参考文献。特别地，在假设（A1-A2）下，观测值的（`n×`n）-矩阵Xti（xj）允许半鞅和随机PDE 25（6.12）Xti（xj）=φti（xj）+dXk=1Zktiλk（xj）+εti（xj）的主成分分析，对于i=1，n和j=1，N.在本节中，我们假设观察者知道φ，并且稍微滥用了符号，我们用X表示差异X-φ. 在矩阵表示法中，weshall writeX=Z∧+ E、 Xi=∧Zi+Ei；1.≤ 我≤ 其中∧：={λj（xi）；1≤ 我≤\'N，1≤ J≤ d} ，X:={Xti（xj）；1≤ 我≤ \'n，1≤ J≤\'N}，Z:={Zjti；1≤ 我≤\'n，1≤ J≤ d} a和E:={εti（xj）；1≤ 我≤ \'n，1≤ J≤\'N}.6.3。估计潜在维度。显然，第一步是估计有限维实现的潜在维度。但这几乎是BAI和Ng的直接应用[8]。实际上，我们感兴趣的是解决以下优化问题（对于largen，N）min∧k，Y（k）ρ（N）δ（N）`nXi=1`NXj=1Xti（xj）- hgk（xj），Yti（k）iRk,其中最小值取列为∧k=（g，…，gk）的实矩阵集∈ M′N×k；Y（k）=（Y（1），Y（k））∈ M′n×k，受δ（n）∧约束k∧k=Ikorρ（n）Y（k） Y（k）=Ik（单位为Mk×k的单位矩阵）。这里gi:=（gi（x），gi（x\'N））和Y（i）：=（Y（i），Yt\'n（一））一个人≤ 我≤ k、 索引k对估计过程中k因子的分配进行编码。备注6.5。为了避免维数灾难问题，我们假设k<min{n，\'n}和n，n→ ∞ 共同的。因子估计器定义如下。让^Y（k）∈ M′n×kbe由^Yti，j（k）定义的随机矩阵：=ρ（n）-1/2yjti；1.≤ J≤ k、 一,≤ 我≤ \'n其第j列yj:=（yjt，…，yjt\'n）∈ M’n×1是与XX的第j大特征值相关联的特征向量∈ M\'n×\'n受ρ（n）^Y影响（k） ^Y（k）=Ik。

荷载系数估值器由∧k:=ρ（n）X给出^Y（k）在续集中，我们表示v（k，^Y（k））：=min∧kρ（n）δ（n）\'nXi=1\'NXj=1Xti（xj）- hgk（xj），^Yti（k）iRk.V的基本维数的估计过程是由Bai和Ng[8]引起的。他们提出了一个形式为（6.13）pc（k）：=V（k，^Y（k））+kq（n，n）的信息集，用于合适的惩罚函数q（n，n）。可以证明，即使在高频设置中，只要以下假设成立，根据[8]中包含的想法仍然可以进行dim V的估计。Bai、Ng[8]和Bai[9]提出了以下假设，但前提是在离散时间采样的连续时间设置中。为了完整起见，我们把它们列在这里。在续集中，HQI是q-可积连续B-罗年半鞅的空间。（D1）Zj∈ H对于每个j=1，d和26 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMASρ（n）`nXi=1ZtiZ钛→ ∑Z：=hZi，ZjiL（[0，T]；R）1.≤i、 j≤作为n的可能性→ ∞ 和∑Zis a d×d正有限矩阵a.s（D2）supj≥1kλ（xj）kRd<∞ 和δ（N）`NXj=1λ（xj）λ（xj）-Zbaλ（x） λ（x）dx(2)→ 0asδ（N）→ 0 . 此外，∑λ：=Rbaλ（x） λ（x）dx是一个d×d-正有限矩阵。（D3）误差过程ε满足假设：oEεti（xj）=0，E supi，j|εti（xj）|<∞o 如果γN（ti，tj）：=Ehεti，εtjiR′Nδ（N），那么supiγN（ti，ti）<∞ 和ρ（n）P′ni，j=1 |γn（ti，tj）|在n，n中有界≥1δ（N）P′Nl,m=1supi | Eεti（xm）εti（xl)| < ∞.o 苏普恩≥1δ（N）ρ（N）P′ni，j=1P′Nl,m | Eεti（xl)εtj（xm）|<∞.o Eδ1/2（N）P′Nl=1[εti（xl)εtj（x）l) - Eεti（x）l)εtj（x）l)].o err或ε和因子Z是相互独立的。（D4）支持，支持pρ（n）δ（n）\'nXi=1\'NXj=1Ztiεti（xj）εts（xj）- E[εti（xj）εts（xj）Rd<∞再见pρ（n）δ（n）\'nXi=1\'NXj=1Ztiλ（xj）εti（xj）(2)< ∞备注6.6。假设秩∑Z=das不强。

实际上，由于∑zi是一个Gramian矩阵，那么如果Z不满足（D1），那么我们将在不丢失信息的情况下减少有效维数。更重要的是，我们强调，（D1）意味着因子满足假设2.1，但它并不意味着[Z]是满秩a.s.∑λ是正定义矩阵的事实相当于{λ，…λd}与配备有L（[a，b]；R）-内积的状态空间E线性无关的事实。与通常的因子分析（参见[8,9]）不同，我们强调∑Zis是随机的。在这种情况下，在q（n，n），（6.14）^d:=argmin1的一些温和生长条件下≤K≤kmaxP C（k）将是dim V的一个一致估计，其中kmax是一个任意整数，如that d≤ kmax。这一陈述的证据将受到白和吴[8]以及白[9]给出的论点的启发。一方面，与[8]和[9]相比，我们的渐近矩阵∑Zis random和采样应该是高频的。另一方面，假设D1允许我们在不产生显著额外影响的情况下证明类似的结果。为了完整性，我们在这里给出了详细信息。在续集中，我们注意到CNN:=min{δ（N）-1/2，ρ（n）-1/2}由于我们使用函数f的子空间∈ 使得f（a）=0，那么h·，·iLis确实是E上的内积。半鞅和随机PDE 27γN（t）的主成分分析l, ti）：=δ（N）Ehεtl, εtiiRNθN（tl, ti）：=δ（N）hεtl, εtiiRN- γN（t）l, ti）ξN（t）l, ti）：=Zti∧εtlδ（N）；ηN（t）l, ti）：=ZTlΛεtiδ（N）为1≤ 我l ≤ “n.引理6.2。如果s区（D1-D2-D3-D4）保持不变，则（A）ρ（n）P¨nl=1^Ytl（d） γN（t）l, ti）=OP（ρ（n）-1/2CnN）（b）ρ（n）P′nl=1^Ytl（d） θN（t）l, ti）=OP（δ（N）-1/2CnN）（c）ρ（n）P′nl=1^Ytl（d） ξN（t）l, ti）=OP（δ（N）1/2）（d）ρ（N）P\'-Nl=1^Ytl（d） ηN（t）l, ti）=OP（δ（N）-1/2CnN）。证据设Ln，Nbe为ρ（n）δ（n）XX特征值的对角矩阵按递减顺序排列。

从（D1-D2-D3-D4）可以很容易地检查kρ（n）δ（n）XXk（2）=OP（1）和亨切克伦，Nk（2）=OP（1）。在这种情况下，在[9]中引理A1的证明中，同样的ar gument g允许我们陈述（6.15）CnNρ（n）`nXi=1k^Yti（d）- HdZtikRd= OP（1），其中Hd:=δ（N）∧λZ^Y（d）ρ（n）L-1n，N∈ Md×d.假设（D1-D2-D3-D4）和（6.15）允许我们重复[9]中引理A2的证明中给出的相同论点，从而得出结论，该陈述成立。我们省略了细节。Bai和Ng[8]在引理A3中（在离散时间模型和确定性∑Z的c上下文中）阐明了下一个结果，但没有完整的证明。为了完整起见，我们在上下文中给出了细节。引理6.3。设Ln，Nbe为ρ（n）δ（n）XX特征值的对角矩阵按降序排列。如果假设（D1-D2-D3-D4）成立→ C:=diag（C，…，cd）作为n，n→ ∞, 其中（c，…，cd）是∑∧∑Z的特征值（降序）。我们密切关注[9]中命题1的证明中包含的观点。根据定义，ρ（n）δ（n）XX^Y（d）=^Y（d）Ln，Na。因此δ（N）∧Λ1/2ρ（n）Zρ（n）δ（n）XX^Y（d）=δ（N）∧∧1/2ρ（n）Z^Y（d）从恒等式X=Z∧+ E、 实际上我们有δ（N）∧Λ1/2ρ（n）ZZδ（N）∧ΛZ^Y（d）ρ（n）+ snN=δ（N）∧∧1/2(6.16)·ρ（n）Z^Y（d）N，N，N:=δ（N）∧Λ1/2ρ（n）ZZρ（n）δ（n）∧E^Y（d）+ρ（n）δ（n）ZE∧Z^Y（d）ρ（n）（6.17）28 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMAS+ρ（n）δ（n）ZEE由于引理6.2，^Y（d）ρ（n）]=oP（1）。让联合国：=δ（N）∧Λ1/2ρ（n）ZZδ（N）∧Λ1/2andEn，N:=δ（N）∧∧1/2ρ（n）Z^Y（d）.我们将（6.16）写成如下[Un，N+sn，NEn，NE+N，N]En，N=En，NLn，nw这里E+N，Nis是En，N的伪逆。然后，En，Nis的每一列都是Nn，N+sn，NEn，NE+N，N的特征向量。因为En，NE+N，N=OP（1），然后（6.17）和假设（D1，D2）yieldkUn，N+sn，NEn，NE+N，N，N- ∑1/2λ∑Z∑1/2λk（2）p→ 0as n，n→ ∞.

通过特征值的连续性，我们得到了kLn，N- Ck（2）p→ 0表示n，n→ ∞.由于∑1/2λ∑Z∑1/2λ和∑∑∑Z具有相同的随机特征值，我们总结了证明。引理6.4。假设假设假设（D1-D2-D3-D4）成立，∑λ∑Z的特征值∈ 几乎可以肯定。然后，对于每j=1，d、 存在一个随机向量（G1j，…，Gdj），使得‘nXl=1pρ（n）ytl铁岭组l, . . . ,\'-nXl=1pρ（n）y^dtl铁岭组l!P→G1j，Gdj作为n，n→ ∞. 此外，矩阵G:=（Gij）1≤i、 j≤不可逆a.s，由G=C1/2Φ给出Σ-1/2λ和Φ是与受Φ约束的C相关的特征向量矩阵Φ=艾达。s、 证据。利用引理6.3，即使在∑Zis随机的情况下，也证明了Bai[9]中命题1的正确性。我们建议读者参考[9]第162页中的讨论。我们现在可以给出以下结果。引理6.5。让我们假设假设（D1，D2，D3，D4）成立，让^d=arg min1≤K≤Kmac（k）。假设∑∧∑Z的特征值∈ 几乎可以肯定。然后，林恩→∞P[^d=d]=1如果（i）q（N，N）→ 0和（ii）CnNq（N，T）→ ∞ 作为n，n→ ∞ 其中CnN=min{δ（N）-1/2，ρ（n）-1/2}.证据Bai和Ng[8]中orem 1的证明中给出的相同论点适用于我们的上下文。特别是，Bai和Ng[8]中的引理2、3和4可以在我们的上下文中通过假设（D1、D2、D3、D4）和∑∑∑Zha是不同的特征值a.s这一事实得到类似的证明。特别是，∑Zis不确定性这一事实对于[8]在我们的上下文中给出的引理2、3和4的类似结果的有效性不是必不可少的，只要秩∑Z=d a.s（假设D1）。特别是对于k<d，让我们定义Jk:=^Y（k） Zρ（n）∧λδ（N）∈ 在我们的上下文中，[8]中的引理3可以写成如下：存在τk>0a.s，使得lim infn，N→∞V（k，ZJk）- V（d，Z）=tr（Rk.∑λ）=：τkin概率，其中Rk:=∑Z- ∑ZHk（H）k∑ZHk）-1小时k∑Zand Hk:=limn，N→∞根据EMMA 6.4的规定。

按结构等级Hk=k<d a.s.假设（D1-D2）通过写入P C（k）产生tr（Rk.∑λ）>0 a.s-pc（d）=V（k，^Y（k））- V（d，^Y（d））- （d）-k） q（n，n）和分裂v（k，^Y（k））- V（d，^Y（d））=[V（k，^Y（k））- V（k，ZJk）]+[V（k，ZJk）- 半鞅与随机PDE 29+[V（d，ZJd）]的主成分分析- V（d，^Y（d））]，我们将在[8]中证明Th 1的过程中使用相同的论点来得出结论→∞P{pc（k）<pc（d）}=0，对于每个k<d。如果kmax≥ K≥ d、 然后类似于[8]中的引理4，假设（D1，D2，D3，D4）和∑∧∑Z的特征值∈ Md×yieldV（k，^Y（k））- V（d，^Y（d））=OP（C）-2nN）。其余的证明与[8]中Th 1的证明相同，因此我们省略了细节。6.4. 主要结果。现在让我们介绍一下本节的主要结果。以下假设列表也将在本节中生效。（Q1）∑∧∑Z的特征值∈ 我敢肯定。（Q2）我们有一个假设ρ（n）X1≤l<s≤“n|ykt”lykts |对于每k的概率是有界的∈ {1，…，d}。（Q3）ρ（n）X1≤l<s≤“nyktlyktshεtl, λriRNδ（N）hεts，λjiRNδ（N）p→ 0as n，n→ ∞ 对于each k，r，j∈ {1，…，d}。（Q4）存在一个自然数序列{γ（n）；n≥ 1} 衰变为零，使得e `nXi=1kεtikRNδ（N）=O（γ（N））。（Q5）sup0≤T≤TkεtkEis bo unded in probability and for each i∈ {1，…，d}，ρ（n）X1≤l<s≤“是的lyits | kεtlkEkεtskEp→ 0as n→ ∞.备注6.7。假设（Q1）对我们的估计过程至关重要，因为它会产生一个渐近Y∈ xD和V的随机基，这将允许我们为分裂V=Q构造一对一致的估计量（^Q，^N）⊕ 不变流形V的N。技术条件（Q2、Q3、Q5）并不强，因为它们对X的特征向量施加了非常温和的增长条件十、

对于随机偏微分方程生成的时空数据中产生的误差结构，假设（Q4）是很自然的。例如，就HJM模型的一致性问题（见第4.2节）而言，假设（Q4）意味着用于插值产生X的点的初始拟合方法不会导致市场的三次波动。换句话说，（Q4）排除了纯鞅结构。30 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.Simash（Q，N）估计的起点是利用恒等式（6.8）和（6.9），基于由符号Y构造的二次变异矩阵[Y]t∈ XD满足假设2.1和2.2。我们定义这样的过程如下：设Z为（6.1）满足假设（A2）和（D1-D2-D3-D4-Q1）的因子表示，设G为引理6.4中定义的关联矩阵。由于G是非奇异的a.s，∑λ是正定义，那么随机矩阵matrixA=C-1G∑λ=（Aij）1≤i、 j≤D∈ Md×dgiven by（6.18）Aij=dXk=1c-1igkzbaλk（x）λj（x）dx；1.≤ i、 j≤ d、 是非单数a。s、 然后我们将使用备注6.3来说明AZ∈ XD是一个真正的d维过程，它是一个实现（6.4）基础（加载因子）（a）的因子测量过程-1)λ.根据备注6.4，AZ满足假设2.1和2.2。在续集中，对于（6.1）的给定因子表示Z，满足假设（A2）和引理6.4中的假设，我们设置Y=AZ。Letc[Y]T:=（^m）lk） 一,≤l,K≤^和[Y]T:=（m）lk） 一,≤l,K≤d分别由（6.19）^m给出的矩阵lk:=n-1Xi=1^Yti+1，l（^d）-^Yti，l（^d）^Yti+1，k（^d）-^Yti，k（^d）,一个人≤ l, K≤^d和msv:=[Ys，Yv]T；1.≤ s、 五≤ d、 我们强调∈ XD具有定义2.1意义上的质量变化矩阵。提议6.2。如果假设（D1、D2、D3、D4）和（Q1、Q2、Q3、Q4）成立，则kc[Y]T- [Y]Tk（2）p→ 0as n，n→ ∞.证据

首先，通过将n，n取得足够大，假设（D1，D2，D3，D4，Q1）允许我们使用引理6.5，我们假设^d=d，因为^d是一个整数值一致性估计量。在这个问题中，如果P是一个实值过程，那么我们写提示：=Pti+1- Pti；1.≤ 我≤ N- 1.通过使用^Y（d）的定义，我们实际上可以写出^Yti（d）=HdZti+L-1nNρ（n）`nXl=1^Ytl（d）γN（t）l, ti）+θN（t）l, ti）+ξN（t）l, ti）+ηN（t）l, （ti）=: HdZti+^Rti（n，n），其中Hd:=L-1nN^Y（d） Zρ（n）∧λδ（N）和lni是ρ（N）δ（N）XX特征值的对角矩阵按降序排列（见引理6.3））。为了缩短符号，我们设置^Wti:=HDztianad~nN（tl, ti）：=γN（tl, ti）+θN（t）l, ti）+ξN（t）l, ti）+ηN（t）l, ti）1分钟≤ 我l ≤ ’n.在续集中，l = 1.d我们表示OP；（r），l)（ξn）任何概率为O（ξn）的随机变量，C是一个常数，它可以从一行到另一行变化，让我们表示由W:=（^wsq）给出的d×d矩阵，其中^wsq:=\'n-1Xi=1^Wti（s）^Wti（q）对于s，q=1，d、 我们声称，半鞅和随机PDE 31（6.20）dXm的主成分分析=1′n-1Xi=1^Rmti（n，n）P→ 0和（6.21）vec（~W）p→ 向量（[Y]T）作为n，n→ ∞, re-vec是常用的矢量化算子。设LnN=diag（γ，…，γ′n）。首先d） ij=pρ（n）δ（n）dXk=1\'-nXl=1γ-1是的lZktlNXm=1λk（xm）λj（xm）; 1.≤ i、 j≤ d、 通过引理6.3，我们知道Ln，Np→ 将（c，…，cd）诊断为n，n→ ∞, 其中（c，…，cd）是∑∧∑Z的奇异值。引理6.4产生^wsq=dXj=1dXr=1（Hd） qj（H）d） 高级-1Xi=1ZjtiZrtip→dXj=1dXr=1dXk=1dXm=1hλk，λjiL（[a，b]；R）c-1qGqkhλm，λriL（[a，b]；R）c-1sGsm[Zj，Zr]T=[Ys，Yq]T；1.≤ s、 q≤ d、 作为n，n→ ∞. 这表明（6.21）成立。不用担心^Yti，l（d）^Yti，k（d）=^Wti（k）^Wti(l) + ^Wti（k）^Rlti（n，n）（6.22+^Rkti（n，n）^Wti(l) + ^Rkti（n，n）^Rlti（n，n）；1.≤ Kl ≤ d、 我们只需要检查（6.20）就可以得出证据。

设^Sti（n，n）：=Ln，n^Rti（n，n）∈ Md×1。根据引理6.3，我们知道kL-1n，Nk（2）=OP（1），所以我们只需要检查（6.23）dXm=1’n-1Xi=1^Smti（n，n）P→ 0表示n，n→ ∞.首先，每k∈ 我们将写下-1Xi=1^Skti（n，n）= ρ（n）`n-1Xi=1英寸l=1 | yktl|(i~nN（t）l, ti））+2ρ（n）`n-1Xi=1X1≤l<s≤“nyktli~nN（t）l, ti）yktsi~nN（ts，ti）=:T（N，N）+T（N，N）（6.24），其中i~nN（t）l, ti）：=аN（t）l, （ti）-~nN（t）l, 钛-1); 1.≤ 我≤ \'n-1, 1 ≤ l ≤ ’n.我们把论点分为两个步骤。T（n，n）的分析。证明32 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMASρ（n）n-1Xi=1英寸l=1 | yktl|h(iγN（t）l, ti+(iθN（tl, ti+(ξN（t）l, ti+(iηN（t）l, ti）i=每k的OP（ρ（n））∈ {1，…，d}。在fa-ct中，Cauchy-Schwartz不等式的一个简单应用和l=1 | yktl|= 1得出以下估计值（6.25）ρ（n）`n-1Xi=1英寸l=1 | yktl|(iγN（t）l, ti））≤ ρ（n）E’NXm=1sups |εts（xm）|δ（n）’n-1Xi=1\'-NXk=1|εti（xk）|δ（N），ρ（N）`N-1Xi=1英寸l=1 | yktl|(iθN（t）l, ti））≤ 2ρ（n）`n-1Xi=1英寸l=1 | yktl|(iγN（t）l, ti）！1/2×ρ（n）`n-1Xi=1英寸l=1 |δ（N）εTlεtiyktl|!1/2+ρ（n）`n-1Xi=1英寸l=1 | yktl|(iγN（t）l, ti）+（δ（N）εTlεti）,（6.26）（6.27）ρ（n）`n-1Xi=1英寸l=1 | yktl|(iξN（t）l, ti））≤ Cρ（n）suptkεtkR′nδ（n）dXr=1′n-1Xi=1|Zrti | kλrkR′Nδ（N）（6.28）ρ（N）’N-1Xi=1英寸l=1 | yktl|(iηN（t）l, ti））≤ Cρ（n）`n-1Xi=1kεtikR\'Nδ（N）dXr=1supt | Zrt | kλrkR\'Nδ（N）估计值（6.25）、（6.26）、（6.27）和（6.28）允许我们得出结论，T（N，N）=OP（ρ（N））。T（n，n）的分析。交叉项的估计更为复杂。让我们根据条件来拆分T（n，n）iγN（t）l, ti），iθN（t）l, ti），iξN（t）l, ti）和iηN（t）l, ti）如下所示。简而言之，在后半部分中，我们表示J（k，n）=ρ（n）P1≤l<s≤“n|ykt”lykts |。

Cauchy-Schwartz不等式和常规代数运算产生以下e估计ρ（n）`n-1Xi=1X1≤l<s≤“n|ykt”liγN（t）l, ti）yktsiξN（ts，ti）|≤ CJ（k，n）suptkεtkR′Nδ（N）1/2“（E s uptkεtkR’Nδ（N））’N-1Xi=1pXr=1|Zrti | kλrkR\'Nδ（N）#1/2“\'N-1Xi=1EkεtikR\'Nδ（N）#1/2，ρ（N）\'N-1Xi=1X1≤l<s≤“n|ykt”liξN（t）l, ti）yktsiηN（ts，ti）|≤ CJ（k，n）pXr，q=1OP；（r，q）（1）×n-1Xi=1kεtikR\'Nδ（N）#1/2，ρ（N）\'N-1Xi=1X1≤l<s≤“n|ykt”liθN（t）l, ti）yktsiξN（ts，ti）|≤ CJ（k，n）pXr=1OP；半鞅和随机PDE 33×’n的r（1）suptkεkR’n主成分分析-1Xi=1|Zrti|n-1Xi=1kεtikR′Nδ（N）！1/2.我们还将写出ρ（n）`n-1Xi=1X1≤l<s≤“nyktliθN（t）l, ti）yktsiξN（ts，ti）=pXr，j=1OP；（r，j）（1）ρ（n）X1≤l<s≤“nyktlykts×hεtl, λriR′Nδ（N）hεts，λjiR′Nδ（N）和ρ（N）’N-1Xi=1X1≤l<s≤“n|ykt”liγN（t）l, ti）yktsiγN（ts，ti）|≤ J（k，n）OP（1）－n-1Xi=1EkεtikR\'Nδ（N），ρ（N）\'N-1Xi=1X1≤l<s≤“n|ykt”liγN（t）l, ti）yktsiηN（ts，ti）|≤ CJ（k，n）–n-1Xi=1kεtikR′Nδ（N）！1/2，ρ（n）`n-1Xi=1X1≤l<s≤“n|ykt”liηN（t）l, ti）yktsiηN（ts，ti）|≤ CJ（k，n）pXq，r=1OP；（q，r）’n-1Xi=1kεtikR′Nδ（N）！。T（n，n）中的余项是一个对数项。综上所述，我们得出结论T（n，n）→ 概率为0的n，n→ ∞. 根据恒等式（6.22）、（6.23）、（6.24）和（6.20），我们得出结论。下一步是分析如下定义的荷载系数估值器的收敛性。让∧:= ρ（n）^Y（^d）X∈ M^d×Nand^^i（x）：=pρ（n）\'nXk=1yitkXtk（x），ξk（x）：=（（A）-1)λ（x））k对于a≤ 十、≤ b、 一,≤ 我≤^d，1≤ K≤ d、 自从∈ Md×dis非奇异a.s，则{ξ（ω，·），…，ξd（ω，·）}是几乎所有ω的V的基础∈ Ohm. 更重要的是，rt=φt+dXk=1Yktξk；0≤ T≤ T.其中Y=AZ∈ 除息的。提议6.3。如果假设（D1、D2、D3、D4、Q1、Q5）成立，则^dXj=1k^j- ξjkEp→ 0as n，n→ ∞.34阿尔贝托·奥哈希和亚历山大·B·西马斯普洛夫。让我们来看看∈ {1，…，d}。由于^d是d的整数值d一致估计量，那么我们应该假设^d=d。