半鞅和随机偏微分方程的主成分分析

[8]第201页给出了（6.13）中用于估计因子数量的惩罚函数。这些惩罚函数中的任何一个都会产生相同的结果来估计潜在的维度。（6.14）给出的统计数据估计了该数据的七个因素。为了估计二次变分空间Q的维数，我们使用了[39]中引入的傅里叶型估计。在附录8.1命题的假设下，我们取=n-在估算程序的推论8.1中。估算结果表明dimbq=6，因此dimbD=1。图7和图8给出了估计因子的时间序列（bY，bZ），其中表示基于方差的因子估计器，bZ由（6.29）给出。图8和e估计dimbD=1强烈表明数据中存在非平凡的漂移动力学。尤其是，由于观测误差或微观结构的影响，方差最小的估计因子无法识别偏差，同时也无法估计存在微小误差的有界变化电流。44 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.Simasi为了将我们的方法与标准因子模型进行比较，我们还进行了两种不同版本的主成分分析。在表4中，ηi=Pij=1^θj/Pr=1^θr，1≤ 我≤ 7和^θi是与PCA半鞅估计的主成分^Zigiven（6.29）相关的第i个估计特征值。在表5中，^λk:=Pkj=1^mjj/Pj=1^mjj，其中^mjj是矩阵[Y]T的（j，j）-元素（见（6.19））。第一个PCA的EMI鞅分量解释了总变量的50%，而只有第三个经典因子r接近数据中二次变量的一半。图9代表了整个样本周期内估计的流形^V相对于^V的动态距离（7.2）-k=5，10，15。200

随着后向滞后的增加，距离也会增加，但我们观察到随着时间的推移会出现一些稳定期。0 100 300 500-2.-1 0 1 2 Y^1和Z^1tY^1的时间序列，Z^1Y^1Z^10 100 300 500-3.-2.-1 0 1 2 Y^2和Z^2 Y^2的时间序列，Z^20 100 300 500-2.-1 0 1 2 Y^3和Z^3tY^3的时间序列，Z^3Y^3Z^30 100 300 500-2.-1 0 1 2 Y^4和Z^4tY^4的时间序列，Z^4Y^4Z^4图7。估计因子的时间序列半鞅和随机PDE的主成分分析450 100 300 500-3.-2.-1 0 1 2 Y^5和Z^5tY^5，Z^5Y^5Z^50 100 300 500的时间序列-3.-2.-1 0 1 2 Y^6和Z^6tY^6的时间序列，Z^6Y^6Z^60 100 200 300 400 500 6000.90 0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 Y^7和Z^7tY^7的时间序列，Z^7Y^7Z^7图8。估计因子的时间序列表4。主成分解释的二次变化：PCA半鞅ηηηηηηηηηηηη0.5010.7152 0.8548 0.9471 0.9925 0.9999 1.0000表5。由主成分解释的二次变量：基于变量的事实r模型^λ^λ^λ^λ^λ^λ^λ0.1161 0.4553 0.4911 0.6198 0.8927 0.9996 1.000046 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMAS0 50 100 150 2000.1 0.2 0.3 0.4歧管向后滞后距离图9。英国名义每日现货曲线的动态距离（7.2）。附录：估算尺寸在这一节中，我们给出了估算p=dim Q的具体替代方案，这是定理6.1中的一个重要组成部分。从（6.5）中，我们注意到，如果随机P DE允许有限维实现，那么有限秩线性算子qt的矩阵由[Z]Twheneverrt=φt+dXj=1Zjtλj给出；0≤ T≤ T、 对于生成有限维重化的有限维子空间的每个基{λ，…，λd}。严格地说，我们不能通过因子的高频采样直接估计暗Q，因为它们并没有被观察到。

在这种情况下，必须对受噪声影响的观察曲线进行高频采样。这一行动为这一点提供了一个可行的评估程序。我们选择使用Malliavin和Mancino[39]提出的Fourier型估计器，但我们强调，也可以使用其他四次变异估计器。该策略旨在确定剩余过程的最低要求，以便通过观测电流过程xt（x）=rt（x）+εt（x）估计随机算子qt；0≤ T≤ T、 a≤ 十、≤ b、 如果ε在二次变化意义上可以忽略，那么核qt（u，v）的估计方法完全基于综合波动率的任何合理的非参数估计。我们假设X是一个定义良好的半鞅随机场。在续集中，我们假设[0，T]=[0，2π]，但不失一般性。设∏={tni；i=0，\'n}为观测的瞬时时间，ρ（n）=max0≤H≤\'n-1 | tnh+1-tnh |。在这种情况下，我们假设ρ（n）→ 0作为n→ ∞ 所以我们可以对x7的曲线进行采样→ Xt（x）在高频时间。在续集中，我们使用了下面的符号~nn（t）：=sup{tnk；tnk≤ t} 对于给定的正整数M≥ 1和n≥ 1.我们定义了半鞅和随机PDE 47^QT（u，v）：=2M+1X|s的主成分分析|≤MZTeisаn（t）dXt（u）中兴通讯-是ηn（t）dXt（v）=n-1Xl,j=0dM（tnl- （tnj）Xtnl+1（u）Xtnj+1（v），u，v∈ [a，b]，在哪里Xtnl+1（u）：=Xtnl+1（u）- Xtnl（u） 和dm（t）：=2M+1X | s|≤Meits=（1；t=sT，s）∈ Z2M+1sin[（M+1/2）t]sin（t/2）；t6=s是标准化的Dirichlet核。这里M表示玻尔卷积积，n表示σt（u，v）的傅里叶变换的离散化程度。更多详情请参见Malliavin和Mancino[39]。为了保持符号简单，从现在开始我们设置ti:=tni；0≤ 我≤ ’n。

核函数^QT（u，v）在复杂度为（^QTf）（u）=h^QT（u，·），f iEC=2M+1X | s的情况下，诱导了arandom线性算子^QT|≤锰-1Xl=0n-1Xk=0exp（is（tk- Tl))Xtk+1（u）hXtl+1，fiEC，代表f∈ 欧共体。在C场上考虑E的原因是因为一个很好的陈述，如下所示。如果A和b是Hilbert空间上的两个线性算子，则AB和BA共享相同的非零特征值s。此外，如果γ是BA的特征向量，则Aγ是具有相同特征值的AB的特征向量。所以策略是用BA:Cp的方式来写^QT=AB→ CPP≥ 1，因此我们可以很容易地将BA的特征值与AB联系起来。事实上，通过定义^QT，我们得到了^QT=abb，其中B:EC→ C2M+1由B定义（·）：=n-1Xl=0exp(-我(-M） tl)HXtl+1、·iEC、，N-1Xl=0exp(-i（M）tl)HXtl+1、·iEC！A:C2M+1→ 由（8.1）（Ax）定义的ECI（·）：=2M+1X | s|≤Mxsn-1Xk=0exp（istk）Xtk+1（·）；十、∈ C2M+1。根据定义，\'QT:=BA:C2M+1→ C2M+1由“数量=2M+1X”组成|≤锰-1Xk，l=1ysexpi（stk）- mtl)HXtl+1.Xtk+1iEC，代表y∈ C2M+1，m=-MM.然后我们得到以下基本结果。引理8.1。随机线性算子^qt和^qt在C中具有相同的非零特征值。设^p是^qt的非零特征值{^θi=1，…，^p}，设γj=（γj(-M） ，γj（M）），j=1，^p是C2M+1中相应的特征向量。然后48 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMAS2M+1X | s|≤Mγj（s）n-1Xk=0exp（istk）Xtk+1！，j=1，^QT的^p本征函数。证据设θj∈ C是¨qt的非零特征值，且设γj∈ C2M+1是相应的特征向量。然后（8.2）\'QTγj=^θjγjand^QT（Aγj）=^θjAγjA。s、 其中A是（8.1）给出的运算符。通过将（8.2）分量逐个分量写入，我们得到了2M+1X | s|≤锰-1Xk，l=0γj（s）expi（stk）- rtl)HXtl+1.Xtk+1iEC=^θjγj（r）a.sfor=-MM.另一方面，Aγj=2M+1X | s|≤Mγj（s）n-1Xk=0exp（istk）Xtk+1！，j=1。

这个c包含引理的证明。备注8.1。设（8.3）2M+1X | s|≤Mγj（s）n-1Xk=0exp（istk）Xtk+1！，j=1，^pa.sbe^qt与其非零特征值{^θj；j=1，…，^p}相关的特征向量。由于^qt是一个自伴有限秩算子，因此下面的谱分解保持a.s^QTf=^pXi=1^θihf，^^iiEC^i；F∈ 欧共体，哪里≤ 通过对（8.3）给出的函数应用aGram-Schmidt算法，2M+1 a.s对于每n，M和{^i；i=1，…，^p}是一个正交集。现在让我们介绍关于剩余过程ε的基本假设。由于估计基于高频采样，我们需要对连续时间动力学施加一些结构。（B1）残差过程ε是一个It^o半鞅场，其中漂移分量h满足0≤T≤TkhtkE∈ 对于每一个p>1。（B2）在时间T满足Zr[ε（u），ε（u）]Tu（du）=0 a.s.时ε（u）的四次变化。（B3）以下增长假设成立0<lim infn，M→∞Mρ（n）≤ 林素恩，M→∞Mρ（n）<∞.半鞅和随机PDE 49（H1）的主成分分析向量场F，σi:E→ E是每i=1，m、 （H2）向量场F的线性增长条件，σ；1.≤ 我≤ m in（6.1）：存在一个常数ntC>0，使得kf（x）kE+mXi=1kσi（x）kE≤ C（1+kxkE）每x∈ E.评论8.2。就HJM模型的一致性问题（见第4.2节）而言，假设pt离子（B2）意味着用于插值生成X的点的初始拟合方法不能引入外部波动性。选择插值时，必须确保整个曲线上观察到的波动率完全由市场决定，而不是特定的拟合选择。另见假设（第四季度）。

对于一些F-可测随机变量e=X，半鞅分解在剩余过程εt=e+zthsds上产生以下结构- rand是一个可积适应过程h（B1）。假设（B3）是一种技术假设，目的是获得最佳边界，但它也与精确傅里叶估计量和QT的常用二次变异估计量之间的差异有关。有关更多详细信息，请参见Malliavin和Mancino[39]以及Clement和Gloter[20]。在（H1）和（H2）下，众所周知的是每个初始条件ξ∈ E、 随机偏微分方程存在唯一的mild解rξ。此外，以下可积性性质保持sup0≤T≤TkrξtkqE<∞对于每一个q>1和ξ∈ E.下面的结果是[20]中命题1和引理3的函数形式（几乎是直接的结果）。在续集中，k·k（2）是ECA上的Hilbert-Schmidt范数算子，为了保持符号简单，我们写了k·k=k·kEC。提议8.1。假设（A1、A2、B1、B2、B3、H1、H2）保持，另外（8.4）E1/2sup0≤T≤T|vσj（rt）（·）|∈ L（u）对于每个j=1，m、 ThenEkQT-^QTk（2）=O（ρ（n））。证据在续集中，我们用C表示一个正常数，它可能因行而异。我们还将复合系数t（u）=rt（u）+εt（u）分解为＠rt（u）：=mXj=1Ztσj（rs）（u）dBjs；0≤ T≤ T、 u∈ [a，b]，§εt（u）=Ztξs（u）ds50阿尔贝托·奥哈希和亚历山大·b。

其中ξt（u）：=艺术（u）+F（rt）（u）+ht（u）；0≤ T≤ T、 u∈ [a，b]。对于给定的（u，v）∈ [a，b]×[a，b]，部件集成和（B2）yieldQT（u，v）-^QT（u，v）=ZTZtdM，n(l, t） dXl（u）dXt（v）+ZTZtdM，n(l, t） dXl（五）dXt（u）=：Rn，M（u，v），其中dm，n(l, t） ：=dM（~nn）(l) - νn（t）），Rn，M（u，v）=Jn，M，1（u，v）+Jn，M，2（u，v）+Xi=1In，M，i（u，v）+Xi=1^In，M，i（u，v），和Jn，M，1（u，v）：=ZTZtdM，n(l, t） drl（u）d▄rt（v），Jn，M，2（u，v）：=ZTZtdM，n(l, t） drl（五）drt（u），In，M，1（u，v）：=ZTZtdM，n(l, t） dεl（u）drt（v），In，M，2（u，v）：=ZTZtdM，n(l, t） drl（u）dεt（v），In，M，3（u，v）：=ZTZtdM，n(l, t） dεl（u）dεt（v），其中^In，M，i是对称量w.r.t In，M，i，通过定义kqt-^QTk（2）=k（QT-^QT）（0，·）k+Z[a，b]u（QT）-^QT）（u，·）u（du）=QT（0,0）-^QT（0，0）|+Z[a，b]|vQT（0，v）-v^QT（0，v）|u（dv）+Z[a，b]|uQT（u，0）- u^QT（u，0）|u（du）+Z[a，b]|vuQT（u，v）- vu^QT（u，v）|u（du）u（dv）=:T（n，M）+T（n，M）+T（n，M）+T（n，M）。第一步：T。通过不变性假设（A1），我们知道[见[48]；推论2.13]V dom（A），所以我们可以把（dom（A），A）看作是一个限制于V的有界算子。此外，weshall re presentrt=pV⊥rt+pVrt=pV⊥Vht+pVrt，半鞅和随机PDE的主成分分析，其中p是通常的投影，h=r。根据[48]中的定理2.11，我们还知道t 7→A（πV）⊥Vht）是连续的，因此存在一个常数C，使得kArtk≤ C+Ck rtk forevery t∈ [0，T]。基于这些事实，我们可以使用线性增长条件（H1-H2）和（B1）得出以下估计值（8.5）sup0≤T≤TkξTk≤ C+C sup0≤T≤Tkrtk+C sup0≤T≤Tkhtk。在这种情况下，我们可以很容易地检查[20]中建议1中的假设是否适用于小范围的假设，以及它们的所有假设。在这种情况下，我们没有（n，M）≤ CZTZtdM，n(l, t） dldt。[20]中的引理3产生T（n，M）=O（ρ（n））。第二步：术语T+T。现在让我们来处理T（n，M）+T（n，M）。对于给定的（i，j）∈ {1, . . .

，m}，Burkholder-Davis-Gundy不等式和（H1-H2）yieldEZ[a，b]ZTDM，n(l, t） σj（r）l)（0）dBjlvσi（rt）（v）dBitu（dv）≤ CZTZtdM，n(l, t） dl这一产量|vJn，M，1（0，v）|u（dv）=O（ρ（n））。同样的观点也适用于vJn，M，2（0，v），我们得出结论z[a，b]E|vJn，M，1（0，v）+vJn，M，2（0，v）|u（dv）=O（ρ（n））漂移部分估计如下。Cauchy-Schwartz和Burkholder-Davis-Gundy不等式，[20]yieldZ[a，b]E中的估计te（8.5），（H1-H2），A1，B1和引理3|vIn，M，1（0，v）|u（dv）≤ EdXi=1ztdm，n(l, t） dl ×Ztkξl杜兰特l×kσi（rt）k！dt≤ CZTZtdM，n(l, t） dldt=O（ρ（n））。术语vIn，M，2（0，v）的演化程度更高，但我们可以重复第1114页[20]中定理1的证明中的相同步骤来表示|in，M，2（u，v）|=Z[0，T]Yn，M（u，T，T）ξT（v）Yn，M（u，T′，T′）ξT′（v）dtt′，其中Yn，M（u，T，s）：=ZsdM，n(l, t） drl（u） 。我们假设η>0，我们将| In，M，2（0，v）|=An，M，1（u，v，η）+An，M，2（u，v，η）分开，以便vAn，M，1（0，v，η）：=ztt-ηYn，M（0，t，t）vξt（v）Yn，M（0，t′，t′）vξt′（v）dt′dtvAn，M，2（0，v，η）：=zt-ηYn，M（0，t，t）vξt（v）Yn，M（0，t′，t′）vξt′（v）dt′dt52 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.Simas通过应用[20]中定理1的证明中的一些参数，以及关于E和假设（h1-H2），B1，B3的Cauchy-Schwartz不等式，我们还得到了z[a，B]E|in，M，2（0，v）|u（dv）=O（ρ（n））。此外，[20]yieldZ[a，b]E|in，M，3（0，v）|u（dv）中的（B1，B3）和引理3≤ CZTZtdM，n(l, t） dldt≤ Cρ（n）。通过其他项的对称性，这些估计允许我们得出结论：T（n，M）+T（n，M）=o（ρ（n））。步骤3：给定（i，j）的术语T∈ {1, . . .

，m}，Burkholder-Davis-Gundy和Cauchy-Schwartzy不等式和（H1-H2）与（8.4）yieldEZ[a，b]|vuJn，M，1（u，v）|u（dv）u（du）=Z[a，b]EZTZtdM，n(l, （t）uσj（r）l)（u） dBjlkσi（rt）kdtu（du）≤ CZTZtdM，n(l, t） dldtZ[a，b]E1/2sup0≤T≤T|vσj（rt）（·）|u（du）。因此，根据[20]中鞅项和引理3的对称性，我们得到了Zr+E|vuJn，M，1（u，v）+vuJn，M，2（u，v）|u（dv）u（du）=O（ρ（n））。类似地，引理3在[20]和（8.5）yieldZR+E中|vuIn，M，1（u，v）|u（du）u（dv）≤ZTDM，n(l, t） dldt×E-sup0≤T≤TkξTk≤ CZTZtdM，n(l, t） dldt=O（ρ（n））。总结所有关于T，T，T的不等式，我们得出结论。在续集中，对于每个>0，我们定义^p：=大于或等于a的非零特征值的数量。共8.1。假设命题8.1中的假设成立，并让Q=范围QT和维度p。让→ 以这样的方式ρ（n）-1.→ ∞ 作为n→ ∞. 然后，P（P^P6=P）=O（P）-2ρ（n））。证据从命题8.1中，我们知道EkQT-^QTk（2）=O（ρn）。因为我们考虑的是理论上的特征值，θ≥^θ≥ ··· ≥ 0，我们有{p>p}={pθp+1>p}。Hilbert-Schmidt范数与θp+1=0a.s的简单计算- θp+1|≤ k^QT- QTk（2）。因此，P（^P>P）≤ -2Ek^QT- QTk（2）=O（-2ρ（n））。注意到{^θ<p}={^θp-1<}和θp-1> 0a.s，我们对半鞅和随机PDE 53P{^p<p}=（θp+1）进行同样的主成分分析- ）Ek^QT- QTk（2）=O（ρ（n））由于P（^P6=P）=P（^P>P）+P（^P<P），结果如下。参考文献[1]阿尔梅达，C.I.R.（2005）。有效过程、勒让德多项式的无套利期限结构和期权定价。Int.J.Theor。阿普尔。菲南。，8, 2, 161-184.[2] 阿尔梅达，C.I.R.和维森特，J.（2008）。无套利在预测中的作用：参数期限结构模型的经验教训。《银行与金融杂志》，32、12、2695-2705。[3] Alexander，C.市场风险分析。第二卷。约翰·威利和他的儿子们。

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