半鞅和随机偏微分方程的主成分分析

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英文标题：
《Principal Components Analysis for Semimartingales and Stochastic PDE》
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作者：
Alberto Ohashi, Alexandre B Simas
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this work, we develop a novel principal component analysis (PCA) for semimartingales by introducing a suitable spectral analysis for the quadratic variation operator. Motivated by high-dimensional complex systems typically found in interest rate markets, we investigate correlation in high-dimensional high-frequency data generated by continuous semimartingales. In contrast to the traditional PCA methodology, the directions of large variations are not deterministic, but rather they are bounded variation adapted processes which maximize quadratic variation almost surely. This allows us to reduce dimensionality from high-dimensional semimartingale systems in terms of quadratic covariation rather than the usual covariance concept.   The proposed methodology allows us to investigate space-time data driven by multi-dimensional latent semimartingale state processes. The theory is applied to discretely-observed stochastic PDEs which admit finite-dimensional realizations. In particular, we provide consistent estimators for finite-dimensional invariant manifolds for Heath-Jarrow-Morton models. More importantly, components of the invariant manifold associated to volatility and drift dynamics are consistently estimated and identified. The proposed methodology is illustrated with both simulated and real data sets.
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中文摘要：
在这项工作中，我们通过对二次变异算子引入合适的谱分析，发展了一种新的半鞅主成分分析（PCA）。受利率市场中常见的高维复杂系统的激励，我们研究了由连续半鞅生成的高维高频数据中的相关性。与传统的PCA方法相比，大变化的方向不是确定性的，而是有界变化适应过程，几乎可以肯定地使二次变化最大化。这使得我们可以根据二次协变量而不是通常的协方差概念来降低高维半鞅系统的维数。该方法允许我们研究由多维潜在半鞅状态过程驱动的时空数据。该理论被应用于允许有限维实现的离散观测随机偏微分方程。特别地，我们为Heath-Jarrow-Morton模型的有限维不变流形提供了一致估计。更重要的是，与波动性和漂移动力学相关的不变流形的组成部分得到了一致的估计和识别。所提出的方法用模拟和真实数据集进行了说明。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Principal_Components_Analysis_for_Semimartingales_and_Stochastic_PDE.pdf (1.1 MB)

2022-5-7 22:59:57 上传

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关键词：偏微分方程 主成分分析 微分方程 偏微分 主成分

半鞅和随机PDEALBERTO OHASHI和ALEXAN DRE B.SIMASAbstract的主成分分析。在这项工作中，我们通过对二次变异算子引入合适的谱分析，发展了一种新的半鞅主成分分析（PCA）。基于利率市场中常见的高维复杂系统，我们研究了连续半鞅生成的高维高频数据中的相关性。与传统的PCA方法相比，大变化的方向不是确定性的，而是有界变化适应过程，几乎可以肯定地使二次变化最大化。这使得我们可以用二次协变量而不是通常的协方差概念来降低高维半鞅系统的维数。所提出的方法允许我们研究由多维多能半鞅状态过程驱动的时空数据。该理论被应用于离散观测的随机偏微分方程，它允许有限维的实现。特别是，我们为Heath-Jarrow-Morton模型提供了有限维不变流形的一致估计。更重要的是，与波动性和漂移动力学相关的不变流形的组成部分得到了一致的估计和识别。所提出的方法用模拟和真实数据集进行了说明。内容1。导言21.1。捐款21.2。文件的组织52。假设和初步结果62.1。注释62.2。二次变异矩阵分析63。随机方向和主成分94。M 124.1中的有界变量分量和二次变量。d维资产价格的相关性124.2。有限维实现的随机偏微分方程124.3。噪声维度与二次变异维度135。

（W，D）155.1的估计。空间标识（W，D）155.2。空间（W，D）的估计166。有限维不变流形的估计206.1。分裂不变流形206.2。因子模型的初步研究246.3。估计潜在维度256.4。主要结果297。模拟研究与应用37日期：2021年7月7日。1991年数学学科分类。初级：；第二：关键词和短语。主成分分析，因子模型，半鞅。本文作者要感谢苏黎世ETH数学系和福松辛学院（FIM）在本研究项目的第一年给予的热情款待。特别是，他要感谢Josef Teichman对随机偏微分方程的有限维实现进行的鼓舞人心的讨论，以及他对研究其统计方面的鼓励。我们还要感谢M.Laurini就PCA.2 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMAS7进行了有益的讨论。1.半鞅PCA 377.2。方差与二次方差387.3。根据SPDE 397.4估算有限维实现。应用于所有数据集438。附录：估算尺寸Q 46参考文献531。简介由于高维数据在各种应用领域的广泛应用，降维技术在过去几年中得到了深入研究。对于有效的降维，正确解释必须找到的低维流形是至关重要的，这样才能正确地表示数据。

例如，如果二阶矩结构合理地描述了数据中的动态，那么经典的主成分分析（以下简称PCA）及其各种扩展自然是降维的候选方法。在许多情况下，高维系统中的相关性可能无法用协方差结构准确描述。一个重要的例子是通常在高频数据中发现的相关性，它由所谓的二次变化矩阵[M]t:=[Mi，Mj]t更好地描述；1.≤ i、 j≤ D0≤ T≤ T、 其中M=（M，…，Md）是在时间范围[0，T]上采样的d维半鞅，[Mi，Mj]是mian和Mj之间的二次协变量过程。在金融环境中，过程[M]·称为波动率矩阵（有时称为综合波动率）。[0，t]上的d维半鞅系统的总波动量由以下数量k[M]tk（2）=dXj=1（λjt）充分描述，其中{λjt}dj=1是[M]的随机特征值，k·k（2）是通常的希尔伯特-施密特范数。到目前为止，波动性是资产定价、资产配置和风险管理需要估计的最重要的数量，特别是在高维投资组合中。高维二次变差矩阵的估计是近年来人们非常感兴趣的课题。我方将负责人引述工程[10、50、51、39、52、18、23、21]以及其中的其他参考资料。尽管最近在波动率矩阵估计方面取得了很多进展，但基于高维二次变异矩阵的降维技术的基础理论研究却很少。

一个臭名昭著的困难是在时间范围内对方向和主要成分进行动态解释，在典型情况下，在高频域中进行模拟。的确，{[M]t；0≤ T≤ T}是完全随机的，这使得分析比标准PCA更具进化性。更准确地说，所有潜在的最优预测都是随机过程，而不是确定性向量。鉴于高维数据中的许多相关结构完全由二次变差概念表示，因此，构建严格与[M]相关的降维方法是自然的，也是必要的，而不是基于经典协方差或条件分布。这是我们在本文中开始执行的程序。1.1. 贡献。设M=（M，…，Md）是d维半鞅。分析的出发点是解决与随机矩阵[m]的可能奇异性相关的识别问题，该问题通常可以在大型金融资产组合中找到（参见Burashi、Porchia和Trojai[16]，Ait Sahalia和Shui[4]和Fan、Li和Yu[23]以及其中的其他参考文献）半鞅和随机PDE的主成分分析3和有效期限结构模型（参见Bjork and Land\'en[15]和Filipovic[29]以及Filipovic and Sharef[27]）。更准确地说，在半鞅之间存在非平凡相关性的情况下，一个半鞅具有秩[M]T<da。然后，在温和的假设下，我们可以把集合M=span{M，…，Md}分成两个互补的线性空间s（W，D），这样M=W⊕其中W和D分别只包含非零和零二次变化的M元素。空间W充分描述了M的波动性结构，而空间D则因其隐藏的纯漂移（零二次变化）动力学而具有敏感性。

在这一点上，我们强调二次变异矩阵[M]的潜在奇异性将不可观测的漂移分量引入到M中，这在高频情况下是无法发现的。这两个空间对于解释给定物理概率测度中M的动态性同样重要。与此形成强烈对比的是，在经典的主成分分析中，具有零方差的方向可能会被完全丢弃。这是经典主成分分析和本文发展的理论之间的第一个主要差异。我们遵循自然而简单的想法来寻找随机变量vt=（vt，…，vdt），使得dxj=1vjtmjtha是[0，t]上可能的最大瞬时二次变化，其中vt被解释为时间t的随机系数∈ [0，T]而不是一个过程。用正交的方法，我们可以得到M的一个线性变换，在一些温和的原始条件下，它将是一个按二次变分排列的有限维半鞅。从二次变异矩阵[M]T（参见[19,50,51,39,52,18,23,21]和其中的其他参考文献）的一致估计开始，我们能够通过基于M的高频观测的简单eige值分析，提出（W，D）的一致估计。这使我们能够以一种非常清晰和一致的方式，根据二次变化来降低维度。同样重要的是，该方法还估计了在多维半鞅系统中不能受益的D中的有界变量。本文第一部分介绍的半鞅主成分分析用于估计离散观测的时空半鞅的主成分，该半鞅描述了允许有限维实现的随机偏微分方程（以下简称随机偏微分方程）。

特别是，在本文的第二部分中，我们通过研究所谓的有限维不变流形w.r.t到随机PDE（1.1）drt的估计问题来阐明这一理论=A（rt）+F（rt）dt+mXj=1σj（rt）dBjt；r=h∈ E0≤ T≤ T、 其中E是连续函数的潜在有限维Sobolev型空间，和（a，F，σi；1）≤我≤ m） 满足解存在的标准假设。自然科学和社会科学中的许多时空现象都可以用（1.1）等随机偏微分方程的解来描述。然而，由（1.1）等模型生成的时空数据的内在有限维性给这些模型的统计分析带来了巨大挑战。在具体的例子中，众所周知，人们可以降低维度，仍然可以得到由（1.1）型模型生成的非常丰富的时空数据。例如，在关于（1.1）的系数的李代数条件（见Filipovic and Teichman[25]和Bjork and Svensson[14]）下，很清楚存在一个函数流形{Gt；0族≤ T≤ 曲线的T}和d维半鞅因子的过程M使得4 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMAS（1.2）rt（·）=Gt（·，Mt）；r=h；0≤ T≤ T、 其中G={Gt（·；x）；x∈ 十、 Rd；0≤ T≤ T} E是光滑曲线的有限维参数化族。我们将其写成Gt=φt+V，其中V是由光滑曲线生成的d维向量空间，φ是E值光滑参数化，我们假设它是一个零二次变差函数。随机偏微分方程建模中两个尚未解决的核心问题是：（i）构造统计检验以检查G的存在性；（ii）开发相关的估计方法。

本研究议程的重要性主要体现在利率建模和其他数学金融术语结构问题的应用中。文献非常丰富，因此我们请读者参考[13,14,15,24,25,28,29,26,44,49,34,41,7,46,40]等参考文献。简而言之，在G存在的假设下，V的估计对于潜在的有限维期限结构模型的一致性校准至关重要。在随机PDE（1.1）允许有限维表示（1.2）的假设下，我们应用半鞅PCA来估计和识别描述空间波动和漂移动力学的不变量流形的c分量。更准确地说，让我们考虑有限秩随机线性算子QT:E→ V由qtf定义：=hQT（·，），即；F∈ E、 式中QT（u，v）：=[r（u），r（v）]T；u、 五≥ R+，h·，·ie是E的内积，我们设置Q:=range QT。我们注意到随机PDE（1.1）的二次变化完全由QT生成。特别是，关联的Hilbert Schmidt或mkQTk（2）=dim VXj=1θj充分描述了[0，T]上与（1.1）的二次变化相关的能量总量。这里，{θi}dim Vi=1是按降序排列的qt的特征值。一般来说，dim Q≤ 暗V a。s、 但在典型情况下，我们确实有dim Q<dim V。让N是V中Q的互补子空间。在温和的假设下，我们有以下拆分v=Q⊕ 一方面，子空间对（Q，N）应被视为与（W，D）相似的空间，但在空间变量中。另一方面，我们强调没有观察到M，并且（1.2）被视为因子模型（1.3）rt=φt+dim VXj=1Mjtλj；V=span{λ，…，λd}，尺寸d=dim Q+dim N。

目前的方法允许我们估计和识别来自波动率（用Q表示）和漂移（用N表示）的不变量流形的方向。更重要的是，我们能够分别识别它们，这允许我们通过将形式为（1.3）的时空数据投影到一对估计向量空间（bQ）上来估计零和非零二次变异因子⊕bN）。我们认为这种分离特性是本文第二部分最重要的方面。作为一个副产品，我们的方法带来了两个方面：利率建模的实证文献报告了风险因素之间相关性的有力证据（见g[3,43,17]），这表明在模型不明确的情况下，人们通常可以找到dim Q<dim V。从理论上讲，这种现象与对有效模型施加的无套利限制有关。参见[14,26,27,1,2]和其中的其他参考文献。半鞅和随机PDE 5领域贡献的主成分分析：它提供了一种一致的波动性降维，以及一种在时空半鞅数据ge ne评级过程中估计隐藏纯漂移成分的方法。我们的方法是将经典因子模型与潜在半鞅空间上的适当随机变换相结合。更准确地说，我们的方法主要包括两个步骤：首先，我们对时空数据应用经验协方差算子，以获得形式brt（x）=kXj=1bYktbλk（x），t的因子分解∈ π，x∈ 以离散型因子模型（见Stock and Watson[47]、Bai[9]和Bai and Ng[8]）的精神，但与通常的面板数据相比，采用高频设置。换句话说，∏×∏′是二维集合[0，T]×[a，b]的一个划分。

在线性结构中，协方差运算符仅调整零经验方差的分量，以便在适当的条件下，我们的第一步不会丢失来自不变矩V=Q的信息⊕N.第二步是使用半鞅主成分分析和潜在因子估计器的适当r和OM旋转来推断数据的基本半鞅结构。很难预见这两个步骤会奏效。事实上，据我们所知，协方差算子分解的强度不足以提供一个可接受一致二次变异分析的结果过程。事实上，序列甚至与半鞅无关，因此基于这两步程序的二次变异分析必须从更广泛的角度考虑。本文第二部分的内容是证明这种策略是有效的。强调我们方法中的两个步骤同样重要是很重要的。例如，当应用于半鞅系统时，简单地应用经典因子模型来推断二次变化是没有意义的。此外，直接基于经验二次变量的更直接的策略，由于矩阵的可能奇异性，不能完全通用。最后一个过程强制假设dim V=dim Q，在dim N>0的典型情况下，这可能不是最优的（在均方意义上）。这就是为什么要实施这项工作中的两步程序的原因。例如，Pelger[42]直接从具有跳跃和离散载荷因子的因子的经验二次协变量中研究主成分。