半鞅和随机偏微分方程的主成分分析

当然，a:=（a，…，ad1），公元-pt：=（a1（d-pt），广告（d）-pt）构成一组d-通过每个定义[M]t（ω）a，在Rdand中的线性独立决定向量l=dXk=1akl[Mi，Mk]t（ω）=[Mi，Nl]t（ω）=0表示1≤ l ≤ D- pt，1≤ 我≤ d、 自k[M]t（ω） RDD有维度d- 对于每ω∈ Ohm*, thenker[M]t（ω）=span{a，…，ad-每ω的pt}∈ Ohm*. 设^V是由d[M]T的正交特征向量构成的正交矩阵。当然，由于缺乏特征向量的识别，我们无法证明BVM收敛于VM。真正的问题是以下关于趋同的概念。在续集中，如果{An，Bn；n≥ 1} 是一系列随机变量，然后是南 Bn作为n→ ∞也就是说，P（An<Bn）→ 0作为n→ ∞. 我们也有类似的定义 还有 当双方都 BNAN Bnas n→ ∞.定理5.1。设M=（M，…，Md）是一个满足假设2.1和2.2的过程。设d[M]T为满足假设5.1的[M]T的一致估计量，设^p为秩[M]T的任何一致估计量。LetbV为正交矩阵，其行由d[M]T的特征向量构成。如果（^J·，…，^Jd·）：=bVM，则我们定义：=span{J，…，^J^p}和bd：=span{J^p+1，…，Jd}。在上述条件下，我们得到了（cW，W）p→ 0和d（bD，d）p→ 0，作为k∏k→ 0.IfcM:=cW⊕bD然后d（cM，M）p→ 0为k∏k→ 0.此外，（5.7）[^J]T . . .  [^J^p]T（5.8）[^Ji]T 0; ^p≤ 我≤ d为k∏k→ 0.如果存在子集A，则随机集A是确定性的 RdA=B A.s.半鞅的主成分分析和随机PDE证明。回想一下（5.5）中对同病相怜的定义。根据引理5.2，我们有Φ（D）=Ker（[M]T），通过对bD的定义，我们也有Φ（bD）=Ker（D[M]T）。

因此，根据引理5.1，我们得到了（D，bD）p-→ 0.现在，注意rd=Φ（D）⊕ Φ（W）=Φ（bD）⊕Φ（cW）。因此，它源自度量d that d（cW，W）p的定义-→ 0.由于^p是整数值d一致估计量，我们假设^p=p。通过定义，我们知道h^viT，d[M]T^viTiRd≥ h^vi+1 T，d[M]T^vi+1 a.s；1.≤ 我≤ D-1.和[^Ji]T=h^viT[M]T^viTiRd a.s；1.≤ 我≤ d、 让我们写[^Ji]T- [^Ji+1]T=[^Ji]T- h^viT，d[M]T^vitrid+h^viT，d[M]T^vitrid- h^vi+1T，d[M]T^vi+1第三+h^vi+1T，d[M]T^vi+1第三- [^Ji+1]T; 1.≤ 我≤ D-1.按构造，max1≤我≤d | viT |在概率和kd[M]T上有界-[M]TkF→ 概率为0时询问∏k→ 0.此外，h^viT，d[M]T^vitrid- h^vi+1T，d[M]T^vi+1第三≥ 因此（5.7）是正确的。（5.8）的极限与之类似。一个向前的结果是下面的结果。推论5.1。假设定理5.1中的假设成立，让Y∈ M可以在{Ytr；0处离散观测到≤ R≤ n} 超过[0，T]，其中0=T<Ttn=T。然后，存在α=（α，…，αd）∈ Rd使（5.9）max0≤R≤NYtr-^pXl=1αl^Jltr-dXk=^p+1αk^JktrP→ 0，作为max1≤我≤n | tr- tr-1| → 0.证明。让我们用概率一致收敛的拓扑来讽刺X。设H是X的最小有限维子空间，其中c包含{M，…，Md；^J，…，^Jd}。让我们来看看→ Rmbe：某些m>0的ca非正则同构。我们注意到Φ实际上是一个同胚，而nH被赋予了子空间拓扑。根据定理5.1和度量d的定义，我们知道（5.10）d（M，cM）=d（Φ（M），Φ（cM））=√2d supkvkRd=1kTΦ（M）v- TΦ（cM）vkRdp→ 0as k∏k→ 0，其中TAdenotes将投影到闭合d子空间a上 然后从（5.10）出发，利用Φ是ho亚纯的事实，我们得到了α=（α，…，αd）的存在性∈ 因此Φ（Y）-^pXl=1αlΦ（^J）l) -dXk=^p+1αkΦ（^Jk）P→ 020 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B。

西马斯k∏k→ 0表示（5.9）中的断言。在定理5.1的假设下，如果Y∈ M是{Ytk；1处离散观测的s-e-mi鞅≤ K≤ n} 在[0，T]上，我们将使用公式5.1通过OLS^α：=argminα进行估计∈RdnXl=1.Ytl-^VMtl·α,回归系数为我们提供了W和D中无n-零二次变化和纯漂移分量的精确线性贡献。在这种情况下，以下线性组合^Yk:=^pXl=1^αl^Jltk+dXr=^p+1^αr^Jrtk；i=1，d、 k=0，n、 描述{Ytr；0≤ R≤ n} 转化为CW的元素⊕样本{Ytk；0上的bD≤ K≤ n} 在[0，T]中。因子spa c es（W，D）的估计为半鞅构成的高维投资组合的最优资产配置/降维提供了一个工具，这一主题将在未来的论文中进一步探讨。6.有限维不变流形的估计在本节中，我们应用前几节中发展的理论，提出了一种方法，用于估计由Form（6.1）drt的随机偏微分方程生成的与时空数据相关的有限维不变流形=A（rt）+F（rt）dt+mXj=1σj（rt）dBjt；T≥ 0; r=h∈ E、 其中A是可分Hilbert空间E上的C-半群的一个极小生成元，它被假定为绝对连续函数g:K的子空间→ 其中为了简单起见，我们使用一维空间集K=[a，b]，其中-∞ < A.≤ 十、≤ b<+∞.向量场F，σi；i=1，假设m为Lipschitz，且尺寸m是固定的。6.1. 分裂不变流形。现在让我们介绍一下与我们感兴趣的随机PDE（6.1）相关的基本几何对象。我们建议读者参考Tappe[48]对这些物体进行非常清晰的处理。定义6.1。

一家人≥E中的一个平面流形称为由有限维子空间V生成的叶理 E如果存在φ∈ C（R+；E）使得vt=φ（t）+V；T≥ 0.图φ是（Vt）t的参数化≥0.备注6.1。我们注意到（Vt）t的参数化≥0不是唯一的，但对于任何不同的参数化φ和φ，我们有φ（t）- φ（t）∈ V代表每t∈ [0，T]。在这篇文章中≥0表示由有限维子空间生成的叶理。实际上，将本节的结果推广到多维情况并不困难，其中K是Rn的紧子集。这种灵活性对于处理更复杂的时空数据（如金融工程中的波动面）非常重要。半鞅的主成分分析和随机PDE 21定义6.2。叶理≥如果对于每一个t，一个有效流形的0是不变的∈ R+和h∈ 我们有∈ Vt+t，对于所有t≥ 0}=1或r=h。上述对象引导我们得出以下定义，这是本节统计研究的主要对象。定义6.3。我们说随机PDE（6.1）有一个由有限维子空间V生成的有效实现 E如果每个h∈ dom（A）存在叶理（Vht）t≥0由带h的V生成∈ vh是不变的w.r.t（6.1）。一个带有生成器V的函数实现称为dminimal，如果由s一些子空间W生成的另一个函数实现有V W备注6.2。假设随机PDE（6.1）有一个由子空间生成的有效实现。

我们记得每小时∈ dom（A）叶理（Vht）t≥由V生成的0是唯一定义的。参见例如[Lemma 2.7[48]]。参见第4.2节，了解数学金融背景下的效率实现的简要讨论。在本文中，我们假设随机PDE数据生成过程满足以下假设。假设（A1）：随机PDE（6.1）有一个由有限维子空间生成的有效实现。现在让我们介绍一些基本算子，它们将对我们感兴趣的随机偏微分方程的基本加载因子进行编码。我们在终端时间0<T<∞, R∈ dom（A），由线性无关向量{w，…，wd}和参数φ构成的（6.1）的最小子空间生成器V∈ C（[0，T]；E）具有零二次变化[φ（u）]T=0；U∈ [a，b]。在假设（A1）下，随机偏微分方程（6.1）有一个强解。由此产生E的核性质 C（[a，b]；R），评估图τu:f7→ f（u）是一个有界线性泛函，因此，对每个点空间的随机偏微分方程的逐点评估都有很好的定义，以下表达式适用于（6.2）rt（u）=r（u）+ZtA（rs）（u）+F（rs）（u）ds+mXi=1Ztσi（rs）（u）dBis，其中我们将rt（u）：=τ设为0≤ T≤ T和u∈ [a，b]。让我们考虑以下核σt（u，v）：=mXj=1σj（rt）（u）σj（rt）（v）；0≤ T≤ T、 QT（u，v）：=[r（u，r（v）]T=ZTσs（u，v）ds，u，v∈ [a，b]。上述核诱导随机线性算子qt和σtde几乎处处由（QTf）（·）：=hQT（·），f iE定义；F∈ E.σtf（·）：=hσt（·，），f iE；F∈ E、 0≤ T≤ T.通过定义，随机线性算子qt可以写成（QTf）（u）=ZT（σsf）（u）ds；F∈ E.22 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.Simas，其中我们表示Q:=范围QT。

在本文的剩余部分中，我们用N表示最小子空间V中Q的补充子空间。根据假设（A1），我们知道（参见[48]中的2.11和（2.27）），存在一个真正的维半鞅Z=（Z，…，Zp），它实现了强解n（6.2），如下所示（6.3）rt（u）=φt（u）+dXi=1Zitwi（u）；0≤ T≤ T、 u∈ [a，b]。定义6。4.我们说（6.1）中的随机偏微分方程允许有限维实现（FDR），如果每h∈ dom（A）存在一个真正的d维半鞅Z∈ Sd，非参数化φ∈ C（[0，T]；E）和一个线性独立集{w..，wd} 实现了（6.3）。参见例[14,48,24,26]了解随机P-DE表示法（6.3）的这种有效构造的更多细节。表示法（6.3）不是唯一的，但它将作为我们的s分裂方案的基础，如下所示。首先，为了在前面的章节中应用特殊分析，我们将在随机PDE（6.1）上假设以下假设：假设（A2）：对于每个初始条件h∈ dom（A）中，存在一个实现（6.3）的因子表示，它满足假设2.2。在续集里，如果我∈ Md×dandη=（η，…，ηd）是[a，b]上的实值函数列表，然后η（x）=（η（x），ηd（x））∈ Md×1，我们设置Lη，表示Rd值函数x7→ Lη（x）。备注6.3。设rt（u）=φt（u）+Pdi=1Zitwi（u）；0≤ T≤ T、 u∈ [a，b]代表FDRof（6.1）。让我们∈ Md×dbe是一个非奇异的随机矩阵。然后（6.4）rt（x）=φt（x）+dXj=1Yjtаj（x）；0≤ T≤ T、 x∈ [a，b]式中，φ=（a）-1)w是V和Y的随机基·=AZ·∈ 除息的。实际上，我们可以把一个表达式（6.3）的QTin-ter-ms写成以下形式（6.5）（QTf）（u）=dXi，j=1hf，wiiEwj（u）[Zi，Zj]T；F∈ EU∈ [a，b]，还有下面的评论。备注6.4。

从引理2.1中，我们可以很容易地看到，在假设（A2）下，实现（6.3）（或（6.4））的任何真正的维度因子过程都将满足假设2.2。在续集中，我们需要引入新的no-tation。对于给定的Z∈ XD令人满意的假设2。1和2.2，我们表示M（Z）：=span{Z，…，Zd}，fM（Z）：=M（Z）/D（Z），其中D（Z）：=X∈M（Z）；[十] ·=0 a.s在[0，T]}上，商空间由[0，T]上的等价关系（2.5）定义。我们强调M（Z）、D（Z）和fm（Z）分别是M、D和fm，具体选择M=Z在（2.4）中定义。在实践中，我们无法观察到接受FDR的随机PDE的任何半鞅因子Z=（Z，…，Zd）。但是，对于我们的估计策略来说，根据随机矩阵[Z]T，或者更准确地说，根据Z的随机旋转的二次变化来确定对（Q，N）是非常重要的。下一步，我们回顾以下结果。引理6.1。设r为满足假设（A1-A2）并允许最小叶理Vht={φt+V}生成的aFDR的随机偏微分方程（6.1）；0≤ T≤ T，其中dim V=d，r=h。然后，我们将（6.1）表示为半鞅和随机PDE 23的主成分分析（6.6）rt=φT+pXi=1Yitаi+dXj=p+1Yjtаj；0≤ T≤ T、 其中Y是W（Y）=span{Y，…，Yp}，d（Y）=span{Yp+1，…，Yd}和V=Q处的真正d维半鞅Y⊕ N、 其中Q=span{~n，…，~np}和N=span{~np+1，…，~nd}。证据通过假设，存在满足假设2.2的真d维半鞅Z=（Z，…，Zd）和V的基w={wi}di=1，使得RT=φt+dXi=1；0≤ T≤ 从（6.5）开始，我们有Q V a.s，因此我们将考虑随机算子QT限制为V，如下QT：Ohm ×V→ 五、

此外，从（6.5）我们很容易看到线性算子qt的随机矩阵由{[Zi，Zj]T；1给出≤ i、 j≤ d} 对于潜在半鞅表示Z和V的基w的任意对（Z，w）。通过lemma2.1，我们得到了dim Q=dimfM（Z）a.s.Le tY={Y，…，Yd}b是一个真正的d维半鞅，使得{Y，…，Yp}是w（Z）的基础，{Yp+1，…，Yd}是d（Z）的基础，其中p=dim Q。然后span{Y，…，Yd}=M（Z）和Y满足假设2.1和2.2。让我：M（Z）→ M（Z）是由基fr从Z到Y的变化给出的线性同构。如果ZY={aij；1≤ i、 j≤ d} 是I的矩阵，那么我们将写出（6.7）rt=φt+dXi=1Yit~nI；0≤ T≤ T、 式中φj:=Pdi=1aijwi；1.≤ J≤ d、 通过根据基{~nj}dj=1写入qt，并使用（6.7），我们清楚地看到Q=span{~n，…，νp}。通过取N=span{φp+1，…，φd}，我们得出结论（6.6）。引理6.1的主要信息如下。当随机偏微分方程被投影到Q（N）上时，相关的潜在因子是非零二次变量（有界变量）半鞅。我们注意到，FDR（6.6）的形式已经在Bjork andLand\'en[14]和Filipovic and Teichmann[26]的HJM模型中推导出来。引理6.1通过分离负载因子为V提供了一个明确的拆分，负载因子从其互补子空间N中生成Q，该子空间N分别与相关空间W（Y）和D（Y）相连。综合以上结果，我们得出以下识别结果。提议6.1。设r为满足假设（A1-A2）的随机偏微分方程（6.1）。为了一个礼物∈ dom（A），设Vht=φt+V；0≤ T≤ T是一些V产生的最小叶理，例如R=h∈ Vh。Letrt=φt+dXi=1Zitηi；0≤ T≤ T、 是因子半鞅表示，其中V=span{η，…，ηd}和Z满足假设2。1和2.2。

让我们∈ Md×dbe是一个非奇异的随机矩阵。设φ（x）=（A）-1)η（x）；十、≥ 0和Yt=AZt；0≤ T≤ T让我：Ohm → Md×dbe随机矩阵，其行由i=vi给出；1.≤ 我≤ 其中{v，…，vd}是与理论特征值q相关的[Y]t的正交本征向量集≥ Q≥ . . . ≥ qda。s、 然后（6.8）Q=spann（L k），（L）poa。s、 N=spann（L k）p+1，（L~n）doa。s、 24 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMASand（6.9）W（Y）=spann（Y），（LY）po，N（Y）=spann（LY）p+1，（LY）做。证据这是命题5.1引理6.1和恒等式hztη（x）iRd=hAZt（a）的直接结果-1)η（x）iRd=hLAZt，L（A）-1)η（x）iRd，0≤ T≤ T、 x≥ 由于随机m矩阵L的o正交性。6.2. 因子模型的初步研究。本节的目标是描述成对（Q，N）的估计方法，该方法为形式（6.1）的随机偏微分方程生成不变叶理。该方法将受到计量经济学文献（参见[47]、[8]、[9]、[31]）中开发的所谓因子分析的启发，但有一些基本区别：（a）与经典的离散因子分析不同，我们在时间和空间上的离散点上高频使用潜在的连续时间过程样本。（b） 由于高频设置中的随机变量和协方差之间存在相当明显的行为，因此无法通过应用因子分析中的标准技术来识别空间（Q，N）。（c） 更重要的是，这里介绍的因子分析允许我们在四次变异而非协方差（包括有界变异分量）中减少和排序潜在的半鞅因子。在本节中，假设（A1-A2）是有效的。

我们还假设底层的s状态空间E是绝对连续函数f:[a，b]的Sobolev空间→ R使得kfke:=|f（a）|+Zba |f′（x）|u（dx）<∞式中，u是绝对连续的w.r.t勒贝格测度（见e.g[24]），我们写h·，·iEto表示相关的内积。为了简化说明，我们使用函数f（a）=0形成的函数的闭子空间，并设置dudx=1。有点滥用符号，我们用E来表示它。我们将用一个d维子空间V生成的最小不变叶理Vt=φt+V，该子空间V配有一个基{λ，…，λd}和一个真正的d维半鞅（Z，…，Zd），满足假设2.2，使得（6.10）rt=φt+dXj=1Zjtλj；0≤ T≤ T.在本节中，我们在高频设置中工作如下。为了缩短表示法，时间（tni）`ni=1和空间（xNj）`Nj=1中的分割点将分别用ti=tni和xj=xNj表示，我们设置ρ（n）：=sup1≤我≤\'n-1 | ti+1- ti |和δ（N）：=s up1≤J≤\'N-1 | xj+1- xj |。我们假设时间和空间上的采样间隔相等，距离相等。为了精确起见，我们处理的是一系列重新定义的分区，我们总是假设ρ（n）→ 0，δ（N）→ 0，n→ ∞,\'N→ ∞ 作为n，n→ ∞, 其中n和n都会进入实体。我们假设观测是由一个时空过程（6.11）Xt（x）：=rt（x）+εt（x）产生的；0≤ T≤ T、 x∈ [a，b]其中ε表示满足某些规则性条件的spa ce时间误差分量。在本节中，我们假设可以对曲线x7进行采样→ Xt（x）在时间上处于高频。例如，术语结构对象（如插值远期利率曲线）就是此类数据的示例。