半鞅和随机偏微分方程的主成分分析

因此，我们的方法与Ait Sahalia和Xiu[5]截然不同。从定性的角度来看，我们的框架并没有在潜在的二次变异空间W（见命题4.1）以及M方面失去信息。此外，我们不需要[5]中要求的简单特征值结构。现在让我们简要地讨论子空间（D，W）在具体多维半鞅系统中的重要性。12阿尔贝托·奥哈希和亚历山大·B·西马斯4。有界变差分量和二次变差在这一节中，我们讨论了两个具体的模型例子，它们说明了用（W，D）而不是协方差矩阵分析高维半鞅系统主分量的重要性。4.1. d维ass et价格的相关性。资产价格之间的相关性是一个众所周知的现象，许多作者在协方差和最近的二次变异矩阵的背景下对其进行了研究。假设资产对数价格形成一个d维It^o过程（4.1），Mit=Mi+Ztbisds+dXj=1ZtσijsdBjs；i=1，D0≤ T≤ T、 式中b:[0，T]×Ohm → Rd和σ：[0，T]×Ohm → Rd×d满足通常的条件，得到一个定义良好的维半鞅。为了简单起见，我们假设d是已知的。M中存在有界变差分量的一个典型例子是M，可通过波动性，即二次变化来衡量的MDR。Ait Sahalia和Xiu[4]最近对这类现象进行了研究，他们通过合适的估计器[Mi，Mj]T；i、 j=1，d、 如[4]所示，在资产之间存在相关性的情况下，由于秩[M]T<d，s ubs空间d自然成为M的一个不平凡的子空间。

参见Buraschi、Porchia和Trojai[16]，了解在投资组合选择的背景下对相关性的讨论。4.2. 具有有限维实现的随机偏微分方程。让我们描述一下（W，D）是如何在随机偏微分方程的c语境中产生的。让我们集中讨论与利率建模相关的一个主要研究主题：基于远期利率曲线的Heath Jarrow Morton模型[32]（以下简称HJM）的校准问题。我们建议读者参考[13,14,15,24]和其中的其他参考文献来详细讨论这个问题。经典的HJM模型可以用（4.2）drt形式的随机偏微分方程来描述=A（rt）+αHJM（rt）dt+mXi=1σi（rt）dBit；R∈ E、 其中A=ddxis是一阶微分算子，在可分Hilbert空间E上充当Csemi群的极小生成元，我们假设该空间是函数g:R的空间+→ R.漂移向量场αhjmh对于衍生产品的定价和套期保值非常重要，它完全由鞅测度下的σ={σ，…，σm}决定。有关更多详细信息，请参见示例[24]。文献中的一个中心问题是随机偏微分方程（4.2）在实践中的应用。在这种情况下，非常重要的是要知道（4.2）何时允许一个有限维子集G，其中，只要初始远期利率曲线r∈ G、 namelyP{rt∈ GT∈ [0，T]}=1如果r∈ G.子集G可以解释为光滑曲线G={G（·；x）；x的有限维参数化族∈ Z Rd} E，可用于从初始曲线r开始估算模型（4.2）的波动性成分∈ G.见例[7,14]。因此，利率模型的一个核心问题是G的存在、特征和估计。

参见[13,14,15,24,25,28,29,41,44,7,40]和其中的其他参考文献。就存在性而言，Bjork a and Svensson[15]和Filipovic and Teichman[25]已经证明了G的存在性等价于im{u，σi；i=1，…，m}LA<∞,r附近半鞅和随机PDE 13的主成分分析，其中u是由σ和x7引起的Stratonovich漂移→ {u，σ，…，σm}LA（x）是由向量场u，σ，σm.实际上，G E必须是E的a ffinesubmanifold。特别地，存在参数化φ：[0，T]→ E、 一个真正的d维布朗半马氏体M=（M，…，Md）和一个线性子空间V=span{λ，…，λd}由一个基{λi}di=1跨越，这样（4.3）rt（x）=φt（x）+dXj=1Mitλi（x）a.s；0≤ T≤ T十、≥ 0.在某些假设下（参见Duffee和Khan[22]），半鞅状态过程M可以被写成一个半鞅过程。与上一个例子相比，从D维半鞅（4.1）得到的样本数据没有观察到M In（4.3）。对于如上所述的给定对（M，V），一个人实际上可以知道如何存在唯一的分裂V=V⊕Vwhich realizesrt（x）=φt（x）+pXi=1Yitаi（x）+dXj=p+1Yjtаj（x）a.sfor 0≤ T≤ T十、≥ 这里，{Yi；i=1，…，p}是W的基，{Yj；j=p+1，…，d}是m=W的基⊕ D.此外，V=span{~n，…，~np}和V=span{~np+1，…，~nD}。与托瓦尔相关的负荷因素与D中的风险因素相关，而D中的风险因素又与无套利限制相关。假设随机偏微分方程（一个典型例子是（4.2））允许有限维实现（4.3），我们将给出最小不变子空间V的一致估计。

更准确地说，基于因子分析的高频数据和技术，我们对（W，D）引起的结构提出建议，以便为（V，V）提供与最小不变子空间V.4.3相关的一致估计量（^V，^V）。噪声维度与二次变异维度。可以方便地指出，二次变异矩阵的秩不是Jacod和Podolskij[37]以及Fissler和Po dolskij[30]研究的潜在波动过程的最大秩。参见Sahalia和Xiu[5]了解类似的工作。事实上，设M是形式为mt=M+Ztbsds+ZtσsdBs的d维It^o过程；0≤ T≤ T.让Rt:=sup0≤s<trank（cs）；0<t≤ T其中cs:=σsσs0≤ s≤ T.提案4.1。如果σ有连续路径，则Rt≤ 排名[M]ta。它代表每一个t∈ [0，T]。此外，这种不平等可能非常严重。证据让我们定义一个实现ω∈ Ohm 在[0，t]中的一组满测度和一些t中。也让Rt>0。然后，由于CTI是一个连续的矩阵值函数，且秩是一个整数值的低阶连续函数，因此*∈ [0，t]这样的等级*= Rt.自ct以来*是一个非负定义矩阵，我们可以为ct找到一组线性独立的eig环境*, 说，v，vRt，具有各自的特征值λ，λRt，使得λi>0，对于i=1，现在，观察如果c，计算实数，使c+···+cRt>0，然后将W=cv+···+crtvrt，利用特征向量s的正交性，我们得到（4.4）hw，ct*wiRd=cλ+··+cRtλRt>0.14阿尔贝托·奥哈希和亚历山大·B。

Simas还注意到，对于任何这样的向量w，函数t 7→ hw，ctwiRd是连续的，所以我们可以找到一个包含t的开放区间I*, 长度| I |=2δ（对于某些δ>0），满足（4.5）s∈ 一、 北半球，北半球>北半球，北半球*威德。此外，利用cs的非负特性，我们得到了（4.6）U∈ [0，T]，hw，cuwiRd≥ 0.现在，通过矛盾的方式，支持秩[M]t<Rt。然后，我们可以找到实数c，cRt，c+···+cRt>0，因此，对于w=cv+···+cRtvRt，其中v，保护ct的eig环境*如上所述，我们有[M]tw=0，特别是hw[M]twiRd=0。然后，使用（4.4），（4.5）和（4.6），我们得到了0=hw，[M]twiRd=Zthw，cswiRd-ds≥ZIhw，cswiRd ds>ZI1/2hw，ct*wiRdds=δhw，ct*wiRd>0。这个矛盾表明Rt≤ 秩[M]t.为了证明不等式可能是严格的，考虑下面的例子：让我们假设t≥ 我们取σs=f（s）00 f（s）- 1),其中f（t）=t（1）-t） 11[0,1]，其中11aI是集合A的指示器功能。然后，显然是cs=f（s）0 f（s）-1),对于所有的t>0，Rt=1，而对于t>1，秩[M]t=2。备注4.1。上述命题的主要信息是，如果一个方向在某个时间t>0时具有非n平方变化，那么该方向在所有时间t都具有非空平方变化≥ t、 如上所示，波动率矩阵cs不会出现这种现象。我们还强调，假设2.1和2.2产生了一项统计测试的研究，以检查M中是否存在零二次变化分量。统计测试t的完整推导将在未来的论文中进一步探讨。推论4.1。让我∈ Xdbe是一个真正的d维过程，满足假设2.2。让λT，λdt是λT的相关二次变异矩阵[M]Tsuch的有序特征值≥ . . . ≥ λdT。

测试H:λdT=0与H:λdT>0是一个定义明确的统计测试，它与H:rank[M]T<d与H:rank[M]T=d相当。备注4.2。解释M=W是恰当的⊕ 从基于半鞅的因子模型的角度。当秩[M]T<dthenm=W时⊕这里的D值大于0。在应用中，人们可能认为M是由M构成的高维Portfolio空间，它可以被描绘成两个动态空间。当[M]是单数时，动力学空间必须填充零二次变化动力学，只有当人们只对波动性感兴趣时，才可以忽略这一点。我们强调，这种现象是高维半鞅系统主成分分析的固有现象。半鞅和随机偏微分方程的主成分分析。（W，D）的估计在本节中，我们将展示如何估计实现ESM=W的对（W，D）⊕d对于给定的观察过程M∈ 满足假设2.1和2.2。读者可能认为（W，D）是一对未被观察到的因子空间。我们强调，即使观察到M的所有轨迹，当D>0.5.1时，D的分量也不可见。空间标识（W，D）。通过这一部分，我们将确定一个真实的维度过程M=（M，…，Md）∈ 假设2.2。设M=W⊕ D是（2.8）中介绍的裂缝。我们假设dim W=p，dim D=D- p、 其中1≤ P≤ d、 为了澄清这一论述，我们首先假设一个人能够观察到给定NM的所有轨迹∈ 在连续的时间里。提议5.1。设M=（M，…，Md）是满足假设2.1和2的d维过程。2，span{M，…，Md}=M，设[M]为M的二次变异矩阵。设{v，…，vd}为正交基，由与[M]T的有序（降序）特征向量相关的特征向量构成。

让我们来看一下：Ohm → Md×dbe由v（ω）给出的随机矩阵：={vij（ω）；1≤ i、 j≤ d} 。式中vi=（vi1，…，vid）；1.≤ 我≤ d、 然后就有了一套Ohm*完全测量，使每一个临界ω∈ Ohm*, {（V（ω）M·）i；p+1≤ 我≤ d} 是d和{（V（ω）M·）i的基≤ 我≤ p} 是W的基础。此外，（5.1）[（VM）]T≥ [VM]T。≥ [（VM）d]Ta。s、 证据。通过应用[M]T（ω）上的标准谱定理，我们可以找到一组特征向量{vi（ω）；1≤ 我≤ d} 与[M]T（ω）相关，构成Rd的正交正规基，因此v（ω）对于每个ω都是可逆的∈ Ohm. 设p=dim W.如果d- p>0，引理2.1产生vi∈克尔塔。sp+1≤ 我≤ d、 因此，[M]Tviis对每一个i∈ {p+1，…，d}这意味着最后的d-V（ω）的p行o[M] T（ω）对于每个ω都为零∈ Ohm*哪里Ohm*完全有可能。Letus fixω*∈ Ohm*我们写V=V（ω）*), vi=vi（ω）*), （J，…，Jd）∈ Xd，其中Ji=（VM）i；1.≤ 我≤ d、 既然V是可逆的，那么{J，…，Jd}是M的一个线性独立子集。而且，dXj=1vijMl, 乔丹T=0 a.s，l = 1.Di=p+1，D的线性意味着（5.2）hMl,dXj=1vijMjiT=0a.s；l = 1.Di=p+1，d、 更重要的是，（5.2）yieldshPdj=1vijMjiT=0 a.s；p+1≤ 我≤ d、 自span{Jp+1，…，Jd} M、 我们实际上有span{Jp+1，…，Jd} D和线性独立性产生spa n{Jp+1，…，Jd}=D。因此e，（5.3）span{J，…，Jd}=span{J，…，Jp}⊕ D M=W⊕ D.由于{J..Jp}是M的线性独立子集，than（5.3）yieldspan{J..Jp}=W.16 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.Simas最后，排序（5.1）是命题3.1的直接序列。通过明显的修改，我们强调命题5.1的结果也适用于[0，t]每0<t<t.5.2。s-p-aces（W，D）的估计。

Let us补充说，我们处于与预检验相同的设置中，但现在我们手头上有一个真正的d维过程M=（M，…，Md）满足假设2.2的高h频率观测。在本节中，假设高频数据是在每个Mi的常规时间观察到的；i=1，d、 我们将非同步数据的情况留给未来的研究。在本节中，我们假设[M]t的一致估计值[M]t的存在满足以下假设：假设5.1。d[M]是一系列非负定义和s elf伴随矩阵，如d[M]Tp→ [M] task∏k→ 0.在续集中，我们确定[M]T满足假设5.1，并选择秩[M]T的任何一致估计量。本节的目标是描述基于满足假设5.1的通用估计方法。我们强调本节的结果不依赖于二次变异矩阵的估计。我们请读者参考[19,50,51,39,52,18,23,21]和其中的其他参考文献，以全面了解[M]T的估计方法。我们需要定义嵌入在可能的有限维向量空间中的有限维子空间集合的度量值。在这项任务中，我们使用了Bathia等人[11]定义的子空间之间的相同度量。设Nand和Nbe分别是维数为m和m的内积向量空间H的二维希尔伯特子空间。设{ζi1，…，ζimi}为Ni的反常基，i=1，2。然后，我们定义（5.4）D（N，N）：=vUt1-最大{m，m}mXk=1mXj=1（hζ2j，ζ1kiH）。在序列中，我们需要计算有限维子空间的距离，这些子空间不嵌入自然的公共希尔伯特空间。对于这个原因，让一个有限维线性空间。

如果A和A是A的有限维子空间，那么我们定义（5.5）d（A，A）：=d（Φ（A），Φ（A）），其中Φ：A→ Rm；i=1，2是标准的同态映射，dim A=m。人们可以很容易地检查d确实是A的所有有限维子空间集合上的一个度量。在（5.5）中的度量d非常便于研究子空间估计的一致性。在介绍本节的主要结果之前，我们需要两个初步引理。引理5.1。让Cn，C：Ohm → Md×dbe自伴实d×d矩阵序列，如→ C为n→ ∞. 假设q=dim Ker（C）a.s，让我们用vn表示，与Cn的q最小特征值相关的正交特征向量的vnqa集合。设Kn=span{vn，…，vnq}和k=Ker（C）。然后，D（Kn，K）p→ 0as n→ ∞.例如，如果Ekd[M]T- [M]TkF≤ O（rn）比选择→ 0以这样的方式（rn）-1.→ ∞ 作为n→ ∞ 允许我们将^p=大于的非零特征值的个数作为一致估计量。半鞅的主成分分析和随机PDE证明。设{vi}di=1b是Rd的一个正交bas，由C的特征向量给出，与eige n值α，…，相关的C的特征向量的vqbean标准子集，αqand-Ker（C）=span{v，…，vq}。为了缩短符号，在续集中我们用h·，·i=k·k1/2表示欧氏空间上的内积。我们可以假设0<q<d。设{vq+1，…，vd}为正交补K的基⊥. 首先，我们注意到，由于Kn和K具有相同的维数，因此有必要证明D（Kn，K⊥)P→ 1.

这相当于证明qxj=1d-qXi=1（hvnj，vq+ii）p→ 0作为n→ ∞.为此，让qi，j=hvnj，vq+iivq+i，注意kqi，jk≤ 1 a.s和Cqi，j=hvnj，vq+iiαq+ivq+i。因此，hCqi，j，vnji=αq+i（hvnj，vq+ii）=>dXi=1d-qXj=1hCqi，j，vnji=dXi=1d-qXj=1αq+i（hvnj，vq+ii）和sincePi，jαq+i（hvnj，vq+ii）≥ αq+1Pi，j（hvnj，vq+ii）我们可以得出dxi=1d的结论-qXj=1（hvnj，vq+ii）≤αq+1dXi=1d-qXj=1hvnj，Cqi，ji=αq+1dXi=1d-qXj=1hqi，j，Cvnji≤αq+1dXi=1d-qXj=1kqi，jk·kCvnjk≤αq+1dXi=1d-qXj=1kCvnjk a.sN≥ 1.我们现在声称（5.6）supv∈ Knkvk=1kCvk→ 0.让αn≥ αn≥ . . . ≥ αnqq是与q最小特征值相关的cnq的有序特征值。设γ为Cn的非零特征值的个数。我们有P{γn=d- q} =1每n个足够大的thatsupv∈ Knkvk=1kCnvk≤ αnp→ 0as n→ ∞.另一方面，Cnp→ C a s n→ ∞ 还有亨塞苏普夫∈ Rpkvk=1kCnv- Cvkp→ 0as n→ ∞. 因此，三角不等式∈ Knkvk=1kCvk≤ supv∈ Knkvk=1kCnv- Cvk+supv∈ Knkvk=1kCnvk18阿尔贝托·奥哈希和亚历山大·B·西马斯≤ supv∈ Rpkvk=1kCnv- Cvk+supv∈ Knkvk=1kCnvkp→ 0as n→ ∞. 这显示了（5.6），我们可以得出证据。引理5.2。让我∈ XD应该是一个真正的d维过程，满足假设2.2。然后，设定器[M]对每一个t都是确定性的∈ [0，T]。证据对于t=0，这种说法是显而易见的，所以让我们假设t∈ （0，T]和le T T是由（2.3）驱动的TG的子类。Le t ptbe of mt的尺寸。让我们，钕-ptbe是DTR和letR的基础，rpt可以是mt的一个补足基，{N，…，Nd-pt，R，Rpt}是Mt的一个基。设a为{N，…，Nd的基的变化-pt，R，Rpt}to M={M，…，Md}用矩阵表示A={（aij）1≤i、 j≤d} 。我们开始Ohm*:= Ohm - O其中O：=ω; 秩[M]t（ω）6=ptor[Nl]对于某些情况，t（ω）>0l ∈ {1，…，d-pt}. 从引理2.1和Dt的定义中，我们知道Ohm*完全有可能。我们选择ω∈ Ohm*.