半鞅和随机偏微分方程的主成分分析

在（D1，D2，D3，D4，Q1）下，{ξi；1≤ 我≤ d} 是一个定义良好的V型随机基。根据定义，i（x）=pρ（n）\'nXk=1yitkXtk（x）=dXm=1\'-nXk=1pρ（n）yitkZmtkλm（x）+nXk=1pρ（n）yitkεtk（x）=:R1，i（x）+R2，i（x），x∈ [a，b]。让我们回顾一下，对于任何f∈ E、 我们可以计算Sobolev范数如下kf kE=sup∏Psj∈Π|f（sj）|sj<∞ 其中sup接管[a，b]的所有分区∏。更多详情参见[33]中的1.45号提案。如果∏＝{sj}Mj=1是[a，b]的一个划分，那么xsj∈Π|R2，i（sj）|sj=Xsj∈∏nXk=1ρ（n）| yitk||εtk（sj）|sj+2ρ（n）X1≤k<m≤\'\'nyitkyitmXsj∈Πεtk（sj）sjεtm（sj）sj=：I1，i+I2，iSinceρ（n）^Y（d） ^Y（d）=艾达。s、 然后（Q5）产生| I1，i |≤\'-nXl=1ρ（n）|yitl|kεtl柯≤ sup0≤T≤TkεtkEρ（n）p→ 0as n→ ∞. 柯西-施瓦茨不等式与（Q5）收益率| I2，i |≤ 2ρ（n）X1≤l<s≤“是的lyits | kεtlkEkεtskEp→ 0as n→ ∞. 从引理6.4，我们知道)-1=A，因此（A）-1)= G.由于{λ，…，λd} E、 那么我们显然有kR1，i（·）- ξi（·）kEp→ 0作为n→ ∞. 证据到此结束。在续集中，^p是基于X的di m Q的任何一致估计量。详情见附录。让我来∈ M^d×^dbe矩阵，其行由^Li给出：=^vi；1.≤ 我≤^d，w这里{^v，…，^v^d}是与有序本征值^θ相关联的ma trixc[Y]T（见（6.19））的正交本征向量集≥^θ≥ . . . ≥^θd.让我们定义（6.29）^Zjti:=^L^Yti的第j个分量；0≤ 我≤ \'n，1≤ J≤^dand[^Zj]T:=\'nXi=1^Zjti-^Zjti-1.在样本上0=t<t<…<t’n=t。根据定义，[^Zj]T=^θj；1.≤ J≤^d.现在我们能够展示本文的主要结果。在此之前，我们需要一个线性代数的元素引理。半鞅和随机PDE的主成分分析35引理6.6。让我们，VDE是实希尔伯特空间h中的一组d线性无关向量，其内积h·，·IH和V=span{V，…，vd}。让T:V→ V是一个正交矩阵。如果τ。

，τdis v，…，的Gram-S chmidt正交归一化，VDW和w，WD是T v的G-S chmidTorTorMalization，那么我们有wi=Tτi；i=1，D证据proo f随后只需观察每个v的情况∈ 五、 kT vkH=kvkH，对于每个u∈ 我们有T（P rojvu）=P rojT V（tu），其中P rojvu=vhu，viH/kvkH。定理6.1。设r为满足假设（A1-A2）的随机偏微分方程（6.1）。假设存在满足假设（A2）和（D1、D2、D3、D4、Q1、Q2、Q3、Q4、Q5）的因子表示。对于给定的h∈ dom（A），设Vht=φt+V；0≤ T≤ T是V生成的最小叶理，使得r=h∈ Vhand we setbN:=spann（^L^^^^^^p+1，（^L^^~n）^dobQ:=spann（^L^~n），（^L^~n）^po。那么，V=Q⊕nas和max{d（bN，N），d（bQ，Q）}p→ 0表示n，n→ ∞.此外，（6.30）[^Z]T≥ . . . ≥ [^Z^p]Ta。s、 [^Zi]T 0，^p+1≤ 我≤^d为n，n→ ∞,和^dXj=1^θjp→ kQTk（2）作为n，n→ ∞.证据根据假设（A1-A2），我们将得到一对（Z，λ），它实现了t（x）=φt（x）+dXj=1Zjtλj（x）=φt（x）+dXj=1Yjtξj（x）；0≤ T≤ 其中V=span{λ，…，λd}=span{ξ，…，ξd}，Z是满足假设（A2）和（D1，D2，D3，D4），（Q1，Q2，Q3，Q4，Q5）的连续半鞅。这里，我们设置Y=AZ和ξ（x）=（A）-1)λ（x），其中A由（6.4）给出。根据备注6.4，Y也满足了假设（A2）。为了缩短符号，我们将Gram-Schmidt正交化缩写为GSO。LeteN=sp an{（bLξ）bp+1，…（bLξ）bd}，andeQ=span{（bLξ），…，（bLξ）bp}。遵循定理5.1证明中的相同行，并注意到（见备注6.4）Φ（eN）=Ker（[bY]T）和Φ（N）=Ker（[Y]T），我们得到（6.31）d（eN，N）p-→ 0和d（等式，Q）p-→ 0，作为n，n→ ∞. 利用三角形的线质量，我们得到了（bN，N）≤ d（bN，eN）+d（eN，N），从方程（6.31）中，足以证明d（bN，eN）p-→ 0.作为n，n→ ∞.36 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMASLet{B~n。

和{ξ，…，ξd}如命题6.3所示。设n和n足够大，使得tbp=p和bd=d。设{τ，…，τd}和{bτ，…，bτd}分别是{ξ，…，ξd}和{b，…，bd}的GSO。引理6.6允许我们说明，{bLτ，…，bLτd}是{bLξ，…，bLξd}的GSO，{bLbτ，…，bLbτd}是{bLb，…，bLbd}的GSO。从正交标准化过程中，对于每个k≤ d、 我们有span{bLbа，…，bLbаk}=span{bLbτ，…，bLbτk}和span{bLξ，…，bLξk}=span{bLτ，…，bLτk}。因此，bN=span{bLbτ，…，bLbτp}和N=span{bLτ，…，bLτp}。因此，因为Φ是等距的，所以我们有D（bN，eN）=D（bN，eN）=1-dXi，j（h（bL^τ）i，（bL^τ）ji）a.s.让我们处理括号内的量，并让我们介绍一些符号：用{^aij}表示f^L的矩阵，即对于任何向量v∈ Rd，（bLv）i:=Xj^aijvj。注意，由于转换bl是正交的，我们有xk^aik^ajk=δija。s、 从命题6.3中，我们可以看到h^τi，τjip→ δijas n，n→ ∞. 由于Cebl是o正交矩阵，且正交矩阵集是紧的，所以集{ai，j}在n和n上一致有界，因此Xk6=p^aik^ajph^τk，τpiP→ 0，以及Xk^aik^ajk（h^τk，τki- 1)P→ 0as n，n→ ∞.因此Xk，p^aik^ajph^τk，τpi- δij=Xk，p^aik^ajph^τk，τpi-Xk^aik^ajk≤Xk^aik^ajk（h^τk，τki- 1)+Xk6=p^aik^ajph^τk，τpiP→ 0，作为n，n→ ∞, 这意味着dXi，j（h（bLbτ）i，（bLτ）ji）=dXi，jXk，p^aik^ajph^τk，τpiP→ 1，半鞅和随机偏微分方程的主成分分析，然后是d（bN，eN）p-→ 0as n，n→ ∞. 陈述的证据limn，N→∞d（bQ，Q）=0的概率由定理5.1的假设得出。现在让我们检查一下订单（6.30）。让^θ≥ 1.≥^θ^da。自伴非负矩阵的特征值在a.s.阶递减范围内。

根据定义，^θi=[^Zi]T；1.≤ 我≤^d a.smore，足够大的n，n的特征值是矩阵项的连续函数，^p=p和^d=df。然后，max^p+1≤我≤^d^θip→ 例如→ ∞. 这表明（6.30）成立。最后，通过定义，随机算子QT:V的矩阵→ 沿{ξ，…，ξd}基计算的V由{[Yi，Yj]T；1给出≤ i、 j≤ d}∈因此，kQTk（2）=k[Y]Tk（2）a.s.位置6.2 yieldskc[Y]Tk（2）=^dXj=1^θj=^dXj=1[^Zj]Tp→ kQTk（2）作为n，n→ ∞. 证据到此结束。7.模拟研究和应用在本节中，我们给出了一些数值结果来说明本文开发的方法。7.1. 半鞅PCA。在本节中，我们将说明基于高频采样的有限维半鞅系统的因子空间（W，D）的估计。特别是，目标是阐明命题3.1。在下面的模拟中，我们假设观察到一个4维半鞅，如下所示：我们考虑一个由三维布朗运动B=（B，B，B）和向量场u：R驱动的马尔可夫微分→ 兰德σ：R→ M4×3由u（x，…，x）=（x，-2x+x，x，-x） σ（x，…，x）=1 0 x0 1 00 0 x0 0 x我们可以很容易地检查W={B，B，RMdB}，因为M是一个真正的四维se半鞅，那么M=W⊕ D，其中dim D=1。观测时间被认为是等距的：tnk=2πn-1k；k=0，N- 1其中观察总数为n=2000。图1中的估计因子按二次变化进行排序（见定理5.1），我们清楚地观察到，^jidentifie是一个空的二次变化因子，它产生D。

由pr inc ipal分量解释的二次变化如表1所示，其中ηi=Pij=1^θjPr=1^θr，1≤ 我≤ 4和^θ是与第i个估计主成分^Ji相关的i-估计特征值。38 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMASTable 1。由主成分解释的二次变化^ηηηηη0.7523 0.9021 0.9996 1.000001 2 3 4 5 6-2.2 MtMM1M2M3M40的示例实现-估计因子J^tJ^J^1J^2J^3J^4的样本实现图1。估算W和D7的基准。2.方差与二次方差。在本节中，我们的目标是说明，任何试图实现标准因子模型以减少二次变量的维数的天真尝试都是没有希望的。为此，我们考虑了两个非常简单的时空二维半鞅，它们由一个B罗文运动B.Xt=Btλ（x）驱动+sin（15吨）- 英国电信λ（x）Ut=Btλ（x）+罪（3t）- 英国电信λ（x），其中B是一维布朗运动，λ（x）=xcos（x）和λ（x）=cos（x）- xsin（x）；0≤十、≤ 5, 0 ≤ T≤ 2π. 在续集中，漂移分量用Γt=sin（15t），Γt=sin（3t）表示，我们设置H=（B，Γ-B） H=（B，Γ）-B） 。设M（H）和M（H）分别是由H生成的动态空间。我们显然有m（H）=span{B}⊕ span{Γ}，M（H）=span{B}⊕ span{Γ}这里，在时间变量中，观测时间是等距的：tkn=2πn-1k；k=0，N-1其中o观测的总数为n=2000。在空间变量中，观测时间取等距：xnk=n-1k；k=0，N-1其中，观察总数为n=31。基于方差的高频因子模型提供的估计因子对将是半鞅和随机PDE的主成分分析，表示为（by，by）。这里，BY是领先因素分量方差的估计量。

基于二次变量的高频因子模型提供的估计因子对将用（bZ，bZ）表示。这里，Bzi是二次变化的主导因素成分（见（6.29））。在图3中，我们清楚地看到，基于二阶矩的因子分析无法识别（B，Γ）。主成分估计因子代表具有较大方差的有界变化过程，第二个估计因子实质上是第一个被布朗路径扭曲的因子，其方式是绝对无法识别真实对（B，Γ）。在强烈对比中，图3清楚地报告了e估计对（bZ，bZ）识别了对（B，Γ）。我们强调，在这个二维环境中，真实因子可以估计为乘法常数，因此图2和图3中给出的结果显示了使用我们的方法对M（H）的非常一致的估计。更重要的是，根据二次变化对正确的分割和排序进行了合理的估计。这个数值例子说明，即使在上面X给出的非常简单的时空半鞅模型中，基于波动率方差（二次方差）的因子分析也没有任何可靠的基础。图4显示了l U模式的结果。在这个数值实验中，我们的目标是通过使用标准因子模型来解释方差，说明具有大方差的零二次变异因子可能是主要成分。在图4中，我们通过很好地估计负责U的二次变异子空间的布朗分量B，通过很好地估计负责U的零四次变异子空间的有界变异分量Γ得出结论。

然而，时空半鞅U的正确主导成分是布朗运动，而不是Γ。这个简单的例子表明，就四次变异而言，使用标准因子模型对差异较大的组件进行优先级排序可能会非常复杂。这表明基于变量的经典降维方法不能准确地对半鞅系统进行降维。0 1 2 3 4 5 6-2 Y^1和Y^2tY^1、Y^2Y^1Y^2的样本路径实现-2 Z^1和Z^2tZ^1、Z^2Z^1Z^2图2的示例路径实现。X.7.3的估计系数。从SPDE估算最终尺寸实现。在这里，我们用时空半鞅模型的一些应用来说明我们的方法。第一个例子是基于阿马科夫的差异40阿尔贝托·奥哈希和亚历山大·B·西马斯0 1 2 3 4 5 6-2 Y^1，Z^1和BtY^1，Z^1的样本路径实现，通过^1Z^1 2-2 Y^2、Z^2和Γ1tY^2、Z^2、Γ1Y^2Z^2的样本路径实现图3。图中估算因子的比较？？0 1 2 3 4 5 6-2 Y^1，Z^1和BtY^1，Z^1的样本路径实现，通过^1Z^1 2-2 Y^2、Z^2和Γ2tY^2、Z^2、Γ2Y^2Z^2的样本路径实现图4。空二次变量分量的标准因子分析的具体说明，作为方差Mt=u（Mt）dt+σ（Mt）Dbt的主要se鞅分量，由三维布朗运动B=（B，B，B）和向量场u：R驱动→ 兰德σ：R→ M4×3由u（x，…，x）=（x，-2x+x，x，-x） σ（x。

，x）=100x00x00x000半鞅和随机偏微分方程的主成分分析，其中，（7.1）rt=Xi=1Mitλi，λ=x cos（x），λ=cos（x）-x sin（x），λ（x）=-2罪（x）-x cos（x）和λ（x）=x sin（x）-3 co s（x）。在这种情况下，W=span{M，M，M}，D=s pan{M}，Q=span{λ，λ，λ}，N=span{λ}。图5显示了通过使用基于方差的因子模型^和本文中开发的PCA半鞅^Z，方程（7.1）的估计因子。显然，基于方差的因子模型不能识别子空间D（因此也不能识别N），而PCA半鞅不能识别子空间D。此外，表2给出了^λk:=Pkj=1^mjj/Pj=1^mjj，其中^mjj是矩阵[Y]T的（j，j）-th元素（见（6.19））。表3给出了PCA半鞅通过^ηi=Pij=1^θjPr=1^θr，1解释的变化≤ 我≤ 4式中，θi是与第i个估计主分量^Zi相关的第i个估计特征值。我们可以清楚地看到，在识别二次变异维度时，使用PCA s emimatigale比方差因子模型更有效。0 1 2 3 4 5 6-2 Y^1 Y^10的示例实现4-3 Z^1tZ^10的示例实现-2 Y^2 Y^2的示例实现-3 Z^2tZ^20的示例实现1 2 3 4 5 6-3 Y^3tY^30的示例实现2-1 2 Z^3tZ^30的示例实现2 3 4 5 60.0 2.0 Y^4tY^40的示例实现2 3 4 5 60.0 2.5 Z^4tZ^4的示例实现图5。流形之间的时空半鞅（7.1）动态距离的估计因子现在让我们研究我们的方法在估计随机偏微分方程的最小不变流形（例如V）时的鲁棒性。为此，我们考虑以下对象：Let^V=bQ⊕bN是基于整个样本{（ti，xj）的V的估计量；0≤ 我≤ \'n，0≤ J≤\'N}。

让我们来看看-kbe是在简化样本{（ti，xj）；1=0，…，n上计算的sa me估计量- k、 j=0，\'N}其中1≤ K≤~K和~K是一个较小的固定整数42 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMASTable 2。由主成分解释的二次变量：基于变量的事实r模型^λ^λ^λ^λ^λ0.4795 0.6912 0.9886 1.00001表3。由主成分解释的二次变化：PCA半鞅^η^η^η^η^η^η^η0.7805 0.9794 0.9998 1.0000than’n。为了计算流形之间的距离D，我们对索波列夫内积h·，·iEhf，gia使用以下近似值：=\'NXi=1f（xj）- f（xj）-1)g（xj）- g（xj）-1)xj- xj-1.f、 g∈ E.详见[33]中的1.45号提案。基于h·、·iE的这种近似，我们用gram-Schmidt算法对^V和^V进行了正交化-k、 然后我们使用（5.4）来计算h·，·ia。对于k=1，…，我们重复上述程序，其中K是一个小于n的预加肋整数。其思想是计算（7.2）d（^V，^V）-k） )；k=5,10,15,20，25 0.在有限维入侵流形存在的情况下，k 7→ d（^V，^V）-k） 必须为空，作为n，n→ ∞.为了说明Theorem 6.1的不变性，我们考虑以下随机PDE（7.3）drt=A（rt）+αHJM（rt）dt+Xi=1λidBit。其中挥发率曲线为λ=x cos（x），λ=cos（x）- x sin（x），λ（x）=-2罪（x）- x cos（x）和λ（x）=x sin（x）- 3 cos（x），r=0，A=ddxis是右移位半群（St）t的最小生成器≥0由行动St（x）定义：=（t+x）。我们将α=α设为cla ssicalHeath Jarrow Morton漂移（见Heath等人[32]）。

我们可以很容易地检查，该HJM模型采用了公式DZT=-Ztdt+dBtdZt=(-2Zt+Zt）dt+dBtdZt=（Zt）- Zt）dt+dBtdZt=-ztdta和参数化φt（x）=-（x sin（x）+cos（x））+（（x+t）sin（x+t）+cos（x+t））-λ（x）+λ（x+t）-λ（x）+λ（x+t），在这个例子中，半鞅和随机PDE 43rt=φt+Xi=1Zitλ的主成分分析是（7.3）的强解。我们计算了模型（7.3）的（7.2），表明它在0和2.5×10之间波动-8所以我们不想在本节中报道这个数值实验。比这更有趣的是在有噪音的情况下说明（7.2）。为此，我们考虑了观测过程Xt（x）=rt（x）+εt（x），其中εt（x）=√utsin（πx）对于每一个t都是一个标准的高斯变量≥ 0，使得UTI独立于USS 6=t。图6说明了噪声的存在可能导致对随机PDE的有限维不变流形的存在进行错误分析（7.3）。随着后向滞后的增加，流形之间的距离也随着稳定期的缩短而增加。0 50 100 150 200 2500.05 0.10 0.15歧管之间的距离向后滞后距离图6。动态距离（7.2）：有噪声的有限维实现。4.对真实数据集的应用。在本节中，我们将通过一个实际数据集的应用来说明本文的理论结果。我们考虑了英国央行（Bankof England）获得的英国名义现货曲线，其期限为5至25年（50个期限），每日数据范围为2005年5月27日至2007年10月9日，总计601个观察值。我们假设数据中有一个明确的结构，例如SPDE数据生成过程的有限维实现。第一项任务是估计一个有效流形的基本维度。