随机投资组合理论

在本文的剩余部分中，我们做了以下假设，这意味着NUPBR由上述假设得出：存在一个平方可积的MPRθ（·）。3.2相对套利的存在有了上述定义和关系，我们问自己以下问题：在哪个It^o模型中存在关于市场的相对套利？这个问题在很大程度上仍然悬而未决，因为还没有找到市场模型中存在相对套利机会的一般（确定性）条件。[MU10]在一维情形（即n=1；一只股票的情形）中取得了一些进展，作者证明了市场相对套利的存在与漂移和波动过程b（·）和σ（·）的明确条件等价。然而，对于更高维度的市场，有一个更普遍的结果是非常有趣和有用的；最重要的是，要有易于检查的条件，并且不需要了解提取和波动过程。Johannes Ruf在[Ruf11]的定理8中证明了一般NUPBR市场中相对套利的以下更一般特征：3.2.1引理。让T>0，考虑一个交易策略h（·）∈ 对于最初的财富，p>0。那么，在时间范围[0，T]内存在一个关于h（·）的相对套利机会，当且仅当且仅当所有风险的市场价格为ifE[Zν（T）V!p，h（T）]<p。如果我们取hi（t）=0，i=1，n、 h（t）=p，T∈ [0，T]，所以所有的钱都投资在无风险资产上，那么这个引理给出了存在不可伸缩套利（或1套利）机会的充要条件是所有LMD都是严格局部鞅。对于与市场相关的套利，我们得到如下结果：对于风险为ν（·的所有市场价格，当且仅当ifE[Zν（T）X（T）]<X（0）存在，即。

当且仅当Z（·）X（·）是严格局部鞅。以下是[FK09]中命题6.1的重新表述，在波动性结构的另一个假设成立的情况下，它加强了引理3.2.1的一个方向：正如约翰·鲁夫（Johannes Ruf）向作者指出的那样，几乎任何市场都存在相对套利，因为每个人都可以遵循几乎肯定会赔钱的“自杀策略”，从而构建一个与这种策略相关的套利工具。3.2.2提议。假设以下有界波动条件成立：K>0，使得ξa（t）ξ≤ K | |ξ| |，ξ ∈ Rn，t≥ 每年0人。。（BV）那么相对于市场的相对套利的存在意味着所有的局部鞅定义都是严格的局部鞅。下面的例子说明了如果我们允许波动率是无界的，这个命题是如何失败的。3.2.3示例。让我们考虑以下一维股价过程，来自Cox和Hobson[CH05]：dS（t）=S（t）√T- tdW（t），t∈ （0，T），S（0）=S>0，（41），其中W（·）是所考虑测度下的布朗运动。那么，对于所有S<T，S（·）是[0，S]上的真鞅，但S（T）=0 a.S。这是所谓的“泡沫”的一个例子，我们可以通过以下方式进行相对套利：o定义投资组合π（T）：=0T∈ [0，T]，即。

跟随π（·）的投资者将其所有财富投资于货币市场设ρ（t）：=1T∈ [0，T]；这是一种买入并持有策略，投资者在时间0时将其所有初始财富简单地投入股票S（·），这与这个简单的一维市场中的市场投资组合类似。现在很容易看出π（·）是一个关于ρ（·）的套利，即Vπ（T）=1>0=Vρ（T）a.s。因此，这是一个允许ELMM的市场模型的例子（即（41）持有的度量），但关于市场的相对套利仍然存在——也就是说，命题3.2.2不适用于这种情况。因此，在有界方差假设（BV）成立的市场中，市场相对套利的存在性相当于所有LMD都是严格的局部鞅。如果我们进一步假设过滤是由驱动的d维布朗运动W（·）产生的，即F=FW，那么上述和[FK09]的命题6.2表明相对套利的存在相当于ELMM的不存在。反过来，这相当于存在一个风险为零的免费午餐（FLVR），因为我们假设了NUPBR，这相当于存在一个套利。这导致了以下推论：3.2.4推论。假设（BV）和F=FW。那么，就市场而言，存在一个相对套利，当且仅当存在一个（不可伸缩的）套利时。请注意，根据[Kar12a]，NUPBR假设至少存在一个LMD。4多样性模型第一类市场模型是多样性模型，它表明存在相对套利，无论是在足够长的时间范围内，还是在任意短的时间范围内。

多样性对应于这样一种观察，即不允许任何一家公司在相对资本方面主导整个市场，例如由于反垄断法规。以下定义（即[Fer02]中的定义2.2.1）从数学上正式说明了这一观察结果：4.0.5定义。我们将[0，T]上的市场模型称为多样化，如果δ ∈ （0，1）使得u（1）（t）<1- δ T∈ [0，T]P-a.s.（42）如果δ ∈ （0,1）使TZtu（1）（t）dt<1- δP-a.s.（43）一个自然的问题是，是否存在一个完全符合我们框架的It^o模型（1），或者多样性的定义4.0.5是否空洞。例如，[FK09]中的备注5.1断言，在一个增长率不变且（BV）和（ND）保持不变的市场中，多样性失效。[FKK05]表明，确实存在多种多样的市场模式；也就是说，让δ∈ （1/2,1），d=n，设σ（·）≡ σ是满足（ND）的常数矩阵。让g，gn≥ 0; 那么，对于t∈ [0，T]，setd log Xi（T）=γi（T）dt+dXν=1σiνdWν（T）i=1，n、 （44）其中，对于某些常数M>0，γi（t）：=gi{Xi（t）6=X（1）（t）}-Mδ{Xi（t）=X（1）（t）}log(1 - δ） X（t）/Xi（t）. （45）[FKK05]的作者表明，SDEs系统具有唯一的强解，且多样性性质（42）满足该模型。他们接着构建了一个多样性较弱但不多样的模型。[OR06]的作者描述了一种更通用的方法，即使用测量技术的变化来构建多样化的市场模型。我们在第9节中深入讨论了这种方法。[SF11]、[Sar14]和[KS14]中提出了研究不同市场的其他方法，但这些方法不符合我们的框架（即不属于形式（1），原因是公司被允许合并或拆分）。4.1长期的相对套利尽管之前已经研究过市场的多样性，参见。

[FGH98]和[Fer99a]，Fernholz是第一个在[Fer02]的推论2.3.5中证明（在足够长的时间范围内）在满足波动性结构额外非退化条件的不同市场中存在相对套利的人，使用他定义为熵加权投资组合（见（68））。这种非简并条件类似于（BV）条件：ε>0，使得ξa（t）ξ≥ ε||ξ||, ξ ∈ Rn，t≥ 0 P-a.s.（ND）我们引用[Fer02]中命题2.2.2的以下结果：召回定义2.2.3；u（1）（·）是收集ui（·），i=1，n、 4.1.1提议。如果一个模型是多样的，并且（ND）成立，那么ζ>0，使γ*u（t）≥ ζ T∈ [0，T]P-a.s.（46）相反，如果（BV）和（46）都成立，那么多样性随之而来。等式（46）定义了有效的内在波动性，这是第5节的主题。在这里，我们展示了在这样一个模型中，使用熵加权投资组合，在足够长的时间范围内构建相对套利——参见计算（72）。或者，参见[Fer02]的定理2.3.4和Corrolary 2.3.5，以证明这些投资组合在不同市场中的表现优于市场投资组合。在[FKK05]中，作者指出，在弱多样性市场中，存在另一种与市场投资组合有关的相对套利，即多样性加权投资组合——见（50）。然而，为此，他们还需要假设（ND）假设，这与多样性假设不同，不是来自观察，因此降低了结果的可靠性。现在，我们将展示在[FKK05]附录中如何构建相对套利，即。

在一个（ND）意义下非退化且T在[0，T]上弱多样的市场中≥ 2使用“多样性加权投资组合”记录n/pεδ。这种结构严重依赖于以下引理（也在[FKK05]的附录中得到了证明）：4.1.2引理。如果条件（ND）成立，那么对于任何仅长期投资组合π（·），我们有ε（1）- π（1）（t））≤ γ*定义符号2.2.3中的π（t）a.s.（47）。证据通过定义τπij（t）和条件（ND），我们得到了不等式τπii（t）=（π（t）- ei）a（t）（π（t）- ei）≥ ε| |π（t）- ei | |=ε(1 - πi（t））+Xj6=iπj（t）. （48）将其代入方程（25），我们得出结论γ*π（t）≥εnXi=1πi（t）(1 - πi（t））+Xj6=iπj（t）=εnXi=1πi（t）（1）- πi（t））+nXj=1πj（t）（1- πj（t）=εnXi=1πi（t）（1）- πi（t））≥ε(1 - π（1）（t））。（49）这证明了结果。4.1.3定义。用参数p定义多样性加权投资组合u（p）（·）∈ （0,1）乘以u（p）i（t）：=（ui（t））pPnj=1（uj（t））pi=1，n、 （50）[FKK05]为较弱的多样性类型（如渐近多样性）提出了其他几个定义，但文献中尚未对这些定义进行研究。根据第2.3节的含义，可以检查这个投资组合是由函数GP:x 7生成的→nXi=1xpi1/p.（51）我们计算，对于u∈ r和i，j=1，n、 DijGp（u）=（1- p） （Gp（u））1-2pup-2iupi- （Gp（u））p（i=j）（1）- p） （Gp（u））1-2p（uiuj）p-1（i 6=j）（52）和边界1=nXi=1ui（t）≤nXi=1upi（t）≤nXi=1Np=n1-p、 （53）使用引理2.3.3，等式（52）意味着漂移过程等于（我们省略过程的时间依赖性u（·）和τu（·）以简化符号）g（t）=-1.- p2Gp（u）-nXi=1（Gp（u））1-pupiτuii+nXi，j=1（Gp（u））1-2pupiupjτuij=1.- PnXi=1u（p）iτuii-nXi，j=1u（p）iu（p）jτuij= (1 - p） γ*u（p）（t）（54），因此Vup（T）Vu（T）= 日志Gp（u（T））Gp（u（0））+ (1 - p） ZTγ*u（p）（t）dt a.s。

（55）现在使用边界（53），我们得到下边界Gp（u（T））Gp（u（0））≥ -1.- pplog n，（56），这意味着Vup（T）/Vu（T）≥ N-(1-p） /p，p-a.s.，从γ开始*u（p）（·）是引理2.2.2给出的仅长期投资组合u（p）（·）的非负过程。我们使用（ND）和引理4.1.2，并观察到u（p）（1）（t）≤ u（1）（t）至getZTγ*u（p）（t）dt≥εZT（1）- u（p）（1）（t））dt≥εZT（1）- u（1）（t））dt>εδt（57）。根据方程（57）、界（56）和方程（55），我们得出结论：Vup（T）Vu（T）> (1 - p）εδT-对数npa、 因此，如果我们没有≥ 2 log n/pεδ（即，如果T足够大），我们从方程（58）得到p（Vu（p）（T）>Vu（T））=1。因此，在弱多样性和非退化的条件下，多样性加权投资组合是在足够长的时间范围内相对于市场的相对套利。请注意，这是一个投资组合，因此只投资于股票，因为Cepiu（p）i（·）=1.4.2短期内的相对套利在[Fer02]中首次提出了在任意短期内构建相对套利的问题，并在[FKK05]中解决了非退化弱多样性市场的情况。该构造背后的主要思想是在投资组合e的“镜像”中做空头寸，就其而言，市场投资组合可以被证明是相对套利，并在市场中做多头寸。4.2.1定义。任何问题∈ R、 将π相对于市场组合的q镜像定义为∧π[q]（t）：=qπ（t）+（1）- q） u（t）。（59）与定义方程（14）类似，让我们将投资组合π（·）相对于市场的相对协方差定义为τπμ（t）：=（π（t）- u（t））a（t）（π（t）- u（t））。（60）以下引理是必要的：4.2.2引理，我们在没有证据的情况下引用（见[FKK05]中的引理8.1）。如果存在T>0、η>0和β∈ （0，1）使得ztτππ（t）dt≥ ηa.s。

和Vπ（T）/Vu（T）≤ 对于q>1+（2/η）对数（1/β），则为1/βa.s.，（61）然后为Vπ[q]（T）<Vu（T）a.s.（62）。[FKK05]然后继续显示（见方程式（8.7））logVπ[q]（T）Vu（T）= q日志Vπ（T）Vu（T）+问题（1）- q） ZTτππ（t）dt。（63）我们创建了一个“种子”投资组合π[q]（·），它是e的q镜像，e是第一个单位向量Rn。弱多样性和非退化性的假设允许我们使用引理4.2.2，其中β=u（0）和η=εδT意味着市场组合u（·）是相对于种子的相对关联性，前提是q>q（T）：=1+（2/εδT）log（1/u（0））。最后，如[FKK05]中的示例8.3所示，通过做多$q/（u（0））和做空种子投资组合中的$1，可以对任意[0，T]进行相对套利。这与定义为ξi（t）：=Vξ（t）的唯一长期投资组合相对应qui（t）（u（0））qVu（t）- ~π[q]i（t）V~π[q]（t）, i=1，n、 现在ξ（·）在t=t时优于初始资本为z:=zξ（0）=q/（u（0））q的市场投资组合-1>0美元，因为ξ（·）在市场中多头u（·）而在所述投资组合中短，其在t=t时表现不佳；Vz，ξ（T）=q（u（0））qVu（T）-Vπ[q]（T）>zVu（T）=Vz，u（T）P-a.s.（64）通过选择足够大的q，这可以保持任何[0，T]。然而，请注意，随着时间范围变短，所需的最低初始财富趋于一致：z（T）：=zξ（0）=q（T）/（u（0））q（T）- 1.→ ∞ 作为T↓ 0.5高波动性模型在所谓的高波动性市场中，在高波动性的长期范围内也存在相对套利（无需对波动性结构进行任何额外假设），如前一节（46）所述。这是在[FK05]命题3中首次完成的。1.5.0.3定义。市场满足[0，T]的有效内在波动性，或者称为有效波动性，如果ζ>0，使γ*u（t）≥ ζ T∈ [0，T]P-a.s。

（65）此外，如果存在一个连续的、严格递增的函数Γ：[0，∞) → [0, ∞) Γ（0）=0和Γ(∞) = ∞, 以至于∞ >Ztγ*u（s）ds≥ Γ（t）T∈ [0，T]P-a.s.（66）回忆方程（26）和γ的解释*u（·）作为市场“内在波动性”的衡量标准——这激发了关于（65）的“有效内在波动性”的命名。在[FK05]的图1中，作者认为，通过绘制函数r·γ，房地产（66）在房地产市场中占有一席之地*u（s）ds在很长一段时间内，并在视觉上显示它位于正梯度的直线上。然而，这一特性可能取决于人们开始研究这一函数的时刻，需要使用现实世界的数据进行进一步分析，以便更有力地证明真实股票市场的有效内在波动性。如第5.3节所述，存在形式为（1）且具有充分挥发性的模型。5.1长时间范围内的相对套利[FK05]提案3.1首先表明，熵权投资组合，如下文所述，是在足够长的时间范围内相对于市场的相对套利。在本文中，作者不需要假设（BV）或（ND），而只需要假设（66）。我们在下面展示他们对这些RA机会的构建。5.1.1定义。用参数c>0定义熵加权投资组合πc（·），以确定香农熵函数hc（x）：=c+H（x）：=c生成的投资组合-nXi=1xilog xi。（67）这里，H是标准的香农熵函数。我们可以检查πci（t）=ui（t）（c- 对数ui（t））Pnj=1uj（t）（c- 对数uj（t）），i=1，n、 （68）再一次，我们计算一般μ∈ RnDijHc（u）=-uiδiji，j=1。

，n，（69）带δij的Kronecker delta，带引理2.3.3意味着漂移过程g（t）=2Hc（u（t））nXi=1ui（t）τuii（t）=γ*u（t）Hc（u（t）），（70），其中我们使用了等式（22）。构造相对论域所需的最后一件事是边界c<Hc（x）≤ c+logn；（71）结合引理2.3.3和计算（70），我们得到了这个对数Vup（T）Vu（T）= 日志Hc（u（T））Hc（u（0））+ZTγ*u（t）Hc（u（t））dt>-日志Hc（u（0））c+ζTc+对数na。s、 （72）我们的结论是，如果*（c） ：=ζ（c+logn）logc+H（u（0））c, （73）或者，T>T*:=ζH（u（0））=limc→∞T*（c） ，并且c>0被选为非常大的，那么通过（72）熵加权投资组合πc（·）是在时间范围内相对于市场投资组合的相对套利[0，T]。正如提案4.1.1所述，一个多样化且令人满意（ND）的市场也非常不稳定。因此，从上面可以看出，在这样的市场中，熵权投资组合在足够长的时间后超过了市场——直接证据见[Fer02]的推论2.3.5。5.2短期内的相对套利有效的内在波动性（65）是否是在任意短期内存在相对套利的有效条件，这是一个主要的公开问题。这个问题在[FK09]的备注11.3中提出，目前尚不清楚答案是什么。研究表明，短期内的相对套利存在于高波动模型类的几个子类中，其中一个是带有γ的模型*u（t）≥ ζ>0 a.s.，在某种意义上与（ND）略有不同，即：对于每个紧致K (0, ∞)NεK>0，使得nxi，j=1xixjaij（x）ξiξj≥ ε||ξ||, 十、∈ K、 ξ∈ Rn；（74）见[FK10，pp。