随机投资组合理论

因此，通过它的公式，我们得到了d log Vw，π（t）=bπ（t）-dXν=1（σπν（t））！dt+dXν=1σπν（t）dWν（t）=γπ（t）dt+dXν=1σπν（t）dWν（t），（5）式中γπ（t）：=bπ（t）-Pdν=1（σπν（t））是投资组合π的增长率。注意漂移过程与这个表达式（在（7）中）的差异；因为我们可以写出γπ（t）=nXi=1πi（t）bi（t）-nXi，j=1πi（t）aij（t）πj（t）=nXi=1πi（t）γi（t）+γ*π（t），其中超额增长率定义为γ*π（t）：=nXi=1πi（t）aii（t）-nXi，j=1πi（t）aij（t）πj（t）, （6） 它直接由方程（2）和（5）得出，即log Vπ（t）=γ*π（t）dt+nXi=1πi（t）d log Xi（t），（7），这也推动了γ的命名*π(·).我们通过ui（t）：=Xi（t）X（t），X（t）：=nXi=1Xi（t）定义一个特定的投资组合，即市场投资组合u（·）。（8） 我们假设每家公司只有一股股票（或者，相当于，Xi（·）是公司i的资本化过程），因此ui（t）是公司i在时间t的相对市场权重。与市场组合相关的财富过程是Vw，u（t）Vw，u（t）=nXi=1ui（t）dXi（t）Xi（t）=nXi 1Xi（t）X（t）dXi（t）=dX（t）X（t），（9）和henceVw，u（t）=wX（0）X（t）。（10） 因此，市场投资组合产生的财富等于总市场规模的常数倍：u（·）是一种买入并持有策略。在SPT中，一种方法衡量投资组合相对于市场投资组合的绩效（即，将市场投资组合作为“基准”——这类似于Platen和Heath[PH06]开发的基准融资方法）。因此，市场组合非常重要。方程（5）给出了该d log Vw，u（t）=γu（t）dt+dXν=1σuuν（t）dWν（t），（11）与方程（2）和（10）一起，给出了该d logui（t）=（γi（t）- γu（t））dt+dXν=1（σiν（t）- ∑uν（t））dWν（t）。

（12） 等效地，相对市场权重演变为asdui（t）ui（t）=γi（t）- γu（t）+dXν=1σiν（t）- ∑μν（t）dt+dXν=1σiν（t）- ∑μν（t）dWν（t）=γi（t）- γu（t）+τuii（t）dt+dXν=1σiν（t）- ∑μν（t）dWν（t）。（13） 这里，我们将股票相对于投资组合π（·）的矩阵值协方差过程定义为τπij（t）：=dXν=1（σiν（t）- σπν（t））（σjν（t）- σπν（t））=（π（t）- ei）a（t）（π（t）- ej）=aij（t）- aπi（t）- aπj（t）+aππ（t），（14）其中ei是Rn中的第i个单位向量，aπi（t）：=nXj=1πj（t）aij（t），aππ（t）：=nXi，j=1πi（t）πj（t）aij（t）。（15） 注意，我们有以下关系：nXj=1πj（t）τπij（t）=nXj=1πj（t）aij（t）- aπi（t）-nXj=1πj（t）aπj（t）+aπππ（t）=0，i=1，n（16）因为前两个和最后两个任期相互抵消。最后，还要注意τuij（t）=dhui，uji（t）ui（t）uj（t）dt，1≤ i、 j≤ n、 （17）我们现在给出相对套利的定义：2.1.3定义。（相对套利）让h（·）和k（·）成为交易策略。然后，如果关联财富的过程满足vh（T），则h（·）被称为相对于k（·）的[0，T]的相对套利（RA）≥ Vk（T）a.s.，P（Vh（T）>Vk（T））>0。通常，我们只会考虑和构建相对套利，使用的投资组合根本不投资于无风险资产。然而，也可以使用一种在无风险资产中占有重要地位的交易策略创建RA，正如我们在下面的示例中所示，该示例使用Ruf[Ruf13]的结果在允许NA破产的马尔可夫市场对冲欧洲索赔（见第8.1节）。2.1.4示例。将辅助过程R（·）定义为带漂移的贝塞尔过程-c、 即dR（t）=R（t）- Ct的dt+dW（t）∈ [0，T]，c≥ 0常数和W（·）a BM。我们知道贝塞尔过程R（·）是非常正的。定义股票价格过程比亚迪（t）=R（t）dt+dW（t），S（0）=R（0）>0t∈ [0，T]，所以S（T）=R（T）+ct>0T∈ [0，T]。

风险的市场价格为θ（t，s）=1/（s）-对于（t，s）∈ [0，T]×R+带s>ct。因此，根据[Ruf13]的5.2，当S（t）达到ct时，局部鞅的倒数1/Zθ（·）（见定义3.1.2）正好达到零。对于一般支付函数p和（t，s）∈ [0，T]×R+带s>ct，[Ruf13]的定理5.1暗示，在T=T时支付p（s（T））的索赔具有价值函数hp（T，s）：=Et，s[~Zθ，T，s（T）p（s（T））]（18）=EQ[p（s（T））1{mint≤U≤T{S（u）-cu}>0}F（t）]S（t）=S=Z∞计算机断层扫描-s√T-te-z/2√2πp（z）√T- t+s）dz（19）- e2c（s）-ct）Z∞计算机断层扫描-2ct+s√T-te-z/2√2πp（z）√T- T- s+2ct）dz。现在定义另一个股价过程比亚迪（t）=-~S（t）dW（t），因此P已经是~S（·）的鞅度量。我们有<<S（·）=1/S（·），其中c=0，还有<<θ（·）≡ 0，所以Z∧θ（·）≡ 1.应用它的^o\'公式，注意d logs（t）=-~S（t）dW（t）-~S（t）dt=d对数Zθ（t）；因此，S（t）=S（0）Zθ（t）和∧Zθ，t，S（t）=S（t）~S（t）因此，使用[Ruf13]和（18）中的定理4.1，c=0，我们可以计算该股票的一个单位的套期保值价格为：ν（t，S）：=Et，S[~Zθ，t，S（t）~S（t）]=Et，S[~S（t）]=Et，S[~Zθ，t，1/S（t）~S（t）]=sEt，S[~Zθ，t，1/S（t）=S∞-1/s√T-te-z/2√2πdz-Z∞1/s√T-te-z/2√2πdz！=2sΦs√T- T- 换句话说，这只股票有一个“泡沫”。根据[Ruf13]的定理4.1，相应的最优策略（以投资者持有的股票数量表示）是对冲价格相对于s的导数，即η（t，s）=2Φs√T- T- 1.-s√T- tφs√T- T< 1（t，s）∈ [0，T）×R+。现在η（·，·）是关于η（T，s）：=1（即仅持有股票）的相对套利。也就是说，定义η：=ν（0，s）；因为η（T）=ην（T）<s（T）=V′ν，η（T）是关于η（·，·）的相对套利。

然而，这不是一种“真正的”套利，因为对于η（·，·）：=η（·，·）- η（·，·）我们有V′ν，η（0）=0和V′ν，η（T）=（1）- \'ν）~S（T）>0，但由于η（·，·）<1表示T∈ [0，T），我们得到T的^η（·，·）<0∈ [0，T）并且财富过程在下面是无界的，即^η是不允许的。与策略η（·，·）相对应的无风险资产φ（·）的持有量可以使用自融资方程dV=φdB+ηd)S=ηd)S和V=φB+η)S计算得出φ（T）=V（T）- η（t，~S（t））~S（t）=Ztη（u，~S（u））dS（u）- η（t，~S（t））~S（t），考虑到时间t之前的历史，可以计算出。请注意，φ（·）不是马尔可夫的，通常是非零的。2.2一些有用性质的推导我们现在给出[FK09]中两个引理的证明，这在以后构造相对套利时是必不可少的。让我们首先定义股票i相对于投资组合π（·）asRπi（t）：=log的相对收益过程Xi（t）Vw，π（t）w=Xi（0）。（20） 我们将使用这个过程来证明股票相对于投资组合的方差总是正的，这在引理2.2.2.2.2.1中很有用。我们有τπii（t）=ddthRπii（t）≥ 0.证明。利用方程（2）和（5），我们得到drπi（t）=（γi（t）- γπ（t）dt+dXν=1（σiν（t）- σπν（t））dWν（t）。从这个方程和定义方程（14）中，我们可以看到τπij（t）=ddtDRπi，RπjE（t），因此τπii（t）=ddthRπii（t）≥ 0.我们用它来证明如下，也就是说，我们可以简单地用相对于任何投资组合的协方差矩阵替换（6）中的协方差矩阵：2.2.2引理。我们有num’eraire不变性性质γ*π（t）=nXi=1πi（t）τρii（t）-nXi，j=1πi（t）πj（t）τρij（t）（21）对于任意两个投资组合π（·）和ρ（·）。特别是，我们有γ*π（t）=nXi=1πi（t）τπii（t），（22），这对于任何只做多的投资组合π（·）都是非负的。证据

通过定义方程（14）中的τρij（t），我们得到nXi=1πi（t）τρii（t）=nXi=1πi（t）aii（t）- 2nXi=1πi（t）aρi（t）+aρρ（t）（23）和nXi，j=1πi（t）πj（t）τρij（t）=nXi=1πi（t）πj（t）aij（t）- 2nXi=1πi（t）aρi（t）+aρ（t）。（24）把等式（23）和（24）放在一起，我们可以看到nXi=1πi（t）τρii（t）-nXi，j=1πi（t）πj（t）τρij（t）=nXi=1πi（t）aii（t）-nXi，j=1πi（t）πj（t）aij（t）= γ*π（t）的定义（6），证明了第一种说法。现在，选择ρ（·）=π（·），再线性化（16），我们可以把超额增长率写成γ*π（t）=nXi=1πi（t）τπii（t）；（25）即股票相对于π（·）的方差加权平均值。最后，利用等式（25）、定义2.1.1和引理2.2.1，我们得出结论，对于所有长型单体组合，我们都有γ*π（t）≥ 0.注意，对于π（·）=u（·），我们从方程（25）中得出，市场组合的超额增长率为γ*u（t）=nXi=1ui（t）τuii（t），（26）即股票相对于市场的方差加权平均值。这被解释为衡量市场的“内在波动性”。由于这在后面会很有用，让我们介绍一些符号：2.2.3定义。我们将使用由θ（1）（t）：=max1定义的逆序统计符号≤我≤n{θi（t）}θ（i）（t）：=max{θ（t），…，θn（t）}\\{θ（1）（t），…，θ（i）-1） （t）}, i=2，n（27）对于任意Rn值过程θ（·）。因此我们有θ（1）（t）≥ θ（2）（t）≥ . . . ≥ θ（n）（t）。（28）2.3功能生成的投资组合与经典方法相比，SPT构建绩效良好的投资组合的最大优势在于，一般来说，它不需要估计股票的漂移或波动性。SPT的机制，即几乎所有相对套利的构造方式，涉及Fernholz（参见[Fer99b]中的定义3.1）所称的功能生成投资组合（FGP）：2.3.1定义。让你 n+是给定的开放集。

打电话给G∈ C（U，（0，∞)) 组合π（·）的生成函数→ xiDilog G（x）在U上有界，如果存在一个可测量的、适应的过程G（·），比如d logVπ（t）Vu（t）= d对数G（u（t））+G（t）dt，T≥ 0，a.s.（29）我们可以将上述方程解释如下：衡量投资组合π（·）相对于市场表现的过程（29）的LHS）可以分解为有限变化的随机部分，写为市场权重过程的确定函数，加上有限变化部分g（t）dt。事实上，[Fer99b]的定理3.1表明定义2.3.1等同于以下内容：2.3.2命题。让定义2.3.1中的函数G生成投资组合π（·）。那么我们有下面的表达式，对于i=1，n：πi（t）=Dilog G（u（t））+1-nXj=1uj（t）Djlog G（u（t））· ui（t）。（30）注意，这确实定义了一个投资组合，尤其是Pni=1π（t）=1。我们给出了命题2.3.2的相反方向，如[FK09]所示。我们用Di表示第i个坐标的导数。2.3.3引理。对于满足（30）的投资组合π（·），我们得到π（·）由G生成，即logVπ（T）Vu（T）= 日志G（u（T））G（u（0））+ZTg（t）dt a.s.（31），其中g（t）：=-12G（u（t））nXi，j=1DijG（u（t））ui（t）uj（t）τuij（t）（32）称为漂移过程。证据第一步首先，让我们证明（31）的LHS项的一个有用表达式，即方程式（35）。一般来说，我们从方程（7）中得到Vπ（T）Vρ（T）= γ*π（t）dt+nXi=1πi（t）d对数Xi（t）Vρ（t）. （33）设置ρ（·）=u（·）并回忆方程（10），这就变成了对数Vπ（T）Vu（T）= γ*π（t）dt+nXi=1πi（t）d logui（t）。（34）现在，分别回忆对数ui（·）和ui（·）的动力学表达式（12）和（13），并将num’eraire不变性属性（21）应用于getd logVπ（T）Vu（T）=nXi=1πi（t）ui（t）dui（t）-nXi，j=1πi（t）πj（t）τuij（t）dt。

（35）第二步为了将Vπ（T）/Vu（T）与G（u（0））和G（u（T））联系起来，我们需要推导一个有用的对数G（u（·））动力学表达式。注意关系dijlog G（u（t））=DijG（u（t））G（u（t））- DiG（u（t））·DjG（u（t））并引入符号gi（t）：=Dilog G（u（t）），N（t）：=1-Pnj=1uj（t）gj（t）；然后，使用关系式（17），我们得到了，即d log G（u（t））=nXi=1gi（t）dui（t）+nXi，j=1Dijlog G（u（t））dhui，uji（t）（36）=nXi=1gi（t）dui（t）+nXi j=1DijG（u（t））G（u（t））- gi（t）gj（t）！ui（t）uj（t）τuij（t）dt。第三步最后，请注意，使用我们的临时符号，定义方程（30）变成πi（t）=（gi（t）+N（t））ui（t）；我们计算xi=1πi（t）ui（t）dui（t）=nXi=1gi（t）dui（t）+N（t）dnXi=1ui（t）=nXi=1gi（t）dui（t）（37）和nXi，j=1πi（t）πj（t）τij（t）=nXi，j=1（gi（t）+N（t））（gj（t）+N（t））ui（t）uj（t）τij（t）=nXi j=1gi（t）gj（t）uj（t）τij（t），（38），其中我们在最后一步中使用关系式（16）。因此，方程式（35）变成了对数Vπ（T）Vu（T）=nXi=1gi（t）dui（t）-nXi，j=1gi（t）gj（t）ui（t）uj（t）τuij（t）dt，并将结果与方程式（36）和定义（32）进行比较。2.3.4备注。这一结果的重要性怎么强调都不过分，因为它允许我们将观察到的市场属性（以及随着时间的推移某些过程行为的条件）与投资组合相对于市场投资组合的相对表现联系起来。通过选择合适的生成函数G，可以从下面确定（31）的RHS上的第一项。此外，波动过程只出现在漂移过程g（·）中，而漂移过程在（31）中根本不出现。

这将是我们构建相对套利机会的方法。[Str13]中提出了FGP的一般化，作者在其中演示了生成函数如何依赖于其他参数，这些参数是有限变化的过程（例如时间，或来自twitter提要的实时信息），如何针对不同于市场组合的组合进行基准测试，以及这些变化将如何修改主方程（31）。这些广义的FGP尚未在文献中找到应用，可能会为研究包含内幕信息或观察的FGP提供一个框架。[FK09，备注11.5]中提出的一个公开问题是，是否存在非功能性生成的相对位。Pal和Wong以两种不同的方式回答了这个问题，这取决于对这个问题的解释：o在他们的论文[PW13]中，作者采用信息论方法进行投资组合绩效分析（在第11.2节中讨论），并表明，在某些假设下，确实存在所谓的能量熵投资组合，其在足够长的时间范围内优于市场，但变化有限，取决于股票价格的整个历史，因此不是功能性产生的文献[PW14]证明，如果仅限于仅依赖于当前市值的投资组合类别，功能生成投资组合的轻微泛化是唯一可能导致相对套利的类别。3无套利条件有几种套利的概念，以及这些概念不存在的相应假设，它们与特殊目的交易相关。

各种无套利条件与局部鞅定义的存在之间的关系已在几篇论文中得到证明——Fontana[Fon13]总结并谴责了其中许多关系。3.1套利的概念和定义我们首先使用[KK07]的定义4.1定义定义了相关的套利类型，其中首次提出了有界风险的无界利润（UPBR）的概念。3.1.1定义。考虑一个时间范围[0，T]，其中T≤ ∞. 我们定义了以下套利概念：o策略h（·）∈ 斧头≥ 如果Vx，h（T），则为x套利≥ x、 P-a.s.，P（Vx，h（T）>x）>0，如果x=0，则为强套利或可扩展套利市场不满足iflimc有限风险无限利润（NUPBR）→∞嘘∈AP（V0，h（T）>c）=0.oA序列（hn（·））n∈N∈ 如果存在ε>0和增量序列（δn）n，则称A为具有消失风险（FLVR）的免费午餐∈Nwith 0≤ δn↑ 1，使得V0，hn（T）>δnP-a.s.和P（V0，hn（T）>1+ε）≥ ε.o 如果存在P（τ<T）>0的停止时间τ和交易策略h（·），市场允许立即套利（IA）∈ A由（τ，T）支撑，即h（T）=h（T）（τ，T），使得V0，h（T）>0 P-A.s。T∈ （τ，T）。我们记得，等价局部鞅测度（ELMM）是一个概率测度，等价于物理测度P，其性质是贴现价格过程是Q下的局部鞅。根据资产定价基本定理（FTAP），参见[DS94]中的推论1.2，NFLVR条件等价于ELMM的存在。此外，如[KK07]的命题4.2所示，如果且仅当无套利（NA）和NUPBR条件都成立时，NFLVR条件成立。[Kar12a]表明，上调利率相当于可能更为常见的第一类套利。

此外，[CT13]的引理3.1证明了NUPBR意味着NIA，从[DS95b]的引理3.1我们得出结论，NUPBR市场中唯一可能的套利机会是不可扩展的。Fontana和Runggaldier[FR13]的命题2.4表明，当且仅当存在市场风险价格（MPR）时，NIA成立，即某些Rd值的渐进可测量过程θ（·），如b（t）- r（t）1=σ（t）θ（t）P Leb-a.e.（39）由于允许NFLVR条件在SPT中失败，并且仅假设较弱的NUPBR条件，因此不能保证存在ELMM。以下目标将对我们更感兴趣和更有用：3.1.2定义。如果非负过程Z（·）满足Z（0）=1且Z（T）>0p-A.s，则称为局部鞅定义（LMD），且Z（·）V0，h（·）是所有h的P-局部鞅∈ A.在[Kar12a]中，证明了NUPBR条件等价于至少存在一个LMD。对于施加NUPBR条件的一般It^o模型（1），我们通过[CT13]的引理3.1知道NIA成立，这反过来意味着MPR存在。如果weRecall，根据定义2.1.2，A是初始财富为零的可接受交易策略集，即具有非负对应财富过程的交易策略集。进一步假设存在一个平方可积MPR，即满足（39）的θ（·）以及zt | |θ（t）| | dt<∞ a、 美国。T>0，那么众所周知，指数局部鞅θ（T）：=exp-Ztθ（s）dW（s）-Zt | |θ（s）| | ds, 0≤ T≤ T、 （40）是一个局部鞅函数。回想一下标准理论，E[Zθ（T）]=1（所以Zθ（·是鞅）当且仅当存在一个ELMM；LMD就是ELMM的RadonNikodym密度。