随机投资组合理论

，Xn（·））资本化向量；我们假设投资者除了观察到的股票价格之外没有任何其他信息。形式为π（t）的Thusa投资组合：=（π（t）t<τδ∧ ~τu（t）t≥ τδ∧ ~τ,（164）带)τ:= inf{t>0 |带参数ε的非简并性失效}，（165）不是可预测的投资组合，因此不允许，因为无法确定仅仅通过观察股票价格就可以判断是否发生了。上述见解确实提供了以下线索：在剧烈波动的市场中，在寻求相对套利或任意短的时间期限，这是一个重大的开放问题，人们可以尝试在关于Xi（·i=1，…）行为的额外可观察假设下，找到一个具有这种理想属性的投资组合，n、 然后使用构造图4：对应于“gammadistributed”投资组合πi（t）的财富过程的无摩擦演化∝ ui（t）k-1e-ui（t）/θ，k=1.5，θ=0.0001，π（·），p=1（市场投资组合），p=-1和p=0（EWP），只要ui（t）=0，都需要调整πi（t）=0。（141）在这个假设不成立的更一般的市场中进行相对套利。对于该投资组合，我们计划研究以下内容：o尝试使用[FK05]或[BF08]中开发的镜像投资组合技术构建短期相对套利，o本着[Kar08]第7节的精神，将我们的结果扩展到更一般的半鞅市场模型，o调查在离散时间内应用连续时间理论的有效性和效果，将DWP与EWP或市场投资组合混合，以构建一个在比（128）更温和的条件下保持的相对渗透率。对于后者，我们计划使用表1.11未来研究中的结果。我们提出了一些我们认为值得详细研究的想法。

以上提到了其中一些，在第10.11.1节“最优相对套利”的末尾，我们希望尝试将[FK10]中最优相对套利的特征推广到可能为F6=FW的不完全市场。迈克尔·莫诺伊奥斯（Michael Monoyios）建议通过[KLSX91]中首次提出的“有效完成”市场来实现这一点，即通过将不完整模型嵌入到无约束市场中，对索赔X（T）进行混合。寻找最佳（仅限长）portfolioor FGP的特征也很有意义。进行这项研究的一种可能方法是使用[PW14]第4节所述的Monge-Kantorovichophimal运输模式。SPT的最大优势显然是它的鲁棒性，即它不需要参数估计。该理论提出的所有投资组合仅可利用市场上公司的当前资本实现。然而，投资者可能希望在选择投资策略时包含某些信念，例如关于某些股票价格的终值和漂移，或者因为她有内幕信息——这在SPT框架内尚不可能，这将是一个有趣的研究方向。[Str13]通过定义FGPs的扩展，朝着纳入额外信息的方向迈出了第一步，允许生成函数依赖于额外的有限变量。这些论据中包含的信息包括基本经济数据和从Twitter提要中提取的信息。Strong没有说明包含此类信息将如何影响最终的投资组合，也没有说明在给定信息的情况下如何优化相对套利。

[CT13]中描述了进行这种优化的一种可能方法，即使用密度改变度量，该密度转换投资者的信念，即某个事件（即停止时间）不会在某个地平线T之前发生，从而改变股票价格的动态。然而，在一般模型中不可能明确地进行这些度量变化，而且[CT13]中只处理一维情况。[PW13]中采用了一种更具前景的方法，在该方法中，作者能够在给定权重函数的情况下，在两个股票市场中转换信念或统计信息，从而找到最佳投资组合——见第7.2节。他们只在市场模型的两个玩具示例中这样做，但尝试将这种方法推广到高维和不太明确的市场模型将是有趣的。考虑到第7.2节中的权重函数，例如，可以尝试在一类FGP投资组合中找到最佳策略，例如多样性加权投资组合。然后可以调查这是否与[FK10]中的最优相对套利特征有关，参见第7.2.11.2节信息论方法最近，Pal和Wong在[PW13]中开发了另一种研究投资组合绩效的方法，该方法受信息论的启发，完全独立于模型（例如，参见[CT12]）。他们推导出离散和连续时间内一般投资组合的“主方程”。在离散时间内，投资组合π（·）的市场相对表现为对数Vπ（T）Vu（T）=T-1Xt=0γ*π（t）+H（π（0）|u（0））- H（π（T）|u（T））+T-1Xt=0H（π（t+1）|u（t+1））- H（π（t）|u（t+1））, （166）其中H：n+×n+→ R是概率分布π相对于分布u的熵，定义灰（π|u）=nXi=1πilogπiui，和γ*π（·）是过剩增长率的离散类似物，作者称之为“自由能”。

也就是说，Pal和Wong将投资组合解释为n个原子上的离散概率分布，其中n是市场中的股票数量。作者在[PW14]中进一步阐述了这一点，他们在[PW14]中展示了如何将给定市场某些属性的RAs查找问题作为Monge-Kantorovich最优运输问题来处理。进一步发展这种方法是非常有意义的。注意，对于EWPπ（·）≡ 1/n，则（166）中的最后一项为零，因此EWP相对于市场的离散时间性能可以分解为其累积自由能，或单调增加的超额增长率，以及熵的负变化：logVπ（T）Vu（T）=T-1Xt=0γ*π（t）|{z}≥0+nnXi=1logui（T）ui（0）≥ D（u（T））-D（u（0））。（167）这里，D：n+→ 由x 7定义→ 1/nPni=1对数XI是多样性的度量，如[Fer02]定义3.4.1所述；i、 它是C，对称且凹。由于D也在增加，这证明了以下有趣的含义：市场多样性增加=> EWP优于市场图5显示，尽管在观察期内市场多样性有所下降，但由于累积自由能项，EWP仍优于市场，这是由于平衡。这里，D已经扩展到通过设置D（x）=0十、∈ Rns。t、 七夕=0。[PW13]中的投资组合分析信息论方法是全新的，尽管它与Cover对其通用投资组合的构建有一些共同特点——参见[Cov91]和[Jam92]。很有意思的是，看看这种方法如何与标准普尔交易中的恩霍尔茨方法相关联，以及这是否可以用来发现通用投资组合和FGP之间的任何关系，从而解决[FK09]备注11.7中提出的悬而未决的问题。

然而，由于Cover的通用投资组合取决于整个股票收益率历史，而FGP只取决于当前的市场配置，因此作者尚不清楚这种关系可能是什么样子。然而，或许“事后诸葛亮选择最佳投资组合”的想法可以应用于FGP，从而通过对FGP而非固定比例投资组合进行业绩加权平均来修改Cover的算法。11.3实际市场中的实施和绩效迄今为止，SPT中的一些缺陷被忽略，其中最值得注意的是交易成本的存在，这在很大程度上限制了FGP在实际市场中的实施。当→ ∞ 在大盘限制中，给出大盘投资组合的解释。请注意，上述定义的D与[Fer02]中的定义不完全匹配，因为它不是正的；然而，这并不重要，因为我们只考虑D值的变化，即多样性的减少或增加。图5：EWP相对于市场（黑色）的无摩擦对数相对性能分解为累积超额增长率和多样性变化。这些术语的总和以红色显示，由于股市暴跌，与实际财富不同。连续设置，因为这些通常是有限的变化。关于这一点，唯一现有的理论工作是[Fer02]中的第6.3节，其中Fernholz对参数为p的多样性加权投资组合π（·）的周转率进行了粗略的近似∈ （0,1）当每次投资组合权重偏离目标权重的固定倍数δ时，它被重新平衡。他发现，截至时间t的总营业额为δ（1）- p） γ*π（t）。

（168）这一近似值只是首次尝试量化因再平衡而产生的交易总量，为了实现这一点，我们做出了许多假设。通过减少假设，通过对更一般的投资组合和再平衡标准进行改进，尝试并改进这种近似是很有意思的。理想情况下，我们希望在SPT的背景下开发一个交易成本理论（以及可能的优化）。几乎没有任何SPT的理论结果经过实际市场数据的检验。在[Fer02]的第6章中，作者使用80年窗口期内的历史股价数据来计算投资者的财富过程，该投资者本应实施多元化和熵权加权投资组合，表明其表现将显著优于市场。然而，这种简单的计算忽略了交易成本、股票不可分割性和市场监管等关键缺陷——随着比例交易成本的引入，天真地遵循特殊目的交易策略的投资者将因持续的再平衡而破产。

为了能够研究计算出的策略如何在真实市场中实施，例如对冲基金，以及它们如何与Cover的全球投资组合进行比较，[PW13]中建议的投资组合，[IPB+11]中提到了同等权重的投资组合，而这个话题只被略微提及。在num’eraire投资组合（见第7节）中，使用真实世界的数据并考虑现实的市场摩擦是很有意思的——我们在第10.1节中首次尝试了这一点。使用来自真实市场的数据，例如来自CRSP数据集的数据，还可以测试不同再平衡频率或标准（这归结为在交易和目标投资组合之间的不同距离度量之间进行选择）在交易成本和回报之间的交易效率。此外，Michael Monoyios建议从效用的角度研究相对套利是否是好的：尽管它们不是最优的，因为它们没有最大化预期效用，但它们不需要任何漂移或波动性估计，不像效用最优投资组合，后者明确依赖于它们投资的股票的漂移和波动性。人们可以尝试量化FGPST在市场中所需的不确定性量，以便比num’eraire投资组合做得更好。由于在SPT（如VSM）中考虑的模型中，通常很难明确计算预期效用，因此可能需要进行模拟或使用真实世界的数据来进行计算。11.4大型市场在[Shk12]和[Shk13]中，Shkolnikov分别研究了基于等级的模型和VSM在股票数量趋于一致时的限制行为——这个问题在[FK09]的备注11.6中提出。

虽然他更感兴趣的是大盘中股票的结果动态，但我们想看看这些动态如何影响此类市场中的投资组合行为，以及在这种情况下投资组合的含义。例如，人们还能在大型市场上构建相对套利或长期增长机会吗？这些渐近线能让我们知道如何投资大市场，比如美国股市吗？为了回答这些想法，我们想利用哈姆布莱、赖辛格和其他人（见[BHH+11]和[PR13]）在研究大型市场方面取得的进展。另一种方法可能是[PR12]中的方法，其中Platenand Rendek直接应用大数定律和中心极限定理，以表明当市场成分的数量趋于一致时，等权投资组合收敛于num’eraire投资组合。11.5我们希望解决的其他更具体的研究问题包括以下内容：o虽然优先级较低，但最好将PT的框架和结果推广到半鞅市场模型，其中也有跳跃成分。人们必须考虑多样性和有效内在波动性条件的类似物，在这种一般情况下推导FGP理论，并看看多样性和熵加权投资组合是否仍然是相对套利，以及在什么时间范围内。

康斯坦丁诺斯·卡达拉斯曾向作者提到这是可以做到的塞缪尔·科恩（Samuel Cohen）在一次个人交流中反驳了SPT的建模方法，称他认为在建模股票价格时，尤其是在概率非常小的事件上，几乎确定假设（如多样性或有效的内在波动性）是不可取的，他说这可能导致反常的模型。请注意，[KLSX91]和[KK07]可以在NUPBRmarket中实现预期效用最大化；不需要ELMM。他建议用高概率的假设来削弱这些假设，或者做出不同但相似的假设。这可能不会再像相对套利那样导致几乎肯定的比较，而是导致统计上的暴跌。迈克尔·莫诺伊奥斯说，这与[PS10]对测量浓度的研究有关。我们注意到[PW14]第5节对统计套利做了一些评论，试图解释[FMJ07]中的观察结果在（某些）基于等级的模型（如Atlas）中，在有限（甚至任意短）的时间范围内是否存在相对套利？首先，我们必须推导出此类模型中的投资组合动态[FK09]建议在只允许使用多头投资组合而非一般交易策略的情况下，通过一定的因素计算最大相对回报和最短时间来击败市场[FK05]建议在零增长率（α=0）的情况下，通过某个因素计算出击败市场的最短时间我们已经研究了在剧烈波动的市场中构建短期相对套利这一主要开放问题的几种方法（见第5.2节）。我们计划写下我们的想法，并决定这是否是一个可行的项目广义增长率γ*π、 p（·）是从下方限定的，如[BF08，p。

452].o 可以用镜像法构建短期RAs，但用p>1而不是e的多样性加权投资组合构建“种子”吗在离散时间中应用SPT的连续时间理论有多有效在较短的时间尺度上研究资本分配曲线；稳定占上风吗？在撞车时也是这样吗？致谢作者首先要感谢他的导师迈克尔·莫诺伊奥斯校对了他的作品并提供了反馈。他还想感谢约翰·斯鲁夫和克里斯托夫·赖辛格的几次富有成效的讨论和有益的评论，以及托奥安尼斯·卡拉扎斯关于负参数多样性加权投资组合的详细通信和建议。最后，Thibaut Lienart和Samuel Cohenhave为实证研究做出了有益的贡献。参考文献[BF08]阿德里安·D·班纳和丹尼尔·费恩霍尔茨。短期相对套利的非意愿稳定了市场。安。《金融》，4:445–4542008。[BFK05]阿德里安·D·班纳、丹尼尔·费恩霍尔茨和伊奥尼斯·卡拉萨斯。股票市场的阿特拉斯模型。安。阿普尔。Probab。，15(4):2296–2330, 2005.[BHH+11]尼克·布什、本·M·哈姆布莱、海伦·霍沃斯、雷金和克里斯托夫·赖辛格。投资组合信用建模中的随机演化方程。暹罗金融时报。，2(1):627–664, 2011.[BHS12]二汉·贝拉克塔尔、黄玉瑞和宋清硕。以给定的概率超越市场投资组合。安。阿普尔。Probab。，22(4):1465–1494, 2012.[BKX12]二汉·贝拉克塔尔、康斯坦丁诺斯·卡达拉斯和郝星。严格的局部鞅函数，并对美式看涨期权进行估值。金融斯托赫。，(16):275–291,2012.[BR12]安格斯·布朗和伦纳德·罗杰斯。不同的信仰。《概率与随机过程国际期刊》，84（5-6）：683–7032012。[CH05]亚历山大·M·G·考克斯和大卫·G·霍布森。