随机投资组合理论

我们将限制p以后可以采用的值。注意，对于p<0，我们有界（53）：n1-p=nXi=1NP≤nXi=1upi（t）=（Gp（u（t））p≤ （n）- 1） δp+（1）- （n）-1） δ）p<nδp；（129）因此我们有了boundlogGp（u（T））Gp（u（0））> 我们假设δ<1/n是一个负数。当p∈ （0，1），其中π（1）（t）=up（1）（t）PiuPi（t）≤ u（t），因为在这种情况下x 7→ xp是一个递增函数。然而，对于p<0，x7→ xp是一个递增函数，上面的不等式不再成立（因此通常的证明失败）。然而，在假设（128）和使用（129）的情况下，我们得到π（1）（t）=up（n）（t）PiuPi（t）≤δpn1-p=（nδ）pn<1（131），如果我们额外假设p∈ （对数n/对数（nδ），0）。[FK09]中的引理3.4（最初在[FKK05]的附录中得到了证明）-见引理4.1.2）以及（131）表明ZTγ*π（t）dt≥εZT（1）- π（1）（t））dt≥εT（1）-（nδ）p/n）。（132）因此，使用费恩霍尔茨的主方程（31），我们得出Vπ（T）Vu（T）= 日志Gp（u（T））Gp（u（0））+ (1 - p） ZTγ*π（t）dt>log（nδ）+（1）- p） εT（1）-（nδ）p/n）≥ 0 a.s.，前提是≥ T*δ:=-2n对数（nδ）ε（1）- p） （n）- （nδ）p）；（133）也就是说，投资组合π（·）在足够长的时间范围内超过市场。10.2.3表现优于“正常”DWP除了（128）和非简并性，即有界方差（BV）的假设外，还有一个额外的假设，可以表明，对于p>0的DWP，具有负参数p的DWP可以是相对套利。以p为例-∈ （对数n/对数nδ，0）和p+∈ （0，1），设π-（·）和π+（·）是参数为p的多样性加权投资组合-和p+。注意1≤Gp+（u（t））p+≤ n1-p+。（134）根据[FK09]的引理3.4（引理4.1.2的类似物），有界方差意味着a.s.不等式γ*π+（t）≤ 2K（1）- π+（1）（t））T≥ 0

（135）注意，对于任何非常数生成函数，该下界必然为负。非简并性意味着（132），它与（31）、（129）、（134）、（135）以及π+（1）（t）的观测值一起≥ 1/n，giveslogVπ-（T）Vπ+（T）= 日志Vπ-（T）Vu（T）- 日志Vπ+（T）Vu（T）= 日志全科医生-（u（T））Gp+（u（0））Gp-（u（0））Gp+（u（T））+ZT(1 - P-)γ*π-（t）- (1 - p+）γ*π+（t）dt>logn1/p-δ·1n（1-P-)/P-· n（1）-p+/p++ε(1 - （nδ）p-/n） （1）- P-) - 2Kn- 1n（1- p+）T=对数δn2-1/p++C·T>0 a.s.（136）前提是CT>-日志δn2-1/p+, （137）正数（因为δ<1/n）。这里，我们使用了符号C:=C（p-, p+，ε，K，δ，n）：=ε（1）- （nδ）p-/n） （1）- P-) - 2Kn- 1n（1- p+。如果C≤ 0，（136）永远不是正的。然而，如果C>0，（137）给出了条件t>-日志δn2-1/p+C（138）因此在这种情况下π-（·）几乎肯定在足够长的时间范围内优于π+（·）。现在，如果p+不是太小，即π+接近市场投资组合，C>0是可能的。也就是说，当且仅当ifp+>1时，C>0-ε（n）- （nδ）p-)(1 - P-)4K（n）- 1） ，在执行“正常”DWP时，哪个数字小于1.10.2.4？有人可能会想，第10.2.3节中的构造是否可以反过来工作，即表明π+（·）优于π-（·）在特定的时间范围内。我们显然不希望这是真的，因为我们会得出一个矛盾，为了完整起见，我们明确地展示了这一点。请注意，在非简并和有界方差假设下，（132）和（135）适用于任何只做多的投资组合。应用于π+（·），（132），以及早期观察到的（128）意味着参数（n）的多样性-1） δ和π+（1）（t）≤u（1）（t），导致ztγ*π+（t）dt≥εZT（1）- π+（1）（t））dt≥εT（n）-1)δ.

（139）因此我们得到了T>0 s.T.logVπ+（T）Vπ-（T）= 日志Gp+（u（T））Gp-（u（0））Gp+（u（0））Gp-（u（T））+ZT(1 - p+）γ*π+（t）- (1 -P-)γ*π-（t）dt>logδn2-1/p++ε（n）- 1)δ(1 - p+）- 2Kn- 1n（1- P-)· T> 0 a.s.（140）当且仅当（自对数δn2）-1/p+<0）ε（n）- 1)δ(1 - p+）- 2Kn- 1n（1- P-) > 0<==> K<ε（1）- p+）δ4（1）- P-)/nbut:1- p+<1- P-δ<1/n=> K<ε。我们已经得出了一个矛盾的结论，上面给出的Vπ+（T）/Vπ的下界-（T）永远都不是正面的。10.2.5非失效假设的减弱我们可以对负p的DWP进行轻微调整，以便使其成为相对套利，即使在非失效条件（128）仅在时间范围内有效的市场[0，T*δ] ，与T*δ（133）中定义的该投资组合击败市场所需的最小期限。即，设π（·）为多样性加权投资组合，p∈ （对数n/对数nδ，0），乘以阈值δ>0，对于t≥ 0定义投资组合π（t）：=（π（t）t<τΔu（t）t≥ τδ，（141），其中停止时间τδ定义为条件（128）第一次失败的时间：τδ：=inf{t>0 |u（n）（t）=δ}。（142）很容易看出^π（·）是可预测的，因为π（·）和u（·）以及事件{t≥ τδ}; 后者是因为我们假设价格过程是适应和持续的。注意τδ>T*δ根据假设。现在不管怎样*δ≤ t<τδ，我们的结果（133）表明π（·）超过市场持有量，即通过增加δ（t）的对数因子：-对数（nδ）+（1）- p） εt1.-（nδ）pn> 0; （143）即Vπ（t）>exp（fδ（t））·Vu（t）T∈ [T]*δ、 τδ）P-a.s。

（144）因此我们有V^π（t）=Vπ（t）>Vu（t）T∈ [T]*δ、 τδ）V^π（τδ）=Vπ（τδ）>Vu（τδ）V^π（t）=Vπ（τδ）Vu（τδ）·Vu（t）>Vu（t）t>τδV^π（t）>Vu（t）T≥ T*δP-a.s.因此，（141）中定义的^π（·）是在所有时间范围内[0，T]相对于市场投资组合u（·）的相对套利，T≥ T*δ.还要注意的是，在[Str13]的广义意义上，上述投资组合仍然（随机）由函数gp（x）{τδ>t}+{τδ生成≤t} 。[BF08]中使用了类似的构造，以构造包括VSM在内的amodel类中的短期相对套利。停止时间τδ后，不想返回低风险市场投资组合的投资者可以采取以下任一措施，以期提高其回报率：首先，当市场权重降至u（n）（τδ）=δ时，她可以出售其持有的最低级别股票的所有股份，只投资于n- 1剩余股票经过时间τδ等一次又一次的市场权重下降到投资者的阈值δ。另一种可能性是调整^π（·）如下：^π（t）：=π（t）t<τδVu（τδ）Vπ（τδ）u（t）+Vπ（τδ）- Vu（τδ）Vπ（τδ）π（t）t≥ τδ，（145）通过这种方式，我们仍然有Vπ（t）>Vu（t）T∈ [T]*δ、 τδ]P-a.s.，和alsoV＠π（t）=Vu（t）+Vπ（τδ）- Vu（τδ）Vπ（τδ）Vπ（t）≥ Vu（t）t>τδP-a.s.，P（V)π（t）>Vu（t））>0。也就是说，投资组合（145）只留出足够的资金，以确保在时间τδ之后击败市场，并继续投资由于在DWP中投资π（·）直到时间τδ而产生的剩余收益（p<0），如果市场没有在时间τδ之后崩溃，则可能会产生额外收益（对于)π（·）是相对套利，需要假设其具有非零概率）。

如果市场崩溃，Vπ（·）将变为零（见第10.2.8节的讨论），我们剩下Vu（·），因此与市场匹配。10.2.6试图消除无故障假设——如（128）所述，最好进一步削弱甚至完全消除无故障假设。重新检查我们在第10.2.2节中的第一个证明，我们发现，由于无故障假设，它在两个方面起作用：1。非失败给出了Gp（u（·））的下限，即（129）中的第二个不等式（第一个不等式始终成立）：n1-P≤ （Gp（u（t））p<nδp（146）如果没有（128），函数Gp（u（·））仅在0.2以下有界。条件（128）确保up（n）（t）≤ δp，因此π（1）（t）≤（nδ）pn<1T≥ 0.（147）这两项对于证明都至关重要；1.确保在不同时间（即（130））的对数比率的下限。为了证明主方程（即（132））中的有限差项的下界，即[FK09]的Emma 3.4中的非简并意味着γ*π（t）≥ε(1 -π（1）），与（147）（或更弱的多样性假设）一起给出了γ的正下界*π（t）。记住以上内容，将多样性加权投资组合π（·）与另一个投资组合（即在π（·）和市场中采取一定比例）进行“混合”，以确保（146）没有（128）。

我们希望这样做，以保持主方程（在[FK09]中用g（·）表示）中有限变化项的下限；关于混合的一些建议，请参见表1，我们应该将其解释为G[1]是Gp，而另一个G[i]代表熵权、市场权和等权投资组合的生成函数。^G=^π（·）=a+bG[1]G[1]（·）π[1]（·）+au（·）G[1]（·）+aG[1]（·）+aG[1]（·）G[1]（·）+aG[1]（·）G[1]qqπ[1]（·）+（1）- q） u（·）q（q）-1） G[1]（·）G[1]（·）exp（G[1]）G[1]（·）（π[1]（·）+（1）- G[1]（·））u（·）G[1]（·）G[1]（·）QiG[i]Piπ[i]（·）- （n）- 1)u(·) . . .PiG[i]PiG[i]（·）π[i]（·）PiG[i]（·）g[i]（·）PiG[i]（·）表1：让π[i]（·）由g[i]生成，i=1，n、 让^π（·）由^G生成。上面显示了这些投资组合之间的关系，因为生成函数之间的关系不同；我们写G[i]（·）：=G[i]（u（·））。到目前为止，我们在寻找“好”混合料方面的进展仅限于以下方面：let^G:=Gp++Gp-, 和p+∈ （0,1）和p-< 0与第10.2.3节之前一样（尽管p-现在可以接受任何负值）。然后通过上面的计算，^G生成投资组合^π（t）：=p（t）π+（t）+（1-p（t））π-（t） ，（148），其中时间相关比例作为市场权重的确定函数给出：p（t）：=Gp+（u（t））Gp+（u（t））+Gp-（u（t））∈ （0,1]（149）同样通过上表，我们得到漂移过程是^g（t）=p（t）g+（t）+（1）- p（t））g-（t） =（1）- p+p（t）γ*π+（t）+（1）- P-)(1 - p（t））γ*π-（t） 。

（150）如果我们现在假设参数为δ的视界[0，T]上的非简并性和多样性，那么我们得到了（139）中的γ*π+（t）≥ε(1 - π+（1）（t））≥ε(1 - u（1）（t））≥εδ.我们定义Gp-（\'x）：=limx→\'\'xGp-（x） 对于单纯形中的任意‘x，qi‘xi=0，则为0。也因为γ*π-（t）≥ 0，对于任何投资组合，注意p（t）≥1+n1/p--1> 使用边界（129）和（134），我们得出主方程thatlogV^π（T）Vu（T）= 日志Gp+（u（T））+Gp-（u（T））Gp+（u（0））+Gp-(u(0))+ (1 - p+）ZTp（t）γ*π+（t）dt+（1）- P-)ZT（1）- p（t））γ*π-（t） dt≥ -日志n1/p+-1+n1/p--1.+εT（1）-p+）1- δ1+n1/p--1> 0 a.s.，前提是T>2（1+n1/p--1） 日志n1/p+-1+n1/p--1.ε(1 - p+（1）- δ). （151）因此，在（148）中定义的投资组合在非简并性和（弱）多样性的假设下，在足够长的时间内击败了市场，这是投资组合π+（·）本身也具有的特性。在下一节的末尾，我们将再次尝试消除无故障假设。10.2.7基于等级的多样性加权组合本节包含错误、道歉。半鞅局部时间的假设界不成立。在[Fer01]中的示例4.2（另请参见[FK09]中的备注11.9）中，Fernholz考虑了多样性加权投资组合的一个变化，参数r仅投资于m<n高风险股票（按资本化），即：u#pt（k）（t）=u（k）（t）rPml=1u（l）（t）r、 k=1，m0，k=m+1，n、 （152）用pt（k）表示在时间t排名第k的股票指数，因此upt（k）（t）=u（k）（t）。公文包（152）由函数Gr（x）生成=Pml=1（x（l））r1/r，类似于上述GPR——另见第6.2节。应用于（152）的主方程（90）给出（99）：logVu#（T）Vu（T）= 日志Gr（u（T））Gr（u（0））+ (1 - r） ZTγ*u#（t）dt-ZTu#（m）（t）dLm，m+1（t）。

（153）这里，Lk，k+1（t）≡ λΞk（t）是由非负过程Ξk（t）：=log累积的原点处的半鞅局部时间，如等式（88）所定义u（k）（t）/u（k+1）（t）, T≥ 0.（154）案例1:r∈ （0,1）假设参数δ>0的非简并性和多样性，并让r∈ (0, 1). 然后对（134）和（139）进行简单的修改，并观察到u#（m）（t）≤ 1/m和Lm，m+1（T）≤ T，由（153）thatlog暗示Vu#（T）Vu（T）≥ -1.- rrlog n+εδ（1）- r） T-ZTu#（m）（t）dLm，m+1（t）≥ -1.- rrlog n+hεδ（1- r）-2miT>0，（155），前提是可以选择足够大的m（即我们需要一个大的市场），使得εδ（1-r）-2m>0，这T非常大。因此，在这些条件下，具有r∈ （0,1）在长时间内击败市场。对于小股票多样性加权投资组合，也可以得到类似的结果∈ （0,1），即定义为u$pt（k）（t）的投资组合=0，k=1，M-1.u（k）（t）rPnl=mu（l）（t）r、 k=m，n、 （156）再次假设非简并，以及κ>0 s.t.u（m）（t）≥ κ, T∈ [0，T]，P-a.s.（157），表示不超过n- 到T时，m家公司将破产。现在（153）开始努力Vu$（T）Vu（T）= 日志Gr（u（T））Gr（u（0））+ (1 - r） ZTγ*微元（t）dt+ZT微元（m）（t）dLm-1，m（t）。（158）与（134）等价的是κr≤Gr（u（t））r=nXl=mu（l）（t）R≤ （n）- m+1）n-r<n1-r、 再加上我-1，m（T）≥ 0表示以下内容：logVu$（T）Vu（T）>rlogκrn1-R+ε（m）- 1)κ(1 -r） T>0（159）表示T足够大；i、 例如，u$（·）是相对于u（·）的长期相对套利。注意κ∈ （0，1/m）和（157）表示参数（m）的多样性- 1)κ.情况2:r<0当r<0时，方程（153）和（158）分别适用于大库存和小库存DWP。

让我们首先考虑r<0的大型股票投资组合（152）：假设非退化（ND）和（157），因此以下界限成立：m1-R≤Gr（u（t））r=mXl=1u（l）（t）r<mκr，（160）和γ*u#（t）≥ε1.- u#（1）（t）（161）像往常一样通过非简并性。由于假设（157），我们有u#（1）（t）=ur（m）（t）Pml=1ur（l）（t）≤κrm1-r<1，（162）因为κ<1/m，这与（153）、（160）和（161）一起意味着logVu#（T）Vu（T）> -对数（mκ）+hε1.-κrm1-R(1 - r）-2miT>-对数（mκ）+mhε（m- 1)(1 - r）-它>0，（163），前提是可以选择足够大的m，并且T足够大，如案例1所示。因此，在这种情况下，r<0的大型股票多样性加权投资组合在足够长的时间范围内击败市场。假设（157）不超过n-mcompanies将崩溃，可通过选择大n，而m不太接近吨；从经验上可以观察到，在给定时间间隔内崩溃的公司数量通常非常少。因此，我们预计r<0的投资组合u#（·）在实际市场中表现良好。对于r<0的小库存DWP（156），我们可以看到需要一个比（157）更强的假设（除了非简并性），即我们最初的非失效假设（128）。在这些假设下，可以使用（158）再次表明，R<0的u$（·）在足够长的时间范围内（对m没有任何限制）超过市场。实施使用第10.2.1节所述的相同CRSP数据集，我们实施（152）中定义的r<0的大型股票多样性加权投资组合，以将其表现与市场和正参数多样性加权投资组合进行比较。由此产生的财富过程如图3.10.2.8讨论所示。假设（128）表示，任何资本化都不可能为零，即。

没有公司会失败。这在现实世界中显然是不正确的，我们看到这就是p<0的多样性加权投资组合的危险所在：如果K∈ {1，…，n}，tksuch表示uk（t）→ 0 ast→ tk，然后limt→tkπk（t）=1。换句话说，这个投资组合将把投资者的全部财富投入到崩溃的股票中，导致她破产。第10.2.5–10.2.7节演示了在实际应用中避免这种情况的几种方法。其他可能性包括限制投资于任何单一股票的最大比例，以便在破产时仅损失该比例，或使用图3：与r=-4和m=n- 10，π（·），其中p=1（市场投资组合），p=0（EWP），p=-1，后两种情况下，只要ui（t）=0，πi（t）=0。πi（t）形式的投资组合∝ ui（t）k-1e-ui（t）/θ（见图4）或πi（t）∝ ui（t）α（1）- ui（t））β，它清算了暴跌股票中的头寸，但在市场权重的上限范围内具有与DWP类似的行为，p<0。人们可能会尝试使用第10.2.5节中使用的技术，使用其他停止时间，每个停止时间代表特定条件第一次失败（可能是非退化、有界方差，甚至是“有效内在波动性”条件）*u（t）≥0T≥ 每年0美元）。这将使我们能够证明，在这些条件下相对脆弱的某些投资组合在没有这些条件的情况下也会战胜市场，如果我们跟踪它们直到相应的停止时间。但是，必须记住，这只能通过过滤外汇的停止时间来实现，X（·）=（X（·）。