随机投资组合理论

（97）6.2.2泄漏上述引理6.2.1允许我们明确研究的另一个现象是“泄漏”，即股票退出包含在更大市场中的投资组合而产生的价值损失。也就是说，如[Fer01]中的示例4.2所示，考虑具有参数r的大型股票的多样性加权指数∈ （0,1）：u#pt（k）（t）=u（k）（t）rPml=1u（l）（t）r、 k=1，m0，k=m+1，n、 （98）由函数Gr（x）生成=Pml=1x（l）R1/r，类似于（51）。现在，（90）意味着这个日志Vu#（T）Vu（T）= 日志Gr（u（T））Gr（u（0））+ (1 - r） ZTγ*u#（t）dt-ZTu#（m）dLm，m+1（t）。（99）然后在[Fer02]中的示例4.3.5中显示，使用（94），我们得到了日志Vu#（T）Vζ（T）= 日志Grζ（1）（T），ζ（m）（T）Grζ(1)(0), . . . , ζ（m）（0）+ (1 - r） ZTγ*u#（t）dt-ZTu#（m）- ζ（m）（t）dLm，m+1（t）；（100）这源于尺度不变性性质gr（x，…，xn）x+…+xn=Grxx+…+xn，xx+…+xn.因为∈ （0,1）和多样性加权投资组合u（r）i（·）我们有迷你u（r）i（t）=迷你ui（t）rPjuj（t）R≥ miniui（t），（101）我们得到了u#（m）（·）≥ ζ（m）（·）；因此，（100）中的最后一个积分是单调递增的inT。Fernholz将其典型化为测量当一个上限加权的投资组合包含在一个由n只股票组成的更大市场中时，以及当股票从上限加权的投资组合中“泄漏”到市场投资组合中时发生的“泄漏”。7投资组合优化过去，金融数学中投资组合优化的主要形式是预期效用最大化、均值方差优化和凯利准则。这些方法的共同点是，它们要求人们对未来财富的预期（函数），而且由于人们不确定股票的未来行为，因此需要进行模型假设和参数估计。

虽然波动性过程可以通过有效的数据进行相当程度的确定性估计，但股票的提取过程b（·）是出了名的难以准确估计（例如参见[Rog01]和[Mon07]）。由于上述方法中产生的所有最优策略都明确依赖于它们投资的股票的漂移过程，它们在现实生活中的适用性受到参数估计固有不确定性的强烈限制，并且它们的实际表现并不像理论预测的那样最优（见[DGU09]）。SPT方法的最大优点之一是，它通过只考虑不依赖于任何不可观测数量的投资组合（即FGP，见第2.3节），而只考虑可观测的当前市场配置，克服了这个问题。尽管这些投资组合的表现在任何意义上都不是“最优”的，但它们中的一些可以被证明在路径意义上超过市场指数，这与它们的可实施性一起，使它们成为一类非常有吸引力的投资机会。最近，有人提出了一个问题，即如何利用这些属性找到“最佳”策略，即“最佳相对搜索率”——这个问题在[FK10]中得到了部分回答，见下文第7.2节。[FK10]中提出并在[BHS12]中完全马尔可夫案例中解决的另一个投资组合选择标准是，在市场配置和到期时间方面，描述能够以一定概率击败市场投资组合的最低初始资本量。我们不会详细讨论这个标准，请读者参考[BHS12]。7.1 Num’eraire portfolio&expected utility Maximisational虽然这不是我们感兴趣的投资组合选择标准，但已经证明，在非常普遍的市场模型中可以实现预期效用最大化。

也就是说，在[KK07]中，我们证明了在一般的半鞅设置下，期望效用最大化问题可以找到^h（·）∈ 使e[U（Vw，^h（T））]=suph（·）∈AwE[U（Vw，h（T））]，（102）与U：（0，∞) → R满足Inada条件，当且仅当NUPBRholds，即当且仅当LMD存在时，可以求解（见定义3.1.2）。因此，解决这个问题不需要ELMM，尽管从历史上来看，它主要是在不存在套利的市场中进行研究。[KK07]的主要结果涉及一个非常特殊的投资组合，称为num’eraire投资组合，它是一个投资组合ρ（·），其性质是Vπ（·）/Vρ（·）是所有投资组合π（·）的上鞅。（103）[KK07]中的定理4.12表明，该投资组合存在的充要条件是NUPBR成立。此外，num’eraire投资组合具有以下特性：o它使所有投资组合π（·）的增长率（即对数Vπ（·）的漂移率）最大化它使所有投资组合的渐近增长率最大化：对于任何具有极限的递增过程→∞H（t）=∞,林监督→∞H（t）对数Vπ（t）Vρ（t）≤ 0π(·);o 它解决了相对日志效用最大化问题：EhlogVπ（T）Vρ（T）我≤ 0π(·).我们还提到，不能就num’eraire投资组合构建相对套利——例如，参见[FK09]中的备注6.5。在VSMs中，可以显式计算投资组合的数量。

然而，总的来说，num’eraire投资组合取决于市场模型的漂移系数和波动系数，因此，如果我们不假设这些过程的确切动态方面的任何专家知识，则无法明确计算，而SPT通常就是这样做的。7.2最优相对套利构建相对套利时自然会出现以下问题：是否存在“最佳”的此类投资策略？这一悬而未决的问题在调查文件[FK09]中的备注11.5中提出，并在[FK10]中针对完整的马尔可夫NUPBRmarket的案例进行了回答。Daniel Fernholz和Ioannis Karatzas在[FK10]中对最优相对套利问题的解释如下：在给定的时间范围[0，T]，在T=T市值X（T）时，可以匹配或超过的最小初始资本量是多少？在方程形式中，结果（T）：=inf{w>0|h（·）∈ AwX（0）s.t.VwX（0），h（t）≥ X（T）P-a.s.}。（104）实现Vu（T）X（0），^h（T）的相应策略≥ 因此，X（T）P-a.s.是最佳套利。作者对（1）做了许多技术假设，其中最重要的是F=FW，d=n，σ（·）是可逆的，存在一个平方可积的MPR，市场是马尔可夫的（即，b（·）和σ（·）是时间和X（·）的确定函数：=（X（·），Xn（·）），资本化过程的向量），根据该向量（通过完整市场中的套期保值结果，例如[FK09]，或参见第8.1节），1/u（T）给出了在[0，T]期间相对于市场可以实现的最高投资回报；1/u（T）=sup{q≥ 1 | h（·）∈ 像t、 Vh（t）≥ qVu（T）P-a.s.}。

（105）借助于F¨ollmer测度，见第9.1节，[FK10]的作者能够得出最优套利策略的形式为^hi（t）V^h（t）=Xi（t）Dilog U（t）- t、 X（t））+ui（t），i=1，n、 t∈ [0，T]，（106）带U:[0，∞) ×(0, ∞)N→ （0,1]线性抛物偏微分不等式的最小非负解Uτ（τ，x）≥^LU（τ，x），（τ，x）∈ (0, ∞) ×(0, ∞)n、 （107）U（0，·）≡ 1，对于线性算子^Lf:=nXi，j=1xijaij（x）Dijf+nXi=1xinXj=1xjaij（x）x+…+xn迪夫。（108）注意，如上所述，^h（·）只取决于市场的协方差结构，而不是回报率。作者继续以概率的方式解释他们的结果，考虑到（[0，∞)n\\{0}值微分过程Y（·），具有极小生成元^Land Y（0）=X（0）；例如，U（T，X（0））被定义为Y（·）不超过[0]边界的概率，∞)时间t=t。此外，在这个辅助市场中，辅助市场的权重为Yi（·）/（Y（·）+…+Yn（·）），i=1，n、 拥有上一节7.1（103）中定义的num’eraire财产。Fernholz和Karatzas在[FK11]中对具有“骑士式”不确定性的市场的相对回报率进行了扩展。他们给出了这种描述的几种不同形式，其中之一是非线性Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程的最小正超解。将上述结果推广到非马尔可夫市场，更重要的是，推广到不完全市场，会很有趣。此外，最优套利（106）以一种非常直接的方式被描述为一个复杂方程的最小非负解，其显式解只能在相当简单的例子中计算。然而，使用（106）-（108）的数值方法来计算最优投资组合是可能的。

然而，这些结果的强度将始终受到协方差估计质量的限制。二维优化在[PW13]中，一些最初的尝试是为了获得最优相对套利的更具体结果，只考虑（一般）二维市场和π（·）=（q（Y（·））形式的投资组合，1- q（Y（·）），其中q是确定性函数，Y（·）：=logX（·）/X（·）原木价格比。在一个被限制为常数加权投资组合π（·）=（Q，1）的特殊情况下- Q） ，Q∈ [0，1]，Pal和Wong在他们的命题4.2中表明，对于[0，τ]Y（·的一个激发，即τ=inf{t>0 | Y（t）=Y（0）}的区间，一个haslogVπ（τ）Vu（τ）- 日志Vπ（0）Vu（0）=Zτq（1）- q） d hY i（t）=q（1）- q） hY i（τ）。（109）因此，当q=时，该数量最大化，因此当π（·）是等权投资组合时。对于更一般的函数q∈ C（R，[0，1]）的有限变化，他们表明对于q的反导数，对于所有≥ 0，日志Vπ（t）Vu（t）- 日志Vπ（0）Vu（0）= F（Y（t））-F（Y（0））（110）+Z∞-∞Ly（t）q（y）（1）- q（y））dy+d(-q（y））,用Ly（t）表示Y在Y点的当地时间∈ R超过[0，t]。在两个例子中，即当Y（·）是Bangbang过程和当它是Ornstein-Uhlenbeck过程时，该表达式用于明确计算最优函数q。目标是最大化（110），使用的方法是假设给定一个“权重函数”，该函数表示每个y值的预期本地时间，从而转换关于y（·）动力学的信念和统计信息。这些初步结果看起来非常有希望，将其扩展到更高维度的市场将具有很大的价值。Pal和Wong在[PW13]中首次尝试在一类FGP中进行优化，将（统计）信息纳入优化，并将信息理论应用于SPT。

这些都是未被发现的领域，作者对此非常感兴趣；见SPT框架第11.2节和第11.1.8节套期保值无ELMM的市场套期保值理论仅在最近几年才发展起来。在[CH05]和[FK09]中取得了一些初步进展，但直到后来，在欧洲案例（以及马尔可夫市场，见[Ruf13]）中计算了Hedging策略，并在美国案例（见[BKX12]）中描述了最佳停止时间，后者解决了[FK09]中的一个开放问题。此外，[Kar12b]还推导了一般半鞅模型中的欧式和美式交换期权的估值公式，并考虑了违约的可能性，展示了当NFLVR失效时，传统的平价公式是如何改变的。8.1欧洲索赔对冲Fernholz和Karatzas在其调查[FK09]的第10节中首次探讨了在没有ELMM的市场中对冲欧洲索赔的主题。他们考虑了由一个F（T）可测随机变量Y，其0<Y:=E[Z（T）Y]<∞, （111）和往常一样，确定了Y asUY（T）的套期保值上限价格：=inf{w>0|h（·）∈ Aws。t、 大众汽车，h（t）≥ Y P-a.s.}。（112）换句话说，UY（T）是在时间T=0时能够在终端时间T=T前超级复制权利要求Y所需的最小量。由于ELMM可能不存在，人们不能再依赖“经典”数学金融（见[DS95c]）的著名套期保值结果，即thatUY（T）=supQ∈MEQ[Y]，（113），其中M是elmm的集合。然而，只要（112）中的最小值是有限的，那么z（·）Vw，h（·）对于任何w>0和h（·）都是一个正的局部鞅（因此是上鞅）∈ AW表示W=Z（0）Vw，h（0）≥ E[Z（T）Vw，h（T）]≥ E[Z（T）Y]=Y.（114）因为这适用于所有w>0，Fernholz和Karatzas得出结论UY（T）≥ y（如果in（112）中的fine in是fine，这一点也非常正确）。

作者接着指出，如果Y=X（T），即T=T时的总市值，这就成了寻找最佳相对套利的问题——见第7.2节。F=fw，n=d in（1），即驱动BMs的数量等于库存的数量，将鞅表示定理应用于过程e[Z（T）Y | Ft]意味着任何索赔Y都可以复制，因为这种构造只需要存在anLMD，而不是ELMM。因此，在NFLVR失败的市场（例如，满足（42）的市场）中，可以有完整性——即UY（T）=y，对于每个周期，如（111）中的y。正是在[Ruf13]中，欧洲债权对冲策略的特征化取得了进展。也就是说，Ruf表明，在马尔可夫不完全环境下（即（1）具有时间和当前市场配置的b（·）和σ（·）确定性函数），欧洲索赔的最佳套期保值策略是阿德尔塔套期保值，这在NFLVR市场中是众所周知的。除了马尔可夫假设外，Ruf假设存在一个平方可积MPR，这意味着NUPBR（见第3节）；然而，FLVR可能存在。可以观察到，这些假设意味着L中存在马尔可夫MPRθ（·）。假设索赔Y相对于FX（T）是可测量的 F（T），X（·）是资本化过程的向量，[Ruf13]中的命题3.1断言，对于任何平方可积的MPRν（·），一个人都有令人惊讶的性质Zν（T）Zν（T）YF（t）≤ EZθ（T）Zθ（T）YF（t）, （115）使用符号（40）。这一结果本身就很有趣，它意味着欧洲索赔Y=p（S（T））的hedgingprice Hp不取决于MPR的选择。

它允许作者在[Ruf13]的定理4.1中证明，最优套期保值策略由ηp（t，s）给出：hp（t，s），对于hp（t，s）：=EZθ（T）Zθ（T）p（S（T））S（t）=S, （116）并需要初始财富νp:=hp（0，S（0））。也就是说，那么Vνp，ηp（t）=hp（t，S（t））T∈[0，T]，并且对于任何|ν>0且允许的超级复制策略|η∈ 我们有≥ νp.这是值得注意的，因为这意味着，尽管市场不完整（一般来说，d>n），上述任何权利要求Y都是可复制的。套期保值价格函数HPE也用于求解仅依赖于模型协方差结构的偏微分方程。然后需要注意的是，如果hp足够光滑，它可以被描述为该偏微分方程的最小非负解，终端条件hp（T，s）=p（s）。然后，Ruf推导出一个修改后的输入呼叫奇偶校验，并研究测量技术的变化，以简化hp的计算——有关讨论，请参见下文第9.1节。当然，看看如何将上述结果推广到马尔可夫市场模型和更复杂的声明中，会很有趣。然而，正如Ruf在[Ruf13]的Remark 4.2中指出的那样，在平均收益率和波动率具有额外随机性的模型中，定理4.1不再适用。此外，Bydefinition one无法在不完整的市场中对冲所有索赔；因此，任何更普遍的结果都必须更弱，形式也不同。8.2对冲美国索赔在其调查[FK09]的备注10.4中，Fernholz和Karatzas提出了一个开放的问题，即开发一种理论来为美国在NUPBR市场的索赔定价，尤其是在假设惠普∈ C1,2（Ut，s）对于某些邻域Ut，sof（t，s），作者给出了市场模型和支付函数的充分条件，确定了最佳行使时间。

Bayraktar等人[BKX12]解决了这个问题，作者描述了美国期权的套期保值策略和最佳停止时间；特别是，它们解决了优化问题compute v:=supτ∈TE[Z（τ）g（X（τ））]发现τs.t.E[Z（τ）g（X（τ））]=v（OS）其中T是所有停止时间的集合，g:R+→ R+是凸Payoff函数，X（·）是一维价格过程（正半鞅），Z（·）是LMD，因此Z（·）X（·）是局部鞅。[BKX12]的定理2.4给出了（OS）的解，如下所示：o问题的值为v=E[Z（τ）*)g（X（τ）*))] + δ(τ*).o 停车时间τ∈ T是最优的当且仅当τ*≤ ^τ和δ（^τ）=0.o最优停止时间存在的充要条件是δ（τ）*) = 0，在这种情况下τ*是最小的最佳停车时间。我们解释符号；写L（·）：=Z（·）X（·）和Y（·）：=Z（·）g（X（·））。函数δ：T→ R+在[BKX12]的引理2.1中定义为δ（τ）：=↑ 画→∞E[Y（τ）∧ σn）]- E[Y（τ）]，（117）式中（σn）n∈Nis是L（·）的定位序列，意思是L（σn∧ ·) 是所有n的一致可积鞅∈ N、 σN→ ∞ 作为n→ ∞. 结果表明，δ是非负的，与（σn）n的选择无关∈N.此外，τ*是一个特定的停止时间-参见[BKX12]中的方程式（2.3）。有人指出，如果问题的范围有限∈ T、 （OS）的值是v=E[Y（T）]+δ（T），这在[CH05]的定理A.1中已经给出。如果条件δ（τ）*) = 0不成立，Bayraktar等人证明不存在最佳运动时间。此外，他们在例3.2中明确表明，在没有NFLVR的市场中，默顿的“非早期行使定理”可能会失败，也就是说，在终端时间T之前行使可能是最佳的。值得一提的是，[BKX12]在一个模型中证明了上述结果，该模型中还有一个正的、非递增的贴现过程β（·），该过程在某个点上可能变为零。