随机投资组合理论

在这里，为了演示，我们忽略了模型的这种额外复杂性。尽管这是非常理论化的，但Bayraktar等人能够在一些玩具示例中应用他们的定理2.4，展示了候选停车时间的最优性。然而，他们的论文并没有提供一种搜索此类候选者的方法，因此他们的结果在现实世界模型中的适用性目前仍然非常有限。9非等效措施变更尽管在SPT中考虑的It^o模型（1）的一般类型中通常不存在ELMM，但由于NFLVR是允许的，并且通常会失败，人们仍然可以做出有意义但可能是非等效的措施变更。在SPT中，到目前为止，此类措施变更的目的有两个：创建一个发挥anELMM作用的措施（见[FK10]和[Ruf13]），或构建NFLVR失败的市场（见[OR06]、[RR13]和[CT13]）。假设X(∞) := 极限→∞X（t）存在。9.1严格局部鞅Radon-Nikodym导数基于F¨ollmer引入超鞅的“退出测度”的工作，一些与SPT相关的文章对测度进行了修改，将其概括为无风险测度：[FK10]这样做是为了描述相对于市场的最优套利，[Ruf13]简化了欧洲债权在马尔可夫市场上对冲策略的计算。

为此，必要的技术假设是概率空间Ohm 是右连续路径的空间ω：[0，T）→ 注册护士∪ {},0<T≤ ∞, 哪里 是所谓的“吸收点”：它具有ω（t）=, T∈ [0，T]=> ω（u）=, U∈ [t，t]，ω ∈ Ohm.在这种情况下，P-局部鞅（·）的“退出测度”（或“F¨ollmer测度”）在[F¨ol72]中定义为[0]的可预测σ-代数上的测度P，∞] ×Ohm givenbyP（（T，∞] ×A）：=E[Y（T）1A]E[Y（0）]，A∈ F（T），T∈ [0, ∞). （118）如[FK10]第7节所述，[DS95a]中的定理4，[PP07]中的定理1和引理4给出了对于每个正的和连续的P-上鞅∧（·），概率测度Q的存在使得oP Qoλ（·）是一个连续的Q-鞅odP/dQ=λ（T）∧（·）：=X（0）/Zθ（·）X（·）的情况，其中X（·）的总市值定义在（8）中，Zθ（·）的LMD定义在（40）中，在[FK10]中研究和使用；情形∧（·）：=1/Zθ（τθ）∧·), 对于τθ，过程1/Zθ（·）的第一次击中时间为零，在[Ruf13]的第5节中使用。在这两种情况下，吸收点 表示Zθ（·）的爆炸，假设P下不会发生，但在上述概率测量下可能发生。也就是说，让τθn=inf{t∈ [0，T]：Zθ（T）≥ n} 定义τθ=limn→∞τθn；然后在[FK10]的命题1中，证明了P（（T，∞] ×Ohm) = Q（τθ>T）=u（T），（119）F¨ollmer测度的一种表示，其中u（T）是创建相对于市场的套利所需的最小财富，如（104）所示（即创建最佳套利所需的财富；见第7.2节）。另一方面，Ruf证明了上述测度Q的广义贝叶斯规则（见[Ruf13]中的定理5.1），它表明Q在爆炸时间τθ之前表现为ELMM。他用它来推导价格过程和Q下1/Zθ（·）的τθ的动力学。

因为所有这些都是Q-局部鞅，所以在这个度量下，hedging策略的计算可以更容易地完成，然后可以通过已知的度量变化将其转换到后面。当价格过程是一个带漂移的三维贝塞尔过程，且索赔是一个欧式看涨期权时，给出了一个这样的例子——参见本文中的例子2.1.4。到目前为止，上述文章是唯一一部利用F–ollmer测度的与SPT相关的作品，在其他地方应用这种技术可能会有更多的可能性。其他研究Radon-Nikodym密度的超鞅的文章有[IP11]和[PR13]。9.2用套利变化度量构建市场来构建允许套利的市场并不完全是新的，例如参见[DS95a]中贝塞尔过程中套利可能性的构建。然而，这项技术直到最近才被应用于构建与标的交易相关的市场。也有人提出了构建NFLVR失败的NUPBR市场的其他方法，即通过过滤收缩[Pro13]和扩大[FJS14]。Osterrieder和Rheinl–ander在他们的文章[OR06]中首次将非等效测量变化技术与标准贯入试验联系起来。它们提出了一种构建多样化市场的方法（在（42）的意义上），比[FKK05]中的显式构造更为通用，并表明这种市场中存在设计上的套利。更准确地说，作者通过改变前模型的非等效度量来定义他们的第二市场模型。在此前模型下，资本化过程向量X（·）的时间演化由概率测度P控制，并明确表示为非特定n维连续P-局部鞅M（·）的随机指数E（M（·））。

因此，P∈ Me（X），其中Me（X）表示X（·）的ELMM集，NFLVR在预模型中保持不变。一个关键的假设，即“非简并”假设，是在预模型上提出的。它排除了多样性，并显示在它里面持有形式（1）的^o模型，其中假设（BV）和（ND）关于协方差结构；它是T>0，δ∈ （0,1）s.t。infQ∈Me（X）Qsup0≤T≤Tu（1）（T）≥ 1.- δ> 0Psup0≤T≤Tu（1）（T）≥ 1.- δ< 1.（120）Osterrieder和Rheinl–ander然后进行以下简单的测量更改：dPdP=如果是sup0，则为0≤T≤Tu（1）（T）≥ 1.- δc，否则，（121）带c∈ R是一个归一化常数，通过假设（120）存在。很明显，通过构造，多样性在P下成立，P PBUTP6~ 最后，利用[FK97]中的一个可选分解定理，证明了该权利要求的P-超复制策略dPdP>0是指在定义的第一点3的意义上，在P水平[0，T]下的套利。1.1（如[DS94]所述）。因此，NFLVR在P下失败。我们注意到，[OR06]的结果主要是理论上的，因为它们应用了绝对连续的度量变化，以显示存在套利机会的不同市场的存在。然而，这种构造不适合创建显式模型，因为计算变得不可撤销。也就是说，[OR06]推导了X（·）的P-动力学，但该表达式中的漂移过程是作为密度过程Z（·）的函数给出的，该密度过程Z（·）是林格勒对Girsanov定理的扩展，以及使用Galtchoukkuta Watanabe分解的Z（·）投影，因此它是隐式的。[RR13]中证明了一个更一般的结果，作者展示了一种构建市场的系统方法，其中NFLVR失败，但较弱的NUPBR成立。与[OR06]类似，Ruf和Runggaldier采用了一个预模型（由P控制），其中资本化过程Xi（·），i=1。

n是非负局部鞅。然后，他们假设存在一个P-鞅Y（·），即候选密度过程，Y（0）=1，满足下面的假设（122）和（123）。设τ表示Y（·）的第一次击中时间0；第一个假设是p（τ≤ T）>0和P（{Y（τ）-) > 0} ∩ {τ ≤ T}=0。（122）第二个假设如下：十、∈ （0,1），h（·）∈ A s.t.Vx，h（t）≥ 1{Y（T）>0}P-a.s.（123）定义了一个非等价的概率测度P bydpdpp=Y（T），[RR13]的定理1（124）表明，在P下，市场满意度为NUPBR，而非NFLVR；也就是说，在（123）中任何可预测的h（·）都是P下的套利。这种表面上过于夸张的构造是以以下方式系统化的：作者注意到，在NFLVR失败的任何具有测度P的NUPBR市场中，存在一个概率测度和一个满足（122）的P鞅Y（·），使得（124）成立。

因此，上述假设不仅充分，而且对于所考虑的市场类型也是必要的。Ruf和Runggaldier在他们的短文最后给出了几个明确应用其结构的例子，展示了在一些简单的情况下，如何创建有NUPBR但没有NFLVR的市场。在他们的文章[CT13]中，Chau和Tankov对[RR13]进行了相同的度量更改，但更多地关注在最大无担保风险收益的意义上描述最优套利，并考虑转换投资者信念的Radon Nikodyn衍生品。也就是说，他们假设一个预模型，其测度和假设与Ruf和Runggaldier相同，并且存在满足（122）和（123）的P-鞅Y（·）。他们的贡献是指出，索赔1{Y（T）>0}的P-超边缘策略^h（·）是P-市场中的最优套利；换句话说，它保证了无风险利润的最高可能下限：V^h（t）≥ supnc>0:h（·）∈ 像t、 Vh（t）≥ c P-a.s.oP-a.s.（125）最后，作者提出并研究了显式密度DPDPFt=Y（t）：=P（σ>t | Ft）P（σ>t），（126）表示σ的某个停止时间，这具有翻译投资者相信σ所描述的事件不会在时间t之前发生的经济解释；定义（126）意味着P（σ>T）=1。然后，Chau和Tankov计算了这些度量值变化在许多显式示例中的样子，包括连续过程和不连续过程。

在原子例子中，模型前的动力学由X（t）=1+WP（t）给出，WP（t）是一维P-布朗运动，投资者相信σ=inf{t>0:X（t）≤我们使用定义2.1.2的符号A来表示一套可接受的交易策略。[CT13]的作者将（123）等效为supQ∈Me（X）EQ[1{Y（T）>0}]<1，也就是说，假设权利要求1{Y（T）>0}的最小超级复制价格小于1。请注意与（105）的相似之处，其中最优相对套利保证了相对于市场的最高回报。0}，他们能够推导出P下的最终价格动态以及最优套利（在[GR11]的意义上被证明是脆弱的）。然而，这个玩具的例子非常简单，在更复杂的模型中，这样明确的结果是无法预期的。最后，[CT13]中的结果似乎过于具体，不适用于SPT。在一个不相关的注释中，研究一个人是否能说出任何对经济均衡有意义的话可能是有趣的，在动态随机一般均衡（DSGE）的意义上，当主体具有形式（126）的不同信念时，经济均衡产生了（见[BR12]）。[Sar14]中采用了一种更直接的方法来构建具有所需属性的市场，作者介绍并研究了一个明确的多元化市场模型，其中的属性是小型股比大型股具有更大的漂移，如VSM中的情况。10.到目前为止自己的研究10。1数据研究为了了解SPT提出的投资组合在真实市场中的表现，我们使用历史市场数据进行了实施。

在这项实证研究中，我们使用了从2007年1月1日开始到2013年12月31日结束的1761个交易日的每日市值数据（使用当日收盘股价和流通股数量计算），跟踪了数据集开始日期标普500指数中390家公司的子集。我们从CRSP数据集中获得了这些数据；我们从最初的日期开始跟踪公司，以获得一个真实、无偏见的投资模拟。例如，三家公司（即LEH、DYN和CIT）破产，几家公司合并或被收购。为了简单起见，我们通过设置非连续性股票的价值常数并等于其最后记录的价值来处理并购。我们还没有将股息纳入公司，我们预计这只会对我们下面的结果产生轻微影响（这对我们不利，因为相对于市场而言，我们的投资组合对大型企业的投资较少，而大型企业最终会支付更多股息）。我们使用R来编程我们的模拟——代码可以从作者uponrequest处获得。

我们并没有展示我们在这里调查的所有内容，但在这种离散时间环境下的主要研究方向是：o实施并比较多样性加权、熵加权、等权和市场组合，以及不同的参数；o研究比例交易成本对重新平衡投资组合相对绩效的影响尝试不同的再平衡规则（如目标投资组合的总方差或相对熵），以最小化交易成本可视化投资组合的市场相对表现（31）；o计算（166）中的量，从而更好地理解[PW13]中开发的信息理论方法。第一个例子如图1所示；后者为我们提供了对经验观察到的EWP良好性能背后原因的新见解——见第11.2节末尾。CRSP数据集可从以下网站获得：http://wrds-web.wharton.upenn.edu/wrds/Figure1:p=1（市场投资组合）、p=0.5和p=0（EWP）的π（·）对应的财富过程的无摩擦演化。10.2负预调用的多样性加权投资组合[FK05]中定义为πi（t）：=（ui（t））pPj（uj（t））pi=1，n、 （127）这个只做多的投资组合由Gp:x 7生成→ （Pni=1xpi）1/p。通常，p∈ （0,1），我们可以证明，在一个多样化的非退化市场中，π（·）在足够长的时间范围内胜过市场。参数为p=0的投资组合π（·）对应于等权投资组合（EWP），πi（·）=1/n.10.2.1从数据中可以观察到，等权投资组合优于具有p的多样性加权投资组合∈ （0,1），这反过来又会跑赢市场——见图1。

更准确地说，π（·）的表现似乎随着p的降低而单调增加（随着π（·）从市场投资组合中移开，增加了最低等级股票的权重）。这促使我们考虑具有负参数P的多样性加权投资组合；事实证明，对于p值不太负的投资组合，在过去十年中的表现会非常好，如果其中包括现实的比例交易成本，这一点仍然成立——见图2。在我们的实证研究中，我们使用了从2007年1月1日开始到2013年12月31日结束的1761个交易日的每日市值数据，跟踪了数据集开始日期标普500指数中390家公司的子集。我们从CRSP数据集中获得了这些数据；我们从初始日期开始跟踪公司，以得到图2：与π（·）对应的财富过程的演化，其中p=1（市场投资组合），p=-1和p=0（EWP），只要ui（t）=0，都需要调整πi（t）=0。我们按交易价值的1%计算比例交易成本，每20个交易日重新平衡一次。真实无偏的投资模拟。例如，三家公司（即LEH、DYNand CIT）破产，几家公司合并或被收购。有关使用该数据的替代性可视化，请参见附录。10.2.2理论动机我们扪心自问：为什么p<0的π（·）表现如此出色？我们可以检查，多样性不再意味着这个投资组合是一个RA wrtu（·），如果p∈ (0, 1). 然而，让我们假设非简并（ND）以及更强的“非失效假设”：δ>0 s.t.u（n）（t）≥ δ T≥ 0 P-a.s.（128）这是[PW13]定理2.11中的假设（21），并暗示了参数（n）的多样性- 1)δ.