随机投资组合理论

1194–1195]以获得此结果。这一重大开放性问题得到积极回答的其他两类市场是所谓的波动稳定市场和广义波动稳定市场，这是第5.3节和第5.4节的主题。[BF08]第4节以及[FK09]第11.4条中提出的一个密切相关的开放性问题是，对于具有Γ（t）属性的市场，是否存在短期相对套利≤Ztγ*u，p（s）ds<∞ T∈ [0，T]a.s.（75）对于某些p∈ （0,1）和连续严格递增函数Γ：[0，∞) → [0, ∞) Γ（0）=0和Γ(∞) = ∞. 给你，γ*u，p（·）是市场组合的广义超额增长率，定义为γ*u，p（t）：=nXi=1（ui（t））pτuii（t）；（76）与（26）相比。[FK05]表明，在此类市场中，在足够长的时间范围内存在相对套利，但短期内的情况仍然没有得到解答≥ 3.[FK05]第3.8条主张如下：5.2.1条主张。假设对于一些数字p∈ （0,1），T∈ (0, ∞) 和ζ∈ (0, ∞)我们有条件-pplog n+ζ≤ZTγ*u，p（t）dt<∞ a、 s。。（77）然后是参数p，πi（t）：=p（ui（t））pPnj=1（uj（t））p+（1）的多样性加权投资组合的p镜像- p） ui（t），（78）是相对于[0，t]的市场投资组合的套利。注意，命题5.2.1意味着在满足（75）的市场中，当T>Γ时，P（Vπ（T）>Vu（T））=1-1（（1/p）n1-扑通一声）；i、 例如，（78）中的π（·）在相当长的时间内超过市场。

一种方法是检查（78）的π（·）是由G:x7生成的→Pni=1xpi，满足1<G（·）≤ n1-p、 g（·）=p（1）- p） γ*u，p（·）/G（u（·）），以及Vπ（T）Vu（T）= 日志G（u（T））G（u（0））+ p（1）- p） ZTγ*u，p（t）G（u（t））dt≥ -(1 - p） 对数n+p（1- p） n1-pΓ（T）>0 a.s.，前提是T>-1（（1/p）n1-5.3波动率稳定模型一个显式市场模型的特例是波动率稳定模型，对于该模型，市场投资组合的超额增长率为零。该模型在[FK05]中介绍，并在[BF08]中表明，相对套利在该模型中存在过短的时间范围，回答了[FK05]中的一个悬而未决的问题（见该论文第164页底部）。在n=2的情况下，属性（75）意味着条件（84），因此[BF08]的证明适用，并且存在短期风险-参见第5.3节。波动率稳定模型将以下观察结果转化为事实：较小的股票（即相对市值较小的公司的股票）往往比市值较大的股票具有更高的回报率和更大的波动性。然而，必须注意的是，它们是真实市场的近似和过度简化，不适合捕捉市场的所有属性（例如股票相关性）。5.3.1定义。用参数α定义波动稳定模型（VSM）≥ 0到bea模型，其中对数股价过程遵循对数Xi（t）=α2ui（t）dt+pui（t）dWi（t），（79）Xi（0）>0 i=1，n、 正如人们很容易看到的，在这样的市场中，小盘股的波动和漂移最大。[FK05]表明多样性在此类市场中失败（参见他们的备注4.6和前面的计算），但存在作者所称的“波动稳定”（如果α>0，则为bydrift）：简单的计算表明≡ 1, γ*u(·) ≡ γ*:=N- 1> 0, γu(·) ≡ γ：=（1+α）n- 1> 0.

（80）重要的是，VSM的市场投资组合具有恒定的超额增长率，因此可以满足有效的内在波动条件（46），表明确实存在有效的波动市场模型（1）。使用它^o的公式，我们可以很容易地证明，在这个市场中，总市值X（t）是一个几何布朗运动，即X（t）=X（0）eγt+W（t）对于W（·）=Pni=1R·pui（s）dWi（s）a标准p-BM。整体市场和最大股票的增长率γ相同，如果α>0，所有股票的增长率相同。对VSMs的特性进行了深入研究。也就是说，在[FK09]的第12.1节中，作者使用贝塞尔过程研究了模型（79）的渐近行为，并表明如果α=0，则（严格的）局部鞅定义可以表示为z（t）=pX（0）·Xn（0）R（u）·Rn（u）exp（ZunXi=1R）-2i（s）ds）u=λ（t），（81），其中Ri（·）是维度2（1+α）中的独立贝塞尔过程，∧（t）：=ZtX（s）是时间变化。在[Pal11]中计算了VSM中市场权重的联合密度，回答了[FK09]中的一个未决问题（备注13.4）。Pal表明，市场权重的规律与来自群体遗传学的多等位基因Wright-Fisher扩散模型的规律相同。由于VSM是一个高效易失性模型的特例，因此遵循第5节。1.熵权投资组合是相对于市场的长期相对套利。此外，我们可以证明参数p=1/2的多样性加权投资组合是相对于时间范围T>8 log nn的市场的套利-1-参见示例12。[FK09]的第1页。

最后，等权投资组合^πi（t）的λ-镜像：=λn+（1）- λ） ui（t），λ=n（1+α），具有num'eraire属性：Vπ/V^π（·）是所有π（·）的一个超鞅（见第7.1节）。短期内的相对套利VSM中是否存在短期相对套利机会的问题在[FK05]中首次提出，并在[BF08]中得到解决，其中明确构建了相对套利。VSM是马尔科夫和萨提斯的（74），因此人们先验地知道，根据[FK10，第1194-1195页]的命题2，短期内存在相对论。Banner和Fernholz在[BF08]中构造短期相对套利的方法是，使用标准的不完全伽马函数生成一个投资组合，并跟踪该投资组合直到某个停止时间，之后市场投资组合被执行。明确地说，它们通过函数G（x，…，xn）：=Pni=1f（xi）生成组合π（·），其中f（y）定义为y∈ [0,1]asf（y）：=（Γ（c+1，-对数y）：=R∞- 原野-如果0小于y，则为rrcdr≤ 如果y=0，则为1,0。（82）这里的常数选择为c=8n（n-1） TR1/n-在[BF08]的方程式（3.6）中，作者给出了下限对数Vπ（t）Vu（t）≥:=S（u（n）（t））z}{log（（n）- 1） f（u（n）（t））+f（1）-（n）-1） u（n）（t））-对数（nf（1/n））+Zt-u（n）（s）f（u（n）（s））f（u（n）（s））+（n）- 1） f1.-u（n）（s）n-1.| 那么，对于Y（·）函数T（Y）的逆函数：=T/2+RY1/n-S（r）Θ（r）dr，定义了以下停止规则：T:=inf{T≥ T/2：u（n）（T）>Y（T）}。最后，通过设置∧π（t）：=（π（t）如果t<t，u（t）如果t≥ T.（83）研究表明，随着时间范围变短，由∧π（·）保证的套利金额的下界很快趋于零。此外，该构造适用于满足条件τm（t）m（t）（t）的任何市场≥Cum（t）（t）T≥ 0 a.s。

（84）对于某些常数C>0和m（t），资本化最小的股票指数，即um（·）（·）=u（n）（·）。条件（84）适用于C=1/2的VSMs，以及更一般版本的VSMs，其中α被任何漂移过程γ（·）取代，因此n维数据仍然有解。5.4广义波动率稳定模型[Pic14]中介绍了波动率稳定模型的广义化，在同一篇文章中，作者表明，在某些条件下，在这些广义模型中，可以在任意短的时间范围内构造相对套利。5.4.1定义。将广义波动率稳定模型定义为形式log Xi（t）=αi2（ui（t））2β的模型K（X（t））dt+σ（ui（t））βK（X（t））dWi（t），（85）Xi（0）>0i=1，n、 来，我≥ 0，σ>0和β>0是给定的常数，给定的函数K（·）：（0，∞)N→(0, ∞) 是可测量的，因此（85）有一个在分布上唯一的弱解。注意K（·）的情况≡ 1，σ=1，αi=α，对于i=1，n、 β=1/2对应于VSM（79）。Pickov\'a在[Pic14]中表明，如果K（·）远离零，那么多样性加权投资组合u（p）（·）在[0，T]上对任何p都优于市场≤ 2β和足够大的温度。

此外，如果β≥ 1/2，则可使用[BF08]第5节中命题2中的相同方法，在任意水平[0，T]上构建市场的相对套利。除[Pic14]外，文献中尚未研究或提及广义VSM，但它可以提供一种对股市建模的通用方法，以保持有效的内在波动性，并结合观察到的小型资本化股票往往具有更高的波动性和漂移。6基于秩的模型和portfoliosIt已经观察到对数-对数资本化分布曲线，即mappinglog k 7→ 对数u（k）（t）随时间表现出极大的稳定性——参见[Fer02]中的图5.1。资本似乎按照资本化等级以独立于时间的方式分配（尽管发生了崩溃等极端事件），这一事实推动了基于等级的模型的研究，该模型首次在[Fer02]中介绍，其中每只股票的漂移和波动系数明确取决于其在市场资本化中的等级。这些模型可以构造为具有上述稳定性。迄今为止，已经详细研究过的最普遍的基于等级的模型类型是混合Atlas模型（一种二阶模型，另见[FIK13a]），由Ichiba等人[IPB+11]介绍如下：dYi（t）=γ+γi+nXk=1gkQ（i）k（Y（t））dt+nXk=1ρikdWk（t）+nXk=1σkQ（i）k（Y（t））dWi（t），t≥ 0（86）Yi（0）=Yi，i=1，n、 二阶是指系数取决于名称和等级的模型，而一阶模型的系数仅取决于等级。其中Yi（·）：=logxi（·），Y（·）：=（Y（·），Yn（·）），和{Q（i）k}1≤i、 k≤nis是Rn中多面体域的集合，其中（y，…，yn）∈ Q（i）协调y，伊恩。

我们可以这样解释：当Y（·）∈ Q（i）k，也就是说，Yi（·）在Y（·）中排名第k，Yn（·），它表现为几何布朗运动，漂移gk+γi+γ，方差（σk+ρii）+Pk6=iρik。常数γ、γi和gk分别代表公共、基于名称和基于秩的漂移，而常数σk>0和ρi分别代表基于秩的波动率和基于名称的相关性。在这些参数的附加假设下，见[IPB+11]中的等式（2.3），模型（86）允许一个唯一的弱解。[IPB+11]（例如，参见他们的图3）中显示，形式（86）的某些模型确实导致了经验资本分布曲线。作者还对这些市场中Cover和Jamshidian的通用投资组合进行了简要研究，并表明该投资组合在长期内表现优异的条件在混合Atlas模型中自然得到满足。然而，没有对这些投资组合的表现进行进一步研究。请注意，（86）是一个相互作用的布朗粒子系统——这是数学金融和纯概率理论的一个活跃研究领域，近年来取得了很多进展。为了简洁起见，我们将不在这里讨论这些文章，而是提及其中的一个子集：[Shk12]，[FIK13b]，[FIKP13]，[IKS13]，[IPS13]和[JR13]。6.1 Atlas模型一种最简单、研究最多的基于排名的模型是Atlas模型，这是[BFK05]中引入的一阶模型，它只为排名最低的股票分配非零增长率，它具有正增长率，因此“承载整个市场”（因此命名）。更准确地说，我们有（86），对于所有i，k=1，…，γi=ρik=0，n、 γ=g>0，gk=-g代表k≤ N- 1和gn=（n- 1） g.还认为xkσk>2 maxk{σk}，0≤ σ- σ≤ . . .

≤ σn- σn-1.在[BFK05]中，所有股票在Atlasmodel中都有相同的渐近增长率γ，即limT→∞Tlog Xi（T）=γa.s。， i=1，n、 每只股票在任何级别上的花费大约是（1/n）thof the time:limT→∞TZTQ（i）k（Y（t））dt=na。s 1.≤ i、 k≤ n、 [IPS13]中的Atlas模型研究了市场权重的动态。本文回答了[FK05，第170页]中关于Atlas模型的一个开放性问题，即确定固定t>0时ui（t）、u（1）（t）和u（n）（t）的分布。此外，它还解决了[Fer02]中备注5.3.8中提出的问题，即：→∞k=1时的ZTu（k）（t）dt，n、 长期相对市场权重的联合分布在[JR13]中Atlas模型的平均值中进行了研究，部分回答了[FK09]中备注13.4中的未决问题。最后，[Shk12]研究了排名模型的巨大市场限制，回答了[Fer02]中的问题5.3.10。在基于排名的模型中，投资组合绩效仍然是一个几乎未被研究的话题；[IPB+11]已经采取了一些初步措施，但尚未证明存在长期投资机会，更不用说相对套利（在有限的期限内）。研究一个人是否能够在Atlas模型中用这些属性之一构建投资组合将是一件有趣的事情。6.2基于等级的功能生成投资组合[Fer01]，Fernholz概括了第2.3节中的功能生成投资组合类别，以允许不按名称区分市场权重，但按银行区分市场权重的功能。也就是说，将我们自己置于一个一般的It^o模型（1）中，并将半鞅凸函数的伊藤规则应用于排名市场权重，如[Fer02，第76-79页]所示，即du（k）（t）u（k）（t）=γpt（k）（t）- γu（t）+τupt（k）pt（k）（t）dt+dLk，k+1（t）- dLk-1，k（t）+dXν=1（σpt（k）ν（t）- σ∑uν（t））dWν（t），k=1，N

（87）这里，pt（k）是在时间t排名第k位的股票指数，因此upt（k）（t）=u（k）（t）和Lk，k+1（t）≡ λΞk（t）是非负过程Ξk（t）：=log在原点累积的半鞅局部时间u（k）（t）/u（k+1）（t）, T≥ 0.（88）每个Lk，k+1（t）测量在k和k+1之间的时间间隔[0，t]内发生的变化的累积影响；我们设置L0,1（·）≡ 0≡ Ln，n+1（·）。在这种情况下，主方程（31）可以概括如下：让生成函数G:U→ (0, ∞) 写为G（x，…，xn）=G（x（1），x（n）），x∈ U、 对于某些函数G∈ C（U）代表U n+打开，n+如（3）所示。然后[Fer01]的定理3.1证明了引理2.3.3:6.2.1的对应关系。设π（·）为组合πpt（k）（t）=Dklog G（u（·）（t））+1-nXl=1u（l）（t）Dllog G（u（·）（t））· u（k）（t）（89）对于k=1，n、 和G∈ C（U）。π（·）相对于市场的表现为对数Vπ（T）Vu（T）= 日志Gu（·）（T）Gu(·)(0)+ Γ（T），（90）式中Γ（T）：=-ZT2Gu（·）（t）nXi，jDijGu（·）（t）u（i）（t）u（j）（t）τupt（i）pt（j）（t）dt+n-1Xk=1πpt（k+1）（t）- πpt（k）（t）dLk，k+1（t）。（91）我们使用了符号u（·）（t）：=u（1）（t），u（n）（t）在这里Fernholz将其广义主方程（90）应用于[Fer01]中的两种设置：首先从理论上解释“尺寸效应”，其次研究“泄漏”——见第6.2.1和6节。下文2.2。上述结果尚未用于构建相对套利——我们在第10.2.7.6.2.1节中为此迈出了一些第一步。规模效应。这一经验观察到的效应指的是小盘股相对于大盘股具有更高长期回报的趋势。方程（90）可以用以下方式来解释这一点：让m∈ {2，…，n- 1} 设GL（x）=x（1）+…+x（m）和gs（x）=x（m+1）+x（n）。

这些函数生成大型股票组合ζpt（k）（·）=u（k）（·）GL（u（·）），k=1，m0，k=m+1，n、 （92）和小型股票组合ηpt（k）（·）=0，k=1，mu（k）（·）GS（u（·）），k=m+1，n、 （93）分别。引理6.2.1意味着这些portfoliosarelog的市场相对表现Vζ（T）Vu（T）= 日志德国劳埃德船级社u（T）德国劳埃德船级社u(0)-ZTζ（m）（t）dLm，m+1（t）、（94）logVη（T）Vu（T）= 日志GSu（T）GSu(0)+ZTη（m）（t）dLm，m+1（t）。（95）将这些因素结合起来，就可以得出一个因素相对于另一个因素的性能Vη（T）Vζ（T）= 日志GSu（T）德国劳埃德船级社u(0)德国劳埃德船级社u（T）GSu(0)+ZTζ（m）（t）+η（m）（t）dLm，m+1（t）。（96）因此，正如Fernholz所说，如果市场表现出“稳定性”，即大小股票的相对资本化比率随时间保持稳定，那么第一个期限（96）将在时间上保持大致不变。然而，本地时间过程的积分在增加；因此日志Vη（T）/Vζ（T）这将是积极的。以上说明了如何应用广义主方程（90）来比较由排名市场权重函数生成的投资组合；或许这也可以用来进行几乎确定的比较，从而构建相对套利。据作者所知，这还没有被试验过，而且非常有趣。我们通知读者，在[FK09]中，有一个令人惊讶的观察结果，即可以使用大盘股投资组合的生成函数，根据经验估算上述使用的当地时间，如下所示：Lm，m+1（·）=Z·ζ（m）（t）d logGL（u（t））Vu（t）GL（u（0））Vζ（t）, m=1，N- 1.