Levy-Ito分解定理

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英文标题：
《The Levy-Ito Decomposition theorem》
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作者：
J.L. Bretagnolle, P. Ouwehand
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This a free translation with additional explanations of {\\em Processus \\`a Accroissement Independants Chapitre I: La D\\\'ecomposition de Paul L\\\'evy}, by J.L. Bretagnolle, in {\\em Ecole d\'Et\\\'e de Probabilit\\\'es}, Lecture Notes in Mathematics 307, Springer 1973. The L\\\'evy-Khintchine representation of infinitely divisible distributions is obtained as a by-product.   As this proof makes use of martingale methods, it is pedagogically more suitable for students of financial mathematics than some other approaches. It is hoped that the end notes will also help to make the proof more accessible to this audience.
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中文摘要：
这是J.L.Bretagnolle在{em Ecole D\'Et\'e de Probabilit\'es}中对{em Processus\\\'a Accroission Independent Chapitre I:La D\'ecomposition de Paul L\'evy}的意译，另附解释，数学课堂讲稿307，Springer 1973。无穷可除分布的LSevy-Khintchine表示作为副产品得到。由于该证明使用了鞅方法，因此从教学角度来看，它比其他方法更适合金融数学专业的学生。希望最后的笔记也将有助于让听众更容易获得证据。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
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关键词：Levy Ito Quantitative Applications explanations

J.L.BretagnolleTranslation的L\'evy It^o分解理论和P.Ouwehand的注释摘要这是一个意译，附有对独立过程的额外解释，第一章：保罗L\'evy的La D\'ecomposition de Paul L\'evy，J.L.Bretagnolle，在Ecole D\'ed\'ede Probabilit\'es，数学课堂讲稿307，Springer 1973年。不完全可分分布的L’evy Khintchine表示作为副产品获得。由于该证明使用了鞅方法，因此在教学上，它比其他一些方法更适合金融数学专业的学生。希望这些尾注也将有助于让这些观众更容易获得证据。1.所有流程定义1.1(Ohm, F、 P，（Ft）t）是一个过滤概率空间。如果（A）X适用于（Ft）t（即，X是Ft–可测量的所有t），则称随机过程X=（Xt）乘以Rn中的值为n维L’evy过程≥ 0).（b） X=0 a.s.（c）Xt+s- XT独立于Ft，对于所有s，t和Xs具有相同的定律≥ 0.（d）（Xt）在概率上是连续的。结果：Put~nt（u）：=E[eihu，Xti]，其中hu，vi代表onRn的内积。由（d）可知，在（t，u）对中，аt（u）是连续的。从（b）开始，ψ（u）=1。从（c）开始，Фt+s（u）=Фt（u）~ns（u），所以对于任何（t，u）项，Фt（u）6=0。因此，我们可以写出φt（u）=e-tψ（u），其中ψ是0处的连续函数。相反，如果ψ是一个连续函数，0为零，那么对于所有t≥ 0，~nt（u）：=e-tψ（u）是正定义（这意味着对于许多uj中的每一个选择，λjwe有pi，jλi′λj~nt（ui- （uj）≥ 0），然后，根据Bochner定理，φt（u）是Rn上概率测度的傅里叶变换。因此，我们可以通过公式[eihu，Xti+··+ihu，Xtni]=E[eihu+··+un，Xti+·+ihun，Xtn]在（Rn）R+上构造一个射影测度族-Xtn-1i]=аt（u+·u+un）·аt-t（u+···+un）。

~ntn-tn-1（un）适用于所有0的有限选项≤ T≤ · · · ≤ tn.Kolmogorov的Theorem给出的过程（Xt）吨（Rn）R+，显然适合自然过滤Ft:=σ（Xs:s≤ t） ，具有L’evy–It^o分解定理（a）、（b）、（c）、（d）的性质，因为-Xt→ 当s↓ 0是一个即时的序列，表明→ 1.什么时候↓ 因此，对于每个具有这些性质的ψ，都有一个L’evy过程。定理1.2假设S是R+的可数子集。然后，存在一个P–null集Nsuch，它位于映射t7上→ XT沿S（l\'ag，l\'ad）有左右限制。如果有一个定义：=lims∈S、 S↓tXson Nc和N上的0，则Y适用于“Ft”，其中“fti”是FtinF，i的完成。e、 由F（orWtFt）的所有空集完成。此外，Y是c\'adl\'ag（继续是一个droite，pourvu limites\'a gauche）。最后，Y是X的修正，即f或所有t，P（Xt6=Yt）=0。证据：假设你∈ Qn，以及Mut定义的muti:=eihu，Xtiаt（u）。因此，对于每一个u，（Mut）都是一个（复）鞅，除了一个空集Nu，沿S的l`agl`ad（例如，见Neveup.129-132）因此，除了空集N:=Su之外，沿S的左极限和右极限同时存在∈QnNu。假设ω∈ 北卡罗来纳州，地图7→ x（ω）可以有两个不同的簇点a，b，就像s一样(↑ 或↓) 到t.你总能找到一个u∈ Qnsuchthat hu，b- ai 6∈ 2iπZ；因此这是不可能的。因此，X是Nc上沿S的l`agl`ad，Y是isc`adl`ag。通过主导收敛，我们得到了E[eihu，Yt]-Xti]=lims↓特[eihu，Xs]-Xti]=1，因为在概率上是连续的。因此P（Yt6=Xt）=0。最后，因为Xt=Yta。s、 ，Y与（\'Ft）t相适应。结果：如果我们有一个定义1.1意义上的L’evy过程，那么现在可以为X取正则化（即c’adl’ag）版本Y，为Ftone取σ（Xs:s）≤ t） 。

我们现在研究固定的L’evy过程X（如果存在），以及本章剩余部分的F（Ft）T。定理1.3（0-1定律）如果我们定义Ft+：=Ts>tFs，那么Ft+=FtProof:Ft+可以被认为是一个可数交，因为 当你≤ v、 Thusif t≤ t、 我们有E[eihu，Xti | Ft]=E[eihu，Xti | Ft+]，一个常见的版本是eihu，Xti。如果t>t，则ne[eihu，Xti | Ft+]a.s.=lims↓tE[eihu，Xti | Fs]a.s.=lims↓地胡，Xsi k t-s（u）a.s.=eihu，Xtiаt-t（u）a.s.=E[eihu，Xti | Ft]因此对于所有的u，我们有E[eihu，Xsi | Ft+]a.s.=E[eihu，Xsi | Ft]。对于所有随机变量eihu、Xsi，以及所有WTFT——可测量的随机变量，这两个条件期望都是相等的。因此，从今往后，（Ft）是正确的——连续的：Ft+=Ft.（尤其是A∈ F=F+意味着P（A）=0或1。）Levy–It^o分解定理3Theorem 1.4（强马尔可夫性质）如果T是停止时间，则在{T<∞} 过程（XT+t）- XT）t≥0是一个L\'evy过程，与X具有相同的定律，适用于（FT+t）t，c\'adl\'ag，且独立于FT。证明：首先假设t有界，让a∈ 以uj为例∈ Qn和t∈ R+。ThenEhIAeiPjhuj，XT+tj-XT+tj-1ii=P（A）Yj~ntj-tj-1（uj）关于可选抽样定理在鞅Mujt中的应用。如果T是无界的，则当应用于T时，公式仍然为真∧ n和A∩ {T≤ n}∈ 英尺∧n、 一个人可以通过支配收敛达到极限，因此这个公式是无限制的。一方面，它表明XT+t- XT独立于FT，另一方面XT+t- XT具有属性（a）、（b）、（c）。很明显，XT+t- XT是c`adl`ag，因此更具连续性不可能性。推论1.5具有不连续振幅A.s.有界的L’evy过程具有所有阶矩。证明：假设M是P(t:|Xt- Xt-| ≥ M）=0。Put T:=inf{T | | Xt |≥ M}，和Tn:=inf{t:t>Tn-1，|Xt |≥ 嗯。

正确的连续性意味着TNF会形成一个不断增加的停止时间序列。自| XT- XT-| ≤ I don’’我们有晚餐≤Tn | Xs |≤ 2nM，强马尔可夫性意味着Tn- Tn-1独立于FTn-1，具有与T相同的定律，因此E[E]-Tn]=E[E-T] n=an，其中a<1。|Xt|≥ 2nM}≤ P（总氮<t）≤ 因此存在一个指数矩。2泊松过程这是一个逐渐适应的L’evy过程，它只随振幅1的跳跃而增长。我们将用（Nt）tin表示它，包括或不包括补充指数。如果T:=inf{T:Nt6=0}，那么{T>T}={Nt=0}。这是一个停止时间，P（T>T+s）=P（Nt+s- Nt=0，Nt=0），所以根据强马尔可夫性质，P（T>T+s）=P（T>s）P（T>T）。这个函数是递减且有界的，我们有P（T>T）=e-阿塔∈ R+（T>0 a.s.）。对于a=0，Nt≡ 0; 如果没有，这就是最后的结果，如果我们- Tn-1:=inf{t>0:Nt+Tn- Nt+Tn-1> 0}，然后- Tn-1独立于FTn-1和T有相同的规律。那么P（Nt=n）=P（Tn+1>T，Tn≤ t） =安顿！E-at、、和E[eiuNt]=E-在（1）-eiu）。由于该函数是正定义的，那么通过第1页上的逆函数，最终存在一个泊松过程（通过推论1.5），^Nt:=Nt-在和（新界）-在）-at是可积的，并且是鞅，正如我们立即验证的L’evy–It^o分解理论定理2.1，如果M是中心squ是可积鞅，N是泊松过程，那么对于所有t，E[MtNt]=EXn≥0（MTn）- MTn-)I{Tn≤t}证明：假设0=t<t<t<···<tn=t是[0，t]的一个划分。

通过使用Mtand^Nt:=Nt的matingale属性- 在重复时，我们得到：E[MtNt]=E[Mt^Nt]=EXi（Mti+1）- Mti）Xj（^Ntj+1-^Ntj）= E“Xi（Mti+1- Mti）（^Nti+1-^Nti）#=E“Xi（Mti+1- Mti）（Nti+1- Nti）#如果步长为supi（ti+1- ti）趋于0，Xi（Mti+1- Mti）（Nti+1- Nti）P或a.s。-→Xn≥0（MTn）- MTn-)I{Tn≤t} 如果能证明勒贝格支配的收敛定理是适用的，那么证明就是完整的：现在Xi（Mti+1）- Mti）（^Nti+1-^Nti）≤ 两杯≤t | Ms | n这两个因素都在L（E[sups]中≤t | Ms |]≤ 4E[|Mt |]）。3保罗·L’evy3的分解。1跳转测量值B是RN0中的一个Borel集合6∈B.通过递归，我们定义了停止时间sb:=inf{t>0:Xt- Xt-∈ B} SnB:=inf{t>Sn-1B:Xt- Xt-∈ B} 我们可以很容易地验证，由于右连续性，X（t，ω）在（t，ω）中是可联合测量的，因此，根据0-1定律，适用于Ft+，从而适用于Ft的基本停止时间。正确的连续性意味着SB>0 a.s.，而Nt（B）：=Pn≥0I{SnB≤t} <∞ a、 （如果不是的话，轨迹Xt上会有第二种连续性。）因此，Nt（B）是一个泊松过程（见下文），我们用ν（B）表示参数E[N（B）]。对于每个ω，Nt（dx，ω）定义了Rn上的σ–有限度量- {0}，因此ν（dx）：=E[N（dx）]同样是一个σ-有限度量(≥ 0）onRn- {0}.L’evy–It^o分解定理53.2相关跳跃过程定理3.1让f在Rp中的B上有界可测。然后zbF（x）Nt（dx）=Xn≥1f（XSnB）- XSnB-)I{SnB≤t} 证明：如果f是阶跃函数，f=pjajibj，其中pjibj=IB，则积分isPjajNt（Bj）=Pjaj（PnI{SnBj≤t} ）。但是族{SnB}是{SnBj}的并，其结果是阶跃函数f。否则，我们用阶跃函数一致地逼近f。注3.2事实上，对于B a Borel集（0.6∈当然，B）表示公式为真时，f在任何地方都是有限的，因为Nt（B）表示所有t的有限a.s。

特别地，我们用x（B）表示数量znx Nt（dx）=Xn≥1（XSnB）- XSnB-)I{SnB≤t}引理3.3RBf（x）Nt（dx），Xt（B）是适应于（Ft）t的L’evy过程。证明：Nt（dx）是适应于L’evy过程！引理3.4XT- Xt（B）是一种适用于（Ft）t的L’evy过程。[证明Nt（B）、Xt（B）和Xt- Xt（B）是适应L’evy过程的，我们注意到条件（a）和（B）是自动满足的，并且（d）来自c’adl’agproperty。只有（c）项有待验证。现在让我们将其作为上述过程之一。请注意，Zt+s- Zt∈ σ（许：u）≤ T≤ t+s）与Ft无关。增量的平稳性也是如此……]Xt-R{|x|≥1} Nt（dx）没有|振幅|≥ 1（引理3.1）是一个适应于（Ft）t（引理3.4）的L′evyprocess，因此可以由平移γt（推论1.5）居中。因此，我们可以将自己的研究局限于：3.3带跳跃的中心L’evy过程的L’evy分解3.5假设B {x|≥ 1} 就是0.6∈“B，还有f:Rn→ R是这样的，即fibis i in L（ν（dx））（跳跃度量ν（dx）已在§3.1中引入）。然后我们有了ZBf（x）Nt（dx）= tZBf（x）ν（dx）和“ZBf（x）Nt（dx）- tZBf（x）ν（dx）#= tZBf（x）ν（dx）6 L’evy–It^o分解理论假设：如果f是阶跃函数，f=PjajIBj，我们有XjajNt（北京）=对于第二个方程，注意如果Bi∩Bj=, 然后根据定理2.1，我们得到E[^Nt（Bi）^Nt（Bj）]=。对于不是阶跃函数的f，选择一系列阶跃函数fnib，使fnib趋向于f IBin L（dν），因此也适用于L（dν）。然后我们得到了L（dP）和L（dP）中相应的Tochastic积分的收敛性。现在我们引入M，c`adl`ag中心的平方可积鞅的空间(Ohm, F、 P），适应于（Ft）t。我们在这个空间中装备了（Fr′echet的）拓扑结构，该拓扑结构由精虫qt（M）：=E[Mt]家族诱导。

从经典的不等式[sups]≤[tMs]≤ 4E[Mt]我们推断序列的qt-收敛以概率1表示区间[0，t]上轨迹的一致收敛，因此极限为c`adl`ag。qt收敛同样意味着L中随机变量的收敛，因此保留了中心性和鞅性质。换句话说，M在其拓扑中是封闭的。引理3.6如果B如上所述，那么hb：=ZBf（x）Nt（dx）- tZBf（x）ν（dx）：fib∈（dν）证明：我们有t | | fIB | L（dν）=qt（MfIB）()式中，MfIB，t:=RBf（x）Nt（dx）- tRBf（x）ν（dx）：fib∈（dν）。（α） ：对于f IBa阶跃函数，mfibi是M中的鞅，因为对于每个泊松过程，n对应于鞅^Nt:=Nt- 因为所有的L（dν）–函数都是阶函数的极限，所以M中的MFIB和f IB都是鞅∈ L（dν）。（β） ：现在hb在M中是闭合的，因为qt–convergence也意味着在L（dν）中的收敛()引理3.7设B如引理3.5所示。如果我∈ M在时间SnB上是连续的，然后M与HB是等正交的。证明：根据定理2.1，对于所有 我们所有的t都是E[MtNt（A）]=0。现在，{Nt（A）|AB} 产生血红蛋白。推论3.8如果B，裸露的不相交Borel集，带0.6∈“B”∪那么过程（Xt（B））和（Xt（B））是独立的L’evy过程。L’evy–It^o分解定理7证明：已经证明了它们是L’evy过程（引理3.5）。如果现在mu1，t:=eihu，Xt（B）iE[eihu，Xt（B）i]- 1 Mv2，t:=eihv，Xt（B）iE[eihv，Xt（B）i]- 然后这两个鞅是正交的，通过引理。我们有s、 t∈ R+u、 五∈Rn（E[Mu1，tMv2，s]=0），这保证了他们的独立性。现在putYt（B）：=Xt（B）- E[Xt（B）]=Xt（B）- 那么Y既是一个L′evy过程，也是M中的一个鞅。

如果我们定义：=k+1<| x |≤K和An:=n[k=1BK当Y（Bk）是成对独立的，和X- Y（An）和Y（An）是正交的，甚至是独立的（追溯推论3.8的证明）。因此，Y（Bk）的级数（和）在L中收敛，从而在M中收敛到L′evy过程Xd，而X- Y（An）收敛到L′evyprocess Xcin M。因此：引理3.9 Xt=Xct+Xdt，其中Xct是具有连续样本路径的鞅，Xdt:=Z |x|≤1x（Nt（dx）- tν（dx））注3.10最后一个积分存在于L和henceR{x中|≤1} |x|ν（dx）<∞.它仍然是连续部分的特征：我们将证明它必然是高斯L′evyprocess，即每个Xctis都是高斯的。为此，必须为每个一维投影（高斯的一个众所周知的性质）展示这一点。换句话说，我们必须证明：引理3.11假设bt是一个具有连续样本路径的一维中心L′evy过程。然后是σ∈ R+使e[eiuBt]=e-uσtProof：根据推论1.5，没有间断的L’evy过程具有所有阶的矩。对于所有的t>0，IfE[Bt]=0，那么问题就解决了。如果不是，我们可以假设E[B]- t] =t，将过程乘以常数。请注意，E[Bt]=at+Bt+ct：必须将E[Bt]=E-tψ（u），在原点处微分四次（ψ（u）属于C类∞, 比如ψt（u））并观察ψ′（0）=0。现在，让P:={0=t<t<···<tn=t}是8的一个划分，L\'evy–It^o分解定理[0，t]，其步长supj{（tj+1）- tj）将趋于0。我们用tj数量tj+1- tj和Bj数量Btj+1- Btj。然后我们就有了- 1] =EXjeiuBtj+1- eiuBtj= iuXjEheiuBtjBji-uXjEheiuBtj(Bj）我-乌克杰(Bj）·（eiu（Btj+θj（北京）- eiuBtj）我用二阶泰勒公式计算了0到1之间的θjare数。

在第二行中，第一项为零：BJ没有期望值，并且独立于Btj。第二项等同于-uPj~ntj（u）tj，因此倾向于-乌特-sψ（u）ds随着步长趋于0。第三项趋向于0：设Aα为事件Aα：=nsupjsuptj≤u、 五≤tj+1 | Bu- 因此，第三项可以由| u | ZAα（Xj）限定Bj）dP+| u | ZAcαXjBjdPthusbyα| u | E[XjBj]+|u | pP（Acα）·sE[（Xj因此，考虑到α| u | t+upP（Acα）（O（t+t））对E[Bt]的评估。最后，请注意，样本路径的连续性意味着，随着分区的增加，P（Acα）→ 0.对第三任期的期望是有限的≤α| u | t，因此收敛到零。由此我们得到方程：e-tψ（u）- 1 = -乌兹特-将ψ（u）与u识别的sψ（u）ds。3.4分解定理定理3.12（A）假设X是一个n维的L’evy过程。ThenXt=Bt+tE“X-Z |x |>1}xN（dx）#+Z{x|≥1} xnt（dx）+Z{x |<1}xNt（dx）- tν（dx）其中，L’evy–It^o分解定理9oBt是一个具有a.s.连续采样路径的中心高斯L’evy过程Nt（dx）是一类泊松过程，独立于Bt，如果a∩ B=, 并且用ν（dx）=E[N（dx）].oν（dx）是Rn的一个正度量- {0}，带r|x|∧ 1ν（dx）<∞.o 第一个stoc-hastic积分是土地意义上的积分，第二个是L.（B）定律公式：在这些条件下，ψ（u）=-tE[eihu，Xti]=Q（u）- iha，ui+Z{x|≥1}1 - 艾虎，xiν（dx）+Z | x |<1}1- eihu，xi+ihu，xiν（dx），其中Q是一个正定义的二次型，n，a∈ Rn和ν（dx）如（A）所示。（C） 相反地，给定（B）中的Q，a，ν，这里存在一个L′evy过程，其定律由（B）中的公式给出。（D） （B）中的表示是唯一的。证据：总结前面，（B）是显而易见的。（D） 分解的唯一性在结构上是显而易见的。