集合和上的锐凸界——另一种证明

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英文标题：
《Sharp convex bounds on the aggregate sums--An alternative proof》
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作者：
Chuancun Yin, Dan Zhu
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  It is well known that a random vector with given marginal distributions is comonotonic if and only if it has the largest sum with respect to the convex order [ Kaas, Dhaene, Vyncke, Goovaerts, Denuit (2002), A simple geometric proof that comonotonic risks have the convex-largest sum, ASTIN Bulletin 32, 71-80. Cheung (2010), Characterizing a comonotonic random vector by the distribution of the sum of its components, Insurance: Mathematics and Economics 47(2), 130-136] and that a random vector with given marginal distributions is mutually exclusive if and only if it has the minimal convex sum [Cheung and Lo (2014), Characterizing mutual exclusivity as the strongest negative multivariate dependence structure, Insurance: Mathematics and Economics 55, 180-190]. In this note, we give a new proof of this two results using the theories of distortion risk measure and expected utility.
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中文摘要：
众所周知，具有给定边际分布的随机向量是共单调的当且仅当其关于凸阶具有最大和[Kaas，Dhaene，Vyncke，Goovaerts，Denuit（2002），一个证明共单调风险具有凸最大和的简单几何证明，ASTIN Bulletin 32，71-80.Cheung（2010），《保险：数学与经济学》第47（2）卷，通过其分量之和的分布来表征共单调随机向量，130-136]且具有给定边际分布的随机向量是互斥的当且仅当其具有最小凸和[Cheung and Lo（2014），将互斥性描述为最强的负多元依赖结构，保险：数学与经济学55180-190]。在本文中，我们利用失真风险测度和期望效用理论对这两个结果给出了一个新的证明。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Sharp_convex_bounds_on_the_aggregate_sums--An_alternative_proof.pdf (99.35 KB)

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关键词：distribution Quantitative Multivariate Applications mathematics

总和的锐凸边界——曲阜师范大学川村尹丹珠统计学院，山东273165，中国电子邮件：ccyin@mail.qfnu。埃杜。CN6月19日，众所周知，具有给定边际分布的随机向量是共单调的当且仅当其关于凸序具有最大和[Ka as，Dhaene，Vyncke，Goovaerts，Denuit（2002），一个关于共单调风险具有凸最大和的简单几何证明，ASTIN公告32，71-80.Cheung（201 0），通过其各分量之和的分布来表征一个非同音随机向量，保险：数学和经济学47（2），130-136]且具有给定边际分布的随机向量是互斥的当且仅当其具有最小凸[Cheung and Lo（2014），将互斥性描述为最强的负多变量依赖结构，保险：数学与经济学55180-190]。在本文中，我们利用失真风险测度和可测性理论对这两个结果给出了一个新的证明。关键词：共单调性；凸序；失真风险度量；相互排他性；止损顺序1简介经过研究人员多年的努力，对给定边际分布但未知依赖结构的随机变量之和（也称为agg egate和）的锐凸界的研究已经取得了许多重要成果。从数学上讲，给定一个任意的Fr′echet空间R（F，···，Fn），其中所有随机向量都有F，···，Fn为边际分布，目的是找到属于R（F，···，Fn）的两个随机向量（Xm，··，Xmn）和（Xm，··，Xmn），使得nxi=1Xmi≤cxnXi=1Xi≤cxnXi=1x对于任何（X，···，Xn）∈ R（F，··，Fn），其中≤cx表示凸序。

通过定义，对于一对随机m变量X和Y，我们说X小于凸序意义上的Y，表示为X≤cxY，如果Ef（X）≤ 对于每一个凸函数f，假设期望值Ef（X）和Ef（Y）存在。在精算学中，通常使用止损变换来定义凸阶：X≤cxY<=> EX=EY和X≤狡猾的在止损或有序意义上，这里的X被称为在Y之前，而不是在X之前≤slY，当且仅当X的止损保费低于Y:E（X- d）+≤ E（Y）- d） +,，-∞ < d<∞.可以在Denuit等人（2005）、Shaked和Shanthikumar（2007）中找到关于凸阶的其他特征和性质的总结。共单调性在确定聚合上的凸上界方面起着关键作用。让我们回顾一下定义。对于任何X∈ R（F，···，Fn），X被称为comonotonicifFX（X）=min1≤K≤nFk（xk）， x=（x，x，··，xn）∈ 注册护士。等价地，当且仅当Xd=（F-1（U），·F-1n（U）），其中U是均匀分布在区间[0,1]上的随机变量，表示为U~ U[0,1]。雅里（1987）和施梅德勒（1986）提出了共名性的概念。关于协整性概念及其在精算科学和金融中的应用的更多细节和其他描述，我们参考了Dhaene等人（2002a、2002b）和Deelstra等人（2010）最近发表的综述论文。设我们是sumX+···+xx，scb是共单调和Xc+··+Xcn，其中（Xc，··，Xcn）是X=（X，··，Xn）的共单调对应物。一个众所周知的结果表明≤cxSc。在D haene和Goovaerts（1996年、1997年）中，可以找到二元情况下这一基本结果的证明。作为超模序概念的一个特例，M¨uller（1997）将结果推广到高维。Kaas et A l中给出了一个简单的几何图形。

（2002）和Cheung（2010a）使用多数化理论提供了一个新的证据。在假设所有的边际分布函数都是连续的，并且潜在的概率空间(Ohm, F、 P）是无原子的；见Cheung（2008）。这种对边缘的连续性假设被Cheung（2010b）删除。一个新的简单证明，不需要假设潜在的概率空间(Ohm, F、 P）无原子是由毛和胡（2011）给出的。为了总结以上结果，我们得出以下定理。定理1.1。If（X）*, · · · , 十、*n）∈ R（F，··，Fn），然后（X*, · · · , 十、*n） 是共单调的if，且仅为ifX+·Xn≤cxX*+ · · · + 十、*所有（X，··，Xn）∈ R（F，··，Fn）。现在我们关注R（F，··，Fn）的下凸界。当n=2时，最小夏普界由反单调情形得到：F-1（U）+F-1(1 - U）≤cxX+XF或任何（X，X）∈ R（F，F），其中U是均匀分布在区间[0，1]上的随机变量；例如，见Denuit等人（2005年，第290页）。此外，Cheung和Lo（2013a）表明，相反的观点是有效的。然而，n的尖锐凸下界≥ 由于反单子性不能推广到n，文献中缺少了3≥ 3在不损失其关于凸阶的极小性的情况下。在特殊情况下，当F，··，fn在R+上，pni=1（1- 金融机构（0））≤ 1，凸下界由相互排斥的Cernario:X获得*+ · · · + 十、*N≤cxX+···+Xn对于任何（X，··，Xn）∈ R（F，··，Fn），其中（X*, · · · , 十、*n）∈ R（F，··，Fn）和P（X）*i> 0，X*j> 0=0表示所有I6=j；参见Dhaene和Denuit（1999年，定理10）。当边缘F，F，··，Fn是两点分布时，结果可以在Hu and Wang（1999）中找到。相互排斥可以被认为是多元环境中最强的负相关结构。

D haene和Denuit（1999年）对其进行了首次研究，而Cheung和L o（2014年）对其进行了回顾、概括和进一步描述。定义1.1。（Cheung and Lo（2014））设X，···，Xnbe随机变量，具有本质的内部变量l，···，Ln和本质的上层变量u，···，非预期的l y。如果P（Xi>li，Xj>lj）=0，则它们被称为（i）相互排斥的；（ii）如果P（Xi<ui，Xj<uj）=0表示ll i 6=j，则自上而下互斥。以下定理由Cheung a and Lo（2014）提出，涉及互斥变量和凸序最小下界。定理1.2。（Cheung and Lo（2014））让X*= （十）*, · · · , 十、*n） 是固定的随机向量R（F，··，Fn）（n）≥ 3） 哪种满意度为1（1-Fi（li））≤ 1 orPni=1Fi（用户界面）-) ≤ 1.然后*当且仅当*+ · · · + 十、*N≤cxX+···+Xn所有（X，··，Xn）∈ R（F，··，Fn）。在这篇短文中，我们给出了定理1.1和1.2的一个新证明。接下来的两节将给出证明。2.定理1的新证明。为了证明定理1.1，我们需要两个有用的引理。这里有一些符号。设FX为随机变量X的累积分布函数，递减分布函数用FX表示，即FX（X）=1- FX（x）=P（x>x）。畸变函数定义为非递减函数g:[0,1]→ [0，1]使得g（0）=0和g（1）=1。与畸变函数g相关的畸变风险度量由ρg[·]表示，并由ρg[X]=Z定义+∞g（\'FX（x））dx+Z-∞[g（\'FX（x））- 1] dx，对于任何随机变量X，前提是上述两个积分中至少有一个是有限的。如果X是一个非负随机变量，那么ρg减少到ρg[X]=Z+∞g（`FX（x））dx。显然，凹形畸变函数在（0，1）上是连续的，只能在0处跳跃。

（2012，定理6）我们知道，对于任何凹畸变函数g，可以将ρg[X]重写为ρg[X]=Z[0,1]var1-q[X]dg（q），其中V aRp[X]=inf{X|FX（X）≥ p} 。下面的定理表明，止损顺序可以用有序凹形失真风险度量来描述；见Dhaene等人（2000年）和Dhaene等人（2006年）。这里我们提供一个简短的证明。引理2.1。对于任何ran dom对（X，Y），我们都有X≤slY当且仅当订购了相应的凹面变形风险度量时：X≤狡猾的<=> ρg[X]≤ ρg[Y]表示allcon洞穴变形函数sg。特别是，如果E[X]=E[Y]，则X≤cxY<=> ρg[X]≤ρg[Y]对于所有凹形畸变函数g.对于任何凹形畸变函数g的证明，ρg可以写成ρg[X]=ZT V aRp[X]du（p），其中u是一个概率度量，而T V aRp是p级的尾部风险值：T V aRp[X]=1- pZpV aRw[X]dw，这是对应于凹形畸变函数g（X）=min的畸变风险度量x1- p、 一,, 0<p<1。结果为X≤狡猾的<=> T V aRp[X]≤ T V aRp[Y]表示所有p∈ （0,1）（参见Dhaene等人（2006）中的定理3.2）。下面的次可加性定理可以在D haene等人（2000）中找到，二元情况可以在Denneberg（1994）中找到，另见Wang和Dhaene（1998）。引理2.2。对于任何凹形畸变函数g和（X，··，Xn）∈ R（F，··，Fn），我们有ρg[X+··+Xn]≤ ρg[X]+·ρg[Xn]。定理1.1的证明首先我们假设（X*, · · · , 十、*n）∈ R（F，··，Fn）是共单调的。对于任何凹形畸变函数g和（X，··，Xn）∈ R（F，··，Fn），byLemma 2.2我们有ρg[X+··+Xn]≤ ρg[X]+·ρg[Xn]。（2.1）（X）的共单调性*, · · · , 十、*n）∈ R（F，···，Fn）意味着t（参见Dhaene等人（2006））ρg[X]+···+ρg[Xn]=ρg[X*+ · · · + 十、*n] 。

（2.2）因此，将（2.1）和（2.2）结合起来，就得到ρg[X+·X+·Xn]≤ ρg[X*+ · · · + 十、*n] ，并且期望的结果来自引理2.1。为了证明其含义，我们假设（X*, · · · , 十、*n）∈ R（F，··，Fn）和x+··+Xn≤cxX*+ · · · + 十、*对于ll（X，··，Xn）∈ R（F，··，Fn）。从引理2.1我们得到ρg[X+··+Xn]≤ ρg[X*+ · · · + 十、*n] ，对于所有凹形畸变函数g，尤其是ρg[Xc+·Xcn]≤ ρg[X*+ · · · + 十、*n] ，（2.3），其中（Xc，··，Xcn）是（X，··，Xn）的共单调对应物。另一方面，通过引理2.2，我们得到ρg[X*+ · · · + 十、*n]≤ ρg[X*] + · · · + ρg[X*n] 。（2.4）如果（X）*, · · · , 十、*n） 不是共单调的，那么ρg[X*+ · · · + 十、*n] 6=ρg[X*] + · · · + ρg[X*n] ，它与（2.4）一起导致t到ρg[X*+ · · · + 十、*n] <ρg[X*] + · · · + ρg[X*n] 。（2.5）从（2.3）和（2.5）中可以看出，ρg[Xc+··+Xcn]=ρg[Xc]+·ρg[Xcn]，我们有ρg[Xc]+·ρg[Xcn]<ρg[X]*] + · · · + ρg[X*n] ，这显然是一个矛盾，因为ρg[Xc]+·ρg[Xcn]=ρg[X*] + · · · + ρg[X*n] 。因此，（X*, · · · , 十、*n） 是共单调的。这结束了定理1的证明。1.3定理1的新证明。为了证明定理1.2，我们需要两个有用的引理。引理3.1给出了两个rvs凸阶的一个必要且有效的条件，这一条件在Denit等人（2005）的3.4.3中给出。引理3.1。（De nuit et al.（2005，命题3.4.3））给定两个rvs X和Y，则以下状态T是等效的：（1）X≤cxY。（2） E[v（X）]≤ E[v（Y）]对于所有凸函数sv，期望存在。（3） E[v（X）]≤ E[v（Y）]对于所有带v′的函数sv≥ 0以使经验存在。由Cheung和Lo（2013）提出的下列引理将在定理1.2的证明中发挥关键作用。引理3.2。

（Cheung a and Lo（2 0 13，定理3.1））设X，···，Xnbe非负且om variabl e s和f是一个共凸函数，使得e[f（Pni=1Xi）]存在。（i） 我们有[f（nXi=1Xi）]≥nXi=1E[f（Xi）]- （n）- 1） f（0）；（ii）如果f是严格凸的，则ne[f（nXi=1Xi）]=nXi=1E[f（Xi）]- （n）- 1） f（0）当且仅当X，···，X是达尼和德努伊特（1999）意义上的互斥随机变量。备注3.1。我们注意到，当函数f是conv e x时，“if part”仍然成立，但不一定是严格凸的。定理1.2的证明。为了证明定理1.2，正如inCheung和Lo（2014）对引理3.6的证明一样，有三种情况需要考虑。案例1。l=···=ln=0。首先我们假设（X*, · · · , 十、*n）∈ R（F，··，Fn）是相互排斥的。对于任意凸函数u和（X，··，Xn）∈ R（F，··，Fn），通过引理3.2（i）我们得到[u（nXi=1Xi）]≥nXi=1E[u（Xi）]- （n）- 1） u（0）。（3.1）由于引理3.2（ii）和备注3.1，（X）的相互排他性*, · · · , 十、*n） 意味着[u（nXi=1X*i） ]=nXi=1E[u（X*i） ]- （n）- 1） u（0）。（3.2）因此，将（3.1）与（3.2）结合起来，注意E[u（X*)] + · · · + E[u（X*n） ]=E[u（X）]+···+E[u（Xn）]，一相[u（nXi=1X*i） ]≤ E[u（nXi=1Xi）]，由此和引理3.1，我们推导出x*+ · · · + 十、*N≤cxX+···+Xn用于所有（X，··，Xn）∈ R（F，··，Fn）。为了证明其含义，我们假设（X*, · · · , 十、*n）∈ R（F，··，Fn）和x*+ · · · + 十、*N≤cxX+···+Xn用于所有（X，··，Xn）∈ R（F，··，Fn）。从引理3.1我们得到了e[u（X*+ · · · + 十、*n） ]≤ E[u（X+··+Xn）]对于所有凸函数u，尤其是E[u（X*+ · · · + 十、*n） ]≤ E[u（XM+·XMn）]（3.3），其中（XM，·XMn）是（X，·XMn）的互斥对应物。

另一方面，通过引理3.2和备注3.1，我们得到[u（X*+ · · · + 十、*n） ]≥ E[u（X*)] + · · · + E[u（X*n） ）]- （n）- 1） u（0），（3.4）和[u（XM+···+XMn）]=E[u（XM）]+··+E[u（XMn））]- （n）- 1） u（0），（3.5）如果（X*, · · · , 十、*n） 不是相互排斥的，因此[u（X*+ · · · + 十、*n） ]6=E[u（X）*)] + · · · + E[u（X*n） ）]- （n）- 1） u（0）。（3.6）结合（3.3）-（3.5）和（3.6）我们得到[u（X）]*)] + · · · + E[u（X*n） ）]<E[u（XM）]+···+E[u（XMn））]。这与t（X）相矛盾*, · · · , 十、*n） （XM，··，XMn）具有作为边际分布的。因此，（X*, · · · , 十、*n） 这是相互排斥的。案例2。（十）*, · · · , 十、*n） 是相互排斥的。对于任何（X，··，Xn）∈R（F，···，Fn），然后Z：=Xi- 非负随机变量，Z*:= 十、*我- liarenon负互斥随机变量。将结果应用到案例1中，我们得出：*, · · · , 十、*n） 这是相互排斥的<=> （十）*- l、 ···，X*N- ln）是相互排斥的<=>nXi=1（X*我- （李）≤cxnXi=1（Xi- （李）<=>nXi=1X*我-nXi=1li≤cxnXi=1Xi-nXi=1li<=>nXi=1X*我≤cxnXi=1Xi。案例3。（十）*, · · · , 十、*n） 是相互排斥的。对于任何（X，··，Xn）∈ R（F，··，Fn），将结果应用到案例2中，我们得到（X）*, · · · , 十、*n） 是相互排斥的<=> (-十、*, · · · , -十、*n） 是相互排斥的<=> -Pni=1X*我≤cx-Pni=1Xi<=>Pni=1X*我≤cxPni=1Xi。定理1.2的证明现在已经完成。致谢。本研究得到了国家自然科学基金（1117117911571198）和中国高等教育博士研究基金（20133705110002）的资助。参考文献[1]张，K.C.，2008年。用凸序刻画共单调性。保险：数学与经济学43403-406。[2] 张，K.C.，2010a。共单调凸上界和多数化。保险：数学与经济学47,154-158。[3] 张，K.C.，2010b。

通过其分量和的分布来刻画共单调随机向量。保险：数学与经济学47（2），130-136。[4] 张克强，罗，A.，2013a。用（尾）凸序刻画反单调性和上共单调性。保险：数学与经济学53334-342。[5] 张克强，罗，A.，2013b。聚合和凸泛函的一般下界。保险：数学与经济学53，88 4-896。[6] 张，K.C.，洛杉矶，2014年。将互斥性描述为最强的负多元依赖结构。保险：数学与经济学55180-190。[7] Deelstra，G.，D haene，J.，万梅尔，M.，2010年。共单调性及其在金融和保险中的应用概述。在B.Oksendal和G.Nunno主编的《金融高级数学方法》中。第155-179页。海德堡，斯普林格。[8] Denneberg，D.，1994年。非加性测度与积分。多德雷赫特Kluwer学术出版社。[9] 达恩，J.，密苏里州德努伊，1999年。风险中最安全的依赖结构。保险：数学与经济学25，11-21。[10] M.德努特，J.达恩，M.古韦茨，R.卡萨斯，2005年。相依R isk的精算理论：测度、阶和模型。约翰·威利父子公司，奇切斯特。[11] 新泽西州达内、密歇根州德努特、新泽西州古瓦茨、新泽西州卡斯、弗吉尼亚州温克，2002a。精算学和金融学中的共单调性概念：理论。保险：数学和经济学31（1），3-3。[12] 新泽西州达内、密歇根州德努特、新泽西州古瓦茨、新泽西州卡斯、弗吉尼亚州温克，邮编：20 02b。精算学和金融中的共单调性概念：应用。保险：数学与经济学31（2），133-161。[13] J.达恩，M.J.古瓦埃茨，1996年。风险依赖性和止损顺序。第26号公告，201-212页。[14] J.达恩，M.J.古韦茨，1997年。个人生命模型中风险的依赖性。