基于惩罚OU似然估计的均值回复投资组合

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英文标题：
《Mean Reverting Portfolios via Penalized OU-Likelihood Estimation》
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作者：
Jize Zhang, Tim Leung and Aleksandr Y. Aravkin
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We study an optimization-based approach to con- struct a mean-reverting portfolio of assets. Our objectives are threefold: (1) design a portfolio that is well-represented by an Ornstein-Uhlenbeck process with parameters estimated by maximum likelihood, (2) select portfolios with desirable characteristics of high mean reversion and low variance, and (3) select a parsimonious portfolio, i.e. find a small subset of a larger universe of assets that can be used for long and short positions. We present the full problem formulation, a specialized algorithm that exploits partial minimization, and numerical examples using both simulated and empirical price data.
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中文摘要：
我们研究了一种基于优化的方法来构建均值回复资产组合。我们的目标有三个：（1）设计一个由Ornstein-Uhlenbeck过程和最大似然估计的参数很好地代表的投资组合，（2）选择具有高均值回归和低方差的理想特征的投资组合，以及（3）选择一个节俭的投资组合，即从更大范围的资产中找到一小部分可用于多头和空头头寸。我们给出了完整的问题公式，一种利用部分极小化的特殊算法，以及使用模拟和经验价格数据的数值示例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Covers machine learning papers (supervised, unsupervised, semi-supervised learning, graphical models, reinforcement learning, bandits, high dimensional inference, etc.) with a statistical or theoretical grounding
覆盖机器学习论文（监督，无监督，半监督学习，图形模型，强化学习，强盗，高维推理等）与统计或理论基础
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关键词：均值回复 投资组合 似然估计 Optimization Quantitative

通过惩罚OU似然估计的均值回复投资组合Jize Zhang、Tim Leung和Aleksandr AravkinAbstract-我们研究了一种基于优化的方法来构建均值回复资产组合。我们的目标有三个方面：（1）设计一个由Ornstein-Uhlenbeck过程很好地代表的投资组合，其参数由最大似然法估计，（2）选择具有高均值回归和低方差的理想特征的投资组合，以及（3）选择一个节俭的投资组合，即从更大范围的资产中找到一小部分可用于多头和空头头寸。我们提出了完整的问题公式，一种利用部分最小化的专门算法，以及使用模拟和经验价格数据的数字样本。一、 简介各种金融市场（包括股票和大宗商品）的一大类交易策略是基于利用资产价格的均值回复行为。实际上，可以构建同时持有两个或两个以上高度相关或协整资产（如股票和交易所买卖基金（ETF））的投资组合，以获得平均回复价格。关于成对交易的经验表现[1]和交易时机[2]、[3]、[4]、[5]有许多研究。还有一些方法可以从更大的股票集合中识别出具有少数资产的均值回复投资组合[6]。给定一组资产及其历史价格的时间序列，我们的主要目标是设计一个均值回复投资组合，其随时间的演化可以通过惩罚似然估计的Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程来表征。

OU过程是离散时间自回归（AR）模型的连续时间版本【8】。我们的联合优化方法的一个主要特点是，我们同时求解最优投资组合和相应的最大似然参数。这种统一的方法不同于之前的OU投资组合选择工作，后者将问题分解为阶段性计算。例如，[6]首先为多个资产的时间序列找到OU表示，然后解决第二个优化问题以根据该表示找到投资组合。相反，[3]将OU流程分配到一系列候选（配对）投资组合中的每一个，并选择OU可能性最高的候选人。我们的统一方法从一组候选人中寻找最佳的OU代表性投资组合，使OU的质量成为优化问题的一部分。然后，发现的投资组合的OU特征通知了最佳交易策略，如[3]中制定的策略。Jize Zhang、Tim Leung和Aleksandr Aravkin来自华盛顿大学西雅图分校应用数学系。A、 Aravkin的工作得到了WRF数据科学教授的支持。论文进行如下。在第二节中，我们从两个角度推导了相同的最大似然公式：连续随机微分方程（SDE）特征和离散时间自回归（AR）近似。然后，我们修改了极大似然估计公式，以包括促进投资组合稀疏性和高均值回归的术语，以及从更大的候选集中选择较少资产的术语。在第三节中，我们开发了一种基于部分最小化和投影的非光滑、非凸目标算法，并表明它比不利用问题结构的标准算法性能更好。

在第四节中，我们使用模拟和真实数据提供了数值说明。最后，我们将在第五节第二节进行讨论。问题公式在本节中，我们推导了从一组资产中同时选择投资组合的最大似然公式，并使用OrnsteinUhlenbeck（OU）过程表示该选择。我们首先表明，在考虑OU的连续SDE特征及其离散化自回归（AR）近似的情况下，获得了相同的公式，参数解释存在细微差异。我们还对估计问题的适定性进行了一些理论观察。然后，我们扩展了最大似然公式，以允许在投资组合中选择较低的方差、较高的均值回归和节俭。A、 给出了m项资产的历史数据，以及S（T+1）×m项资产价值随时间变化的矩阵。我们的主要目标是找到w，即构成我们投资组合的资产的线性组合，以便相应的投资组合价格过程XT：=Stw最好遵循OU过程。我们首先表明，求解投资组合和OU可能性，无论是使用OU的SDE特征还是AR特征，都会产生联合目标Mina，c，θ，kwk=1ln（a）+2T akA（c）w- θ(1 -c） k，（1），其中A（c）=S1:T- cS0:T-1，w是要选择的投资组合，a、c、θ、σ是似然参数。目标函数是非凸的，因为A（c）乘以w，并且还包括非凸约束kwk=1。这些差异如下所示。SDE的最大可能性。OU过程由SDEdxt=u（θ）定义- xt）dt+σdBt，（2）其中bt是物理概率测度下的标准布朗运动。

在序列{xt}Tt=1上观察到的OU进程的可能性由tyt=1f（xt | xt）给出-1） =TYt=1√2πИσ×exp-xt公司- xt公司-1exp(-tu）-θ(1 - 经验值(-tu））2￠σ式中￠σ=σ1-经验值(-tu）2u。最小化负对数似然会导致优化问题minu，σ，θ，wln（2π）+ln（￠σ（u，σ））+kA（u）w- y（θ，u）k2T￠σ（u，σ），（3），其中y=θ（1- 经验值(-tu））1和A∈ Rn×2定义asA=S1:T- 经验值(-tu）S0:t-1，其中下标表示t的范围。备注1：（3）中的目标函数是无界的。Setw=0，θ=0；目标函数由n（2π）+ln（σ）+ln给出1.- 经验值(-2ut） 2u,它将变为负的σ→ 为了解决备注1中暴露的问题，我们在w上添加了一个1-normequality约束，设置kwk=1。从建模的角度来看，这种约束也很方便，因为它消除了选择投资组合中哪些资产是长期资产还是短期资产的需要。为了得到公式（1），我们将a=異σ=σ（1- 经验值(-2.tu））2u，c=exp(-tu），（4）之后，问题变成smina，c，θ，kwk=1ln（a）+2T akA（c）w- θ(1 - c） k.一旦知道a和c，我们就可以恢复u和σ。变量的变化（4）通过将复杂的部分封装到a和c中简化了模型结构。它还方便地消除了目标函数中的t。AR的最大似然。AR公式来自OU过程的简单离散化（2）：xt=xt-1+ u(θ - xt公司-1)t+σ√t型t，t型~ N（0，1）。（5） 在xt=Stw为投资组合价格过程的情况下，我们获得了AR参数和投资组合w的联合目标：最小σln(tσ）+2Ttσminu，θ，wh（u，θ，w），其中h（u，θ，w）=TXt=1（St-1w+tu（θ- St公司-1w）- Stw）。如前所述，为了避免备注1中提到的无界性问题，我们加入了等式约束kwk=1。为了得到公式（1），我们取a=tσ，c=1- tu，（6），使问题变成smina，c，θ，kwk=1ln（a）+2T akA（c）w- θ(1 - c） K其中A（c）=S1:T- cS0:T-1.

参数a和c在SDE和AR公式中有不同的表达式，其中a=σ（1-经验值(-2.tu））2uin（4）和a=tσin（6），c=exp(-tu）in（4）和c=1-tuin（6）。表达式聚合为tu↓ 我们在数值实验中使用了（6）中的特征。B、 促进稀疏性和均值回归给定一组候选资产，我们希望选择一个小的节约型子集来构建投资组合。为了将这个特性添加到模型中，我们想对w施加稀疏性惩罚。虽然经常使用1-范数，但在我们的例子中，我们已经施加了1-范数相等约束kwk=1。为了在这个约束条件下获得稀疏解，我们添加了一个多重凹惩罚-ηkwkto最大似然（1）。负二次型在1-范数球的顶点上取极小值，加上这个惩罚会将选择推向更稀疏的w。除了稀疏化解之外，我们还可能希望推广投资组合的其他特征。惩罚能力框架足够灵活，可以实现这些增强。一个重要特征是平均回复系数u；可能需要更高的u。我们可以通过提高较低的c来尝试更高的u，例如使用线性惩罚。增广似然函数为mina，c，θ，kwk=1ln（a）+kA（c）w- θ(1 - c） k2T a+γc-ηkwk。（7） 算法在本节中，我们开发了一种算法，利用其丰富的结构来解决非光滑、非凸问题（7）。我们定义了以下嵌套值函数：f（w，a，c，θ）=-ηkwk+ln（a）+γc+kA（c）w- θ(1 - c） k2T af（w，a，c）=minθf（w，a，c，θ）f（w，a）=mincf（w，a，c）=minc，θf（w，a，c，θ）f（w）=mina，c，θf（w，a，c，θ）。（8） 我们的主要策略是将（7）重新表述为一个优化问题minkwk=cf（w），其中对金融机构的每一次评估都是通过部分最小化剩余参数来完成的，并使用fand f有效地实施。

部分最小化策略可以显著加速复杂结构问题的解决方案【9】、【10】。我们从fsubproblem开始。拿θf=0，我们得到0=fθ= (1 - c） 1T（θ（1- c）- A（c）w）=> θ*=T（x（w）1:T- cx（w）0:T-1） T（1- c） 。堵塞θ*（c，w）转化为f，得到f的显式形式：f（w，a，c）=-ηkwk+ln（a）+γc+2T akB（x（w）1:T- cx（w）0:T-1） k（9），B=I-TTa平均值为0的向量空间上的投影矩阵。我们现在最小化关于c.0=fc=γ+T axT0:T-1BTB（cx（w）0:T-1.- x（w）1:T）=> c*（a，w）=（Bx（w）0:T-1） T（Bx（w）1:T）- TαγkBx（w）0:T-1k。我们可以用这个表达式显式地写f（w，a）：f（a，w）=-ηkwk+ln（a）+γc*（a，w）+2T akB（x（w）1:T- c*（a，w）x（w）0:T-1） k.（10）γ=0时物镜的结构。我们首先考虑情况γ=0。在这种情况下，c*（a，w）=c*（w） 独立于a。然后我们可以最小化fin a：0=fa=2a-2T akB（x1:T- c*x0:T-1） k级=> 一*（w） =kB（x（w）1:T- c*（w） x（w）0:T-1） 千吨级。（11） 堵塞a*在中，我们得到了f的一个闭式表达式：f（w）=-ηkwk+ln（kB（x1：T- c*x0:T-1） k）=-ηkwk+ln（kBA（c*（w） ）wk）这种情况下的优化问题减少到tominkwk=1-ηkwk+ln（kBA（c*（w） ）wk），（12）我们可以用投影梯度下降法求解。setkwk=1是非凸的，但有一个简单的投影：w← argminkzk=1kw- zk=argminkzk=1k | w|-标志（w） zk=符号（w） argminkuk=1k | w|- uk=符号（w） argminkuk=1，u≥0k | w|- uk=符号（w） 项目（| w |）），单工机组，其中 是元素乘法，第二个等式是通过变量u=符号（w）的变化获得的z、 单工单元上的快速投影仪都是众所周知的。图1：。（12）中目标函数的3D图，用于w∈ R、 注2：（12）的目标函数为偶数函数。因此，问题没有唯一的极小值。当w∈ R、 注3：（12）的目标函数是非凸的，其Hessian函数是不确定的。

Hessian由h=-ηI+kDwkDTI-2.DwkDwkDwkDwkTD=BA（c*). 矩阵I-2.DwkDwkDwkDwkTisa Householder反射矩阵，一个特征值等于-1，其余为1。算法1 f（a，w）（8）的投影梯度下降。输入：w∈ Rm、S、a∈ (0, ∞), f、 γ，η，1： B=I-TT2：对于i=1，2，3。。。do3:x← Sw4：c←（Bx0:T-1） T（Bx1:T）-TαγkBx0:T-1k5：A← x1:T- cx0:T-16： 如果γ=0，则7:a← kBAwk/T8：其他9：a← 项目（0，∞)（a）- δa，iaf（w，a））10:w← 项目k=1（w- δw，iwf（w，a））11:lossi← f（w，a）12：当γ>0时，迭代直到目标的损失结构收敛。当γ>0时，c*取决于a.堵塞c*（a，w）到鳍（10），取b（w）=Bx（w）1:T，b（w）=Bx（w）0:T-1，我们可以编写值函数f（w）asminln（a）+kb（w）k2T a-（b（w）Tb（w）- T aγ）2T akb（w）k，相当于tominaln（a）+kbk2T a-（bTb）2T akbk-Tγ2kbk。（13） 通过求解（13），我们得到了封闭形式的最优a:a*=kbk2Tγ-pkbk公司- 4γ（kbkkbk- （bTb））2Tγ图2。w的（10）γ6=0（左）和γ=0（右）等高线图∈ R、 和相应的*=bTbkbk公司-2γ+s（bTb）kbk+4γ-kbkkbk。在这些表达式中，w的带隙函数。最优解a*相对于γ和c增加*当0<γ<skbk时，相对于γ减小-（bTb）+kbkkbk。在这种一般情况下，我们也可以用闭合形式写下最终优化问题：f（w）=ln（a*) +kbk2T a*-（bTb）2T a*kbk公司-T aγ2kbk，其中biand a*w的所有功能如上所述。图2说明了γ对w尺寸为2的简单情况下轮廓形状的影响。等高线按γ旋转，这会影响选择的资源（asit可以更改与1-范数球的交点）。在γ>0的一般情况下，我们使用f（a，w）而不是f（w），以避免处理a（w）的高度非线性形式。算法1中详细介绍了最终方法。四、 数值结果a。

单时间序列我们证明，给定OU过程中观察到的时间序列，我们的公式可以恢复真实的基础OU参数。给定一个投资组合w，我们求解mina，c，θln（a）+2T akx1:T的最优参数- cx0:T-1.- θ(1 - c） k.我们使用离散化的OU（5）获得时间序列的多个实现，从实现中估计参数，并计算我们的估计与真实生成参数的平均偏差。我们还研究了t和估计的总时间跨度L。总时间点的数量由T=L给出/t、 图3显示了trueparametersu=2和σ=0.25的一个实验结果。图的第一行对应于t=0.1，L=100。对于中间一行，我们减少t至0.01，但保持L不变。σ估计值与真实参数的偏差显著减小，而u估计值与真实参数的偏差保持不变。在最下面一行，wekeept=0.1，但将L增加到500。这两个参数的估计都有显著改善。估计参数的平均偏差，定义为|u-^u|u|和|σ-^σ| |σ|，汇总在表I图3中。估计u和σ的分布。utrue=2，σtrue=0.25。顶部面板：t=0.1，L=100；中间面板：t=0.01，L=100；底部面板：t=0.1，L=500。t L偏差（u）偏差（σ）0.1100 0.07 0.030.01 100 0.08 0.010.1500 0.03 0.01表1u和σ与u=2的平均偏差，σ=0.25。B、 使用模拟数据选择多时间序列算法比较。在我们的第一个实验中，我们表明（1）我们可以使用模拟数据识别均值回复时间序列，（2）算法1比不使用部分最小化的标准方法更快。我们模拟了五个时间序列；四个来自表II中规定的具有不同u和σ的OU过程，一个是σ=。1、所有T=500和t=0.01。

我们将前70%的数据用于培训，30%用于测试。图4显示了目标函数值的收敛图。顶部面板显示使用算法1的绘图，底部面板显示ComparisonConfig。4、顶部面板：放大算法1的目标减少。底部面板：使用目标函数值将算法1（实心）与标准投影梯度（虚线）进行比较。在这和Allunknows上的常规投影梯度下降之间（不进行部分最小化）。#模拟OU时间序列的表II模型参数当γ=η=0时，估计参数值为u=2.86，σ=0.09，θ=0.31，权重向量W=[0.10，0.10，0.36，0.33，0.11]。该模型将69%的权重放入σ=0.5的OU时间序列对中。换句话说，它有利于σ值较低的OU时间序列，但与u值相对无关。图5描绘了时间序列和模型选择的投资组合。表VI比较了我们调整γ和η时的工艺参数和权重向量。特别是，通过将η增加到1.5，我们获得了一个投资组合，它将80%而不是69%的权重放入这两项资产中。将γ增加到0.05，相对于u稍大的时间序列，给出了一个非常小的偏好。如表的最后一行所示，当γ和η都被调整时，模型会选择第四个时间序列，与其他OU时间序列相比，该时间序列具有更大的u和更小的σ。图5：。模拟资产时间序列图（虚线）和最终选定投资组合的时间序列图（实线）。γηuσθw0 0 2.86 0.09 0.31[0.10，0.10,0.36,0.33,0.11]0.05 0 3.13 0.09 0.30[0.10，0.10,0.36,0.33,0.11]0 1.5 2.35 0.09 0.36[0.07，0.06,0.44,0.36,0.07]0.05 1.5 5 5 5 5 5 3 0.27-0.06[0.0，-0.0，0.0，0.0，1.0，0.0]用γ和η实际数据进行估计。