收益率、波动率和交易之间的去趋势交叉相关性

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英文标题：
《Detrended cross-correlations between returns, volatility, trading
  activity, and volume traded for the stock market companies》
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作者：
Rafal Rak, Stanislaw Drozdz, Jaroslaw Kwapien, Pawel Oswiecimka
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider a few quantities that characterize trading on a stock market in a fixed time interval: logarithmic returns, volatility, trading activity (i.e., the number of transactions), and volume traded. We search for the power-law cross-correlations among these quantities aggregated over different time units from 1 min to 10 min. Our study is based on empirical data from the American stock market consisting of tick-by-tick recordings of 31 stocks listed in Dow Jones Industrial Average during the years 2008-2011. Since all the considered quantities except the returns show strong daily patterns related to the variable trading activity in different parts of a day, which are the best evident in the autocorrelation function, we remove these patterns by detrending before we proceed further with our study. We apply the multifractal detrended cross-correlation analysis with sign preserving (MFCCA) and show that the strongest power-law cross-correlations exist between trading activity and volume traded, while the weakest ones exist (or even do not exist) between the returns and the remaining quantities. We also show that the strongest cross-correlations are carried by those parts of the signals that are characterized by large and medium variance. Our observation that the most convincing power-law cross-correlations occur between trading activity and volume traded reveals the existence of strong fractal-like coupling between these quantities.
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中文摘要：
我们考虑在固定时间间隔内股票市场交易的几个特征量：对数回报率、波动性、交易活动（即交易数量）和交易量。我们搜索这些数量在1分钟到10分钟的不同时间单位内聚集的幂律交叉相关性。我们的研究基于美国股市的经验数据，包括2008-2011年间道琼斯工业平均指数（Dow Jones Industrial Average）中31只股票的逐点记录。由于除了收益率之外，所有考虑的数量都显示出与一天中不同部分的可变交易活动相关的强大的每日模式，这在自相关函数中最为明显，因此我们在继续研究之前，通过去趋势化来移除这些模式。我们应用多重分形去趋势互相关分析（MFCCA），并表明交易活动与交易量之间存在最强的幂律互相关，而收益率与剩余数量之间存在（甚至不存在）最弱的幂律互相关。我们还表明，最强的互相关由具有大方差和中等方差特征的信号部分携带。我们观察到，交易活动和交易量之间存在最令人信服的幂律交叉相关性，这表明这些数量之间存在着强烈的分形耦合。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Detrended_cross-correlations_between_returns,_volatility,_trading_activity,_and_.pdf (759.69 KB)

2022-5-9 07:38:46 上传

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关键词：波动率 相关性 收益率 去趋势 correlations

epl Draft为股票市场公司Rafa l Rak、Stanis law Dro˙zd˙z2,3、Jaros law Kwapie\'n和Pawe l O,swie,Cimkae数学与自然科学学院、波兰科学院、南卡罗莱纳大学、波兰核物理研究所、南卡罗莱纳大学、波兰科学院等公司的收益率、波动率、交易活跃度和交易量之间的交叉相关性进行了预测。Radzikowskiego 152，克拉科夫，波兰理工大学波兰物理、数学和计算机科学学院，克拉科夫，波兰帕克斯89.75-k–复杂系统SPACS 89.75。Da——遵守比例法SPACS 89.65的系统。Gh——经济学；经济物理学、金融市场、商业和管理摘要。-我们考虑了在最近的时间间隔内股市交易的几个特征量：对数回报率、波动性、交易活动（即交易数量）和交易量。我们搜索这些数量在不同时间单位（从1分钟到10分钟）之间的幂律交叉相关性。我们的研究基于来自美国股市的经验数据，包括2008-2011年道琼斯工业平均指数中31只股票的逐点记录。除了被认为与日内交易活动相关的最明显的日内交易模式外，所有的日内交易模式都与日内交易活动相关，在我们继续研究之前，我们通过去趋势化去除这些模式。我们应用多重分形去趋势符号保留互相关分析（MFCCA），并表明交易活动和交易量之间存在最强的幂律互相关，而回报和剩余数量之间存在（甚至不存在）最弱的幂律互相关。

我们还表明，最强的互相关由信号中具有大和中等方差特征的部分携带。我们观察到，最令人信服的幂律互相关发生在交易活动和交易量之间，这表明这些数量之间存在着强分形耦合。导言–复杂系统通常具有层次结构，从微观尺度到渐进的更高宏观尺度（例如，从分子到多细胞生物体和生态系统）的系统组织化的不同层次，以及在同一组织层面共存的不同大小的结构（例如，不同体型的生物体或具有不同种群的物种）。这种同一层次的层次结构通常作为测量结果的幂律分布或幂律时间相关性来间接观察。从物理角度来看，后者尤其有趣，因为这种行为（即长记忆）可能与系统进化中的关键现象有关[1]。金融市场可能是世界上最复杂的结构，这使得相关数据成为一个特别有趣的研究对象。这里我们关注股市数据和最基本的数量：价格、交易和交易量。不同的研究表明，交易量V和价格变化之间存在关系p（t）=p（t+（t）-p（t）（或对数返回r（t）=ln（p（t+t） /p（t））在相同的时间间隔内t、 这种关系（不一定是因果关系）与签署的价格变化有关p（t）或收益率r（t）和绝对价格变化（波动率）：|p（t）|，| r（t）|[2，3]。

这种关系的确切形式仍然是一个有争议的话题，因为许多致力于这个问题的研究为我们提供了好坏参半的结果，但它的存在现在似乎已经得到了很好的证实。至于它的起源，还没有决定性的结论。这很可能是交易量和交易活动（单位时间间隔内的交易数量）之间的关系、交易量和交易规模之间的关系，或者是订单不平衡中波动的影响[4–11]。不同数量P-1R之间的特定耦合类型。Rak等人提出了幂律互相关。它们可能出现在幂律自相关的量之间，金融市场数据就是这样[1]。[12]中发现了标准普尔500指数的绝对波动与相应交易量之间的相互关系。然而，在数量和价格波动之间没有发现这种相关性。相比之下，对位于上海（上海证券交易所）和深圳（深交所）的中国主要股票市场指数的日价格和成交量波动的分析表明，这些数量确实相互依赖，这种依赖是幂律和多重分形[13]。通过对中国沪深300指数未来高频价格和成交量波动的分析，得出了类似的结果，并进一步表明这些相互关联是持续的[14]。在这里，我们研究了以下数量之间的cros相关性：价格回报率、波动性、交易活动和交易量。我们分析了2008年至2011年期间我们在道琼斯工业平均指数（DJIA）重新上市的高资本股票的逐点数据。我们研究的不同之处在于，在进行分析之前，我们从所有类型的数据中删除了每日趋势。

我们通过多重ctal去趋势互相关分析和符号保留（MFCCA[15]）来研究幂律互相关，这是去趋势互相关方法（DCCA[16]）的一致基因化。据我们所知，这是第一次对这种类型的分析，包括这样一组数量和方法。数据–假设我们记录了每一笔交易，其中股票u（u=1，…，N）的ω（u）（ti）股份以P（u）（ti）的价格在一对投资者之间转移，这是第i笔交易的时刻。我们也假设连续的时间间隔通过j（j=1，…，jmax）对t进行索引，并将在每次此类间隔期间进行的所有交易ti（i=1，…，t（u）（j））的影响进行汇总。因此，对于每个区间，我们可以考虑以下四个量：（i）对数价格反转：R（u）（j）=lnp（u）（j）（t）- lnp（u）（（j）- 1)t） （1）（其中我们假设第一个区间从t=0开始，交易之间的价格保持不变），（ii）交易活动t（u）（j），以及（iii）总交易量tradedV（u）（j）=t（u）（j）Xi=1ω（u）（ti）。（2） 此外，我们将区间j的波动性定义为| R（u）（j）|。我们研究的数据集由代表N=31只股票的逐点记录组成，这些股票在2008年1月1日至2011年7月31日期间（至少暂时）在道琼斯工业平均指数（DJIA）上市。对于每种股票，我们选择三个时间标签t等于1、5和10分钟，对于每个滞后，我们创建四个长度为L的平行时间序列≈ 3×10，L≈ 6×10和L≈ 分别为3×10，对应于上述变量。

众所周知，这些变量，尤其是收益率和交易量，在短时间滞后的情况下表现出概率分布函数的幂律尾秒和分钟的t级，倾向于偏离幂律更长时间t、 [17–19]中记录的内容，以及[20]中最近重新确认的与我们目前工作中类似的数据集。接下来，我们通过标准程序[21]从每个无符号时间序列s T（u）、V（u）和| R |（u）中移除每日趋势，其中每日模式D（u）zi计算为在所有日期转换日中每个日期k的特定间隔jd处获取的相应数量Z的n算术平均值：D（u）Z（jd）=PNdaysk=1Z（u）（k，jd）。（3） 它被除法删除：Z（u）detr。（k，jd）=Z（u）（k，jd）/D（u）Z（jd）。（4） 为了简单起见，我们将省略R（u）、|R（u）|、T（u）和V（u）中的上标（u）。幂律去趋势自相关这种相关性可以通过应用多重分形去趋势相关分析来检测，该分析定义如下[22]。假设有一个时间序列x（i）i=1，。。。，将长度为s的盒子分开（即从两端开始的M盒子）。在每个框中，ν（ν=0，…，2Ms-1） 积分信号的局部趋势由第n次多项式P（m）近似表示，并通过减法去除：Xν（s，i）=iXj=1x（νs+j）- P（m）X，s，ν（j）（5）产生长度为s的去趋势信号Xν（在整个研究中，我们将使用m=2）。该信号的方差可以用f（s，ν）=ssXi=1Xν（s，i）（6）表示，并可用于定义一系列q:Fq（s）=2Ms2Ms阶的函数-1Xν=0f（s，ν）q/2。（7） 如果函数服从幂律形式，则可以使用函数来检测信号x（i）的分形：Fq（s）~sγ（q），其中γ（q）可以是线性的，也可以是非线性的。在前一种情况下，x（i）被称为单分形，而在后一种情况下，它被称为多重分形。

如果人们更喜欢观察波动函数的无符号表示，则使用其修改版本更有指导意义：Fq（s）=[Fq（s）]1/q（8）p-2股票市场公司的回报、波动性、交易活动和交易量之间的扭曲交叉相关性-1s-1sVT | R | RXOM（a）-1s-1sVT | R | RAIG（b）图1：具有不同标度特性的两个样本股票的函数Fq（s）：XOM（a）和AIG（b）。不同类型数据的结果显示在不同的面板中：（左上）收益率R，（右上）波动率R，（左下）交易活动T，以及（右下）交易量V。在每种情况下，参数q仅限于间隔h-4，4i，步长为0.5（从下到上的线条）。因为在这种情况下，我们可以很容易地区分阿莫诺分形和多重分形标度：Fq（s）~ sh（q），其中h（q）对于单分形信号是常数，对于多重分形信号是变量。图1显示了为具有不同缩放类型的样本存量计算的函数Fq（s）c：xO和AIG。我们可以看到，所有类型的信号都显示出最小的近似标度，但有时显示出不同的标度范围。对于其他考虑的问题，我们也得到了同样的结果。多重分形标度是股市数据的一个众所周知的特征[23–30]，因此我们考虑这些信号之间可能存在的分形交叉相关关系。幂律去趋势互相关我们在其MFCCA变量中进行了多重分形去趋势交叉相关分析[15]。它与MFDFA的不同之处在于，这里一个处理两个去趋势信号：每个方框ν中的Xν（s，i）和Yν（s，i），而不是等式（5）中的一个信号。由eq.（6）be定义的方差是协方差：fXY（s，ν）=ssXi=1Xν（s，i）Yν（s，i）（9），现在可以有负值。

然后用以下公式表示相应的qthorder函数：FqXY（s）=2Ms2Ms-1Xν=0符号fXY（s，ν）|fXY（s，ν）| q/2（10）和FqXY（s）=符号[FqXY（s）]|FqXY（s）| 1/q.（11）等式中函数的定义。（10） （11）通过将fxy提高到实数幂q/2和fqx提高到实数幂1/q，我们可以保证没有关于符号的信息会因为取模而丢失。此外，对于q=2，MFCCA程序始终将自身转换为基本的去趋势互相关分析（DCCA）[16]，这正是所需的。交叉关系的分形特征与幂律标度有关：FqXY（s）~ sδ（q）和fqxy（s）~ sλ（q），其中δ（q）~ q和λ（q）=常数表示单分形。（我们强调必须严格按照公式（10）定义FQXY，因为频繁发表的尝试通过采用公式（9）中的扭曲信号的模来避免复数，导致几乎所有幂律自相关信号的虚假多重分形标度，即使它们通过构造相互不相关[15]。）对于每种股票，我们将MFCCA程序应用于代表4种数据类型的6种组合的信号对。结果表明，不同信号对之间的幂律互相关特征存在显著差异，这些差异在所有股票中都是一致的。在图2中，我们预先发送了代表库存WMT的不同信号的函数FqXY的曲线图。该股票的特点是，R、|R |、T和V这四个信号中的每一个都存在幂律自相关，因此非常适合作为代表性的例子。在studieddata类型中，只有返回是有符号的，因此返回与其他符号的交叉相关性最小也就不足为奇了。

图2（左上）显示了R-V对的QXY（s），而剩下的两对：R-| R |和R-T在质量上看起来相似：幂律行为很差（如果有的话），限制在q>0到大约十年的范围内（此处未显示）。因此，尽管平均广义Hurst指数为：hxy（q）=hx（q）+hy（q），（12）p-3R，但无法确定标度指数λ（q）。Rak等人。-2.-1s-1s-4.-22 4q0。61.01.4-4.-22 4q0。61.01.4-4.-22 4q0。61.01.4T- V|R|- V|R|- TR- VFig。2：互相关函数FqX Y（s）（主图）和标度指数：hxy（q）（红色/灰色，插图）和λ（q）（黑色，插图）为代表股票WMT的不同1分钟时间序列对计算：（a）回报和交易量，（b）波动性和交易活动，（c）波动性和交易量，以及（d）交易活动和交易量。仅显示了q值的结果，其中FqX Y（s）至少显示了近似比例。使用与图1相同的q范围，q=4由最上面的线表示。定义了q的整个分析范围。接下来的两对：|R |-T和|R |-V彼此相似（图2（右上）和（左下））。在这两种情况下，对于q>0，FqXY（s）是一个定义良好的2.5 decadewide幂律，而对于q，它是非常不稳定的≤ 0，并从正值到负值变化。这意味着信号确实是分形交叉相关的，但这些相关性主要局限于| R |，T和V的大波动。

这一结果与一项早期研究[12]的结果一致，该研究也证明了市场指数中存在这种因果关系。波动函数的可变斜率和标度指数λ（q）的递减值都表明，互相关可能是多重分形的，但这种多重分形相当微妙（λ（q）的变化范围很小）。在T-V（图2（右下角））中可以看到由小的和大的波动组成的互相关。这里的FqXY（s）与所有考虑到的q值以及二十多年的标度都是幂律相关的。这意味着t-V是一对在其相关性中保留其自相关的分形结构的组合。同样，它也是唯一一对，其中hxy（q）后跟λ（q）（插图至图2（右下））。交易活动性质和交易量的这种强幂律相关性支持Gabaix等人的机制模式l的假设，该模式在金融数据中产生幂律分布[31,32]。对于交易活动和交易量，指数λ（q）的变异范围为∈ H-4，4iS约为0.2，这表明它们的交叉关系具有弱多重分形。另一方面，更大的值-2.-1s-3.-2.-1SAICVxhdwmFig。3:R-V对的互相关函数FqX Y（s）t=1分钟。每个面板对应不同的库存。在每种情况下，最上面的一行对应于q=4，后面的几行对应于较小的q值，步长为q=-0.5.属于|R |-T和|R |-V对的λ（q）主要来源于λ（q）对于0<q<1的小正值的强可变性，但这个范围似乎太窄，不允许我们认为这样的结果是真正的多尺度的证明。无花果