双重多数和普遍脱欧：违反直觉的解释

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英文标题：
《Double Majority and Generalized Brexit: Explaining Counterintuitive
  Results》
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作者：
Werner Kirsch, Wojciech S{\\l}omczy\\\'nski, Dariusz Stolicki, Karol
  \\.Zyczkowski
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  A mathematical analysis of the distribution of voting power in the Council of the European Union operating according to the Treaty of Lisbon is presented. We study the effects of Brexit on the voting power of the remaining members, measured by the Penrose--Banzhaf Index. We note that the effects in question are non-monotonic with respect to voting weights, and that some member states will lose power after Brexit. We use the normal approximation of the Penrose--Banzhaf Index in double-majority games to show that such non-monotonicity is in most cases inherent in the double-majority system, but is strongly exacerbated by the peculiarities of the EU population vector. Furthermore, we investigate consequences of a hypothetical \"generalized Brexit\", i.e., NN-exit of another member state (from a 28-member Union), noting that the effects on voting power are non-monotonic in most cases, but strongly depend on the size of the country leaving the Union.
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中文摘要：
本文对根据《里斯本条约》运作的欧盟理事会投票权分配进行了数学分析。我们研究了脱欧对剩余成员国投票权的影响，用彭罗斯-班扎夫指数衡量。我们注意到，所讨论的影响在投票权重方面是非单调的，一些成员国将在脱欧后失去权力。我们在双多数博弈中使用Penrose-Banzhaf指数的正态近似，以表明这种非单调性在大多数情况下是双多数系统固有的，但由于欧盟人口向量的特殊性而大大加剧。此外，我们还调查了假设的“普遍脱欧”的后果，即另一个成员国（来自28个成员国的联盟）的NN退出，注意到在大多数情况下，对投票权的影响是非单调的，但强烈取决于离开联盟的国家的大小。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
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2022-6-14 03:24:29 上传

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关键词：Quantitative Mathematical distribution Applications Consequences

双重多数和普遍脱欧：解释违反直觉的结果维尔纳·基尔希*, Wojciech Slomczy'nski+，Dariusz Stolicki'，Karol'Zyczkowski§2018年12月14日摘要介绍了根据里斯本条约运作的欧盟理事会投票权分配的数学分析。我们通过彭罗斯-班扎夫指数来研究脱欧对剩余成员国投票权的影响。我们注意到，就投票权重而言，问题的影响是非单调的，事实上，一些成员国将在脱欧后失去权力。我们在双多数博弈中使用Penrose–Banzhaf指数的正态近似，以表明这种非单调性在大多数情况下是双多数系统固有的，但由于欧盟人口向量的特殊性而大大加剧。此外，我们还调查了假设的“普遍脱欧”的后果，即另一个成员国（来自28个成员国联盟）的NN退出，注意到在大多数情况下，对投票权的影响是非单调的，但在很大程度上取决于离开联盟的国家的大小。欧盟理事会的投票规则以《里斯本条约》为基础。

理事会对委员会提案的决定要求*Fakult–位于德国哈根FernUniversit的f–ur Mathematik und Informatik。+波兰克拉科夫贾吉略大学贾吉略政治学定量研究中心/数学研究所波兰克拉科夫贾吉略大学贾吉略政治学定量研究中心/政治学和国际关系研究所。§波兰克拉科夫贾吉略大学贾吉略政治学定量研究中心/物理研究所。“双重多数”：如果55%的成员国支持该提案，而该提案也代表了欧盟65%的人口，则该提案将获得批准。从形式上讲，这是两个加权投票系统的结合。在第一个子系统中，每个国家的权重为1，相对配额为55%（因此，脱欧前的绝对配额为16，脱欧后的绝对配额为15）。在第二个子系统中，权重由各自国家的人口给出，相对配额为65%（有关更多详细信息，请参阅下面的下一节）。还有第三种投票制度：如果少于四名成员反对，即使违反人口标准，提案也会获得批准。然而，“双重多数”这一“第三条规则”只起到了次要作用，我们将在下文进行更详细的解释（见第4.1小节）。从直觉上看，似乎很清楚，脱欧后，委员会中每个国家（当然英国除外）的影响力应该随着两个子系统的标准化权重增加而增加。在【12】、【8】、【5】、【22】和【19】中独立观察到情况并非如此。Banzhaf指数定义的力量确实在所有大中型州都在增长。然而，英国脱欧导致七个最小国失去权力。虽然这一事实在早期的作品中已经被注意到，但我们超越了观察，试图对其进行解释。

首先，我们通过分解下面描述的两个子系统产生的两个投票权来源，分析双重多数原则如何触发这种影响。其次，我们考虑“广义脱欧”（N.N.-退出），即其他当前成员国的退出，并分析任何剩余国家退出后与退出前投票权的比率，作为人口的函数。在此分析的基础上，我们区分了三种N.N-退出效应模式，并讨论了欧盟内部人口分布与合格多数配额之间的关系可能产生的这种效应。2框架和工具定义1投票系统由（有限）组V选民和组W选民组成获胜联盟的P（V），令人满意1。五、∈ W2。 6.∈ W3.如果∈ W和A B V然后B∈ 使用权重wv赢得加权投票系统≥ 每v 0∈ V和配额qt获胜联盟的集合由w={A给出 五、十五∈Awv公司≥ q} （1）我们设置w（A）=Pv∈Awvand调用数字r=qwv相对配额。我们表示权重为wi，i=1，…，的加权投票系统，N和（绝对）配额q乘以[q；w，…，wN]。定义2选民v被称为联盟A的决定性因素 V如果V∈A、 A∈ W和A \\{v}6∈ W或v 6∈ A、 A 6∈ W和A∪ {v}∈ W、 v起决定性作用的一组组合用D（v）表示。投票人v的Banzhaf幂ψvof由ψv定义：=#{a | a∈ D（v）}#v，（2），其中#A是A中的元素数。班扎夫指数βv【18，1】是定义为βv的“相对”班扎夫幂：=ψ（v）Pw∈Vψw.（3）定义3 Shapley-Shubik指数统计V起决定性作用的排列数。（有限）集V的置换是V元素的排序。如果V有N个元素，且π=V，V，vn是v的一个置换，当投票者vkis称π为决定性（或关键）if{v，…，vk}∈ W、 但是{v，…，vk-1} 6∈ W

我们用S（V）表示V的所有置换集，并用Sv（V）表示V决定的置换集。选民v的Shapley Shubik指数S（v）由S（v）=Sv（v）#S（v）（4）定义。Shapley Shubik指数和Banzhaf指数都衡量投票系统中选民的权力。他们的不同之处在于选民假定的集体行为（见例[13]）。3退出效应的理论模型3.1一般考虑在本文中，我们研究了选民离开投票系统时权力结构的变化。给定投票系统（V，W）和投票人V∈ 谁离开这个系统，我们必须确定剩余选民的投票规则。对于加权投票系统，保留剩余选民的权重是很自然的。如何处理配额可能不太明显。假设我们从一个加权投票系统V=[q，w，…，wN]开始，其中选民N有缺陷，那么投票系统V=[q，w，…，wN-1].确定新配额似乎有三种合理的方法：一种是确定相对配额，另一种是确定绝对配额，另一种是确定总权重和配额之间的差异。这激发了以下定义。定义4假设V=【q，w，…，wN】是一个加权投票系统，setW=wvand w=wv- wN。我们为集合V={V，…，vN定义了以下加权投票系统-1} voters1的。加权投票系统▄V，相对配额固定▄V=【▄q，w，…，wN-1] q=WWq（5）2。加权投票系统V，固定绝对quotaV=[q，w，…，wN-1] q=q（6），q<W.3。加权投票系统V与总权重V的固定差值=[q，w，…，wN-1] q=q时- （W）- W） （7）提供q>W-W、 凭直觉，人们很容易想到，如果一个选民离开投票系统，其他选民的权力应该会增加。

然而，总的来说，情况并非如此。例如，在加权投票系统中，V=[3；3，1，1，1]每个选民都有正权力，例如，权重为1的选民有β（V）=和S（V）=。如果最后一个玩家出现缺陷，其他小玩家将完全失去权力，而第4定义中的配额将被使用。如果有N个投票人的加权投票系统很简单。i、 如果所有权重都相等，那么Banzhaf指数和Shapley-Shubik指数都相等，因此如果选民离开这个系统，它们会增加。3.2 Jagiellonian折衷在Penrose工作的基础上[18]几位作者（例如[9]、[11]、[21]）建议，理事会中各国的权重或更确切地说，权力指数应该与各自国家人口的平方根成比例。这种想法被应用于被称为贾吉勒妥协方案的投票系统中，该方案给每个成员国一个与其人口计划平方根成比例的投票权重，并将配额设置为=1+qPNi=1PiPNi=1√圆周率. （8） 该阈值最小化了所有成员国的Banzhaf指数与其各自投票权重之间的距离。4《里斯本条约》和英国脱欧4.1理事会投票《里斯本条约》为欧盟理事会规定了复杂的投票制度。如果：至少有q:=55%的成员国支持该提案，并且他们至少代表q:=65%的联盟人口，或者全部但最多3票赞成，委员会的提案将获得理事会的批准。如果我们用P表示，P，PN表示N个成员国的人口，P表示联盟的人口，那么理事会的投票系统是以下加权投票系统的组合：VN=[65·P；P，…，PN]（9）VN=[55·N；1，1，…，1]（10）和VN=[N- 3.1, 1, . . .

，1]（11）理事会的投票系统由VN给出=越南∩ 越南∪ VN（12）回顾一下，联合ZFC在U∩W（分别为U∪W） 如果C在U和W中获胜，则为获胜（分别在U或W中获胜）。投票制V（截至2018年有28个成员国的投票制）不是加权制。与任何投票系统一样，它可以作为某些D的D加权投票系统的交集来获得（参见例[23]）。这种最小的距离称为投票系统的维度。VEUI的尺寸至少为7【14】。投票系统VN和VN是定义4中定义的具有固定相对配额的系统，而VN是具有固定总权重差异的系统。因此，就缺陷而言，整个系统是一个“混合”系统。这当然是一个相当复杂的投票系统，我们将看到它显示出一些出乎意料的结果。然而，出于实际目的，该系统可以稍微简化，因为第三个投票子系统的影响可以忽略不计。在欧盟目前的权重分配下，V∩ V动力系统。在所有在V下获胜的联盟中，没有一个会在V下失利，只有10个在V下失利，所以V的联盟∩ Vwith Vonly改变了这10个联盟的地位。对最小的国家马耳他来说，忽略了“最大”的影响。即使对马耳他来说，省略vc也会使投票权改变约2.51·10-6.

我们将表示纯双多数系统V∩ Vas V公司*.在下一节中，我们将分析脱欧对剩余成员国之间投票权分配的影响，无论是在里斯本体系及其一些变体下，还是在贾吉略妥协下。4.2脱欧通预计，脱欧后，其余国家的投票权应随着三个子系统V、V、V中投票份额的增加而增加。子系统和V系统的投票权明显增加。对于这些系统，所有国家的投票权都是相等的。系统V的计算也显示了单调性（见表2）。此表显示了英国脱欧前和脱欧后，在加权投票制V下，欧盟国家的班扎芬迪克数。“相对差”列显示数量βiβi- 1，其中βiis为脱欧前投票权，βiis为脱欧后投票权。我们将表示βiβi- 1作为Дi。与其子系统相比，总系统V显示出显著的效果，即英国脱欧后，八个最小的国家实际上失去了电力（由BanzhafIndex衡量）（见表3和图1）。我们注意到，最大的国家获得了预期的动力，但收益（除了意大利出现的一个小异常，这可能是数字人为因素造成的）随着国家的大小而单调下降。从投票权的角度来看，波兰（log wi≈ -（2.59）似乎是脱欧的主要好处（相对权力增长超过28%）。波兰与第二大国罗马尼亚之间（log wi≈ -3.24）出现了明显的不连续性，从罗马尼亚人口规模的下降，收益单调地变小，马耳他的收益超过4%。Shapley Shubik的对比表明，情况有所不同。

最小的四个州再次失去了权力，但投票权的变化严格来说是随着投票权的增加而增加的。-7.-6.-5.-4.-3.-20.95 1.05 1.15 1.25英国βi27βi28log wiMGFISPRNFigure 1：脱欧对投票权的影响：脱欧后与脱欧前投票权的比率（通过标准化班扎夫指数βi衡量）作为脱欧前投票权wi的函数。权重采用对数刻度。最大和最小的国家都是通过其名字的首字母来识别的。正如我们已经指出的，系统V保持相对配额不变。在英国脱欧的情况下，这意味着绝对配额从16个跃升到15个。如果在系统中，Vwe保持绝对配额不变（q=16），则大国失去权力（见表5），小国获得权力。如果另一个国家在脱欧后离开欧盟，也会发生同样的情况（因为绝对配额将保持不变，如d0.55* 26e=d0.55* 27e）。将这些结果与“贾吉勒妥协”作为投票制度进行比较是很有趣的。对于这一体系，所有国家在脱欧后都会获得权力，正如人们所期望的那样（见表6）。在这种情况下，所有国家都会获得权力，并且获得的权力是一致的，只有很小的变化。论文中考虑了苏格兰可能在脱欧后脱离英国并加入欧盟的情况【12】。

通过苏格兰（假设）加入欧盟，较大的州将失去权力，而较小的州将赢得影响力（见表7）。4.3解释非单调性：将选民权力分解为双重多数制下的双重多数制，如V*欧盟，我们可以引入额外的投票权措施，使我们能够更好地了解两项投票规则对每个选民权力的影响。定义5包括投票人v（C（v））在内的一组联盟可分为三组：oL（v）-失去的联盟，oW（v）-赢得的联盟，v是非关键的联盟，oW（v）-赢得的联盟，v在VN下是关键的，但不是低估的联盟，oW（v）-赢得的联盟，v在VN下是关键的，但不是低估的联盟，oW（v）-在VN和VEU下，v都是关键的获胜联盟。我们将用W（v）表示W（v）、W（v）和W（v）之和。现在让我们暂时放弃规范化，只考虑当成员国X离开欧盟时，L（v）、W（v）、W（v）、W（v）和W（v）的基数是如何变化的。让我们用上标索引28表示退出前的联盟，用上标索引27表示退出后的联盟。最后，让我们（v） ：=2#W（v）+W（v）+W（v）-#W（v）+W（v）+W（v）.请注意1+（v） /（b（v）2#v）（分母是关键联盟的退出前数量）是退出后与退出前Banzhaf电力的比率。由于它与Banzhaf指数的比率仅在一个常数因子（2（#D）/（#D）上不同，对于脱欧而言，这大约等于1.051632），因此解释了（v） 在解释脱欧效应方面，成员国之间的关系似乎是关键的一步。让c∈ C（v）和C：=C\\x。让我们考虑在什么条件下，退出后联盟C可以与退出前联盟C属于不同的类别。存在五种组合，其中一些组合很容易被证明是不可能的。