分位数相干性：周期性数据之间相关性的一般度量

对于分位数交叉谱密度，我们有zπ-πfj1，j2（ω；τ1，τ2）eikωdω+τ1τ2=PXt+k≤ qj1（τ1），Xt，j2≤ qj2（τ2）, （3.9）其中，右边的量作为（τ1，τ2）的函数，同样是该对（Xt+k，j1，Xt，j2）的连接函数。因此，等式（3.9）显示了如何从（2.2）中定义的分位数互谱密度核推导出任何一对copulascan。因此，分位数交叉谱密度核提供了对过程中所有连接的完整描述。将这些新的量与其传统的对应量进行比较，可以发现协方差和均值基本上被连接函数和分位数所取代。与回归设置类似，这种方法提供了有价值的额外信息（参见Koenker（2005）），基于分位数的光谱分析方法补充了传统的L2光谱分析。观察R取Cd×d（所有复值d×d矩阵的集合）中的值。此外，请注意，作为ω的函数，但对于固定的τ1、τ2，它与二元二元过程的传统一致性相吻合I{Xt，j1≤ qj1（τ1）}，I{Xt，j2≤ qj2（τ2）}T∈Z.（3.10）（3.10）中的时间序列具有双变量时间序列（Xt，j1，Xt，j2）t∈ZA是一个“潜在驱动因素”，并指示成分J1和J22的值是否低于各自的边际分布的τ1-和τ2-分位数。注意，当（τ1，τ2）在[0，1]2的界元上时，Rj1，j2（ω；τ1，τ2）是不确定的。通过Cauchy-Schwarz不等式，我们进一步观察到可能值的范围仅限于Rj1，j2（ω；τ1，τ2）∈ {z∈ C:|z |≤ 1}. 注意，当（τ1，τ2）接近单位平方的边界时，分位数交叉谱密度消失。因此，分位数相干性比分位数交叉谱密度（未标准化）更适合测量极值的相关性。

隐式地，我们利用了分位数交叉谱密度和分位数谱密度以相同速率消失的事实，因此当分位数水平（τ1，τ2）接近单位平方的边界时，商产生了一个有意义的量。分位数相干核包含关于时间序列（Xt，j1）t的联合动力学的非常有价值的信息∈赞德（Xt，j2）t∈Z.与传统情况相反，在传统情况下，如果j1=j2=：j，相干度将始终等于1，基于分位数的这些量的版本能够提供关于（Xt）t的单个成分的有价值信息∈扎斯：很好。分位数相干然后量化（I{Xt，j）的联合动力学≤ qj（τ1）}）t∈赞德（I{Xt，j）≤ qj（τ2）}）t∈Z.请注意，分位数相干是一个复值的2π-周期变量ω函数，在这个意义上，我们有Rj1，j2（ω；τ1，τ2）=Rj1，j2(-ω; τ1，τ2）=Rj2，j1（ω；τ2，τ1）=Rj2，j1（2π+ω；τ2，τ1）。遵循Birr等人（2018）第2.1节中的类似论点，可以看出<Rj1，j2（ω；τ1，τ2）描述了J1St分量低于τ1分位数和j2nd分量高于τ2-c之间的过程切换动力学 皇家经济学会2018分位数一致性7分位数。因此，对于τ1闭合为0，对于τ2闭合为1，它描述了从一个分量的极值到另一个分量的极值的变化动态。此外，可以证明=Rj1，j2（ω；τ1，τ2）包含关于不对称性的信息。关于相关数量、如何解释、如何不解释以及它们与高斯情况下的传统对应物之间的关系的讨论可在补充材料的S1、S2和S3节中找到。最近，文献中出现了旨在解释更普遍动态的重要贡献。

例如，距离相关性Sz’ekly等人（2007年）和鞅差异相关性邵和张（2014年）等度量超出了传统的相关性，而是可以分别指示随机量是否独立于鞅差异。对于时间序列，在时域中，Zhou（2012）引入了当且仅当测量的时间序列分量独立时为零的自动距离相关性。Linton和Whang（2007）以及Davis等人（2009）分别介绍了定量图和极值图的（单变量）概念。最近，分位数相关Schmitt等人（2015年）和分位数自相关函数Li等人（2015年）以及交叉分位数图Han等人（2016年）被提出作为分析分布分位数相关性的基本工具。1999年，谱密度在广义频率域中引入。在广义谱密度中，协方差被与经验特征函数密切相关的量所取代。Hong（2000）认为，在不同滞后条件下，经验法则的傅里叶变换用于检验成对独立性假设。最近，在拉普拉斯、分位数和copula谱密度和谱密度核的名称下，各种与分位数相关的谱概念被提出，用于频率域。Hagemann（2013）和Li（2008、2012）的方法旨在考虑用户指定分位数分布的周期性依赖性。Mikoschand Zhao（2014、2015）定义并分析了极端事件的周期图（及其综合版本）。正如Hagemann（2013）所指出的，其他方法旨在发现“时间序列数据中存在任何类型的依赖结构”，参考Dette等人（2015）和Lee and Rao（2012）的工作。该评论也适用于Kleyet al.（2016）。

在本文中，我们的目的是将现有的方法推广到多变量时间序列。我们提供的术语扩展，尤其是标准化分位数相关性的引入，对于经济应用非常重要，因为它使分析师能够对多个时间序列中的序列和横截面相关性进行更详细的联合分析。对于单变量情况，考虑了不同的一致性估计方法。Li（2008）针对τ1=τ2=0.5的特殊情况，提出了一种基于最小绝对偏差回归的加权分位数谱估计方法。Li（2012）使用分位数回归将估计量推广到τ1=τ2的情况∈ (0, 1).Dette等人（2015）首先考虑了一般情况，即数量可以与成对的连接词相关。这些作者也是第一个考虑基于arank版本的分位数回归类型估计器的作者，该估计器无需估计Li中的权重（2008年，2012年）。对于τ1=τ2的情况∈ （0,1），Hagemann（2013）提出了传统L2周期图的一个版本，其中观测值被I{^Fn，j（Xt，j）取代≤ τ} =I{Rn；t，j≤ nτ}。Kley et al.（2016）根据Dette et al.（2015）的精神，通过考虑轨道对（τ1，τ2）的交叉周期图，推广了该估计器∈ [0,1]2，并证明了它作为一个随机过程收敛到复值高斯极限。与传统的ALC类似定义的估计器 英国皇家经济学会20188 J.Barunik和T.Kleylag窗口估计器由Birr等人（2017）在非平稳时间序列的背景下进行分析。4.建议估计器的渐近性质推导第3节中定义的估计器的渐近性质，需要进行一些汇总。回忆（比照布里林格（1975），p。

19） 随机向量（Z1，…，Zr）的第rth阶联合累积量cum（Z1，…，Zr）定义为ascum（Z1，…，Zr）：=X{ν1，…，νp}(-1） p-1（p- 1)!EhYj∈ν1Zji···EhYj∈νpZji，求和扩展到所有的分区{ν1，…，νp}，p=1，r、 关于{1，…，r}。关于（Xt）t的依赖范围∈我们做出以下假设，假设4.1。过程（Xt）t∈Zis严格平稳且指数α混合，即存在常数K<∞ 和ρ∈ （0，1），使得α（n）：=supA∈σ（X0，X）-1,...)B∈σ（Xn，Xn+1，…）P（A）∩ B）- P（A）P（B）≤ Kρn，n∈ N.（4.11）此外，为了建立估计的一致性，我们考虑了渐近集中在2π倍数附近的权重序列，假设为4.2。权重定义为Wn（u）：=P∞j=-∞B-1nW（b）-1n[u+2πj]），其中bn>0，n=1，2。，是一系列满足bn的缩放参数→ 0和NBN→ ∞, 作为n→ ∞. 权重函数W是实值函数，甚至有支持度[-π、 π]、有界变化和满足性π-πW（u）du=1。本节末尾将对假设进行评论。这一节的主要结果（定理4.1）将把^Rn，R（ω；τ1，τ2）合法化为全相干性R（ω；τ1，τ2）的估计量。将In，R（ω；τ1，τ2）和^Gn，R（ω；τ1，τ2）作为分位数互谱密度f（ω；τ1，τ2）的估计值合法化的结果推迟到补充材料，以不影响论文的流动。估计的合法性源于这样一个事实，即在Ho off man-Jorgensen的意义上，估计值弱收敛（参见van der Vaart and Wellner（1996）的第1章）。我们用=> . 所考虑的估计量在（元素）有界函数[0,1]2的空间中取值→ Cd×d，我们用`∞Cd×d（[0,1]2）。

虽然电磁过程理论中的结果通常是针对实值有界函数空间，但这些结果通过识别`∞Cd×d（[0,1]2）与产品空间`∞（[0,1]2）2d2。请注意，空间`∞Cd×d（[0，1]2）是沿着与空间相同的线构造的`∞克莱等人（2016）中的C（[0,1]2）。我们现在准备陈述本节的主要结果。定理4.1。假设4.1和4.2成立。假设边际分布函数Fj，j=1，d是连续的，常数κ>0和k∈ N存在，例如bn=o（N-1/（2k+1））和bnn1-κ→ ∞. 假设对于某些ε∈ （0，1/2）我们有 英国皇家经济学会2018分位数相干9infτ∈[ε,1-ε] fj，j（ω；τ，τ）>0，对于所有j=1，d、 然后，对于任何固定ω∈ R、 pnbn^Rn，R（ω；τ1，τ2）-R（ω；τ1，τ2）-B（k）n（ω；τ1，τ2）(τ1,τ2)∈[ε,1-ε]2=> L（ω；·，·），（4.12）英寸`∞Cd×d（[ε，1- ε] 2），式中nl（ω；τ1，τ2）oj1，j2:=1pf1,1f2,2H1,2-12f1,2f1,1H1,1-12f1,2f2,2H2,2, （4.13）nB（k）n（ω；τ1，τ2）oj1，j2:=1pf1,1f2,2B1,2-12f1,2f1,1B1,1-12f1,2f2,2B2,2（4.14）我们已经将分位数互谱密度fja，jb（ω；τa，τb）的fa，bf写成（2.2），Ba，b:=Pk`=2b`n`！Rπ-πv`W（v）dvd`dω`fja，jb（ω；τa，τb），以及Hja，jb（ω；τa，τb）的Ha，b;H的一个分量（ω；·，·）：=（Hj1，j2（ω；·，·））j1，j2=1，。。。，dde定义为一个以Cd×d值为中心的高斯过程，以CoV为特征Hj1，j2（ω；u1，v1）, Hk1，k2（λ；u2，v2）= 2πZπ-πW2（α）dαfj1，k1（ω；u1，u2）fj2，k2(-ω; v1，v2）η（ω- λ） +fj1，k2（ω；u1，v2）fj2，k1(-ω; v1，u2）η（ω+λ）, （4.15）式中η（x）：=I{x=0（mod 2π）}[cf.（Brillinger，1975，第148页）]是Kroneckerδ函数的2π周期延拓。族{H（ω；·，·，·），ω∈ [0，π]}是独立过程和H（ω；τ1，τ2）=H的集合(-ω; τ1，τ2）=H（ω+2π；τ1，τ2）。定理4.1的证明是冗长且技术性的，因此授权给在线补充（第S6节）。

将定理4.1与传统相干的结果进行比较（例如，参见Brillinger（1975）中的定理7.6.2），我们观察到^Rn，R（ω；τ1，τ2）的分布与根据未观测到的时间序列计算的传统es激励[cf.（7.6.14）Brillinger（1975）]的分布是渐近等价的I{Fj1（Xt，j1）≤ τ1}，I{Fj1（Xt，j2）≤ τ2}, t=0，N- 1.（4.16）可以利用（4.12）中高斯过程的收敛性来获得渐近有效的逐点置信带。为此，可以根据（4.13）和（4.15）确定L的协方差核，从而得到类似于布里林格（1975）中（7.6.16）的表达式。关于如何进行推理的更详细说明见补充材料第S5节。请注意，Brillinger（1975）中（7.6.15）给出的偏置顺序的界限适用于（4.14）中给出的展开式。如果W是p阶核≥ 1.我们认为偏差为bpn级。因此，如果我们选择均方误差最小化带宽bn N-1/（2p+1）偏差为n级-p/（2p+1）。关于ε>0的限制，请注意，如果（τ1，τ2）位于单位平方的边界上，则收敛（4.12）不会发生变化，因为如果τj，则分位数相干R（ω；τ1，τ2）没有定义∈ {0，1}，因为这意味着Var（I{Fj（Xt，j）≤ τj}=0。我们现在对假设进行评论：假设4.1适用于广泛的脉冲、线性和非线性过程。例如（可能在温和的附加假设下）包括传统的VARMA或向量ARCH模型以及许多其他模型。重要的是要注意，假设4.1不要求存在anyc 皇家经济学会201810 J.Barunik和T.Kleymonts，这与经典假设形成鲜明对比，经典假设中必须存在达到各自累积量阶数的矩。

假设4.2是相当标准的时间序列分析[cf.，例如，Brillinger（1975），第147页]。股票市场收益的分位数互谱分析：一种更准确的风险度量方法？股票市场收益率属于经济学和金融学的重要数据集之一。尽管在过去几十年里，人们已经确定了许多关于他们行为的重要类型化事实，但这仍然是一个非常活跃的研究领域。尽管有这些影响，但尚未完全解决的一个重要方向是关于收益共同分配的程式化事实。尤其是在过去动荡的十年里，了解收益分布中联合分位数的行为变得尤为重要，因为这对于理解系统性风险至关重要；“整个系统的中介能力可能受损的风险”；参见Adrian和Brunnermeier（2016）。几位作者以不同的方式专注于解释二元市场分布的尾部。Adrianand Brunnermeier（2016）建议根据机构分位数对市场冲击的敏感性对机构进行分类。与我们如何看待依赖结构的概念最密切相关的是Whiteet al.（2015）的多元回归分位数模型，该模型直接研究不同随机变量之间的尾部依赖程度。本文设计的分位数互谱分析允许分析联合分布的尾部（但也包括任何其他部分）和跨频率的有趣依赖量。

因此，对股票市场回报的应用可能会对股票市场的依赖性提供更深入的了解，并导致更有力的分析，确保我们免受金融崩溃的影响。股票市场收益率的一个重要特征是其波动性的时变性。时变波动过程几乎可以跨越其分布的每个分位数（参见Hagemann（2013）），并在分位数谱密度中产生峰值，如Li（2014）所示。Engle和Manganelli（2004）以及71zikeˇs和Barunik（2016）最近记录了这些概念，他们提出了基于过去波动率的回报分布条件分位数模型。Barigozzi等人（2014年）在多变量环境中发现了波动性中的强共同因素，他们得出结论，共同波动性是一个重要的风险因素。因此，共同波动性应被视为依赖性的可能来源。因为我们的目标是找到收益联合分布中的常见结构，所以我们研究了通过GARCH（1,1）模型估计的波动率标准化的收益；参见Bollerslev（1986）。这第一步通常在使用连接函数对联合市场分布进行建模的文献中进行；参见Granger等人（2006年）和巴顿（2012年）。在这些方法中，首先对边际分布的波动性进行建模，然后在第二步中考虑共同因素。因此，这将使我们能够发现其他可能的共同因素，在市场回报率跨频率的联合分布中，这些因素会导致虚假依赖，但不会被强烈的波动过程所掩盖。我们选择研究投资组合收益和超额收益在广阔市场上的联合分布，因此研究了资产定价理论指导下文献中最常研究的因素结构之一；查阅

夏普（1964）和林特纳（1965）。作为市场上的超额回报，我们使用证券价格研究中心（CRSP）c在纽约证券交易所、美国证券交易所或纳斯达克上市的所有公司的价值加权回报 英国皇家经济学会2018年分位数相干度110.0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.2 0.4 0.6 0.8ω2πY M W0。5 | 0.5 0.05 | 0.05 0.95 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8ω2πY M W0。05 | 0.950.2 0.4 0.6 0.80.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9τ1=τ2W M y图3。投资组合的分位数相关性估计。数据库对于基准投资组合，我们使用由消费者非耐用品构成的行业投资组合。2我们使用n=23385个每日观察值（从1926年7月1日到2015年6月30日）。这些数据包括几个危机期，因此可能不适合被视为一个严格平稳的时间序列。然而，我们选择研究这一长周期的数据，因为我们相信，超过一年的周期可能构成依赖性的一个重要可能来源，并且我们相信实证结果非常有趣。此外，通过按波动率对收益率进行标准化，我们消除了我们认为最重要的数据时间变化来源。3在图3的左面板中，对0.05 | 0.05、0.5 | 0.5和0的分位数相干性进行了估计。95 | 0.95联合分布的分位数组合显示了行业投资组合和超额市场回报率的频率。图3中的中间面板显示了0.05 | 0.95的组合，我们稍后将对其进行评论。我们使用Epanech-nikov核和带宽bn=0.5n1/4来计算估计值（参见（2.8））。以虚线区域显示的置信区间为95%，并根据补充材料第S5节中所述的程序进行构造。