分位数相干性：周期性数据之间相关性的一般度量

对于（6.19）中定义的^θ（τ），这相当于θ的一致估计*（τ） =arg minθ（τ）2Xj=1EρτYt，j- θj0（τ）- θj1（τ）Yt-1,1- θj2（τ）Yt-1,2.Fan和Fan（2006）指出，θ需要附加条件，如单调性条件*（τ） θ（τ）重合。在将^θ（τ）解释为θ（τ）的估计量时，必须考虑这些重要参数。当然是datac 英国皇家经济学会2018分位数相关性170.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.40.0.40.8ω2πymw0。5 | 0.5 0.05 | 0.05 0.95 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.20.20.61.0ω2πymw0。05 | 0.950.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.40.0 0.40.8τW M Y0。0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.2 0.4 0.6 0.8 1.0ω2πY M W0。5 | 0.5 0.05 | 0.05 0.95 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.20.20.61.0ω2πymw0。05 | 0.950.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.3 0.5 0.7 0.9τW M y图6。从几个QVAR模型模拟的分位数相干性。可以根据方程（6.18）生成，其中我们用θ（τ）代替θ（τ）。为了评估QVAR模型的类别是否足够丰富，以反映我们在第5节的数据中看到的分位数的周期性特征，有必要考虑该类别的单独模型。在本节中，我们以数据驱动的方式选择（6.18）中定义的QVAR模型，然后将隐含的量化差异与第5节中非参数估计的量化差异进行比较。图6的顶行显示了与模型（6.18）相关的分位数相干性，其中用^θ（τ）代替θ（τ）。这些图的格式和我们以前考虑过的一样。

引人注目的是，我们观察到fittedModel的分位数相干性大大低于我们通过图3中的非参数估计所看到的。除此之外，在图6的顶行中，我们可以看到一般形状、随频率递减的线条和顺序（0.95 | 0.95显示的相关性小于0.05 | 0.05）与非参数估计更接近。最后，我们建议通过增加空间依赖性来扩展（6.18）中所述的QVAR（1）。更准确地说，我们现在考虑的模型是y，1=θ10（Ut，1）+θ111（Ut，1）y-1,1+θ121（Ut，1）Yt-1,2，Yt，2=θ20（Ut，2）+θ211（Ut，2）Yt-1,1+θ221（Ut，2）Yt-1,2+θ210（Ut，2）Yt，1。（6.20）对于该模型，我们计算分位数回归估计^θ（τ）=arg minθ（τ）nXt=2ρτYt，1- θ10(τ) - θ111（τ）Yt-1,1- θ121（τ）Yt-1,2+nXt=2ρτYt，2- θ20(τ) - θ210（τ）Yt，1- θ211（τ）Yt-1,1- θ221（τ）Yt-1,2.图8描述了从股票回报数据中获得的估计，也应谨慎解释。请注意，如果我们将Y1替换为tin，则表示第二个C 皇家经济学会201818 J.Barunik和T.Kley0。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-2.-1 0 1 2τθ^10(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.17-0.15-0.13τθ^11(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.15 0.25 0.35 0.45τθ^12(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-2.-1 0 1 2τθ^20(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.06-0.02 0.00τθ^21(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.05 0.05 0.15τθ^22（τ）图7。模型的估计参数函数（6.18）。方程（6.20）通过第一个方程中给出的表达式，我们可以看到该模型中的“冲击”现在是相关的，因为它们的形式是（^θ10（Ut，1），^θ20（Ut，2）+^θ210（Ut，2）^θ10（Ut，1））。参数函数^θ210调节依赖强度。我们现在再次查看图6底部一行所示的分位数相关性，并看到分位数相关性与非参数估计更接近（在形状、阶数和量级上）。

这一点尤其适用于正确的绘图，其中显示了与每周、每月和每年周期相对应的频率，这对应用研究人员来说可能特别有趣。在本节中，我们说明了应用研究人员如何使用分位数相关性来评估时间序列模型，以了解其捕获股市收益一般周期之间相关性的能力。我们已经看到，高斯VAR模型完全无法捕捉周期依赖性中的不对称性。我们的modellingexercise展示了非高斯VAR模型如何可能通过为模型中的错误提供更一般的连接来弥补这一点。更进一步，我们还考察了二元分位数自回归模型，发现它们的灵活性更好地捕捉了我们在第5.7节使用分位数相干性发现的周期之间的一般相关性。结论本文介绍了经济时间序列的分位数互谱分析，提供了一种完全无模型的非参数理论，用于估计频域联合分布分位数产生的一般互相关结构。我们认为，时间序列中的复杂动态通常在许多宏观经济和金融时间序列中自然出现，因为大负值的不频繁周期（联合分布的下分位数）可能比大正值的不频繁周期（联合分布的上分位数）更具依赖性。此外，这种依赖性在长期、中期或短期可能有所不同。

因此，分位数互谱分析可能会从根本上改变我们看待经济时间序列之间相关性的方式，并可能被视为许多新建模策略背后的经济研究后续发展的先驱。同时连接了两个关注be-c依赖性的文献分支 英国皇家经济学会2018分位数相关性190.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-2.-1 0 1 2τθ^10(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.17-0.15-0.13τθ^111(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.15 0.25 0.35 0.45τθ^121(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-1.0 0.0 0.5 1.0τθ^20(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.79 0.81 0.83 0.85τθ^210(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.07 0.09 0.11τθ^211(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.16-0.12-0.08τθ^221（τ）图8。模型（6.20）的参数函数。在其联合分布的分位数和跨频率的变量之间，所提出的方法也可被视为对传统交叉谱分析进行鲁棒性验证的重要步骤。基于分位数的光谱量非常有吸引力，因为它们不需要矩的存在，这是经典假设的一个重要放松，在经典假设中，通常假设存在高达累积量量级的矩。对于数据中发现的许多常见违反传统假设的情况，包括异常值、重尾和分布高阶矩的变化，建议的数量是稳健的。通过考虑分位数而不是矩，提出的方法能够揭示传统工具集看不到的依赖性。

作为成功应用的重要组成部分，我们对引入的估计量的渐近性质进行了严格分析，并表明对于一类一般的非线性过程，基于分位数的估计量的适当中心化和平滑版本收敛到中心高斯过程。在一个实证应用中，我们已经表明，经典资产定价理论可能不适合研究人员通常记录的数据，因为在联合收益分布中，存在着丰富的依赖结构，在分位数和频率之间存在差异。我们记录了在大负收益期间，二元收益序列的强依赖性，而正收益在所有频率上的依赖性较小。这一结果对投资者来说并不有利，因为投资者想要的恰恰相反：选择投资于独立负回报但依赖正回报的股票。我们的工具表明，与上分位数相比，系统风险更强烈地来源于长期和中期投资期联合分布的下分位数。在建模实践中，我们已经说明了分位数相关性如何用于时间序列模型的检查，并可能有助于找到一个能够捕获分位数相关特征周期相关性的模型，我们之前在经验应用中已经揭示了这一点。我们相信，我们的工作可能会为未来的理论和实证研究开辟许多令人兴奋的新途径。从应用的角度来看，基于分位数互谱估计器的探索分析可以揭示改善甚至重申许多经济问题的新含义。在许多经济时间序列中，依赖性是非高斯性质的，需要避开基于协方差的DC 英国皇家经济学会201820 J。

Barunik和T.Kleymethods，并允许详细分析联合分布分位数的相关性。确认作者按字母顺序列出，因为他们对项目的贡献是相等的。作者感谢Piotr Fryzlewicz、Roger Koenker、Oliver Linton、StanislavVolgushev以及各种研讨会和会议的参与者的评论。特别是，我们要感谢编辑丹尼斯·克里斯滕森和两位匿名裁判，他们的报告帮助改进了这篇论文。Jozef Barunik感谢捷克科学基金会对GA16-14179S项目的支持。Tobias Kley感谢德国研究基金会（DFG）的PSRC研究金“时间序列分析的新挑战”（EP/L014246/1）和合作研究中心“非线性动态过程的统计建模”（SFB 823，Teilprojekt C1）的部分支持。对于本文介绍的分位数互谱测度的估计和推断，提供了R包quantspec；参见Kley（2016）。R套餐在网上提供https://cran.r-project.org/web/packages/quantspec/index.htmlREFERENCESAdrianT.和M.K.Brunnermeier（2016年7月）。科瓦尔。《美国经济回顾》106（7），1705-41。Ang，A.和J.Chen（2002）。股票投资组合的不对称相关性。《金融经济学杂志》63（3），443-494。Bae，K-H.，G.A.Karolyi和R.M.Stulz（2003）。衡量金融传染的新方法。金融研究回顾16（3），717–763。Barigzzi，M.，C.Brownlees，G.M.Gallo和D.Veredas（2014年）。在波动性度量的面板中解开系统的静态和特殊动力学。《经济学与rics杂志》182（2），364-384。Beaudry，P.和G.Koop（1993年）。经济衰退会永久性地改变产出吗？《货币经济学杂志》31（2），149-163。Birr，S.，T.Kley和S。

沃古舍夫（2018）。使用copula谱密度的时间序列动力学模型评估：图形工具（arxiv:1804.01440）。ArXiv电子指纹。Birr，S.，S.Volgushev，T.Kley，H.Dette和M.Hallin（2017年）。局部平稳时间序列的分位数谱分析。英国皇家统计学会期刊：B辑（统计方法学）79（5），1619-1643。Bollerslev，T.（1986）。广义自回归条件异方差。《经济计量学杂志》31（3），307-327。布里林格，D.R.（1975）。时间序列：数据分析和理论。纽约：霍尔特、林哈特和温斯顿公司，C.克劳克斯、M.福尼和L.赖克林（2001年）。经济变量共同运动的度量：理论与实证。《经济学与统计学评论》83（2），232-241。Davis，R.A.，T.Mikosch等人（2009年）。极值图：极值事件的相关图。伯努利15（4），977-1009。Dette，H.，M.Hallin，T.Kley和S.Volgushev（2015）。连接词、分位数、秩和谱：谱分析的L1方法。伯努利21（2），781-831。Enders，W.和C.W.J.Granger（1998年）。单位根检验和不对称调整——以利率期限结构为例。商业与商业杂志；经济统计16（3），304-311。C 皇家经济学会2018分位数一致性21Engle，R.F.和S.Manganelli（2004）。鱼子酱：按回归分位数计算的风险条件自回归值。商业与经济统计杂志22（4），367-381。Erb，C.B.，C.R.Harvey和T.E.Viskanta（1994年）。预测国际公平关系。《金融分析师杂志》50（6），32-45。范，J.和Y.范（2006）。议论《美国统计协会杂志》101（475），991-994。Fan，Y.和A.J.Patton（2014）。计量经济学中的Copulas。《经济学年鉴》6（1），179-200。格兰杰，C.W.（2010）。关于协整发展的一些思考。

《经济计量学杂志》158（1），3-6。格兰杰、C.W.和P.Newbold（1974年）。计量经济学中的虚假回归。经济计量学杂志2（2），111-120。Granger，C.W.，T.Ter–asvirta和A.J.Patton（2006年）。二元时间序列条件分布中的公共因子。计量经济学杂志132（1），43-57。格兰杰，C.W.J.（1966）。经济变量的典型光谱形状。Econo metrica 34（1），150–161。格兰杰，C.W.J.（1969）。通过计量经济学模型和交叉谱方法研究因果关系。计量经济学37（3），424–438。哈格曼，A.（2013）。稳健光谱分析（arxiv:1111.1965v2）。ArXiv电子指纹。韩，H.，O.林惇，T.奥卡和Y.-J.黄（2014）。定量图：定量图。R软件包版本0.1，检索自https://sites.google.com/site/whangyjhomepage/Rcodes_CrossQuantilogram.zip2018年12月11日。韩，H.，O.林顿，T.奥卡和黄英杰（2016）。交叉分位数图：测量分位数相关性和测试时间序列之间的方向可预测性。《经济计量学杂志》193（1），251-270。Hong，Y.（1999）。通过经验特征函数对时间序列进行假设检验：广义谱密度方法。《美国统计分类杂志》94（448），1201-1220。Hong，Y.（2000）。序列相关性的广义谱检验。《皇家统计学会杂志》B辑62（3），557–574。克莱·T.（2016）。面向对象框架中基于分位数的光谱分析和R:quantspec包（arxiv:1408.6755）中的参考实现。统计软件杂志70（3），1-27。Kley，T.，S.Volgushev，H.Dette和M.Hallin（2016）。分位数谱过程：渐近分析和推断。伯努利22（3），1770-1807年。科恩克，R.（2005年）。分位数回归。经济计量学会专著。剑桥大学出版社。Koenker，R.和Z.Xiao（2006）。分位数自回归。

美国统计协会杂志101（475），980-990。Lee，J.和S.S.Rao（2012）。非线性时间序列的分位数谱密度和基于比较的测试（arxiv:1112.2759v2）。ArXiv电子指纹。李国强、李亦永和蔡振林（2015）。分位数相关性和分位数自回归建模。《美国统计协会杂志》110（509），246–261。李泰华（2008）。时间序列分析的拉普拉斯周期图。《美国统计协会杂志》103（482），757–768。李泰华（2012）。分位数周期图。《美国统计协会杂志》107（498），765-776。李泰华（2014）。分位数周期图和时间相关方差。《时间序列分析杂志》35（4），322-340。C 皇家经济学会201822 J.Barunik和T.KleyLintner，J.（1965）。风险资产的估值和风险投资在股票投资组合和资本预算中的选择。《经济学与统计学评论》，第13-37页。林顿，O.和Y.-J.黄（2007）。定量图：用于评估方向可预测性。《计量经济学杂志》141（1），250–282。Longin，F.和B.Solnik（2001年）。国际股票市场的极端相关性。《金融杂志》，649-676。Mikosch，T.和Y.Zhao（2014）。对极端事件的傅立叶分析。伯努利20（2），803-845。Mikosch，T.和Y.Zhao（2015）。相依极值事件序列的积分周期图。随机过程及其应用125（8），3126–3169。内夫茨，S.N.（1984）。经济时间序列在商业周期中是否不对称？《政治经济学杂志》，307-328。宁，C.Q.和L.Chollete（2009）。美国宏观经济变量的依赖结构。http://www1.uis.no/ansatt/odegaard/uis_wps_econ_fin/uis_wps_2009_31_chollete_ning.pdf.技术报告。巴顿，A.J.（2012）。经济时间序列的copula模型综述。

多变量分析杂志110，4-18。施密特、T.A.、R.Schafer、H.Dette和T.Guhr（2015）。分位数相关性：不包括财务时间序列中的时间相关性。《理论与应用金融杂志》18（7），16。邵，X.和J.张（2014）。鞅差相关及其在高维变量筛选中的应用。《美国统计协会杂志》109（507），1302-1318。夏普，W.F.（1964年）。资本资产价格：风险条件下的市场均衡理论。《金融杂志》19（3），425–442。Sz\'ekly，G.J.，M.L.Rizzo和N.K.Bakirov（2007，12）。测量和测试依赖于距离的相关性。安。统计学家。35 (6), 2769–2794.van der Vaart，A.和J.Wellner（1996年）。弱收敛和经验过程：应用于统计学。纽约：斯普林格。White，H.，T.-H.Kim和S.Manganelli（2015）。VAR for VAR：使用多元回归分位数测量尾部依赖性。《经济计量学杂志》187（1），169–188。肖志强（2009）。分位数协整回归。《经济计量学杂志》150（2），248-260。周志强（2012）。测量时间序列中的非线性相关性，一种距离相关方法。时间序列分析杂志33（3），438-457。朱X、王W、王H和沃德（2018）。网络分位数自回归。可从SSRN获取：https://SSRN。com/abstract=3159671或http://dx。多伊。org/10。2139/ssrn。3159671 .ˇZikeˇs，F.和J.Barunik（2016）。金融回报和已实现波动率的半参数条件分位数模型。《金融计量经济学杂志》14（1），185–226。C 皇家经济学会2018年第ectj号文章？？？？？？《计量经济学杂志》（2018年），第01卷，pp。