分位数相干性：周期性数据之间相关性的一般度量

为了清晰起见，我们绘制了x轴的日周期图，并指出了与年、月和周周期相对应的频率。虽然我们使用每日数据，但0.5的最高频率表示每天0.5个周期（即2天）。虽然精确的频率没有经济意义，但我们需要了解时域的解释。例如，0.2的采样频率相当于每天0.2个周期转换为5天的周期（相当于一周），但0.3的频率转换为难以解释的3.3周期。因此，经济学家对x轴的上标签特别感兴趣，因为人们可以研究周、月或年周期在联合分布的分位数之间的联系。为了表述清晰，我们将重点放在数量的真实部分，这与数据的选择有关：我们使用Fama and French在http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html.该数据集在研究人员中很受欢迎，虽然可以选择多种类型的投资组合，但我们为该应用随机选择了非耐用消费品。尽管非常有趣和吸引人，但展示和讨论基于不同标准形成的更广泛投资组合的结果远远超出了本工作的范围。3作为稳健性检查，我们将时间序列分为几十年，发现我们在非重叠窗口上的结果没有实质性变化。C 皇家经济学会201812 J.Barunik和T.Kleyto研究了j1st分量低于τ1分位数和j2nd分量高于τ2分位数之间的过程切换动力学（参见第2节）。分位数相干估计的实部揭示了研究中收益联合分布的频率动态。

一般来说，较低分位数的周期似乎比较高分位数的周期具有更强的依赖性，这是一个关于股市回报的有据可查的程式化事实。它向我们指出了一个事实，即在商业周期的低迷期，回报比好转期更依赖于回报；参见Erb等人（1994年）、Longin和Solnik（2001年）、Ang和Chen（2002年）和Patton（2012年）。更重要的是，与短于每周的周期相比，低分位数在大于一周平均周期的周期中有更强烈的相关性，甚至在长于每月周期的周期中更紧密地联系在一起。这表明，与较小的日波动相比，超额市场回报更能解释偶尔出现的大量负投资组合回报。联合分布的上分位数中的收益似乎在所有频率上都有相似的联系。同样的结果也适用于中位数。为了更好地展示，我们还提供了三个固定的周、月和年周期（对应于ω）的分位数相干估计∈ 2π{1/5,1/22,1/250}）在所有的量子化水平τ1=τ2∈ {0.05,0.1，…，0.95}在图3的右面板中。这一备选方案突出了前面的讨论。现在，我们将我们的发现与交叉分位数图的相应分析进行比较，交叉分位数图是一种基于分位数的时域序列相关性测量方法。考虑严格平稳，R×R×Rd1×Rd2值时间序列（y1t，y2t，x1t，x2t），其中∈ Z和D1，d2∈ N、 用Fyi | xi（·| xit）表示序列yitgiven xit的条件分布，分位数函数为qi，t（τi）=inf{v:Fyi | xit（·| xit）≥ τi}，τi∈ （0,1），i=1,2；哈恩等人。

（2016）将交叉量化图定义为ρ（τ1，τ2）（k）：=E（I{y1t<q1，t（τ1）}- τ1）（I{y2，t-k<q2，t-k（τ2）}- τ2)E（I{y1t<q1，t（τ1）}- τ1)2E（I{y2，t）-k<q2，t-k（τ2）}- τ2)21/2.在我们的数据示例中，没有协变量信息，这将减少到x1t=x2t=1和qi，t是yit边际分布的分位数。值得注意的是，交叉量化图被定义为事件{y1t]之间序列相关性的标准化度量≤ q1，t（τ1）}和{y2t≤ q2，t（τ2）}在时域，而量子相干的定义类似，但在频域。在图4中，我们展示了我们根据数据样本估计的交叉量化图。对于计算，我们使用了Han等人（2016）定义的估计器和平稳自举过程。更准确地说，我们使用了R包quantilogram中可用的实现；参见韩等人（2014）。通过查看图表，可以看出存在明显的相关性，即滞后k，通常较短。此外，我们可以猜测，在0.05分位数水平上，正相关性和负相关性存在周期性变化，而在0.95分位数水平上，相关性似乎是非常正的。然而，考虑到置信区间，不确定这是否是一种重要的模式。此外，将交叉分位数图显示的这些周期模式的讨论与我们从图3的分位数相关性中读取的内容进行比较，很难读取特定的周、月和年周期成分，以及它们是否重要。

因此，至少在研究人员对周期依赖性感兴趣的特定情况下，我们相信分位数相干可以提供时域分析中不可用的视角。总结我们的实证分析结果：虽然不对称性是普遍存在的 英国皇家经济学会2018分位数相关性130 10 20 30 50 60-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10Lag0 10 20 40 50 60-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10Lag0 10 20 40 50 60-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10滞后图4。投资组合的交叉量化估计。研究人员记录了股票市场收益率的频率依赖性不对称性（即，联合分布周期的不对称性）。如果这种行为在更大类别的资产中很常见，我们的结果可能对假设收益正态分布的资产定价理论的基石之一有很大的影响。这让我们呼吁建立更一般的模型，更重要的是，需要以一种能够区分投资者短期和长期行为的方式来描述资产定价理论。我们的结果对于系统性风险度量也至关重要，因为希望优化投资组合的投资者应该关注那些在困境情况下不会在较低分位数处关联，但在给定投资期内市场上扬情况下会在较高分位数处关联的股票。我们使用传统的定价理论记录了不利于此类投资者的行为，因为我们表明，总体股市收益率在下跌时比在上升时更频繁地包含一个共同因素。这表明，手头的投资组合可能比普通衡量指标所暗示的风险要大得多。

此外，我们的结果表明，这种影响对长期投资者来说更加严重。分位数互谱测度的一个重要特征是，它们使我们能够测量联合分布的τ16=τ2分位数之间的相关性。在图3的中心面板中，我们记录了收益分布的0.05 | 0.95分位数之间的相关性不是很强。一般来说，在股票市场的巨大负回报和所研究的投资组合的巨大正回报之间不存在强烈的依赖性。在研究单个资产之间的依赖性的情况下，这种分析可能更有趣。在那里，负面消息可能对研究中的资产产生强烈的相反影响。最后，关于我们估计的数量的解释，给读者一些警告是正确的。在补充材料S3节中，我们在正态分布数据的假设下，提供了分位数相干性和传统依赖性度量之间的联系。基于分位数的度量被设计用于捕获一般依赖类型，而无需对过程的潜在分布进行限制性假设。因此，在这里，我们有意不将其与传统的相关性联系起来。在理想情况下，只有在已知过程是高斯的情况下，才应解释传统的相关性。本节所研究的财务回报是已知的 皇家经济学会201814 J.Barunik和T.Kleyto背离常态。因此，分位数相干性不能直接与传统的相关度量相比较。我们可以看到，在所有分位数上，投资组合收益和超额市场收益之间通常存在着很强的依赖性，这证实了超额收益是所研究投资组合收益的一个很强的共同因素。

本节中基于分位数的分析揭示的细节在基于传统相干性的分析中仍然是隐藏的。6.分位数相关性在评估练习的模型中在上一节中，我们演示了应用研究人员如何使用分位数相关性来揭示数据的周期性特征，如果仅使用基于协方差的相关性度量来分析数据，这些特征可能仍然不可见。在本节中，我们将举例说明如何使用分位数相关性来评估时间序列模型捕捉数据中记录的此类周期的能力。更准确地说，我们建立了几个双变量时间序列模型，然后将估计参数所隐含的量化差异与非参数估计所得的量化差异进行比较（见图3）。评估模型的图形方法与Birr等人（2018）提出的方法类似。为了清晰起见，我们将重点放在两类模型上：（a）向量自回归（VAR）模型，以及（b）Koenker和Xiao（2006）引入的全瓦自回归（QVAR）模型的向量版本。许多应用研究人员使用的ClassicalVAR假设所有分位数都具有相同的自回归结构。为了对不对称性进行建模，可以使用更多灵活的连接函数，以允许对称依赖。此外，QVAR允许在不同的分位数上有不同的自回归结构。因此，不同的分位数可以由具有不同循环特性的过程驱动。我们按从简单到更复杂的顺序讨论模型，并评估更复杂的模型是否更适合捕捉第5节股市收益分析中发现的分位数相关特征的周、月和年周期。我们首先将VAR（1）设置为股市回报。

固定模型为YT，1=0.0987+0.056Yt-1,1+0.186年至今-1,2+εt，1，Yt，2=0.0369- 0.056Yt-1,1+0.175Yt-1,2+εt，2，（6.17），其中（εt，1，εt，2）是白噪声，具有估计的Corr（εt，1，εt，2）≈ 0.822. 加上（εt，1，εt，2）是独立且联合高斯的常见假设，可以确定相应的分位数相干性。图5的顶行描绘了模型（6.17）所暗示的分位数相干性。为了便于比较，我们考虑了与图3相同的频率和分位数组合。在这幅图中，可以清楚地看到，这个高斯模型所暗示的周期依赖性是对称的。例如，在0.05 | 0.05和0.95 | 0.95水平下，对所有频率的依赖性都同样强。相比之下，从数据中获得的非参数估计（参见图3）显示出强烈的不对称性。此外，我们可以看到，对于每周、每月和每年的频率，应用程序搜索者可能特别感兴趣，τ|τ和1- τ |1 - τ水平也一致。如果应用研究人员试图像第5节所揭示的那样对依赖性进行建模，那么高斯VAR模型可能因此过于严格。接下来，我们考虑固定VAR的非高斯版本。

要获得这些模型，请注意（6.17）中的创新假设为白噪声，但不需要C 英国皇家经济学会2018年分位数相干度150.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0ω2πY M W0。5 | 0.5 0.05 | 0.05 0.95 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.20.20.61.0ω2πymw0。05 | 0.950.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.2 0.4 0.6 0.8 1.0τW M Y0。0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ω2πY M W0。5 | 0.5 0.05 | 0.05 0.95 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.20.20.61.0ω2πymw0。05 | 0.950.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.2 0.4 0.6 0.8 1.0τW M Y0。0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ω2πY M W0。5 | 0.5 0.05 | 0.05 0.95 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.20.20.61.0ω2πymw0。05 | 0.950.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.2 0.4 0.6 0.8 1.0τW M y图5。从VAR模型模拟分位数相关性。成为i.i.d.高斯。因此，通过指定（εt，1，εt，2）具有Fittedvar模型所暗示的第一和第二矩的任何联合分布，可以获得另一个似是而非的模型。为了便于说明，我们现在考虑以下两种情况。在这两种情况下，我们假定边际分布为标准正态分布。在第一种情况下，我们假设依赖关系符合参数θ=4的克莱顿copula。在第二种情况下，我们假设它符合一个参数θ=2.7的Gumbel copula。正如阿松所料，VAR（1）过程的尾部依赖性现在显著不同。从图5中的左中图可以看出，对于Layton copula，下尾的依赖性更强（0.05 | 0.05），上尾的依赖性较弱（0.95 | 0.95）。对于低频率，这种依赖性稍强一些，这是从VAR模型中的时间依赖性中预期的。另一方面，在图5的左下角的曲线图中，我们看到上尾的依赖性更强，下尾的依赖性较弱。

有趣的是，从中心图中可以看出，从第一个分量的0.05分位数以下到第二个分量的0.95分位数以下的变化周期的依赖性并不很大程度上取决于copula的选择。最后，在图5的右图中，我们看到当以周、月和年频率循环时，依赖性如何根据分位数水平变化，我们认为这可能与一些从业者最相关 皇家经济学会201816 J.Barunik和T.Kleyconseed。正如预期的那样，我们看到，对于克莱顿copula，依赖性随着分位数τ的增加而减少，而对于甘贝尔copula，依赖性随着τ的增加而增加。尽管使用Gumbel和Claytoncopula的模型比使用Gaussian copula的模型更好地捕捉到不对称依赖性，但我们仍然可以看到，它们在分位数相关性方面与数据不同。在之前的讨论中，我们已经看到了VAR（1）模型的三个版本，其中任何一个都不特别适合捕捉我们在第5节中观察到的量子化水平上的循环依赖类型。在建模练习的第二部分，我们将注意力转向更灵活的时间序列模型。受Koenker和Xiao（2006）提出的分位数自回归模型的启发，我们考虑分位数向量自回归，QVAR，一种具有随机系数的VAR模型：Yt，j=θj0（Ut，j）+θj1（Ut，j）Yt-1,1+θj2（Ut，j）Yt-1,2，j=1,2，（6.18），其中θjiare系数函数和Ut，jare假设在[0,1]上独立且均匀分布。Zhu等人（2018）讨论了类似于（6.18）的模型。我们的目的是评估时间序列模型（6.18）是否足够灵活，以捕获第5节中确定的分位数周期性特征。

为此，我们以数据驱动的方式选择参数函数，然后模拟相应的量子相干，以和非参数估计进行比较。受朱等人（2018）的估计方法的启发，我们计算了^θ（τ）=arg minθ（τ）2Xj=1nXt=2ρτYt，j- θj0（τ）- θj1（τ）Yt-1,1- θj2（τ）Yt-1,2, (6.19)τ ∈ T:={1/50，2/50，…，48/50，49/50}，其中ρτ（u）：=u（τ）- I{u<τ}）是校验函数（参见Koenker（2005））。对于τ/∈ 我们定义θ（τ）：=θ（η），η：=arg minη∈T |τ- η|（如果有两个η，则选择较小的η）。从股票市场收益中获得的函数^θ（τ）=（^θji（τ）），如图7所示。有趣的是，观察到函数^θj1和^θj2在分位数水平上不是常数。这可能表明VARmodel过于简单，无法捕捉股市中复杂的动态。时间t到第j个方程的“冲击”由^θj0（Utj）传递。Koenker和Xiao（2006年）以及Zhu等人（2018年）建立了一些条件，以确保分位数回归（类似于（6.19））可以用于一致地估计他们论文中模型的参数函数。特别是，假设他们的模型定义方程（对应于我们模型中的（6.18））在Ut，j中单调增加。单调性条件进一步暗示了Yt，jgiven Yt的条件分位数函数的一种特别方便的形式-1,1，Yt-1,2. Fan和Fan（2006）认为，在一些温和的条件下，Koenker和Xiao（2006）考虑的分位数回归估计将是损失函数总体版本最小值的一致估计。