分位数相干性：周期性数据之间相关性的一般度量

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英文标题：
《Quantile Coherency: A General Measure for Dependence between Cyclical
  Economic Variables》
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作者：
Jozef Barun\\\'ik and Tobias Kley
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we introduce quantile coherency to measure general dependence structures emerging in the joint distribution in the frequency domain and argue that this type of dependence is natural for economic time series but remains invisible when only the traditional analysis is employed. We define estimators which capture the general dependence structure, provide a detailed analysis of their asymptotic properties and discuss how to conduct inference for a general class of possibly nonlinear processes. In an empirical illustration we examine the dependence of bivariate stock market returns and shed new light on measurement of tail risk in financial markets. We also provide a modelling exercise to illustrate how applied researchers can benefit from using quantile coherency when assessing time series models.
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中文摘要：
在本文中，我们引入分位数相干性来测量频域联合分布中出现的一般依赖结构，并认为这种类型的依赖对于经济时间序列是自然的，但在仅使用传统分析时仍然是不可见的。我们定义了捕获一般依赖结构的估计量，详细分析了它们的渐近性质，并讨论了如何对一类可能的非线性过程进行推理。在一个实证例子中，我们检验了二元股票市场回报率的依赖性，并对金融市场尾部风险的度量提供了新的思路。我们还提供了一个建模练习，以说明应用研究人员在评估时间序列模型时如何从使用分位数相关性中获益。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Quantile_Coherency:_A_General_Measure_for_Dependence_between_Cyclical_Economic_V.pdf (1.32 MB)

2022-5-9 08:59:47 上传

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关键词：分位数 周期性 相关性 Quantitative Multivariate

条款编号：ectj？？？？？？《计量经济学杂志》（2018），第20卷，第1-22页。分位数相关性：周期性经济变量Jozef Barunik+和Tobias Kley+之间相关性的一般度量。捷克科学院计量经济系，布拉格查尔斯大学经济研究所。电子邮件：barunik@fsv.cuni.cz——布里斯托尔大学数学学院。电子邮件：托比亚斯。kley@bristol.ac.ukReceived：2018年10月摘要在本文中，我们引入分位数相干性来测量频域联合分布中出现的一般依赖结构，并认为这种依赖性对于经济时间序列来说是自然的，但在仅采用传统分析时仍然不可见。我们定义了捕获一般依赖结构的估计量，详细分析了它们的渐近性质，并讨论了如何对一类可能的非线性过程进行推理。在一个实证例子中，我们检验了双价股票市场回报的依赖性，并为金融市场尾部风险的测量提供了新的思路。我们还提供了一个建模练习，以说明应用研究人员在评估时间序列模型时如何利用分位数相关性。关键词：交叉谱分析、等级、Copula、股市、风险。1.二阶矩以外的依赖结构经济学研究人员面临的一个基本问题是如何量化经济变量之间的依赖关系。虽然相关变量是经济学中比较常见的现象，但通常情况下，研究中的强相关变量是真正独立的，我们测量的只是虚假的相关性；见Granger和Newbold（1974）。

相反，但同样具有欺骗性的不相关变量可能在联合分布的不同部分和/或不同频率中具有依赖性。当使用基于非线性相关和传统互谱分析的经典测度时，这种依赖性保持隐藏；参见Croux等人（2001年）、Ning和Chollete（2009年）以及Fan和Patton（2014年）。因此，从平均量导出的传统模型，例如基于协方差的度量，可能会产生误导性的结果。在本文中，我们介绍了一类新的交叉谱密度，它表征了联合分布在频率上（即相对于周期）的分位数依赖性。随后，前面提到的分位数光谱的标准化产生了一个相关量，我们称之为分位数相干性。我们定义并激励基于分位数的互谱量，与传统的互谱量类似。然而，新的衡量标准不是根据联合矩（即，通过对联合分布进行平均）来量化依赖性，而是根据超过分位数的可能性来定义。所以，它们被设计用来检测研究变量之间可能出现的任何一般类型的依赖结构。这种复杂的动态可能会在许多宏观经济或金融领域自然出现 皇家经济学会2018。由Blackwell出版社有限公司出版，地址：英国牛津大学考利路108号OX41JF和美国马萨诸塞州马尔登大街350号，邮编：02148。arXiv:1510.06946v2[math.ST]20182年12月27日J.Barunik和T.Kleyseries，如增长率、通货膨胀、房地产市场或股市回报。在金融市场中，一项资产中的极端稀缺和负面事件可能会导致非理性的出局和恐慌，导致投资者忽视经济基本面，并在其他资产中造成类似的极端负面后果。

在这种情况下，市场之间的联系可能比小规模或正回报的平静时期更加紧密；参见Bae等人（2003年）。因此，在股票市场中，大负值的同时出现可能比反映经济主体不对称行为的大正值的同时出现更常见。此外，联合分布分位数的长期影响可能与短期影响不同，这是因为在不同的投资期限内，经济主体的风险感知不同。这种行为在联合分布的不同部分产生了不同程度的持久性，而平均而言，股市回报率仍然不稳定。在单变量宏观经济变量中，研究人员记录了不对称调整路径（参见Neftci（1984）和Enders and Granger（1998））作为企业更倾向于价格上涨而非下跌。不同分位数的不对称商业周期动态可能是由对产出的正向冲击比负向冲击更持久造成的。虽然产出波动已知是持续的，但Beaudry和Koop（1993）记录了更长时间内的持续性较低。在不同的视野中，这种不对称的依赖性可以被多个变量共享。由于传统的基于协方差的方法仅将平均信息纳入ac计数，因此传统方法无法识别这些类型的相关性。本文介绍的分位数互谱分析揭示了这种依赖结构，它可以从根本上改变我们看待经济时间序列之间依赖关系的方式，并为经济和金融变量之间相互作用的建模开辟了新的可能性。分位数互谱分析为估计经济时间序列之间的相关性提供了一个通用、统一的框架。

正如Granger（1966）的早期研究所指出的，经济变量的谱分布具有典型的形状，它将长期波动与短期波动区分开来。这些波动指向不同频率的经济活动（剔除平均趋势和季节成分后）。在Granger（1966）研究了单个时间序列的行为之后，使用互谱分析来识别变量之间的相关性的重要文献迅速出现（从Granger（1969）到最近的Croux等人（2001））。研究人员不再只考虑横截面相关性，而是开始使用相干性（依赖频率的相关性）来研究多个时间序列的短期和长期动态特性，并确定商业周期的同步性；见Croux等人（2001年）。在他最后的一篇论文中，Granger（2010）假设了分位数中可能存在的协整关系，从而提出了分位数互谱分析所要解决的第一个一般依赖类型的概念。肖（2009）提出的分位数协整部分解决了这个问题，但不允许充分探索联合分布中不同分位数相关性的频率依赖结构。图1中描述了三个玩具示例，说明了分位数互谱分析的潜在影响。在每个例子中，都考虑了一种不同类型的依赖：横截面依赖（左）、串联依赖（中）和独立性（右）。我们考虑二元过程（xt，yt），它们具有所需的依赖结构，但在传统的相干性方面是不可区分的。在这些例子中(t） 是标准正态分布随机变量的独立序列。在图1的左栏中，出现了坦然这是描述的。

注意这一点很重要坦然2.它们是不相关的。因此，传统的一致性(T2t）c 英国皇家经济学会2018分位数相关性30.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.75 | 0.750.5 | 0.50.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.75 | 0.750.5 | 0.50.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.50.0 0.5 1.0ω2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.75 | 0.750.5 | 0.5图1。进程XT和yt之间依赖关系的说明。所有频率的读数都为零，尽管很明显坦然我们是独立的。从新引入的分位数相干性可以很容易地观察到这种相关性。更准确地说，我们可以区分分布中每个部分的不同依赖程度。例如，分布中心没有相关性（即0.5 | 0.5），但当分位数水平不同于0.5时，相关性变得明显。1在这个例子中，分位数的相干性在频率上是恒定的，这与没有序列相关性的事实相一致。在图1流程的中柱中(T2t-1） 我们引入了时滞。直观地说，从长远来看，这个二元过程的分位数依赖性将与前面的示例（左列）相同，即频率接近于零。随着频率的增加，依赖性将下降或逐渐倾向于符号相反的值，而高频率的运动由于滞后偏移而相反。这显然是由分位数相干性所捕获的，而依赖结构将远离传统的相干性，因为它将分位数之间的依赖性平均化。我们可以认为这些过程是“虚假独立的”。

为了证明所考虑的过程真正独立时分位数相干性的行为，我们在图1的右栏中观察到独立的二元高斯白噪声的量，其中分位数相干性在所有分位数和频率上显示零相关性，如预期的那样。这些插图有力地支持了我们的观点，即需要更一般的衡量标准，以便更好地理解变量之间的依赖关系。这些非常简单但富有启发性的激励示例侧重于不相关变量的非覆盖依赖性。在本文后面（第6节），我们进一步讨论了基于分位数向量自回归（QVAR）的数据生成过程，它能够生成更丰富的依赖结构，再次揭示了传统方法的局限性。图2显示了QVAR（1）、QVAR（2）和QVAR（3）示例过程的分位数相干性的实部。此外，在S3节中，我们将讨论如何在二元GaussianVAR（1）的特殊情况下解释分位数相干性。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了符号、定量相干及其估计。在第3节中，我们讨论了提出的方法和相关文献。在第4节中，我们对estima-1进行了严格的渐近分析，所有图都显示了插图目的复值量的实部。关于如何解释分位数相干性的实部和虚部的进一步讨论推迟到第3节。C 英国皇家经济学会20184 J.Barunik和T。

克莱。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.50.0 0.5 1.0ω2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.95图2。向量分位数自回归过程之间相关性的说明。tor的统计特性。在第5节中，为了从实证上支持我们的理论讨论，我们采用新的方法来检验二元股票市场收益率，这是经济学中最显著的时间序列之一，并揭示基于分位数的特征周期的相关性。我们在第6节继续我们的实证研究，使用分位数相干性来比较时间序列模型在捕获收入相关性方面的能力。在本文的补充材料（可从出版商的shomepage上获得）中，我们讨论了其他基于分位数的交叉谱量（第S1节），讨论了分位数向量自回归过程作为富动态的例子（第S2节），讨论了新的基于分位数的谱量及其传统计数部分之间的关系（第S3节），陈述其他理论结果（第S4节），评论区间估计量的构造（第S5节），并为所有理论结果提供严格证明（第S6节）。分位数互谱量及其估计∈Zdenotes是一个d-变量，严格平稳过程，成分为Xt，j，j=1，Di、 e.Xt=（Xt，1，…，Xt，d）0。Xt，jj的边际分布函数用Fj表示，用qj（τ）：=F表示-1j（τ）：=inf{q∈ R：τ≤ Fj（q）}，其中τ∈ [0,1]，我们表示相应的分位数函数。

我们使用约定 = +∞, 如果τ=0或τ=1-∞ 及+∞ 分别是qj（τ）的可能值。对于复共轭，我们写z，<z表示实部，=z表示虚部∈ C、 分别。矩阵a的转置用A0表示，正则矩阵B的逆矩阵用B表示-1.作为（Xt）t的串行和交叉依赖结构的度量∈Z、 我们定义了分位数互协方差核的矩阵，Γk（τ1，τ2）：=（γj1，j2k（τ1，τ2））j1，j2=1，。。。，d、 式中，γj1，j2k（τ1，τ2）：=CovI{Xt+k，j1≤ qj1（τ1）}，I{Xt，j2≤ qj2（τ2）}, （2.1）j1、j2∈ {1，…，d}，k∈ Z、 τ1，τ2∈ [0,1]和I{A}表示事件A的指示函数。在频域中，这产生（在适当的混合条件下）分位数交叉谱密度核f（ω；τ1，τ2）的矩阵：=（fj1，j2（ω；τ1，τ2））j1，j2=1，。。。，d、 式中，fj1，j2（ω；τ1，τ2）：=（2π）-1.∞Xk=-∞γj1，j2k（τ1，τ2）e-ikω，（2.2）c 英国皇家经济学会2018分位数相关性5j1，j2∈ {1，…，d}，ω∈ R、 τ1，τ2∈ [0, 1]. 一个密切相关的量，可以用来衡量两个过程（Xt，j1）t的动态相关性∈赞德（Xt，j2）t∈（Xt，j1）t的分位数相干核∈赞德（Xt，j2）t∈Z、 我们定义为rj1，j2（ω；τ1，τ2）：=fj1，j2（ω；τ1，τ2）fj1，j1（ω；τ1，τ1）fj2，j2（ω；τ2，τ2）1/2, (2.3)(τ1, τ2) ∈ (0, 1)2. 我们将分位数互谱密度的估计器定义为集合ij1，j2n，R（ω；τ1，τ2）：=12πndj1n，R（ω；τ1）dj2n，R(-ω; τ2），（2.4）j1，j2=1，d、 ω∈ R、 （τ1，τ2）∈ [0,1]2，称之为基于秩的copula交叉周期图，简称CCR周期图，其中djn，R（ω；τ）：=n-1Xt=0I{^Fn，j（Xt，j）≤ τ} e-iωt=n-1Xt=0I{Rn；t，j≤ nτ}e-iωt，j=1，d、 ω∈ R、 τ∈ [0,1]和^Fn，j（x）：=n-1Pn-1t=0I{Xt，j≤ x} 表示Xt、jand和Rn的经验分布函数；t、 jdenotes x，jamong X0，j，…，的（最大）秩，Xn-1，j。

我们将用in表示CCR周期图的矩阵，R（ω；τ1，τ2）：=（Ij1，j2n，R（ω；τ1，τ2））j1，j2=1，。。。，d、 （2.5）从单变量情况来看，已经知道（参见Kley等人（2016）中的命题3.4），CCR周期图无法一致地估计fj1，j2（ω；τ1，τ2）。一致性可以通过平滑频率上的Ij1、j2n、R（ω；τ1、τ2）来实现。更精确地说，我们考虑^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）：=2πnn-1Xs=1Wnω - 2πs/nIj1，j2n，R（2πs/n，τ1，τ2），（2.6），其中Wn表示一系列权函数，精确定义见第4节。我们将用^Gn，R（ω；τ1，τ2）：=（^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2））j1，j2=1，。。。，d、 （2.7）分位数相干性的估计量由^Rj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）：=^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）给出^Gj1，j1n，R（ω；τ1，τ1）^Gj2，j2n，R（ω；τ2，τ2）1/2. （2.8）在第4节中，我们将证明^Rn，R（ω；τ1，τ2）：=^Rj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）j1，j2=1，。。。，dis是R（ω；τ1，τ2）的合理估计量：=Rj1，j2（ω；τ1，τ2）j1，j2=1，。。。，d、 分位数相干矩阵。3.对引入量和估计器的讨论第2节中定义的基于分位数的量是两个变量τ1和τ2的函数。因此，它们的信息比传统的同类产品更丰富。为了强调这一事实，我们在名称中添加了“内核”一词，但这一术语经常出现 为了简洁起见，英国皇家经济学会20186 J.Barunik和T.Kleyomit在论文的其余部分对其进行了说明。对于连续FJ1和Fj2，在（2.1）中定义的分位数互协方差与（Xt+k，j1，Xt，j2）的copula和独立copula的差异一致。因此，它们提供了有关串行相关性（通过让k变化）和横截面相关性（通过选择j16=j2）的重要信息。