分位数相干性：周期性数据之间相关性的一般度量

S1–S31。分位数相关性：周期性经济变量之间相关性的一般衡量标准：在线补充Jozef Barunik+和Tobias Kley+捷克科学院计量经济系和布拉格查尔斯大学经济研究所。电子邮件：barunik@fsv.cuni.cz——布里斯托尔大学数学学院。电子邮件：托比亚斯。kley@bristol.ac.ukReceived：2018年10月1日。与分位数互谱密度核有关的进一步量在本文描述的情况下，存在一个右连续正交增量过程{Zτj（ω）：-π ≤ ω ≤ π} ，每j∈ {1，…，d}和τ∈ [0,1]，这样Cram\'er代表{Xt，j≤ qj（τ）}=Zπ-πeitωdZτj（ω）成立[cf.，例如，谷口和Kakizawa（2000）中的定理1.2.15]。注意（Xt，j）t∈Zis是严格静止的，因此（I{Xt，j≤ qj（τ）}）t∈ZI是二阶稳定的，因为指示函数的有界性意味着二阶矩的存在。分位数交叉谱密度核与这些正交增量过程密切相关[cf.（Brillinger，1975，第101页）和（Brockwell and Davis，1987，第436页）]。更具体地说-π ≤ ω1≤ ω2≤ π、 以下关系成立：Zω2ω1fj1，j2（ω；τ1，τ2）dω=CovZτ1j1（ω2）- Zτ1j1（ω1），Zτ2j2（ω2）- Zτ2j2（ω1）,或者简而言之：fj1，j2（ω；τ1，τ2）=Cov（dZτ1j1（ω），dZτ2j2（ω））。观察FJ1，j2（ω；τ1，τ2）是复数是很重要的。表示fj1，j2（ω；τ1，τ2）的一种方法是将EIT分解为其实部和虚部。真正的部分被称为过程（I{Xt，j1）的共谱（cospectrum）≤ qj1（τ1）}）t∈赞德（I{Xt，j2）≤ qj2（τ2）}）t∈Z） 。imag初始部分的负数通常被称为正交谱。我们将这些量称为（Xt，j1）t的分位数共谱和分位数正交谱∈赞德（Xt，j2）t∈Z

偶尔，为了强调这些谱是（τ1，τ2）的函数，我们将它们分别称为分位数共谱核和分位数正交谱核。如果j1=j2且τ1=τ2，则分位数正交谱消失。更一般地说，如Kley等人（2016）所述，对于任何固定的j1、j2，对于所有τ1、τ2，当且仅当（Xt-k、 j1，Xt，j2）和（Xt+k，j1，Xt，j2）对于所有k.c 皇家经济学会2018。由布莱克威尔出版社有限公司出版，地址：英国牛津大学考利路108号OX41JF和美国马萨诸塞州马尔登大街350号，邮编：02148。arXiv:1510.06946v2[math.ST]2018年12月27日2 J.Barunik和T.KleyTable S.1。与fj1，j2（ω；τ1，τ2）相关的光谱量。名称符号（Xt，j1）t的分位数共谱∈赞德（Xt，j2）t∈Z<fj1，j2（ω；τ1，τ2）t的分位数正交谱∈赞德（Xt，j2）t∈Z-=fj1，j2（ω；τ1，τ2）t的分位数振幅谱∈赞德（Xt，j2）t∈Z | fj1，j2（ω；τ1，τ2）|（Xt，j1）t的分位数相位谱∈赞德（Xt，j2）t∈Zarg（fj1，j2（ω；τ1，τ2））t的分位数相干性∈赞德（Xt，j2）t∈ZRj1，j2（ω；τ1，τ2）t的分位数相干性∈赞德（Xt，j2）t∈Z | Rj1，j2（ω；τ1，τ2）|注：分位数互谱密度核fj1，j2（ω；τ1，τ2）的（Xt，j1）t∈赞德（Xt，j2）t∈Zis de Finedin（2.2）。观察fj1，j2（ω；τ1，τ2）的另一种方法是用极坐标表示。半径| fj1，j2（ω；τ1，τ2）|被称为两个过程（I{Xt，j1）的振幅谱≤ qj1（τ1）}）t∈赞德（I{Xt，j2）≤ qj2（τ2）}）t∈Z） 而角度arg（fj1，j2（ω；τ1，τ2））分别是所谓的相位谱。我们将这些量称为（Xt，j1）t的分位数振幅谱和分位数相位谱∈赞德（Xt，j2）t∈Z.我们注意到，分位数谱分布函数rω0fj1，j2（λ；τ1，τ2））dλ显然是表示频率do main中基于分位数的依赖性的另一种方式。

其性质和估算程序目前正在一个单独的研究项目中进行研究，因此在此不再进一步讨论。注意，我们在第2节中定义的分位数相干性Rj1，j2（ω；τ1，τ2），作为两个过程（Xt，j1）t的动态相关性的测量∈赞德（Xt，j2）t∈Zis是dZτ1j1（ω）和dZτ2j2（ω）之间的相关性。它的模平方| Rj1，j2（ω；τ1，τ2）| 2被称为（Xt，j1）t的分位数相干核∈赞德（Xt，j2）t∈Z.|Rj1，j2（ω；τ1，τ2）|接近1表示dZτ1j1（ω）和dZτ2j2（ω）之间存在强（线性）关系。为方便读者阅读，本节中介绍的数量和符号列表见表S.1。然后，分位数共谱、分位数正交谱、分位数振幅谱、分位数相位谱和分位数相干性的估计器由<^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）自然得出，-=^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2），|Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）|，arg（^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2））和|Rj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）|2。S2。产生分位数相关交叉频率的过程的一个例子：QVAR（P）为了更好地理解我们在本文中研究的相关结构，我们引入了一个能够产生它们的过程。我们关注的是在联合分布的不同点上产生依赖性，这种依赖性在不同的频率上会有所不同，但在经典度量中保持隐藏。换句话说，我们说明了纯自变量的直觉，当使用传统的互谱分析时，两个变量似乎是独立的，而它们确实明显依赖于联合分布的不同部分。我们的例子基于Koenker和Xiao（2006）引入的流行分位数自回归过程（QAR）的多元推广。

灵感来源于矢量au-c 英国皇家经济学会2018分位数相关性：在线补充S3回归过程（VAR），我们通过滞后结构将多个QAR过程联系起来，并将结果过程称为分位数向量自回归过程（QVAR）。这提供了一种在两个随机dom变量的联合分布点和不同频率上生成丰富依赖结构的自然方法。平稳QVAR（p）过程的自协方差函数是固定参数var（p）过程的自协方差函数。这源于Knight（2006）的论点，他得出结论，仅使用自相关可能因此“无法识别数据中可能非常有用的结构”。我们将展示分位数光谱分析如何揭示哪些部分可能仍然不可见。设Xt=（Xt，1，…，Xt，d）0，t∈ Z、 是一个随机向量序列，其ful fillsxt=pXj=1Θ（j）（Ut）Xt-j+θ（0）（Ut），（S.1），其中Θ（1），Θ（p）是函数的d×d矩阵，θ（0）是函数的d×1列向量，Ut=（Ut，1，…，Ut，d）0，t∈ Z、 是一个独立向量序列，包含U[0，1]分布的分量Ut，K。我们假设第`行的元素θ（j）`（u`）=θ（j）`，1（u`），θ（j）`，d（u`）Θ（j）（u1，…，ud）=θ（j）1（u1）0，θ（j）d（ud）0θ（0）的第n个元素θ（0）`（u`）=θ（0）1（u1），θ（0）d（ud）0分别取决于\'th变量。在这个假设下，我们可以重写（S.1）asXt，i=pXj=1θ（j）i（Ut，i）Xt-j+θ（0）i（Ut，i），i=1，d、 （S.2）如果（S.2）的右边是单调递增的，那么Xt，igiven（Xt）的条件量子化函数-1.Xt-p） 可以表示为qxt，i（τ| Xt-1.Xt-p） =pXj=1θ（j）i（τ）Xt-j+θ（0）i（τ）。请注意，在本设计中，UT的第`个分量决定了Xt的第`个分量的自回归方程的系数。

我们把这个过程称为p阶的量子化自回归过程，因此称为QVAR（p）。没有关于参数Θ（j）的假设的过程类别（S.1）自然更丰富。然而，用条件分位数函数来解释参数是可能的。在p=1阶的二元情况下（d=2），即QVAR（1），（S.1）采用以下形式：Xt，1Xt，2！=θ（1）11（Ut，1）θ（1）12（Ut，1）θ（1）21（Ut，2）θ（1）22（Ut，2）！Xt-1,1Xt-1,2!+ θ（0）1（Ut，1）θ（0）2（Ut，2）！。对于这些例子，我们假设分量Ut，1和Ut，2是独立的，并设置θ（0）到θ（0）1（u）=θ（0）2（u）=Φ的分量-1（u），u∈ [0,1]，其中Φ-1（u）表示标准正态分布的u分位数。此外，我们将Θ（1）的对角元素设为零（即θ（1）11（u）=θ（1）22（u）=0，u）∈ [0,1]）和θ（1）12（u）=θ（1）21（u）=1.2（u）的反对角线元素- 0.5），美国∈ [0, 1]. 因此，我们通过其他滞后贡献将这两个过程相互联系起来，从而产生了相互依赖。请注意，这种特殊的参数函数选择导致了一个独特的、严格的 皇家经济学会2018S4 J.巴伦克和T.克莱。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04ω2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.95图S.1。QVAR（1）生成的依赖结构示例。固定溶液；比照布格洛尔和皮卡德（1992年）。（Xt，1）t∈赞德（Xt，2）t∈Zare不相关。

注意，Hafner和Linton（2006）讨论了单变量分位数自回归在二阶性质方面嵌套了流行的自回归条件异方差（ARCH）模型。类似地，我们的QVAR（1）可以被视为嵌套了一个多变量的拱外翻。图S.1描述了所述QVAR（1）过程的动力学。就传统的相干性而言，所有频率之间似乎并没有相关性。另一方面，在分位数相干方面，联合分布的不同部分揭示了丰富的动力学。虽然在分布的中心（在0.5 | 0.5水平），各频率之间的相关性为零，但我们看到，如果至少一个分位数水平（τ1，τ2）选择接近0或1，相关性就会增加。更准确地说，我们看到这个QVAR过程的分位数相干性类似于系数矩阵Θ（1）（τ1，τ2）的VAR（1）过程的形状。例如，当τ1=0.05和τ2=0.95时，这两个过程在低频时明显正相关，在高频时分位数相干性的值正好相反，而这两个过程是不合适的。

这也类似于本文导论部分中简单激励示例的动力学，并强调了定量交叉谱分析的重要性，因为如果只使用传统的测量方法，依赖结构将保持隐藏。在第二个和第三个例子中，我们考虑了一个类似的参数结构 英国皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S50。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04ω2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.95图S.2。QVAR生成的依赖结构示例（2）。第二和第三次滞后。对于QVAR（2）过程，我们假设θ（j）11（u）=θ（j）22（u）=0，对于j=1，2，θ（1）12（u）=θ（1）21（u）=0和θ（2）12（u）=θ（2）21（u）=1.2（u）- 0.5). 换句话说，在这里，这些过程通过另一个过程的第二个滞后连接在一起，而不是直接通过它们自己的滞后贡献连接在一起。在QVAR（3）过程中，除θ（3）12（u）=θ（3）21（u）=1.2（u）外，所有系数均设置为零-0.5），这样，这些过程只通过另一个组件的第三个滞后连接，而不是通过它们自己的贡献连接。图S.2和S.3显示了所述QVAR（2）和QVAR（3）过程的动态。将这两个过程的分位数通过第二个和第三个dLag连接起来，可以使我们在频率上获得更丰富的依赖结构。它们同样类似于VAR（2）和VAR（3）过程的传统相干性。

当传统的一致性用于QVAR（2）和QVAR（3）过程时，依赖结构保持完全隐藏。（S.1）中规定的一般QVAR（p）示例用于说明如何在联合分布点和不同频率点之间创建富相关结构。显然，与所示示例相比，系数函数的更复杂结构将导致更丰富的动力学。C 皇家经济学会2018S6 J.Barunik和T.Kley0。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04ω2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.95图S.3。QVAR生成的依赖结构示例（3）。S3。分位数和传统光谱量之间的关系在高斯过程的情况下，在应用建议的量时，在将它们与传统的相关性和相干性度量相关联时，务必小心。在本节中，我们将研究弱平稳、多元过程的情况，其中提出的基于分位数的量与其传统对应量直接相关。讨论的目的有两个。一方面，当模型已知为高斯时，它为如何解释定量光谱量提供了帮助。

另一方面，更重要的是，它提供了额外的见解，当序列依赖结构没有完全由二次矩指定时，传统数量是如何分解的。我们首先讨论一般情况，其中考虑的过程被假定为平稳的，但不需要是高斯的。我们将陈述传统光谱（即光谱密度和交叉光谱密度矩阵）唯一决定分位数光谱（即分位数光谱密度和交叉光谱密度矩阵）的条件。在本节的最后，我们将讨论三个二元平稳高斯过程的例子，并解释传统相干和分位数相干是如何关联的。用c表示：={cj1，j2k:j1，j2∈ {1，…，d}，k∈ Z} 。cj1，j2k:=Cov（Xt+k，j1，Xt，j2），自协方差和互协方差的族。作为第二个mo，我们也会提到它们 英国皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S7过程的重要特征。我们假设（|cj1，j2k |）k∈Zis可求和，因此传统谱fj1，j2（ω）：=（2π）-1Pk∈Zcj1，j2ke-ikω存在。因为关系式j1，j2k=Rπ-πfj1，j2（ω）eikωdω我们将等价地指f（ω）：=（fj1，j2（ω））j1，j2=1，。。。，das这一过程的第二时刻特征。我们现在陈述了传统光谱唯一确定分位数光谱的条件。假设Xt，j（j）的边际分布∈ 我们用Fj表示的{1，…，d}），不依赖于t，是连续的。此外，联合分发Fj1（Xt+k，j1），Fj2（Xt，j2）, j1，j2∈ {1，…，d}，即配对的copula（Xt+k，j1，Xt，j2）应仅依赖于k，而不依赖于t，并由过程的第二个动量特征唯一指定。

更准确地说，我们假设函数Cj1，j2k的存在，比如Cj1，j2kτ1, τ2; C= PFj1（Xt+k，j1）≤ τ1，Fj2（Xt，j2）≤ τ2.显然，如果存在，则fj1，j2（ω；τ1，τ2）由c[注（2.2）和γj1，j2k（τ1，τ2）=Cj1，j2k这一事实唯一确定τ1, τ2; C- τ1τ2].在平稳高斯过程的情况下，通过CJ1、j2k的传统光谱来唯一识别量化光谱的假设是有效的τ1, τ2; C:= cgaus（τ1，τ2；cj1，j2k（cj1，j10cj2，j20）-1/2），其中我们用cgaus（τ1，τ2；ρ）表示高斯copula。相反，可以在限制较少的条件下进行表述。如果边缘分布都是已知的，并且都具有二阶矩，那么分位数光谱将决定传统光谱。现在假设前面描述的情况，在这种情况下，二阶矩特征f唯一地确定了分位数谱，我们用fj1，j2f（ω；τ1，τ2）来表示它是由f确定的。因此，传统光谱和分位数光谱之间的关系是1:1。用Rj1，j2（ω）：=fj1，j2（ω）/（fj1，j1（ω）fj2，j2（ω））1/2表示传统相干性，并观察到它也是由二阶矩特征f唯一确定的。因为分位数相干性是由与二阶矩特征f相关的分位数谱确定的，如前所述，我们已经建立了传统相干性和分位数相干性的关系。显然，这种关系不一定是1比1了。如果平稳过程来自时间序列模型的参数族，则可以确定每个参数的二阶矩特征。我们现在讨论三个高斯过程的例子。与前一个示例相比，每个示例都具有更复杂的串行依赖性。在不丧失一般性的情况下，我们只考虑二元例子。