分位数相干性：周期性数据之间相关性的一般度量

它是布里林格（1975）定理5.2.2的推广。引理S6。1.假设S6。1，K=2，δ>3，EIj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）=fj1，j2（ω；τ1，τ2）+12πnhsin（nω/2）sin（ω/2）i2τ1τ2+ετ1，τ2n（ω）ω6=0模2πfj1，j2（ω；τ1，τ2）+n2πτ1τ2+ετ1，τ2n（ω）ω=0模2π∈[0,1],ω∈R |ετ1，τ2n（ω）|=O（1/n）。两个引理中的第二个是布里林格（1975）定理5.6.1的推广。引理S6。2.假设假设S6。1，p=2且δ>k+1，假设4.2成立。然后，用定理S4的符号。1，supτ1，τ2∈[0,1],ω∈RE^Gj1，j2n（ω；τ1，τ2）- fj1，j2（ω；τ1，τ2）-B（k）n（ω；τ1，τ2）j1，j2= O（（nbn）-1） +o（bkn）。因为假设4.1所暗示的条件（S.13）暗示了假设S6。引理S6。2意味着定理S6。1（ii）。2S6。3.3. 定理S6的证明。1（iii）使用（S.20）和类似于引理S6证明中的论点。下面是supω∈Rsupτ1，τ2∈[0,1]|^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）-^Gj1，j2n，U（ω；^F）-1n，j1（τ1），^F-1n，j2（τ2））|=op（1）。因此，有必要限制差异τ1、τ2∈[0,1]|^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）-^Gj1，j2n，U（ω；^F）-1n，j1（τ1），^F-1n，j2（τ2））|c 英国皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S23J1，j2=1，d、 ω中的点态一致。我们首先证明固定ω的陈述∈ R的全部细节，稍后将概述证明统一结果所需的附加参数。

对于任意x>0和序列δnw，Pn（ω）：=Psupτ1，τ2∈[0,1]|^Gj1，j2n，U（ω；^F）-1n，j1（τ1），^F-1n，j2（τ2））-^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|>x（（nbn）-1/2+bkn）≤ Psupτ1，τ2∈[0,1]supk（u，v）-（τ1，τ2）k∞≤supi=1,2；τ∈[0,1]|^F-1n，ji（τ）-τ| |^Gj1，j2n，U（ω；U，v）-^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|>x（（nbn）-1/2+bkn）≤ Psupτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn |^Gj1，j2n，U（ω；U，v）-^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|>x（（nbn）-1/2+bkn），supi=1,2；τ∈[0,1]|^F-1n，ji（τ）- τ| ≤ δn+2Xi=1Psupτ∈[0,1]|^F-1n，ji（τ）- τ|>δn= 比如说Pn1+Pn2。我们选择n-1/2 δn=o（n-1/2b-1/2n（对数n）-D） ，其中D表示引理S6中的常数。5.然后从引理S6开始。8 PN2为o（1）。另一方面，对于Pn1，我们有以下界限：Psupτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn |^Hj1，j2n，U（ω；U，v）-^Hj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|>（1+（nbn）1/2bkn）x/2+ 因苏普τ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn|E^Gj1，j2n，U（ω；U，v）- E^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|>（（nbn）-1/2+bkn）x/2o。由于（S.25），第一项趋于零。当n足够大时，指示剂消失，因为我们有supτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn|E^Gj1，j2n，U（ω；U，v）- E^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|≤ supτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn|E^Gj1，j2n，U（ω；U，v）- fj1，j2（ω；u，v）-B（k）n（ω；u，v）j1，j2 |+supτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn|B（k）n（ω；τ1，τ2）j1，j2+fj1，j2（ω；τ1，τ2）- E^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|+supτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn | fj1，j2（ω；u，v）+B（k）n（ω；u，v）j1，j2- fj1，j2（ω；τ1，τ2）-B（k）n（ω；τ1，τ2）j1，j2 |=o（n-1/2b-1/2n+bkn）+O（δn（1+| logδn |）D），其中D仍然是引理S6中的常数。5.约束我们的前两个条款 皇家经济学会2018S24 J.Barunik和T.Kleyaapplied定理S6的第（二）部分。1和引理S6。第三张5元。因此，对于任何固定ω，我们展示了Pn（ω）=o（1），这是该主张的逐点版本。接下来，我们概述了一致（关于ω）收敛性的证明。

对于任何yn>0，通过与上述类似的参数，使用相同的δn，我们得到psupω∈Rsupτ1，τ2∈[0,1]|^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）-^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|>yn≤ Psupω∈Rsupτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn |^Hj1，j2n，U（ω；U，v）-^Hj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|>（nbn）1/2yn/2+ 因苏普ω∈Rsupτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn|E^Gj1，j2n，U（ω；U，v）- E^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|>yn/2o+o（1）。后一个表达式中的指示符是o（1），其参数与上述参数相同[注意，引理S6.5和第（ii）部分的陈述都一致适用于ω∈ R] 。对于概率界，请注意引理S6。9，supτ1，τ2supk=1，。。。，n | Ij1，j2n，U（2πk/n；τ1，τ2）|=Op（n2/k），对于任何k>0。此外，通过W的一致Lipschitz连续性，函数wn也是一致Lipschitz连续的，且具有O（b）阶常数-2n）。把这些事实和引理结合起来。5和关于bn的假设，我们得到了supω1，ω2∈R |ω1-ω2|≤N-3上升τ1，τ2∈[0,1]|^Hj1，j2n，U（ω1；τ1，τ2）-^Hj1，j2n，U（ω2；τ1，τ2）|=op（1）。通过^Hj1，j2n，U（相对于ω）的周期性，可以证明maxω=0,2πn-3.2πsupτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn |^Hj1，j2n，U（ω；U，v）-^Hj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|=op（1）。引理S6。3和中六。10存在一个随机变量S（ω），即supτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn |^Hj1，j2n，U（ω；U，v）-^Hj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|≤ |S（ω）|+Rn（ω），对于任何固定ω∈ R、 带supω∈R | Rn（ω）|=op（1）和maxω=0,2πn-3.2πE[|S2L（ω）|]≤ K2LL Zη0-4/（2Lγ）d + （Δγ/2n+2（nbn）-1/2)η-8/（2Lγ）！2l对于任何0<γ<1，L∈ N、 0<η<δN，常数kl仅取决于L。对于适当选择的L和γ，后一个界是o（n）-3). 注意，最大值是关于一组基数O（n3），这就完成了第（iii）部分的证明。2S6。4.辅助引理在本节中，我们陈述了Kley等人（2016）第7.4节中辅助引理的多变量版本。注意引理S6。3是不变的，因此无需说明。

剩下的引理适用于多元量和证明orc 英国皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S25关于如何调整Kley et al.（2016）中证据的说明收集于本节末尾。对于引理S6的陈述。3.我们定义了实值随机变量Z askZkψ=infnC>0:eψ的Orlicz范数[参见范德瓦坦韦尔纳（1996），第2.2章]|Z |/C≤ 1o，其中ψ：R+→ R+可以是任何不递减的凸函数，ψ（0）=0。对于引理S6的陈述。4，中六。6和中六。9我们定义，对于任何Borel集A，djn（ω；A）：=n-1Xt=0I{Xt，j∈ A} e-它是ω。（S.27）引理S6。3.让{Gt:t∈ T}是一个具有kGs的可分随机过程- Gtkψ≤Cd（s，t）代表所有s，t和d（s，t）≥ η/2 ≥ 0.用D表示(, d） 度量空间（T，d）的填充数。那么，对于任何δ>0，η≥ η，存在一个随机变量s1和常数K<∞ 这样的话≤δ| Gs- Gt|≤ S1+2辅助（s，t）≤η，t∈~T|Gs- Gt |和ks1kψ≤ KhZη′η/2ψ-1.D(, d）D + (δ + 2η)Ψ-1.D2（η，d）i、 其中，集合T最多包含D（(R)η，D）个点。特别是，根据马尔可夫不等式[cf.van der Vaart and Wellner（1996），第96页]|S1 |>x≤Ψ十、8KZη′η/2ψ-1.D(, d）D + (δ + 2η)Ψ-1.D2（η，d）-1.-1.对于任何x>0。引理S6。4.让我们。。。，Xn-1，其中Xt=（Xt，1，…，Xt，d）是X0，j的严格平稳过程的最终实现~ U[0,1]，j=1，d、 让假设4.2保持不变。对于x=（x1，x2），设^Hj1，j2n（x；ω）：=√nbn（^Gj1，j2n（x1，x2；ω）- E[^Gj1，j2n（x1，x2；ω）]。Letdjn（ω；A）的定义如（S.27）所示。假设p=1，存在一个常数C和一个函数g:R+→ R+，都独立于ω1。。。，ωp∈ R、 n和A1。。。，美联社，诸如此类cum（dj1n（ω1；A1），djpn（ωp；Ap））≤ CNpXi=1ωi+ 1.g（ε）（S.28）对于任何指数j1，太平绅士∈ {1，…，d}和区间A1，Apwith minkP（X0，jk∈（Ak）≤ ε.

然后，存在一个常数K（仅取决于C，L，g），比如supω∈苏普卡-bk1≤εE |^Hj1，j2n（a；ω）-^Hj1，j2n（b；ω）|2L≤ 吉隆坡-1X`=0gL-`（ε） （nbn）`对于g（ε）<1且所有L=1的所有ε，P引理S6。5.在定理S4的假设下。1，导数（τ1，τ2）7→dkdωkfj1，j2（ω；τ1，τ2）c 皇家经济学会2018S26 J.Barunik和T.Kleyexists and satis，适用于任何k∈ n0和一些常数C，d独立于a=（a1，a2），b=（b1，b2），但可能依赖于k，supω∈Rdkdωkfj1，j2（ω；a1，a2）-dkdωkfj1，j2（ω；b1，b2）≤ Cka- bk1（1+|对数ka）- bk1 |）D.引理S6。6.让严格平稳过程（Xt）t∈Z满足条件（第13条）。Letdjn（ω；A）的定义如（S.27）所示。让我们，美联社 [0,1]是区间，设ε：=mink=1，。。。，pP（X0，jk）∈ Ak）。然后，对于任何p-元组ω1。。。，ωp∈ R和j1，太平绅士∈ {1，…，d}，cum（dj1n（ω1；A1），djpn（ωp；Ap））≤ CNpXi=1ωi+ 1.ε（| logε|+1）D，其中n（λ）：=Pn-1t=0eitλ，常数C，D仅取决于K，p和ρ[条件（S.13）中的ρ]。引理S6。7.让严格平稳过程（Xt）t∈Z满足条件（S.13）和X0，j~ U[0,1]。表示X0，j，…，的经验分布函数。。。，Xn-1，jby^Fn，j.那么，对于任何k∈ N、 存在一个只依赖于k的常数dk，比如supx，y∈[0,1]，|x-y|≤δn√n|^Fn，j（x）-^Fn，j（y）- （十）- y） |=Op（n2δn+n）1/2k（δn | logδn | dk+n-1)1/2,asδn→ 0.引理S6。8.让我们。。。，Xn-1，其中Xt=（Xt，1，…，Xt，d）是满足条件（S.13）和X0，j的严格平稳过程的最终实现~ U[0,1]，j=1，d、 然后，supj=1，。。。，dsupτ∈[0,1]|^F-1n，j（τ）- τ|=Op（n）-1/2).引理S6。9.让严格平稳过程（Xt）t∈Z满足条件（S.13）和X0，j~ U[0,1]。将djn（ω；A）定义为（S.27）。那么，对于任何k∈ N、 supj=1，。。。，dsupω∈Fnsupy∈[0,1]| djn（ω；[0，y]）|=Op（n1/2+1/k）。引理S6。10

在定理S6的假设下。1，设δnbe是一个非负实数序列。假设存在γ∈ （0，1），使得δn=O（（nbn）-1/γ).然后，supj1，j2，∈{1，…，d}supω∈罗苏普，v∈[0,1]2ku-vk1≤δn |^Hj1，j2n（u；ω）-^Hj1，j2n（v；ω）|=op（1）。引理S6的证明。3.引理如Kley等人（2016年）所述，未作任何改变。可在Kley等人（2016）的在线附录第8.3.1节中找到该版本。C 英国皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S27引理S6的证明。4.按照单变量版本的证明（Kley et al.（2016）第8.3.2节），我们可以证明|^Hj1，j2n（a；ω）-^Hj1，j2n（b；ω）|2L=X{ν1，…，νR}|νj|≥2，j=1，。。。，RRYr=1Da，b（νr）（S.29），求和运行在{1，…，2L}的所有分区{ν1，…，νr}上，使得每个集合νj至少包含两个元素，而da，b（ξ）：=X`ξ1`ξq∈{1,2}n-3q/2bq/2n嗯∈嗯×n-1Xsξ1，。。。，sξq=1嗯∈ξWn（ω）- 2πsm/n）嗯(-1） m-1sm:m∈ ξ） ，对于任何集合ξ：={ξ1，…，ξq} {1，…，2L}，q:=|ξ|，and `，s:=dj1n（2πs/n；M1（`））dj2n(-2πs/n；M2（`）），`=1，2，s=1，N- 1，带有集合M1（1）、M2（2）、M2（1）、M1（2）和符号σ`∈ {-1，1}定义为σ1:=2I{a1>b1}- 1，σ2:=2I{a2>b2}- 1，M1（1）：=（a1）∧ b1，a1∨ b1]，M2（2）：=（a2）∧ b2，a2∨ b2]，（S.30）平方米（1）：=（0，a2）b2≥ a2[0，b2]a2>b2，M1（2）：=（[0，b1]b2≥ a2[0，a1]a2>b2。利用假设（S.28），我们可以通过遵循单变量版本的参数，进一步证明{1，…，2L}|ξ|=qsupka-bk1≤ε| Da，b（ξ）|≤ C（nbn）1-q/2g（ε），2≤ Q≤ 2L。然后引理跟随，通过观察RYr=1Da，b（νr）≤ CgR（ε）（nbn）R-l对于（S.29）中的任何分区[注意prr=1 |νr |=2L]。引理S6的屋顶。5.

注意thatcum（I{X0，j1≤ qj1（a1）}，I{Xk，j2≤ qj2（a2）}）- cum（I{X0，j1≤ qj1（b1）}，I{Xk，j2≤ qj2（b2）}）=σ1cum（I{Fj1（X0，j1）∈ M1（1）}，I{Fj2（Xk，j2）∈ M2（1）}）+σ2cum（I{Fj1（X0，j1）∈ M1（2）}，I{Fj2（Xk，j2）∈ M2（2）}），具有集合M1（1）、M2（2）、M2（1）、M1（2）和符号σ`∈ {-1，1}定义见（S.30）。C 英国皇家经济学会2018S28 J.Barunik和T.Kleyf根据λ（Mj（J））的事实≤ 灵魂- 对于j=1，2，我们得出结论d`dω`fj1，j2（ω；a1，a2）-d`dω`fj1，j2（ω；b1，b2）≤Xk∈Z | k | ` | cum（I{Fj1（X0，j1）∈ M1（1）}，I{Fj2（Xk，j2）∈ M2（1）}）|+Xk∈Z | k | ` | cum（I{Fj1（X0，j1）∈ M1（2）}，I{Fj2（Xk，j2）∈ M2（2）}）|≤ 4.∞Xk=0k`（Kρ`）∧ 灵魂- bk1.然后，在经过一些代数运算之后，该断言就出现了。引理S6的屋顶。6.与Kley et al.（2016）中的（8.27）类似，通过对累积量和严格平稳性的定义，我们得到了cum（dj1n（ω1；A1），djpn（ωp；Ap））=nXu2，。。。，向上=-ncum（I{X0，j1∈ A1}，I{Xu2，j2∈ A2}，I{Xup，jp∈ Ap}）exp-ipXj=2Ωjuj×n-1Xt1=0exp- it1pXj=1ωjI{0≤t1+u2<n}··I{0≤t1+up<n}。（S.31）由Kley等人（2016）中的引理8.1编写，n（pXj=1ωj）-N-1Xt1=0exp- it1pXj=1ωjI{0≤ t1+u2<n}··I{0≤ t1+up<n}≤ 2pXj=2 | uj |。（S.32）根据Kley et al.（2016）中关于（8.29）证明的论点，我们进一步得出，对于任何p+1区间A0，美联社 R、 任何指数j0，太平绅士∈ {1，…，d}，和任何p-元组κ：=（κ1，…，κp）∈ Rp+，p≥ 2.那∞Xk1，。。。，金伯利进程=-∞1+pX`=1 | k`|κ`附有I{Xk1，j1∈ A1}，I{Xkp，jp∈ Ap}，I{X0，j0∈ A0}≤ Cε（|logε|+1）d.（S.33）为此，定义k0=0，考虑setTm：=（k1，…，kp）∈ Zp | maxi，j=0，。。。，p|ki- kj |=m,请注意| Tm |≤ cpmp-1对于某些常数cp。

从累积量和一些简单代数的定义中，我们得到了界| cum（I{Xt1，j1）∈ A1}。。。，I{Xtp，jp∈ Ap}）|≤ C mini=1，。。。，pP（X0，ji）∈ 哎）。根据假设4.1所暗示的这个界和条件（S.13），我们得到c 皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S29采用上述符号∞Xk1，。。。，金伯利进程=-∞1+pXj=1 | k`|κ`附有I{Xk1，j1∈ A1}，I{Xkp，jp∈ Ap}，I{X0，j0∈A0}=∞Xm=0X（k1，…，kp）∈商标1+pX`=1 | k`|κ`附有I{Xk1，j1∈ A1}，I{Xkp，jp∈ Ap}，I{X0，j0∈ A0}≤∞Xm=0X（k1，…，kp）∈商标1+pmmaxjκjρm∧ ε金伯利进程≤ 内容提供商∞Xm=0ρm∧ ε|ε的Tm | mmaxjκj≥ ρ、 （S.33）然后是琐碎的。对于ε<ρ，设置mε：=logε/logρ，并注意ρm≤ ε当且仅当m≥ mε。因此∞Xm=0ρm∧ ε穆≤Xm≤mεmuε+Xm>mεmuρm≤ Cεmu+1ε+ρmε∞Xm=0（m+mε）uρm.ρmε=ε的事实完成了所需不等式的证明（S.33）。这个断言来自（S.31），（S.32），（S.33）和三角不等式。引理的屋顶。7，中六。8和中六。9.请注意，Kley等人（2016）中的成分过程（Xt，j）是平稳的，且充分假设（C），对于每一个j=1，d、 由于维度d不依赖于引理S6的n.2P，因此该断言遵循单变量版本（即分别为引理8.6、7.5和7.6 inKley et al.（2016）。10.在不丧失普遍性的情况下，假设n-1=o（δn）[其他情况下，通过考虑δn:=max（n）来扩大上确界-1，δn）]。用a=（a1，a2）和b=（b1，b2）表示，我们有^Hj1，j2n（a；ω）-^Hj1，j2n（b；ω）=b1/2nn-1/2n-1Xs=1Wn（ω）- 2πs/n）（Ks，n（u，v）- EKs，n（u，v）），其中，对于djn，定义在（S.22），Ks，n（a，b）：=n-1.dj1n，U（2πs/n；u1）dj2n，U(-2πs/n；u2）- dj1n，U（2πs/n；v1）dj2n，U(-2πs/n；v2）= dj1n，U（2πs/n；u1）n-1.dj2n，U(-2πs/n；u2）- dj2n，U(-2πs/n；v2）+ dj2n，U(-2πs/n；v2）n-1.dj1n，U（2πs/n；u1）- dj1n，U（2πs/n；v1）.引理S6。9.我们有∈ N、 supy∈[0,1]supω∈Fn | djn，U（ω；y）|=Opn1/2+1/k.

（S.34）使用引理S6。7.我们有∈ N和j=1，d、 supω∈瑞斯比∈[0,1]supx:|x-y|≤δnn-1 | djn，U（ω；x）- djn，U（ω；y）|≤ supy∈[0,1]supx:|x-y|≤δnn-1n-1Xt=0 |I{Fj（Xt，j）≤ x}- I{Fj（Xt，j）≤ y}|≤ supy∈[0,1]supx:|x-y|≤δn |^Fn，j（x）∨ y）-^Fn，j（x）∧ y）- 十、∨ y+x∧ y |+Cδn=Opρn（δn，`）+δn,C 皇家经济学会2018S30 J.Barunik和T.Kleywhithρn（δn，`）：=n-1/2（n2δn+n）1/2`（δn | logδn | D`+n）-1） 1/2，^Fn，jdenoting Fj（X0，j）的经验分布函数，Fj（Xn-1，j）和d是一个仅依赖于`的常数。结合这些论点，观察supω∈注册护士-1Xs=1Wn（ω）- 2πs/n）= O（n）（S.35）yieldssupω∈罗苏普，v∈[0,1]2ku-vk1≤δnN-1Xs=1Wn（ω）- 2πs/n）Ks，n（u，v）= Opn3/2+1/k（ρ（δn，`）+δn）. （S.36）如（S.30）所述，对于Mi（j），i，j=1，2，我们有Supka-bk1≤δnsups=1，。。。，N-1 | EKs，n（a，b）|≤ N-1苏普卡-bk1≤δnsups=1，。。。，N-1.cum（dj1n，U（2πs/n；M1（1）），dj2n，U(-2πs/n；M2（1）））+ N-1苏普卡-bk1≤δnsups=1，。。。，N-1.cum（dj1n，U（2πs/n；M1（2）），dj2n，U(-2πs/n；M2（2）））（S.37）其中我们使用了Edjn，U（2πS/n；M）=0。引理S6。6和λ（Mj（j））≤ δn，对于j=1，2（λ表示R上的勒贝格测度）yieldsupka-bk1≤δnsups=1，。。。，N-1 | cum（dj1n（2πs/n；M1（j）），dj2n(-2πs/n；M2（j）））|≤ C（n+1）δn（1+| logδn |）D，因此（S.37）中的右侧是O（δn | logδn | D）。

因此，通过（S.35），我们得到了supω∈苏普卡-bk1≤δnb1/2nn-1/2n-1Xs=1Wn（ω）- 2πs/n）EKs，n（a，b）= O（nbn）1/2δn | log n | D.鉴于假设n-1=o（δn），我们有δn=o（n1/2ρn（δn，`）），它与（S.36）结合，产生ω∈苏普卡-bk1≤δn |^Hj1，j2n（a；ω）-^Hj1，j2n（b；ω）|=Op（nbn）1/2[n1/2+1/k（ρn（δn，`）+δn）+δn | logδn | D]= Op（nbn）1/2n1/2+1/kρn（δn，`）= Op（nbn）1/2n1/k+1/`（n）-1.∨ δn（对数n）D`）1/2= 作品（1）。op（1）和我们一样适用于任意k和`，O（（nbn）1/2n1/k+1/`δ1/2n（logn）D`/2）=O（（nbn）1/2-1/2γn1/k+1/`（对数n）D`/2）。关于BNN（nbn）1/2的假设-1/2γ=o（n-κ） 对于一些κ>0，使得k的后一个量为o（1），非常大。术语（nbn）1/2n1/k+1/`n-1/2的处理方式类似。证据到此结束。2c 皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S31参考Bogerol，P.和N.Picard（1992）。广义自回归过程的严格平稳性。《概率年鉴》20（4），1714-1730。布里林格，D.R.（1975）。时间序列：数据分析和理论。纽约：霍尔特、林哈特和温斯顿公司，布罗克韦尔，P.J.和R.A.戴维斯（1987年）。时间序列：理论与方法。统计学中的SpringerSeries。纽约：斯普林格。哈夫纳，C.M.和O.B.林顿（2006）。议论《美国统计分类杂志》101（475），998-1001。Kley，T.，S.Volgushev，H.Dette和M.Hallin（2016）。分位数谱过程：渐近分析和推断。伯努利22（3），1770-1807年。奈特，K.（2006）。对“分位数自回归”的评论。《美国统计协会杂志》101（475），994-996。Koenker，R.和Z.Xiao（2006）。分位数自回归。美国统计协会杂志101（475），980-990。Taniguchi，M.和Y.Kakizawa（2000年）。时间序列统计推断的渐近理论。斯普林格。van der Vaart，A.和J.Wellner（1996年）。